投稿者: QCプラネッツ

後ろの2文字で区別する

MTTF⇒Mean Time to Failure
MTBT⇒Mean Time between Failures
MTTR⇒Mean Time to Repair

非修理系は、使い捨て品などのメンテナンスしない量産品など
修理系は、設備などメンテナンスするもの

(1)の電球は一度壊れたら終わりですね(修理できる人はいますが)。
⇒MTTF

(2)の電気スタンドは都度、直しているので修理系です。
⇒MTBF

故障した部品を取り換えるのは修理系です。
⇒MTTR

まとめると

(1) 非修理系なのでMTTF
(2) (200+150+250)/3=200時間
(3) MTBF
(4) (10000-1×)/4=2499時間
(5)λ=1/2499=0.0004
(6)MTTR
(7)1時間
(8)1-λ=0.999

まとめると、

λ=1/2000に従う指数分布でt=1000を代入します。
exp(-1/2000×1000)=0.607

まとめると、

バスタブ曲線と合わせて確認したいところですね。
初期故障⇒偶発故障⇒摩耗故障の順に
Decrease(減少)⇒Constant(一定)⇒Increase(増加)
となります。

まとめると、

直列は信頼度の積、並列は1-(1-信頼度)×(1-信頼度)です。

(1) 0.9×0.9=0.81
(2) 1-(1-0.9)(1-0.9)=0.99
(3) 0.99×0.9=0.891

まとめると、

(1)データの構造式
y_ij=μ+α_i+β_j+ε_ij

(2)
①2乗表を作成します。

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{12}x_i)^2}{n}\)=72²/12=432
S_T=\(\sum_{i=1}^{12} x_i^2\)-CT=464-432=32

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(20²/4+23²/4+29²/4)-432=442.5-432=10.5

S_B=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(15²/3+24²/3+18²/3+15²/3)-432=450-432=18

S_e= S_T– S_A– S_B=32-10.5-18=3.5

●自由度φ
φ_T=12-1=11
φ_A=3-1=2
φ_B=4-1=3

φ_e=φ_T-φ_A-φ_B=6

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=10.5/2=5.25
V_B= S_B/φ_B=18/3=6
V_e=S_e/φ_e=3.5/6=0.583

●F値
F_A= V_A/ V_e=5.25/0.583=9
F_B= V_B/ V_e=6/0.583=10.286
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,6,0.05)=5.14
F_B0=F(φ_B,φ_e,α=F(3,6,0.05)=4.76

有意性の判定
F_A=9 &gt: F_A0=5.14
より因子Aの有意性は有り。
F_B=10.286 &gt: F_A0=4.76
より因子Bの有意性は有り。

(3)
●点推定
A1: 20/4=5
A2: 23/4=5.75
A3: 29/4=7.25
B1: 15/3=5
B2: 24/3=8
B3: 18/3=6
B4: 15/3=5

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5±0.934
■A₂: 5.75±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5.75±0.934
■A₃: 7.25±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=7.25±0.934
■B₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
■B₂: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=8±1.079
■B₃:6±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=6±1.079
■B₄: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079

(4)
最適条件：　A₃B₂
点推定： 9.25(=29/4+24/3-72/12)
有効繰返し数： 2 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\))
信頼区間　9.25±t(6,0.05) ×\(\sqrt{0.583/2}\)=9.25±1.321

まとめると、

(1)データの構造式
y_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+ε_ijk

(2)
①2乗表を作成します。

AiBjの2乗和も計算します。

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
＊修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{36}x_i)^2}{n}\)=216²/36=1296
＊S_T=\(\sum_{i=1}^{36} x_i^2\)-CT=1484-1296=188

＊S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(36²/9+54²/9+60²/9+66²/9)-1296=56

＊S_B=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(57²/12+72²/12+87²/12)-1296=37.5

＊S_AB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=4194/3-1296=102
＊S_A×B= S_AB– S_A– S_B
=8.5
＊S_e= S_T– S_A– S_B– S_A×B
=188-56-37.5-8.5=86

●自由度φ
φ_T=36-1=35
φ_A=4-1=3
φ_B=3-1=2
φ_A×B=(4-1)(3-1)=6
φ_e=φ_T-φ_A-φ_B-φ_A×B
=24

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=56/3=18.67
V_B= S_B/φ_B=37.5/2=18.75
V _A×B = S _A×B /φ _A×B =8.5/6=1.42
V_e=S_e/φ_e=86/24=3.58

●F値
F_A= V_A/ V_e=18.67/3.58=5.21
F_B= V_B/ V_e=18.75/3.58=5.23
F _A×B = V _A×B / V_e=1.42/3.58=0.39

F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(3,24,0.05)=3.01
F_B0=F(φ_B,φ_e,α=F(2,24,0.05)=3.4
F_A×B0=F(φ_A×B,φ_e,α=F(6,24,0.05)=2.37

有意性の判定
F_A=5.21 &gt: F_A0=3.01
より因子Aの有意性は有り。
F_B=5.23 &gt: F_A0=3.4
より因子Bの有意性は有り。< br >
F_A×B=0.39 &lt: F_A×B0=2.37
より交互作用A×Bの有意性は無い。

(3)
●点推定
A1: 36/9=4
A2: 54/9=6
A3: 60/9=6.67
A4: 66/9=7.33
B1: 57/12=4.75
B2: 72/12=6
B3: 87/12=7.25

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A₁: 4±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=4±1.302
■A₂: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6±1.302
■A₃: 6.67±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6.67±1.302
■A₄: 7.33±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=7.33±1.302
■B₁: 4.75±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=4.75±1.127
■B₂: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=6±1.127
■B₃:7.25±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=7.25±1.127

(4)
最適条件：　A₄B₃
点推定： 8(=(9+10+5)/3)
有効繰返し数： 3 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{3}\))
信頼区間　8±t(24,0.05) ×\(\sqrt{3.58/3}\)=8±2.254

まとめると、

実験計画法をマスターするには、2段階必要です。
①まず、公式暗記して慣れること
②慣れたら、意味を考えること

QC検定®2級、1級合格には①だけでOKです。
でも②の意味も考えてほしいので、QCプラネッツでは
実験計画法が１つの解法ですべて解けるように解説しています。

(1)データの構造式が実験計画法の根幹です。
ただし、QC検定®2級合格には、式の暗記だけでOKです。
y_ij=μ+α_i+ε_ij

(2)
①２乗表を作成します。

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{9}x_i)^2}{n}\)=57²/9=361
S_T=\(\sum_{i=1}^{9} x_i^2\)-CT=381-361=20

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(15²/3+24²/3+18²/3)-361=375-361=14

S_e= S_T– S_A=20-14=6

●自由度φ
φ_T=9-1=8
φ_A=3-1=2
φ_e=φ_T-φ_A=6

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=14/2=7
V_e=S_e/φ_e=6/6=1

●F値
F_A= V_A/ V_e=7
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,6,0.05)=5.14

●有意性の判定
F_A=7 &gt: F_A0=5.14
より因子Aの有意性がある。

(3)
●点推定
A1: (4+5+6)/3=5
A2: (9+7+8)/3=8
A3: (5+7+6)/3=6

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n_{Ai}}}\)
■A₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=5±1.413
■A₂: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=8±1.413
■A₃: 6±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=6±1.413

(4)最も特性値の大きい水準はA₄

まとめると、

(1)データの構造式
y_ij=μ+α_i+ε_ij

(2)
①2乗表を作成します。

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{13}x_i)^2}{n}\)=78²/13=468
S_T=\(\sum_{i=1}^{13} x_i^2\)-CT=514-468=46

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(30²/5+36²/5+12²/3)-468=487.2-468=19.2

S_e= S_T– S_A=46-19.2=26.8

●自由度φ
φ_T=13-1=12
φ_A=3-1=2
φ_e=φ_T-φ_A=10

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=19.2/2=9.6
V_e=S_e/φ_e=26.8/10=2.68

●F値
F_A= V_A/ V_e=9.6/2.68=3.58
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,10,0.05)=4.1

●有意性の判定
F_A=3.58 &lt: F_A0=4.1
より因子Aの有意性は無い。

(3)
●点推定
A1: 30/5=6
A2: 36/5=7.2
A3: 12/3=4

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n_{Ai}}}\)
■A₁: 6±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/5}\)=6±1.631
■A₂: 7.2±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/5}\)=7.2±1.631
■A₃: 4±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/3}\)=4±2.228

(4)最も特性値の大きい水準はA₂

まとめると、

計数値or計量値の判断
計数値なら、平均、データの判断
計量値なら、率・割合、個数の判断
で管理図を区別します。

<回答>

管理図の種類は項目と分布もまとめて覚えると良いです。

頻出問題です。確実に点数化しましょう。

(1) \(\bar{\bar{x}}\)=29.8
\(\bar{R}\)=5.5

(2)LCL=29.8+0.729×5.5=33.83
UCL=29.8-0.729×.5=25.85

(3)LCL=2.282×5.5=12.483
UCLは無し

(4)Xbar管理図で管理限界値を超えた異常値がある。

まとめると、

pn管理図も頻出問題です。

(1)LCL: pn-3\(\sqrt{pn(1-p)}\)=9-3\(\sqrt{9(1-0.09)}\)=0.415
UCL: pn+3\(\sqrt{pn(1-p)}\)=9-3\(\sqrt{9(1-0.09)}\)=17.585

(2)管理図

(3)上方管理限界値以上の異常値と、中心に寄りすぎる傾向がある。

まとめると

暗記より、異常の定義を理解しましょう。
●限界線を越えるもの
●偏った分布になるもの
など

サンプリングの問題は暗記のみです。
QC検定®2級：サンプリングの種類だけ出題
QC検定®１級：サンプリングの種類による分散値の計算も出題

サンプリングの種類も分散値も覚えにくいですが、頑張りましょう。

こう来たら、これ！と覚えましょう。

(1)OC曲線に慣れていない場合は、軸は覚えましょう。
(1)縦軸：ロット合格率L(p)
(2)横軸：不良率p(%)

(2)数式を使って解説します。二項分布でOC曲線を描きます。
ロット合格率L(p)は次の式で表現できます。
L(p)=\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)_{n-r}\)

①cを増やします。 \( \sum_{r=0}^{c}\)の加算回数が増えるので、L(p)は増加します。
よってグラフは右上に寄ります。

②nを増やします。L(p)の式の中の\((1-p)_{n-r}\)のnが増えると、
\((1-p)_{n-r}\)の値は小さくなります。
よってグラフは左下に寄ります。

③これは知っておいてください。N=nとして、nをどんどん大きくすると
L(p)の曲線は全数検査のように折れ線みたいになります。

①②③を図でまとめます。
OC曲線の変化は暗記してもOKですが、数式からわかることも重要です。

調整型抜取表(JISZ9015-1)の主抜取表を見ながら確認しましょう。
単純に表を読むだけのもの、
表の矢印↑↓の見方、
2回抜き取りの場合、
検査水準S-1～S-4,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲの区別、
を再確認してください。

回答

(1)平方和を計算します。
●S_xx=\(\sum_{i=1}^{10} x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{10}x_i)^2}{10}\)
=422.82-58²/10=86.42
●S_xy=\(\sum_{i=1}^{10} x_i y_i-\frac{\sum_{i=1}^{10}x_i \sum_{i=1}^{10}y_i }{10}\)
=416.3-58×66.4/10=31.18
●S_yy=\(\sum_{i=1}^{10} y_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{10}y_i)^2}{10}\)
=457.2-66.4²/10=16.82

(2)回帰、残差、合計の平方和を計算します。
●回帰:S_R=S_xy²/S_xx=31.18²/86.42=11.25
●合計:S_T=S_yy=16.82
●残差:S_e= S_T– S_R=5.57

F値を計算します。
●F=V_R/V_e= (S_R/ φ_R)/ (S_e/ φ_e)=16.14
●F₀=F(φ_R, φ_e,α)=F(1,8,0.05)=5.32

検定結果は 16.14> 5.32より、回帰は有意性あり。

(3)回帰式を求めます。
●傾きβ₁=S_xy/S_xx=31.18/86.42=0.361
●切片β₀=\(\bar{y}-β_1\bar{x}\)=6.64-0.361×5.8=4.55
●寄与率R=S_xy²/(S_xxS_yy)
=31.18²/(86.42×16.82)=0.669
●相関係数r=\(\sqrt{R}\)=0.818

(4)予測値を求めます。
y=0.361×10+4.55=8.16

(5)無相関の検定もよく出題されます。
① \(t=\frac{|r|\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\)
② ●t値：\(t=\frac{|0.818|\sqrt{10-2}}{\sqrt{1-0.818^2}}\)=4.024
●棄却限界値：t(n-2,α)=t(8,0.05)=2.31
●検定結果： 4.024>2.31より帰無仮説は棄却され、r=0ではないといえる。

すらすら解けるように何度も演習しましょう。

まとめると、

二項分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: p=p₀
●対立仮説H₁: p≠p₀

(2)●検定統計量　Z=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)
●値 Z=\(\frac{0.04-0.02}{/\sqrt{0.02(1-0.02)/100}}\)=1.429

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(1.429<1.645) (5)信頼区間は　\(p_0±Z(\frac{α}{2})\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\)より
0.04±1.96\(\sqrt{0.04(1-0.04)/100}\)=0.002,0.784

よって、

(1)●帰無仮説H₀: p_A=p_B
●対立仮説H₁: p_A≠p_B

(2)●検定統計量　z=\(\frac{p_B-p_A}{ \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
●値 z=\(\frac{0.08-0.05}{\sqrt{0.068(1-0.068)(\frac{1}{100}+\frac{1}{150}}}\)=0.923

(3)両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(0.923<1.645) (5)信頼区間は　z=\(\frac{p_B-p_A}{ \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)より
0.068±1.96×\(\sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{100}+\frac{0.08(1-0.08)}{150}}\)=0.0071,0.1289

よって、

ポアソン分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: λ=λ₀
●対立仮説H₁: λ > λ₀

(2)●検定統計量　z=\(\frac{λ-λ_0}{ \sqrt{λ_0/n}}\)
●値 z=\(\frac{8-4}{\sqrt{4/1}}\)=2

(3)長くなったかどうかなので、片側検定です。
棄却域 1.96(正規分布:α=0.025

(4)有意である。（差がある）
(2>1.96)

(5)信頼区間は　λ±Z(\(\frac{α}{2}\sqrt{λ/n}\)
=8±1.96×\(\sqrt{\frac{800}{100}}\)=2.46,13.54

よって、

ポアソン分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: λ_A=λ_B
●対立仮説H₁: λ_A > λ_B

(2)●検定統計量　z=\(\frac{λ_A-λ_B}{ \sqrt{λ(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
●値 z=\(\frac{\frac{600}{100}-\frac{1200}{150}}{ \sqrt{\frac{600+1200}{100+150}(\frac{1}{100}+\frac{1}{150})}}\)=-5.77

(3)両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布:α=0.025)

(4)有意である。（差がある）
(|-5.77|>1.645)

(5)信頼区間は　(λ_A-λ_B)±Z(\(\frac{α}{2})\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}\)
=(6-8)±1.96×\(\sqrt{\frac{600/100}{100}+\frac{1200/150}{150}}\)=-1.34,-2.67

よって、

適合度の検定なので、χ２乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: P_A= P_B
●対立仮説H₁: P_A≠P_B

期待度数表を作成します。

(2)●検定統計量　χ²=\(\sum_{i}^{m} \sum_{j}^{n}\)\(\frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\)
●値 χ²=\(\frac{(300-288)^2}{288}\)+\(\frac{(240-252)^2}{252}\)+\(\frac{(20-32)^2}{32}\)+\(\frac{(40-28)^2}{28}\)=10.714

(3)棄却域　χ²=χ²(1,0.05)=3.84
自由度φ=(m-1)(n-1)=(2-1)(2-1)=1

(4)有意である。（差がある）
(10.714>3.84)

よって、

正規分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ≠μ₀

(2)●検定統計量　Z=\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)
●値 Z=\(\frac{7.2-7.0}{0.4/\sqrt{16}}\)=2.0

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意である。（差がある）
(2.00>1.645)

(5)信頼区間は　μ±\(Z(\frac{α}{2})\frac{σ}{\sqrt{n}}\)より
7.2±1.96×0.4/4=7.004,7.396

よって、

t分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ≠μ₀

(2)●検定統計量　t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
●値 t=\(\frac{7.53-7.5}{\sqrt{0.102/10}}\)=0.297
V=S/(n-1)=0.921/(10-1)=0.102

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 2.262(両側検定 t分布に注意してα=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(0.297<2.262)
t値が負の場合もあるので、絶対値で比較します。

(5)信頼区間は　μ±(t(φ,α)\(\sqrt{V/n}\)より
7.53±t(9,0.05)×\(\sqrt{0.102/10}\)=7.301,7.759

よって、

t分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ > μ₀

(2)●検定統計量　t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
●値 t=\(\frac{7.55-7.5}{\sqrt{0.0.247/10}}\)=0.318

(3)長くなったかどうかなので、片側検定です。
棄却域 1.833(片側検定 t分布に注意してα=0.10(t分布表のややこしい点に注意！)

(4)有意でない。（差がない）
(0.318<1.833)
t値が負の場合もあるので、絶対値で比較します。

(5)信頼区間は　μ±(t(φ,α)\(\sqrt{V/n}\)より
7.55±t(9,0.10)×\(\sqrt{0.247/10}\)=7.262,7.838

よって、

χ2乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: σ=σ₀
●対立仮説H₁: σ≠σ₀

(2)●検定統計量　\(χ2=\frac{S}{σ^2}\)
●値 \(χ^2=\frac{0.921}{0.3^2}\)=10.233

(3)両側検定です。
棄却域 16.9=χ²(9,0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(10.233<16.9)

(5)信頼区間は
上限　σ^2=\(\frac{S}{χ^2(9,0.975}\)=\(\frac{0.921}{2.70}\)=0.341
下限　σ^2=\(\frac{S}{χ^2(9,0.025}\)=\(\frac{0.921}{19}\)=0.048
より 0.048～0.341

よって、

F乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: V_A= V_B
●対立仮説H₁: V_A≠V_B

(2)●検定統計量　\(F=\frac{V_A}{V_B}\) > 1
●値 \(F=\frac{11.122}{10.611}\)=1.048

(3)棄却域F(φ_A,φ_B,α)=F(9,8,0.05)=3.388

(4)有意でない。（差がない）
(1.048<3.388) よって、