カテゴリー: 信頼性工学

「信頼性工学って、ヒストグラムや箱描いて不良率計算する簡単なものだけど、応用になるといきなり指数分布の積分とかガンマ関数とか出て来るから、理解が深めにくい」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①離散系と連続系があるけど、連続系で勉強すべき
• ➁離散系、連続系の不良率、信頼度をまとめて理解する
• ➂離散系、連続系のMTTF,MTBF,MTTRをまとめて理解する

という、悩みがありました。それを本記事で解決できます！

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【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①離散系と連続系があるけど、連続系で勉強すべき

初心者は離散系の方が理解しやすい

離散系とは

よくヒストグラムが出て、個別の度数を長方形の面積で計算すればわかる！
程度なので、計算も簡単で、理解しやすい！

連続系は初心者には難しい

連続系とは

苦手な積分が出て来るし、関数\(f(x)\)も複雑な式になるから
計算が難しく、理解できない！

信頼性工学は連続系が学びやすい

実は、信頼性工学をマスターするには、

なぜなら、離散系と連続系にはそれぞれの良し悪しがあります。

ポイントは　∑と積分の違いだけ

やってみましょう。

離散系と連続系は図を見ると考え方は同じで、

式でいうと具体的には、下図のとおりです。

では、個々に解説していきます。

➁離散系、連続系の不良率、信頼度をまとめて理解する

離散系、連続系の分布図をまとめて理解する

図を再掲します。

離散系、連続系の不良率をまとめて理解する

図を見て、式は基本同じであることを理解しましょう。

離散系、連続系の信頼度をまとめて理解する

信頼度Rは、基本
R=1-F
です。

➂離散系、連続系のMTTF,MTBF,MTTRをまとめて理解する

MTTF,MTBF,MTTRを図でまとめて理解する

離散系、連続系のMTTF,MTBF,MTTRを図でまとめて理解すると下図になります。

離散系、連続系のMTTF,MTBFをまとめて理解する

離散系と連続系の式は基本、同じであることを意識して確認しましょう。

∑と積分∫
\(t_i\)と\(x\)
\( f_i(×1)\)と\(f(x)dx\)
が対応していますね。

関連記事にもあるように、よくMTTF,MTBF=\(\frac{1}{λ}\)を使います。導出していますので、確認ください。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

離散系、連続系のMTTRをまとめて理解する

離散系、連続系のMTTF,MTBF,MTTRの図を再掲します。

∑と積分∫
\(t_i\)と\(x\)
\(g_i(×1)\)と\(g(x)dx\)
が対応していますね。

関連記事にもあるように、よくMTTR=\(\frac{1}{μ}\)を使います。導出していますので、確認ください。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

これで、離散系と連続系が混乱せず整理して理解できました。

まとめ

「信頼性工学がよくわかる(離散系と連続系まとめて理解できる)」を解説しました。

• ①離散系と連続系があるけど、連続系で勉強すべき
• ➁離散系、連続系の不良率、信頼度をまとめて理解する
• ➂離散系、連続系のMTTF,MTBF,MTTRをまとめて理解する

信頼性工学

「並列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
• ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算

考え方は関連記事と同じですが、計算がもっと大変でした。計算を頑張ったので解説します！ちょっと応用になると計算が大変になるため、解説がない場合が多いです。でも、頑張れば解けるので読んでください。

並列系のアベイラビリティがよくわかる 並列系のアベイラビリティは公式暗記ではなく自力で導出できますか？本記事では並列系のモデルから立式してアベイラビリティの時間の関数や極限値、並列系のメリットをアベイラビリティからわかる理由を丁寧に解説しています。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

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①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！

結局、

それと、

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。

【必読】アベイラビリティがよくわかる QCでよく出るアベイラビリティを公式暗記だけで終わっていませんか？本記事では、アベイラビリティの定義や導出を丁寧に解説！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題

本記事では、次の例題を使って、並列系のアベイラビリティを解説します。

1. 並列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
2. 並列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
3. 並列系のメリットをアベイラビリティから理解する

なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。

並列系のアベイラビリティを考える例題

図をよくみると、状態\(S_2\)から状態\(S_1\)へ修理する矢印がありません。矢印が2方向ない場合を今回解説します。

各問は以下でそれぞれ解説します。

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
  ⇒(1)を解説
• ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
  ⇒(2)を解説
• ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
  ⇒(3)(4)を解説

信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。

1. シャント線図、微分方程式の導出
2. ラプラス変換の基本
3. MTTF,MTBF,MTTRの導出方法

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系) 要素が非独立な場合の信頼度は計算できますか？単純に掛け算ではできず、微分方程式から計算する必要があります。本記事では、難解な非独立系の信頼度をわかりやすく解説します。信頼性工学を学びたい方は必読です。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

連立微分方程式を作る

シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。

●微分方程式は下のようになります。
関連記事では、以下の微分方程式でした。
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)+\(μ_1 P_2(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\)―\(μ_1 P_2(t)\)

これから、状態\(S_2\)から状態\(S_1\)へ修理する矢印を無くしたのが今回の場合なので、微分方程式は以下に変形します。
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ_0 P_0(t)\)+\(μ_0 P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_0 P_0(t)\) ―\((λ_1+ μ_0)P_1(t)\)+\(μ_1 P_2(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_1(t)\) ―\(μ_1 P_2(t)\)

初期条件は決まっている

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出

定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,2)です。

よって計算できます。

解くと、
●\(P_0\)=0
●\(P_1\)=0
●\(P_2\)=0
となりますが、
●\(P_0+P_1+P_2=1\)が成立しません。

また、アベイラビリティ\(A\)は

よって、

(2)もできました。

➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算

問いを再掲

もう一度、問と微分方程式に戻ります。

ラプラス変換して解析

ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\(λ P_0\)+\( λ P_1\)
●\(sP_1 \)=\(λ P_0\) ―\(2λP_1\)
●\(sP_2 \)=\(λ P_1\)

3つの両辺を足すと
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)

●\(P_1\)=\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ}{s}P_1\)
と変形して、
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)
に代入すると、\(P_0\)が求まります。

\(P_0\)を計算

\(P_0\)+\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)+\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{s}\)=\(\frac{1}{s}\)
\(sλP_0\)+\(s(s+λ)P_0-s\)+\(λ(s+λ)P_0-λ\)=\(λ\)
まとめると、
\(((s+λ)^2 + sλ)P_0 = s+2λ\)

sの2次式になりました。結構計算が大変！

ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。

よって、
\(P_0\)=\(\frac{ s+2λ}{(s+λ)^2 + sλ}\)
=\(\frac{\frac{5-\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)+\(\frac{\frac{5+\sqrt{5}}{10}λ}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)

\(P_1\)を計算

頑張って解いていきます。

\(P_1\)=\( \frac{(s+λ)(s+2λ)}{λ((s+λ)^2 + sλ)}-\frac{1}{λ}\)
=\(\frac{λ^2}{λ(s^2+3λs+λ^2)}\)
=\(\frac{λ}{(s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ)( s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ)}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ}\)-\(\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{ s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ}\)

大変な計算ですね。

\(P_2\)を計算

\(P_2\)=\(\frac{λ}{s}P_1\)
=\(\frac{λ^2}{s(s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}λ)( s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}λ)}\)
=\(\frac{λ^2}{s}\)+\(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3+\sqrt{5}}{2}}λ^2\)-\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sqrt{5}}}{s+\frac{3-\sqrt{5}}{2}}λ^2\)

まとめたくないけど、まとめると、

確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析

逆ラプラス変換すると

ちなみに、\(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)+ \(P_2 (t)\)=1となっていませんから、定常状態にはならないんでしょうね。

アベイラビリティA(t)は

よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)
\(A(t)\)=\(\frac{3-\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3+\sqrt{5}}{2}λt} \)+\(\frac{3+\sqrt{5}}{10}λ e^{-\frac{3-\sqrt{5}}{2}λt} \)

(3)の答えをまとめると、

できましたね。

➃並列系のメリットをアベイラビリティから考える

問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。

(4)の解

以上、修理系の一部が無い場合は、計算できるけど、その解の状態にはならないことがわかりました。計算が大変でしたけど、解がしっくりこないことがわかりましたね。こういうときもあります！　教科書とかには書いていないケースですが、実際計算するとわかることがたくさんあります。

まとめ

「並列系のアベイラビリティがよくわかる(修理系の一部が無い場合)」を解説しました。

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
• ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算

信頼性工学

「直列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①アベイラビリティ
• ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
• ➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
• ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える

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①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！

結局、

それと、

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、直列系、並列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。

【必読】アベイラビリティがよくわかる QCでよく出るアベイラビリティを公式暗記だけで終わっていませんか？本記事では、アベイラビリティの定義や導出を丁寧に解説！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題

本記事では、次の例題を使って、直列系のアベイラビリティを解説します。

1. 直列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
2. 直列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
3. 直列系のメリットをアベイラビリティから理解する

なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。

直列系のアベイラビリティを考える例題

各問は以下でそれぞれ解説します。

• ①アベイラビリティ
• ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
  ⇒(1)を解説
• ➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
  ⇒(2)を解説
• ➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
  ⇒(3)を解説
• ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える
  ⇒(4)を解説

信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。

1. シャント線図、微分方程式の導出
2. ラプラス変換の基本
3. MTTF,MTBF,MTTRの導出方法

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系) 要素が非独立な場合の信頼度は計算できますか？単純に掛け算ではできず、微分方程式から計算する必要があります。本記事では、難解な非独立系の信頼度をわかりやすく解説します。信頼性工学を学びたい方は必読です。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

連立微分方程式を作る

シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。

●微分方程式は下のようになります。

初期条件は決まっている

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出

定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,…,n)です。

よって計算できます。

解くと、
●\(P_i\)=\(\frac{λ_i}{μ_i} P_0\) (\(i=1,2,…,n\))
●\(P_0+P_1+…+P_2=1\)
から、

\(P_0+(\sum_{i=1}^{n})\frac{λ_i}{μ_i})P_0=1\)
よって、

また、アベイラビリティ\(A\)は

よって、

(2)もできました。

➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算

問いを再掲

もう一度、問と微分方程式に戻ります。

で、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)としてよいので、微分方程式は
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( nλ P_0(t)\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)

ラプラス変換して解析

ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
●\(sP_1 \)=\(λP_0\) ―\(μP_1\)
…
●\(sP_i \)=\(λP_0\) ―\(μP_i\)
…
●\(sP_2 \)=\(λP_0\) ―\(μP_n\)

また、\( \sum_{i=1}^{n} P_i\)=\(1-P_0\)を使うと、\(P_0\)が簡単に計算できます。
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
\(sP_0 -1\)=―\( nλ P_0\)+\( μ(1-P_0)\)
\(P_0\)=\(\frac{μ+1}{s+nλ+μ}\)

そして、\(P_i\)は
●\(sP_i \)=\(\frac{λ}{s+μ}P_0\)
=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)

逆ラプラス変換する

ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。

よって、
●\(sP_i \)=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)
=\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+μ}\)―\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+nλ+μ}\)

確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析

逆ラプラス変換すると

計算は正しいですが、\(P_0 (t)\)=1でなく、\(μ+1\)とずれます。これは今後課題解決します！
とにかく、解き方は並列系と同じ流れで解けることを理解しましょう。

アベイラビリティA(t)は

よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)

(3)の答えをまとめると、

できましたね。

➃直列系のメリットをアベイラビリティから考える

問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。

直列系をアベイラビリティから考える

(2)の解で定常状態のアベイラビリティ\(A\)は

見やすくするために、\(λ_i\)=\(λ\)、\(μ_i\)=\(μ\)とおくと、
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
=\(\frac{1}{1+n \frac{λ}{μ} }\)
となり、

直列系ですから、１つでも故障すると全体が動作できません。それだけ、故障リスクが増大するため、アベイラビリティが低下することとつながっていますね。

直列系のメリットよりかは、デメリットがアベイラビリティからもよく理解できました。

まとめ

「直列系のアベイラビリティがよくわかる」を解説しました。

• ①アベイラビリティ
• ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂直列系のアベイラビリティA(t)を導出
• ➃直列系のアベイラビリティA(∞)を計算
• ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える

信頼性工学

「並列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
• ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
• ➄並列系のメリットをアベイラビリティから考える

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！

結局、

それと、

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。

【必読】アベイラビリティがよくわかる QCでよく出るアベイラビリティを公式暗記だけで終わっていませんか？本記事では、アベイラビリティの定義や導出を丁寧に解説！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題

本記事では、次の例題を使って、並列系のアベイラビリティを解説します。

1. 並列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
2. 並列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
3. 並列系のメリットをアベイラビリティから理解する

なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。

並列系のアベイラビリティを考える例題

各問は以下でそれぞれ解説します。

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
  ⇒(1)を解説
• ➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出
  ⇒(2)を解説
• ➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算
  ⇒(3)を解説
• ➄並列系のメリットをアベイラビリティから考える
  ⇒(4)(5)を解説

信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。

1. シャント線図、微分方程式の導出
2. ラプラス変換の基本
3. MTTF,MTBF,MTTRの導出方法

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系) 要素が非独立な場合の信頼度は計算できますか？単純に掛け算ではできず、微分方程式から計算する必要があります。本記事では、難解な非独立系の信頼度をわかりやすく解説します。信頼性工学を学びたい方は必読です。

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連立微分方程式を作る

シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。

●微分方程式は下のようになります。

初期条件は決まっている

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

➂定常状態の並列系のアベイラビリティAを導出

定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,2)です。

よって計算できます。

解くと、
●\(P_1\)=\(\frac{λ_0}{μ_0} P_0\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ_1}{μ_1} P_1\)
●\(P_0+P_1+P_2=1\)
から、

また、アベイラビリティ\(A\)は

よって、

(2)もできました。

➃並列系のアベイラビリティA(t)を計算

問いを再掲

もう一度、問と微分方程式に戻ります。

で、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)としてよいので、微分方程式は
●\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λ P_0(t)\)+\( λ P_1(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ P_0(t)\) ―\((2λ)P_1(t)\)+\( λ P_2(t)\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ P_1(t)\) ―\(λ P_2(t)\)

ラプラス変換して解析

ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\(λ P_0\)+\( λ P_1\)
●\(sP_1 \)=\(λ P_0\) ―\(2λP_1\)+\( λ P_2\)
●\(sP_2 \)=\(λ P_1\) ―\(λ P_2\)

3つの両辺を足すと
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)

●\(P_1\)=\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ}{s+λ}P_1\)
と変形して、
\(P_0 +P_1 +P_2 \)=\(\frac{1}{s}\)
に代入すると、\(P_0\)が求まります。

\(P_0\)を計算

\(P_0\)+\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)+\(\frac{λ}{s+λ} \frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)=\(\frac{1}{s}\)
よって、
\(P_0\)=\(\frac{1}{s+3λ}(1+\frac{λ}{s+λ}+\frac{λ}{s})\)

ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。

よって、
\(P_0\)=\(\frac{1}{s+3λ}(1+\frac{λ}{s+λ}+\frac{λ}{s})\)
\(P_0\)=\(\frac{1}{6} \frac{1}{ s+3λ}\)+\(\frac{1}{2} \frac{1}{ s+λ}\)+\(\frac{1}{3} \frac{1}{ s }\)

\(P_1\)を計算

\(P_1\)=\(\frac{(s+λ)P_0 -1}{λ}\)
=\(\frac{(s+λ)P_0}{λ} -\frac{1}{λ}\)
=\(\frac{(s+λ)}{λ}\)(\(\frac{1}{6} \frac{1}{s+3λ}\)+\(\frac{1}{2} \frac{1}{ s+λ}\)+\(\frac{1}{3} \frac{1}{ s }))\) -\(\frac{1}{λ}\)
よって、
\(P_1\)=\(\frac{1}{3s}\)-\(\frac{1}{3(s+3λ)}\)

\(P_2\)を計算

\(P_2\)=\(\frac{λ}{s+λ}P_1\)
=\(\frac{λ}{s+λ}\)(\(\frac{1}{3s}\)-\(\frac{1}{3(s+3λ)}\))
\(P_2\)=\(\frac{1}{3s}\)-\(\frac{1}{2} \frac{1}{s+λ}\)+\(\frac{1}{6} \frac{1}{s+3λ}\)

まとめると、

確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析

逆ラプラス変換すると

ちなみに、\(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)+ \(P_2 (t)\)=1となっていますね。

アベイラビリティA(t)は

よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)+ \(P_1 (t)\)
\(A(t)\)=\(\frac{2}{3}\)+\(\frac{1}{2} e^{-λt}\)-\(\frac{1}{6} e^{-3λt}\)

(3)の答えをまとめると、

できましたね。

グラフに描くとこんな感じになります。

確率は1/3で、アベイラビリティは2/3に収束しているのがよくわかりますね。

➃並列系のメリットをアベイラビリティから考える

問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。

(4)は(2)の結果に一致する！

問(3)の極限値を計算すると、グラフからも明らかのように、

にそれぞれ、収束します。

ちなみに、定常状態で計算した確率とアベイラビリティを再掲すると、

で、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)と代入すると、

となり、

(5)の並列系のメリットとは？

アベイラビリティは\(\frac{2}{3}\)に収束しました。

もし、並列系でなく、故障率λ＝修理率μなら、アベイラビリティはいくらになりますか？　
単純に\(\frac{1}{2}\)ですよね。

これ、結構大事な考察結果です。並列系するメリットがアベイラビリティからもわかるわけです。

まとめ

「並列系のアベイラビリティがよくわかる」を解説しました。

• ①アベイラビリティ
• ➁並列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
• ➂並列系のアベイラビリティA(t)を導出
• ➃並列系のアベイラビリティA(∞)を計算
• ➄並列系のメリットをアベイラビリティから考える

信頼性工学

「アベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①アベイラビリティとは
• ➁アベイラビリティの導出
• ➂アベイラビリティの注意点

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①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！

結局、

それと、

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

➁アベイラビリティの導出

公式暗記で点数稼ぎは短期的には効果がありますが、本質を理解していないのでマズイ！

1つの系で2つの初期条件の場合から、時間の関数であるアベイラビリティA(t)を作ってみましょう。3つの流れで進めていきます。

1. 基礎要素からモデル式を作る
2. ２つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算
3. アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか？

なお、わかりすくするため、指数分布について解説します。

また、次の3つの関連記事で導出の基本を解説しています。確認ください。

1. シャント線図、微分方程式の導出
2. ラプラス変換の基本
3. MTTF,MTBF,MTTRの導出方法

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系) 要素が非独立な場合の信頼度は計算できますか？単純に掛け算ではできず、微分方程式から計算する必要があります。本記事では、難解な非独立系の信頼度をわかりやすく解説します。信頼性工学を学びたい方は必読です。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

(i) 基礎要素からモデル式を作る

次のような修理を伴う要素を考えます。シャント線図を描きます。

\(S_0\)は正常状態、\(S_1\)は故障状態、λは故障率、μは修理率とします。
ある時刻tにおいて、系が正常状態\(S_0\)、故障状態\(S_1\)である確率を\(P_0(t)\),\(P_1(t)\)とすると、次の微分方程式が作れます。

微分方程式の作り方は上の関連記事で解説しています。

●モデル式
\(P_0 (t+Δ)\)= \(P_0 (t)\)―\(P_0(t)λΔt\)+\(P_1(t)μΔt\)
\(P_1 (t+Δ)\)= \(P_1 (t)\)+\(P_0(t)λΔt\)―\(P_1(t)μΔt\)
から

(ii) ２つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算

２つの初期条件とは、

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

(A) 時刻t=0で系は正常状態の場合

ラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。

初期条件を代入して、
\(sP_0 -1\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1\)=\(λP_0 ―μP_1\)

この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{s+μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)

ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)―\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。

(B) 時刻t=0で系は故障状態の場合

同様にラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。

初期条件を代入して、
\(sP_0 \)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1-1\)=\(λP_0 ―μP_1\)

この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{s+λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)

ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)+\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。

(iii) アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか？

(ii)で2通りのアベイラビリティを計算しました。

グラフを描いてみましょう。

時刻t=0の状態は0,1と異なりますが、時間が経過すると１点に収束しているのがわかります。しかも、
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
と、 \(\frac{μ}{μ+λ}\)に収束していますね。

しかも、

だから、結果だけ公式暗記してもよいですが、
応用を利かすために導出方法も理解しておきましょう。

➂アベイラビリティの注意点

アベイラビリティは万能ではなく、次の注意点が必要です。

例をあげます。

短期間で故障が頻発しても、復旧が速いと、アベイラビリティは高いと判断する場合があります。

まとめ

「アベイラビリティがよくわかる」を解説しました。

• ①アベイラビリティとは
• ➁アベイラビリティの導出
• ➂アベイラビリティの注意点

信頼性工学

「MTTF,MTBF,MTTRがごっちゃになる」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①MTTF,MTBFとMTTR
• ➁MTTF,MTBFの導出ができる
• ➂MTTRの導出ができる

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①MTTF,MTBFとMTTR

MTTF,MTBFとMTTRとは

3兄弟、「MTTF,MTBFとMTTR」。

でも、どれがどれだったっけ？で試験でよく間違える3兄弟。

と表にまとめて、区別して暗記していませんか？

公式暗記せず導出できるようになろう！

本記事では、3兄弟「MTTF,MTBFとMTTR」を導出します。

上表の流れで解説していきます。

➁MTTF,MTBFの導出ができる

微分方程式を作る

故障の時間変化を下図のように考えます。

●図から以下のように定義します。

ここで、故障率\(λ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(λ(t)dt\)を
（微小時間の間で故障する面積）÷（時刻t以前で故障しない確率)
で計算しましょう。

式は次のようになります。
\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)

この微分方程式を解いていきます。

R(t)の導出

微分方程式\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)を解きます。

変形すると
\(λ(t)\)=\(\frac{f(t)}{R(t)}\)

次に、
\(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR(t)}{dt} \)
を代入します。

\(λ(t)\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}・\frac{1}{dt}\)
\(λ(t)dt\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}\)

両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)=-\(logR\)
\(R(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt)\)
と解けました。

MTTF,MTBFを計算する

MTTFとMTBFは非修理系か修理系かの違いで、計算は同じです。

MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)ですね。

指数分布の場合で計算する

ここで、
\(R(t)\)=\(exp(-λt)\)
\(f(t)\)=\(λexp(-λt)\)
とおきます。

MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} λt exp(-λt)dt \)
=\(λ\left[ -\frac{1}{λ} t exp^{-λt} -\frac{1}{λ^2} e^{-λt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{λ}\)

計算できましたね。

全く同じ流れでMTTRも導出します。

➂MTTRの導出ができる

微分方程式を作る

故障の時間変化を下図のように考えます。

●図から以下のように定義します。

ここで、修理率\(μ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(μ(t)dt\)を
（微小時間の間で修理完了する面積）÷（時刻t以前で修理完成しない確率)
で計算しましょう。

式は次のようになります。
\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)

この微分方程式を解いていきます。

G(t)の導出

微分方程式\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)を解きます。

変形すると
\(μ(t)\)=\(\frac{g(t)}{1-G(t)}\)

次に、
\(g(t)\)= \(\displaystyle \frac{dG(t)}{dt} \)
を代入します。

\(μ(t)\)=-\(\frac{1}{G(t)-1}・\frac{dG}{dt}\)
\(μ(t)dt\)=-\(\frac{dG(t)}{G(t)-1}\)

両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt \)=-\(log|G(t)-1|\)
\(|G(t)-1|\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
ここで、\(G(t)\)は確率で1以下だから、絶対値を外すときに注意して、
\(1-G(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
よって、
\(G(t)\)=1-\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
と解けました。

MTTRを計算する

MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)ですね。MTTF,MTBFと同じ考えてで導出できます。

指数分布の場合で計算する

ここで、
\(G(t)\)=1-\(exp(-μt)\)
\(fg(t)\)=\(μexp(-μt)\)
とおきます。

MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} μt exp(-μt)dt \)
=\(μ\left[ -\frac{1}{μ} t exp^{-μt} -\frac{1}{μ^2} e^{-μt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{μ}\)

計算できましたね。

公式暗記不要で、自力で導出できます！

まとめ

「MTTF、MTBFとMTTRが導出できる」を解説しました。

• ①MTTF,MTBFとMTTR
• ➁MTTF,MTBFの導出ができる
• ➂MTTRの導出ができる

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃不完全修理系を学ぶ

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その3の「完全修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「不完全修理系」を解説します！

➃不完全修理系を学ぶ

例題

不完全系は式がややこしいので、状態は0,1,2だけとします。

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

各要素の故障率は、故障と修復の関係を式に書けばＯＫです。
●\(P_0(t+dt)\)=\(P_0(t)\)-(\(λ_1 P_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_1(t+dt)\)=\(P_1(t)\)-(\(λ_2 P_1 dt\))+(\(λ_1 P_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_2(t+dt)\)=\(P_2(t)\) +(\(λ_2 P_1 dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=-\(λ_1 P_0\)+\(μP_1\)
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(λ_1 P_0\)-(\(λ_2 P_1 \)+\(μP_1 \))
\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=\(λ_2 P_1 \)

微分方程式になりましたね！

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=1,2\))
\(P_0(t)\)+ \(P_1(t)\)+…+\(P_2(t)\)=1

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

実際にラプラス変換すると、
●\(sP_0-P_0(0)\)=-\(λ_1 P_0 \)+\(μP_1 \)
●\(sP_1\)=\(λ_1 P_0 \)-(\(λ_2 P_1 \)+\(μP_1 \))
●\(sP_2\)= \(λ_2 P_1 \)

まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)

綺麗まとまりましたが、
ここで１つ困ったことがありまして、

\(\frac{1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)が綺麗に
\(\frac{1}{(s+a)}- \frac{1}{(s+b)}\)と定数\(a,b\)が整数になりません。

2次方程式
\((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ\)=0
の\(s\)の解が\(\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)の√が入ったままで計算しないといけません。

なので、文字でおいて解を求める事にします。

文字でおいて解を求める

まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
から、

●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{A}{s+α}\)-\(\frac{B}{s+β}\)
と、定数\(A,B,α,β\)を置きます。

●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{C}{s+α}\)-\(\frac{D}{s+β}\)
と、定数\(C,D,α,β\)を置きます。

●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
の分母は\(s\)の３次式なので、
=\(\frac{E}{s+γ}\)-\(\frac{F}{s+δ}\)-\(\frac{G}{s+ε}\)
と、定数\(E,F,G,γ,δ,ε\)を置きます。

逆ラプラス変換すると

●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{A}{s+α}\)-\(\frac{B}{s+β}\)
より、
\(P_0(t)\)=\(A e^{-αt}\)-\(B e^{-βt}\)
となります。

●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{C}{s+α}\)-\(\frac{D}{s+β}\)
より、
\(P_1(t)\)=\(C e^{-αt}\)-\(D e^{-βt}\)
となります。

●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
=\(\frac{E}{s+γ}\)-\(\frac{F}{s+δ}\)-\(\frac{G}{s+ε}\)
より、
\(P_2(t)\)=\(E e^{-γt}\)-\(F e^{-δt}\)-\(G e^{-εt}\)
となります。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(不完全修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃不完全修理系を学ぶ

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃完全修理系を学ぶ

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

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①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その3の「完全修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「完全修理系」を解説します！

➃完全修理系を学ぶ

例題

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

各要素の故障率は、故障と修復の関係を式に書けばＯＫです。
●\(P_0(t+dt)\)=\(P_0(t)\)-(\(λP_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_1(t+dt)\)=\(P_1(t)\)-(\(λP_1 dt\)-\(μP_2 dt\))+(\(λP_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
…
●\(P_i(t+dt)\)=\(P_i(t)\)-(\(λP_i dt\)-\(μP_{i+1} dt\))+(\(λP_{i-1} dt\)-\(μP_i dt\))
…
●\(P_n(t+dt)\)=\(P_n(t)\) +(\(λP_{n-1} dt\)-\(μP_n dt\))

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=-(\(λP_0\)-\(μP_1\)
\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=-(\(λP_1\)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
\(\displaystyle \frac{dP_i}{dt} \)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=(\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

微分方程式になりましたね！

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=2,…n\))
\(P_0(t)\)+ \(P_1(t)\)+…+\(P_n(t)\)=1

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

実際にラプラス変換すると、
●\(sP_0-P_0(0)\)=-(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
●\(sP_1\)=(\(λP_1 \)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
●\(sP_i\)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
●\(sP_n\)= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

ここで１つ困ったことがありまして、

●\(sP_0-P_0(0)\)=-(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
●\(sP_1\)=(\(λP_1 \)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
●\(sP_i\)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
●\(sP_n\)= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))
を全部足すと
\(s(P_1+P_2+…+P_n)\)=\(P_0(0)\)=1
までは解けますが、そこから先は難しいです。

平衡状態って？

つまり、
0=-(\(λP_0\)-\(μP_1\)
0=-(\(λP_1\)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
0=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
0= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

これを解くと、
\(P_1\)=\(\frac{λ}{μ}P_0\)
\(P_2\)=\(\frac{λ}{μ}P_1\)=\((\frac{λ}{μ})^2 P_0\)
…
\(P_n\)=\(\frac{λ}{μ}P_{n-1}\)=\((\frac{λ}{μ})^{n-1} P_0\)
となります。

まとめると
\(P_1\)+\(P_2\)+…+\(P_n\)=(\(\frac{λ}{μ}\)+\((\frac{λ}{μ})^2\)+…+\((\frac{λ}{μ})^{n-1} \))P_0=1
となるので、等比数列の和の公式から

\(P_0\)=\(\frac{1-\frac{μ}{λ}}{(\frac{λ}{μ})^n -1}\)
\(P_n\)=\(\frac{1-\frac{μ}{λ}}{(\frac{λ}{μ})^n -1} (\frac{λ}{μ})^{n-1}\)
となります。

各要素の故障率\(P_n(t)\)が求まりました。

) \(λ_i\)と\(μ_i\)はどちらが大きくないといけないか？

計算してわかったことは、

そのためには、λ　> μ　でないといけませんね。

完全修理系における平衡状態の故障率が計算できました。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(完全修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃完全修理系を学ぶ

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃非修理系を学ぶ

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①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その１の「非修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「非修理系」を解説します！

➃非修理系を学ぶ

例題

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

1つ丁寧に考えます。
\(P_0(t)\)は状態が0の場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_0(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態0のままの確率⇒\(P_0(t+dt)\)
●(B)状態1に移動する確率⇒\(μ_0 P_0(t)dt\)
の2つがあるので、
\(P_0(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_0(t+dt)\)= \(P_0(t)\)-\(μ_0 P_0(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=-\(μ_0 P_0(t)\)
微分方程式になりましたね！

もう１つ丁寧に考えます。
\(P_1(t)\)は状態が1の場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_1(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態1のままの確率⇒\(P_1(t+dt)\)
●(B)状態0から移動する確率⇒\(μ_0 P_0(t)dt\)
●(C)状態2に移動する確率⇒\(μ_1 P_1(t)dt\)
の3つがあるので、
\(P_1(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_1(t+dt)\)= \(P_1(t)\)+\(μ_0 P_0(t)dt\)-\(μ_1 P_1(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1P_1(t)\)
微分方程式になりましたね！

この式は\(i=1,…,n-1\)で同様となります。図で言うと端でない真ん中のところです。

そして、さいごの\(n\)も丁寧に考えます。
\(P_n(t)\)は状態がnの場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_n(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態1のままの確率⇒\(P_n(t)\)
●(A)状態\(n-1\)から来る確率⇒\(μ_{n-1} P_{n-1}(t)dt\)
の2つだけです。図では端にあるので、ちょっと式が異なります。
\(P_n(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_n(t+dt)\)= \(P_n(t)\)- \(μ_{n-1} P_{n-1}(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=\(-μ_{n-1}P_{n-1}(t)\)
微分方程式になりましたね！

以上まとめると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(-μ_0 P_0(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1 P_1(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_{n-1}}{dt} \)=\(μ_{n-2} P_{n-2}(t)\)-\(μ_{n-1} P_{n-1}(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=\(-μ_{n-1}P_{n-1}(t)\)

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=1,…n\))

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

\(P_0(t)\)を計算しましょう。
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(-μ_0 P_0(t)\)をラプラス変換すると
\(sP_0-P_0(0)\)= \(-μ_0 P_0\)
\(P_0\)=\(\frac{1}{s+μ}\)
逆ラプラス変換すると、
\(P_0(t)\)=\(e^{-μ_0t}\)

\(P_1(t)\)を計算しましょう。
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1 P_1(t)\)をラプラス変換すると
\(sP_1-P_1(0)\)= \(μ_0 P_0\) -\(μ_1 P_1\)
\(P_1\)=\(\frac{μ_0 P_0}{s+μ_1}\)
\(P_1\)=\(μ_0 \frac{1}{s+μ_0}\frac{1}{s+μ_1}\)
\(P_1\)=\(μ_0 \frac{1}{μ_1-μ_0}(\frac{1}{s+μ_0}-\frac{1}{s+μ_1})\)
逆ラプラス変換すると、
\(P_1(t)\)=\( \frac{μ}{μ_1-μ_0}(e^{-μ_0t}-e^{-μ_1t})\)

と言う感じで解けます。

i=2以上は複雑なので割愛しますが、同じ解法で解けます。是非やってみてください。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃非修理系を学ぶ

信頼性工学

「多数決系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①多数決系とは
• ➁多数決系は二項定理が必要
• ➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)
• ➃多数決系の平均寿命

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①多数決系とは

多数決系とは

多数決系とは

多数決系では、例えば、
●電圧V₀の電源をn個直列につないだ系があり、全体でm V₀以上の電圧があればＯＫとする場合、
●5本のボルトによる継手があり、そのうち2本が破断しても必要な強度が確保できる場合
など、並列系より細かく信頼度を設定したい場合に使うのが多数決系です。

➁多数決系は二項定理が必要

多数決系の信頼度Rの考え方

多数決系の信頼度Rをどうやって定義するかですが、

1. 故障確率がある
2. n個中、mは正常動作
3. n個中、n個は故障

となる確率を計算すればよいので、二項定理が必要です。

つまり、\(n\)個のうち、\(k\)個が故障せず、残りの\(n-k\)個が故障する確率を多数決系全体の信頼度\(R_s\)とすると、

二項定理の式はＱＣで頻出！

この式は、

1. 組み合わせの確率
2. 二項定理
3. 抜取検査(OC曲線)

に出て来ますね。必ずマスターしましょう。

➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)

多数決系の信頼度

先程の定義式から、具体的に計算してみましょう。

\(n=3\),\(k=2\)の場合

\(R_s\)=\(\sum_{i=k}^{n} {}_n C_i R_c^i (1-R_c)^{n-i}\)
=\(\sum_{i=2}^{3} {}_3 C_i R_c^i (1-R_c)^{3-i}\)
=\( {}_3 C_2 R_c^2 (1-R_c)\)+\( {}_3 C_3 R_c^3 \)
=\(3R_c^2 -2R_c^3\)

信頼度の比較(多数決系VS並列系)

多数決系も並列系も、ある意味、冗長系です。
どっちが良いのか？比較したいですよね！

具体的に計算して比較しましょう。

並列系の場合

\(R_s1\)=1-\((1-R)^2\)より、
=\(2R-R^2\)

多数決系\(n=5\)の場合

\(R_s2\)=\(\sum_{i=k}^{5} {}_5 C_i R_c^i (1-R_c)^{5-i}\)より
\(i=1\)から5まで順に代入しましょう。

具体的には、
\(R_s(0)\)=\((1-R)^5\)
\(R_s(1)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)
\(R_s(2)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)
\(R_s(3)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)
\(R_s(4)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)+\(5R^4 (1-R)\)
\(R_s(5)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)+\(5R^4 (1-R)\)+\(R^5\)

式が長いのでこのままExcelでグラフ化しましょう。

比較すると、

だから、

なので、多数決系は並列系で表現しにくい場合に使うと考えましょう。

多数決系では、例えば、
●電圧V₀の電源をn個直列につないだ系があり、全体でm V₀以上の電圧があればＯＫとする場合、
●5本のボルトによる継手があり、そのうち2本が破断しても必要な強度が確保できる場合
など、並列系より細かく信頼度を設定したい場合に使うのが多数決系です。

➃多数決系の平均寿命

ついでに、平均寿命μも計算しましょう。

平均寿命の計算例

\(n=3\),\(k=2\)の場合

\(R_s\)=\( 3R^2 -2R^3\)
を使います。

確率密度関数\(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR_s}{dt} \)で、
\(R(t)\)=\(e^{-λt}\)と指数分布としましょう。

\(f(t)\)=\(6R^2 f -6Rf\)

平均寿命μは、
μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f(t) dt\)より

μ=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} t (6R^2 f- 6Rf) dt\)
=\(6λ　\displaystyle \int_{0}^{∞} t(e^{-2λt}-e^{-3λt})\)
=\(\frac{5}{6} \frac{1}{λ}\)

となります。多数決系でも平均寿命は積分で計算できます。

まとめ

「多数決系の信頼性・故障率がわかる」を解説しました。

• ①多数決系とは
• ➁多数決系は二項定理が必要
• ➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)
• ➃多数決系の平均寿命

信頼性工学