直列系のアベイラビリティがよくわかる
「直列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①アベイラビリティ
- ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
- ➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
- ➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
- ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える
①アベイラビリティとは
アベイラビリティとは
信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。
動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。
アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！
結局、
になりますが、暗記より導出が大事！
それと、
A(t⇒∞)=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
ばかり試験や教科書しか出ないので、みんなこれを丸暗記して簡単と思ってしまう！
ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。
アベイラビリティを公式暗記するリスク
単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、直列系、並列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。
アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。
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➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
本記事では、次の例題を使って、直列系のアベイラビリティを解説します。
- 直列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
- 直列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
- 直列系のメリットをアベイラビリティから理解する
なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。
直列系のアベイラビリティを考える例題
下図のシャント線図で、各状態を定義する。
●\(S_0\)：故障しない(故障数0)の場合、またその確率を\(P_0\)とする。
●\(S_i\)(\(i=1,…,n\))：要素\(i\)が故障の場合、またその確率を\(P_i\)とする。
直列系では、ある要素\(i\)が故障の場合、その修理中他の要素は停止させるとする。
当然、\(P_0+P_1+…+P_n=1\)である。
さらに、故障率\(λ_i\)、修理率\(μ_i\)を下図のシャント線図のように定義する。
(1) 連立微分方程式を作れ
(2) 定常状態(t⇒∞)における、各状態の確率\(P_i\)とアベイラビリティ\(A\)を計算せよ。
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=…=P_i(0)=…=P_n(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
(4) 直列系にするメリットは何か？アベイラビリティの値から考えよ。
各問は以下でそれぞれ解説します。
- ①アベイラビリティ
- ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
⇒(1)を解説 - ➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
⇒(2)を解説 - ➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
⇒(3)を解説 - ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える
⇒(4)を解説
信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。
- シャント線図、微分方程式の導出
- ラプラス変換の基本
- MTTF,MTBF,MTTRの導出方法
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連立微分方程式を作る
シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。
直列系なので、どれか１つが故障すると、すべてが動作停止となるため、
1：動作中
2：停止中
の２つしかありません。だから、左が\(S_0\)、右が\(S_i\)となります。
なお、どの要素で故障するかわからないので、右の状態が\(i=1,2,…,n\)と縦に並列しています。
●微分方程式は下のようになります。
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
また、当然ですけど、全確率の和は１なので
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)
初期条件は決まっている
\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\),…,\(P_n (0)=0\)です。
では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。
➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,…,n)です。
よって計算できます。
0=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
0=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
0=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
0=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)
解くと、
●\(P_i\)=\(\frac{λ_i}{μ_i} P_0\) (\(i=1,2,…,n\))
●\(P_0+P_1+…+P_2=1\)
から、
\(P_0+(\sum_{i=1}^{n})\frac{λ_i}{μ_i})P_0=1\)
よって、
\(P_i\)=\(\frac{\frac{λ_i}{μ_i}}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\) (\(i=1,2,…,n\))
となります。
また、アベイラビリティ\(A\)は
\(A\)=\(P_0\)と定義できす。
よって、
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
(2)もできました。
➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
問いを再掲
もう一度、問と微分方程式に戻ります。
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=…=P_i(0)=…=P_n(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)
で、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)としてよいので、微分方程式は
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( nλ P_0(t)\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)
ラプラス変換して解析
ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
●\(sP_1 \)=\(λP_0\) ―\(μP_1\)
…
●\(sP_i \)=\(λP_0\) ―\(μP_i\)
…
●\(sP_2 \)=\(λP_0\) ―\(μP_n\)
また、\( \sum_{i=1}^{n} P_i\)=\(1-P_0\)を使うと、\(P_0\)が簡単に計算できます。
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
\(sP_0 -1\)=―\( nλ P_0\)+\( μ(1-P_0)\)
\(P_0\)=\(\frac{μ+1}{s+nλ+μ}\)
そして、\(P_i\)は
●\(sP_i \)=\(\frac{λ}{s+μ}P_0\)
=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)
●\(P_0\)=\(\frac{μ+1}{s+nλ+μ}\)
●\(sP_i \)=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)
逆ラプラス変換する
ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。
よって、
●\(sP_i \)=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)
=\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+μ}\)―\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+nλ+μ}\)
確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析
逆ラプラス変換すると
●\(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
●\(P_i (t)\)=\( \frac{μ+1}{n} e^{-μt}\)―\( \frac{μ+1}{n} e^{-(nλ+μ)t}\)
計算は正しいですが、\(P_0 (t)\)=1でなく、\(μ+1\)とずれます。これは今後課題解決します！
とにかく、解き方は並列系と同じ流れで解けることを理解しましょう。
アベイラビリティA(t)は
\(A\)=\(P_0\)と定義できす。
よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
(3)の答えをまとめると、
●\(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
●\(P_i (t)\)=\( \frac{μ+1}{n} e^{-μt}\)―\( \frac{μ+1}{n} e^{-(nλ+μ)t}\)
◎\(A(t)\) =\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
できましたね。
➃直列系のメリットをアベイラビリティから考える
問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。
(4) 直列系にするメリットは何か？アベイラビリティの値から考えよ。
直列系をアベイラビリティから考える
(2)の解で定常状態のアベイラビリティ\(A\)は
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
見やすくするために、\(λ_i\)=\(λ\)、\(μ_i\)=\(μ\)とおくと、
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
=\(\frac{1}{1+n \frac{λ}{μ} }\)
となり、
アベイラビリティAは低下します。
直列系ですから、１つでも故障すると全体が動作できません。それだけ、故障リスクが増大するため、アベイラビリティが低下することとつながっていますね。
直列系のメリットよりかは、デメリットがアベイラビリティからもよく理解できました。
まとめ
「直列系のアベイラビリティがよくわかる」を解説しました。
- ①アベイラビリティ
- ➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
- ➂直列系のアベイラビリティA(t)を導出
- ➃直列系のアベイラビリティA(∞)を計算
- ➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119