【必読】アベイラビリティがよくわかる
「アベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①アベイラビリティとは
- ➁アベイラビリティの導出
- ➂アベイラビリティの注意点
①アベイラビリティとは
アベイラビリティとは
信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。
動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。
アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！
結局、
になりますが、暗記より導出が大事！
それと、
A(t⇒∞)=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
ばかり試験や教科書しか出ないので、みんなこれを丸暗記して簡単と思ってしまう！
ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。
アベイラビリティを公式暗記するリスク
単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。
➁アベイラビリティの導出
公式暗記で点数稼ぎは短期的には効果がありますが、本質を理解していないのでマズイ！
1つの系で2つの初期条件の場合から、時間の関数であるアベイラビリティA(t)を作ってみましょう。3つの流れで進めていきます。
- 基礎要素からモデル式を作る
- ２つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算
- アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか？
なお、わかりすくするため、指数分布について解説します。
また、次の3つの関連記事で導出の基本を解説しています。確認ください。
- シャント線図、微分方程式の導出
- ラプラス変換の基本
- MTTF,MTBF,MTTRの導出方法
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(i) 基礎要素からモデル式を作る
次のような修理を伴う要素を考えます。シャント線図を描きます。
\(S_0\)は正常状態、\(S_1\)は故障状態、λは故障率、μは修理率とします。
ある時刻tにおいて、系が正常状態\(S_0\)、故障状態\(S_1\)である確率を\(P_0(t)\),\(P_1(t)\)とすると、次の微分方程式が作れます。
微分方程式の作り方は上の関連記事で解説しています。
●モデル式
\(P_0 (t+Δ)\)= \(P_0 (t)\)―\(P_0(t)λΔt\)+\(P_1(t)μΔt\)
\(P_1 (t+Δ)\)= \(P_1 (t)\)+\(P_0(t)λΔt\)―\(P_1(t)μΔt\)
から
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λP_0(t)\)+\(μP_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_1(t)\)
(ii) ２つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算
２つの初期条件とは、
(A) 時刻t=0で系は正常状態⇒\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\)の場合
(B) 時刻t=0で系は故障状態⇒\(P_0 (0)=0\),\(P_1 (0)=1\)の場合
では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。
(A) 時刻t=0で系は正常状態の場合
ラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。
初期条件を代入して、
\(sP_0 -1\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1\)=\(λP_0 ―μP_1\)
この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{s+μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)―\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。
\(A(t)\)= \( P_0(t)\)となります。よって、
\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
(B) 時刻t=0で系は故障状態の場合
同様にラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。
初期条件を代入して、
\(sP_0 \)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1-1\)=\(λP_0 ―μP_1\)
この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{s+λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)+\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。
\(A(t)\)= \( P_0(t)\)となります。よって、
\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
(iii) アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか？
(ii)で2通りのアベイラビリティを計算しました。
(i)\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
(ii)\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
グラフを描いてみましょう。
時刻t=0の状態は0,1と異なりますが、時間が経過すると１点に収束しているのがわかります。しかも、
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
と、 \(\frac{μ}{μ+λ}\)に収束していますね。
しかも、
と公式と一致しています。
だから、結果だけ公式暗記してもよいですが、
応用を利かすために導出方法も理解しておきましょう。
➂アベイラビリティの注意点
アベイラビリティは万能ではなく、次の注意点が必要です。
故障のしやすさ、しにくさは区別できない。
例をあげます。
故障頻度は測れない
短期間で故障が頻発しても、復旧が速いと、アベイラビリティは高いと判断する場合があります。
まとめ
「アベイラビリティがよくわかる」を解説しました。
- ①アベイラビリティとは
- ➁アベイラビリティの導出
- ➂アベイラビリティの注意点
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119