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【必読】アベイラビリティがよくわかる

信頼性工学

「アベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

アベイラビリティがよくわかる
  • ①アベイラビリティとは
  • ➁アベイラビリティの導出
  • ➂アベイラビリティの注意点

①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティA = \(\frac{アップタイムU}{アップタイムU+ダウンタイムD}\)

信頼性工学

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな!

結局、

A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
になりますが、暗記より導出が大事!

それと、

アベイラビリティAは時間\(t\)の関数であるが、
A(t⇒∞)=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
ばかり試験や教科書しか出ないので、みんなこれを丸暗記して簡単と思ってしまう!

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、並列系、直列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。導出方法がわかれば、どんな系でもアベイラビリティは導出できます。

➁アベイラビリティの導出

公式暗記で点数稼ぎは短期的には効果がありますが、本質を理解していないのでマズイ!

1つの系で2つの初期条件の場合から、時間の関数であるアベイラビリティA(t)を作ってみましょう。3つの流れで進めていきます。

  1. 基礎要素からモデル式を作る
  2. 2つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算
  3. アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか?

なお、わかりすくするため、指数分布について解説します。

また、次の3つの関連記事で導出の基本を解説しています。確認ください。

  1. シャント線図、微分方程式の導出
  2. ラプラス変換の基本
  3. MTTF,MTBF,MTTRの導出方法
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(i) 基礎要素からモデル式を作る

次のような修理を伴う要素を考えます。シャント線図を描きます。

信頼性工学

\(S_0\)は正常状態、\(S_1\)は故障状態、λは故障率、μは修理率とします。
ある時刻tにおいて、系が正常状態\(S_0\)、故障状態\(S_1\)である確率を\(P_0(t)\),\(P_1(t)\)とすると、次の微分方程式が作れます。

微分方程式の作り方は上の関連記事で解説しています。

●モデル式
\(P_0 (t+Δ)\)= \(P_0 (t)\)―\(P_0(t)λΔt\)+\(P_1(t)μΔt\)
\(P_1 (t+Δ)\)= \(P_1 (t)\)+\(P_0(t)λΔt\)―\(P_1(t)μΔt\)
から

●微分方程式
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\(λP_0(t)\)+\(μP_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_1(t)\)

(ii) 2つの初期条件でそれぞれアベイラビリティを計算

2つの初期条件とは、

●初期条件
(A) 時刻t=0で系は正常状態⇒\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\)の場合
(B) 時刻t=0で系は故障状態⇒\(P_0 (0)=0\),\(P_1 (0)=1\)の場合

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

(A) 時刻t=0で系は正常状態の場合

ラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。

初期条件を代入して、
\(sP_0 -1\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1\)=\(λP_0 ―μP_1\)

この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{s+μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)

ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)―\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。

アベイラビリティ\(A(t)\)は、時刻tにて稼働状態である確率なので、
\(A(t)\)= \( P_0(t)\)となります。よって、
\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

(B) 時刻t=0で系は故障状態の場合

同様にラプラス変換すると
\(sP_0 -P(0)\)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1 -P(1)\)=\(λP_0 ―μP_1\)
となります。

初期条件を代入して、
\(sP_0 \)=\(―λP_0 +μP_1\)
\(sP_1-1\)=\(λP_0 ―μP_1\)

この連立方程式を解くと、
●\( P_0\)=\(\frac{μ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)
●\( P_1\)=\(\frac{s+λ}{s(s+μ+λ)}\)
=\(\frac{λ}{μ+λ} \frac{1}{s}\)+\(\frac{μ}{μ+λ} \frac{1}{s+μ+λ}\)

ラプラス変換から元に戻すと、
●\( P_0(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
●\( P_1\)=\(\frac{λ}{μ+λ} \)+\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

次に、アベイラビリティ\(A(t)\)を考えます。

アベイラビリティ\(A(t)\)は、時刻tにて稼働状態である確率なので、
\(A(t)\)= \( P_0(t)\)となります。よって、
\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

(iii) アベイラビリティA(t)をA(t⇒∞)にするとどうなるか?

(ii)で2通りのアベイラビリティを計算しました。

アベイラビリティ\(A(t)\)は、時刻tにて稼働状態である確率なので、
(i)\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)
(ii)\(A(t)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)

グラフを描いてみましょう。

信頼性工学

時刻t=0の状態は0,1と異なりますが、時間が経過すると1点に収束しているのがわかります。しかも、
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)+\(\frac{λ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
\(A(t⇒∞)\)= \(\frac{μ}{μ+λ}\)―\(\frac{μ}{μ+λ} e^{-(μ+λ)t}\)⇒\(\frac{μ}{μ+λ}\)
と、 \(\frac{μ}{μ+λ}\)に収束していますね。

しかも、

A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\) \(\frac{μ}{μ+λ}\)
と公式と一致しています。

だから、結果だけ公式暗記してもよいですが、
応用を利かすために導出方法も理解しておきましょう。

➂アベイラビリティの注意点

アベイラビリティは万能ではなく、次の注意点が必要です。

アベイラビリティは同じでも、
故障のしやすさ、しにくさは区別できない。

例をあげます。

信頼性工学

アップとダウンの時間比は同じでも、
故障頻度は測れない

短期間で故障が頻発しても、復旧が速いと、アベイラビリティは高いと判断する場合があります。

指標は万能ではないので、よく吟味して評価しましょう。

まとめ

「アベイラビリティがよくわかる」を解説しました。

  • ①アベイラビリティとは
  • ➁アベイラビリティの導出
  • ➂アベイラビリティの注意点


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