カテゴリー:

「管理図の良書が無い」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

結論

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①良書のご紹介と解説

良書一覧

【1】管理図法―品質管理教程 (1962年) 【評価：◎】
【評価理由】管理図の使い方、事例、理論が最も詳しい。1962年、1986年版があるが、理論多めの1962年の方がベター。

【2】新編統計数値表　河出書房　1952 【評価：〇】
【評価理由】R管理図のd2,d3の導出過程を最も詳しく書いている。しかし、それでも導出の途中経過がわからない。その他多くの統計の数理が紹介されている。

【3】1回で合格!QC検定®2級テキスト&問題集【評価：〇】
【評価理由】使い方は理解できる。入門書としては良い。

【4】【新レベル表対応版】QC検定®受検テキスト1級 (品質管理検定集中講座[1])【評価：〇】
【評価理由】群内、群間変動、工程異常ルールなど管理図全体を網羅している。試験対策には必須。でも理論はわからない。QC検定®１級で管理図を使った問題が一番苦労するはず。

【5】管理図の作り方と活用 (新版QC入門講座) 日本規格協会【評価：△】
【評価理由】使い方は理解できるが、理論がわからない。ほとんどの教科書が、管理図の使い方ばかり説明なので、理論・本質が理解できず悩ましいです。

【6】管理図活用の基本と応用 管理図を見直そう　日本規格協会 1986【評価：△】
【評価理由】使い方は理解できるが、理論がわからない。ほとんどの教科書が、管理図の使い方ばかり説明なので、理論・本質が理解できず悩ましいです。

②良書だけでは不十分

関連記事、管理図でまとめましたが、管理図の理論や本質が教科書では十分わかりません。次の問いは教科書に十分書いていません。

1. 「管理図=シューハート管理図」と頭がセットされていませんか？
2. 管理図係数表の値の導出はできますか？
3. 管理図係数表の値はnが6以上でないと使えない理由は説明できますか？
4. 管理図係数表が計量値管理図しかない理由は説明できますか？
5. 管理図で、群内データnを∞にしたら管理図はどうなるか説明できますか？
6. 分散公式\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)と\(σ_\bar{x^2}\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)は導出できますか？
7. データを層別していったら、群内・群間変動は追って計算できますか？
8. JISにある異常判定ルールはどのように決まっているか説明できますか？
9. 第１種の誤り、第２種の誤りと管理図の管理限界との関係、検出力への影響が説明できますか？

これらを研究することで、管理図の理論・本質が理解できるようになります。

すべてＱＣプラネッツの記事に書いていますので、関連記事にて確認ください。

管理図

「管理図は簡単！公式暗記で管理限界求めるだけ！でも、管理図の理論や本質は全く分からない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①管理図を究めるのは難しい
• ②管理図を究める道
• ③管理図を究める関連記事の紹介

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図を究めるのは難しい

管理図の本質を確認する問い

管理図の理論は実はとても難しい

【あなたに問います】管理図について次の問いが答えられますか？

1. 「管理図=シューハート管理図」と頭がセットされていませんか？
2. 管理図係数表の値の導出はできますか？
3. 管理図係数表の値はnが6以上でないと使えない理由は説明できますか？
4. 管理図係数表が計量値管理図しかない理由は説明できますか？
5. 管理図で、群内データnを∞にしたら管理図はどうなるか説明できますか？
6. 分散公式\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)と\(σ_\bar{x^2}\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)は導出できますか？
7. データを層別していったら、群内・群間変動は追って計算できますか？
8. JISにある異常判定ルールはどのように決まっているか説明できますか？
9. 第１種の誤り、第２種の誤りと管理図の管理限界との関係、検出力への影響が説明できますか？
10. 実験計画法、検定・推定、χ2乗分布などと管理図を組み合わせた応用事例が解けますか？
11. 「X-Rs管理図」、「\(\bar{x_s}-Rs\)管理図」、「減点数の管理図」、「カイ2乗管理図」などの管理図は知っていますか？

管理図の本質をまとめるQCプラネッツの熱い思い

という思いで、管理図の本質にＱＣプラネッツが迫ります！

②管理図を究める道

本記事を併せて28記事をまとめました。管理図の本質をここまで書いたサイトや教科書は、無いでしょう。なお、管理図の教科書には載っていない内容ばかり解説しています。必読！です。

管理図の究め方

次の８つに分類できます。上から読んでいけば本質に迫れるようにまとめています。また、各分類に属す関連記事を紹介します。

1. 管理図の導入
2. 管理図係数表を導出
3. 群内・群間変動を分割
4. 工程異常判定ルールを考える
5. 検出力を管理図で考える
6. 管理図以外の単元と組み合わせた応用事例
7. 特殊な管理図
8. 管理図に関する良書

③管理図を究める関連記事の紹介

(1)管理図の導入

ここでは、3記事を紹介します。

●管理図の種類を特定する頻出問題を紹介します。試験対策用です。これだけやれば大丈夫なレベルになります。

【必読】管理図の種類を特定する36問 各データをどんな管理図で管理すればよいか？答えられますか？ 本記事では36問用意しました。十分な演習問題を解いて力をつけましょう。管理図をマスターしたい方は必見です。

●「管理図＝シューハート管理図」と思い込んでいませんか？管理図は本来自分で考えるものです。試験勉強に染まると、シューハート管理図に突っ込んでいってしまいます。

【注意】管理図はシューハートの管理図だけではない 管理図を勉強すると、管理限界、UCL、LCL、管理図の種類、郡内変動と群間変動、σの推定値などを身に着けます。しかし、シューハート管理図ばかり教科書やQC検定®に取り上げられるため、自分で考える管理図を意識しようとしません。シューハート管理図のデメリットをよく知って、自分で管理図を設計できるようになりましょう。

●「管理図は使えない、役に立たない、使い道がない」と思ったときに、読んでください。管理図の使い方の注意点をまとめました。

管理図は「使えない、役に立たない、使い道がない」と思ったら読むべき記事 管理図は使えない、役に立たない、使い道がないと思っていませんか？そう思う原因とその対応策について解説しました。管理図の使い方や実務でうまく活用うるポイントをまとめました。管理図をマスターしたい方は必見です。

(2)管理図係数表を導出

ここでは、7記事を紹介します。そろそろ表や数値を使うだけの勉強は卒業しましょう。数値や式は導出して理解するのが最も重要ですよ。

●計量値管理図の係数値の変数の導出をまとめました。変な式が多く、導出が困難な印象を受けますね。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

●計数値管理図の係数表一覧を作りました。JISのハンドブックまで戻らなくてもすぐ見えるようにしました。

【試験対策】シューハート管理図の管理線公式と係数表を確認する シューハートの管理図の中心・管理限界公式と、係数表をまとめました。大学の試験やQC検定®対策に活用ください。１つの表で全パターンを見やすくまとめました。

●s管理図の係数c4と管理限界の導出を解説します。χ2乗分布、平方和、正規分布の関係から完璧に導出できます。

【必読】s管理図の変数c4と管理限界の導出がわかる s管理図の管理限界を求めるc4と管理限界値の導出を解説します。χ2乗分布、平方和、標準偏差の関係式を使って、意外と簡単に係数c4が導出できます。さらに、標準偏差と不偏標準偏差によって、若干式が異なる点も詳しく解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●R管理図の係数d2,d3の導出を解説します。これは、完璧な導出ができなかったのですが、わかったところまで解説します。こんな難解すぎて正しいかどうかわからない係数は使いたくないですね。また、範囲Ｒ自体が「絶対値」という不自然な値だから導出が難しいのです。

【必読】R管理図の変数d2,d3の導出が(半分)わかる R管理図の係数d2,d3はどうやって求めるか説明できますか？本記事では、範囲Rの確率密度関数を順序統計量の同時分布を使って導出し、途中までですが、d2,d3の導出方法を解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●「管理図係数値はnが6以上でないと使えない」を暗記ではなく、理由が説明できるようになってください。係数が負だからです。計算して確認したら、説明できるようになるはずです。

管理図係数値でnが6以上でないと使えない係数がある理由がわかる 計量値管理図の管理限界を求める係数で「-」となるものがあります。この理由が説明できますか？ 本記事では「-」となる理由を解説します。管理図をマスターする上で必読な記事です。

●管理図の群内データ数nを∞に持って行ったら管理図はどうなるか？考えてみましょう。nの極限値をみることで、nと係数値の関係が妥当なのか？チェックできるからです。

管理図の各係数値の極限値(n⇒∞)がわかる 管理図の各係数値の極限値(n⇒∞)がいくらになるかわかりますか？ 本記事では、管理図の係数値のnによる変化を理解して、扱う管理図の特性を理解できるように解説しています。管理図をマスターしたい方は必見です。

●計量値管理図は2種類、計数値管理図は１種類管理図があります。種類が違い理由は説明できますか?計数値管理図にＲ管理図やs管理図が必要なケースを考えてみてください。いい勉強になります。

【本記事限定】計数値データにR管理図やs管理図が必要な場合がある 管理図では、計量値データは2種類の管理図、計数値データは1種類の管理図と教科書ではよく書いていますが、本当でしょうか？本記事では、計数値データでも2種類の管理図が必要な場合を解説します。教科書丸暗記せず自分で考える習慣が重要です。

(3)群内・群間変動を分割

ここでは、2記事を紹介します。

●群内変動、群間変動の分割公式を導出します。公式暗記せず、導出が理解を早めます。

【必読】管理図の分散σ(x)とσ(xbar)の違いがわかる(群内変動と群間変動) 管理図において、群内変動と群間変動の分散の導出方法がわかりますか？ 本記事では、Xbarの分散公式とXの分散公式の違いや、公式の導出方法を平方和、実験計画法を活用して導出します。単なる公式の丸暗記に頼らず自力導出できることが重要です。

●QC検定®1級対策用です。１級の群内変動、群間変動の分割問題は良問ではありませんが、試験合格が目的なので、それに対応した演習問題を紹介します。

【必読】計量値管理図の群内変動と群間変動の分散が推定できる R管理図から群内変動と群間変動の分散が推定できますか？本記事では、群内変動と群間変動の分散を導出する方法を詳細に解説します。管理図をマスターしたい方、QC検定®１級合格したい方は必見です。

(4)工程異常判定ルールを考える

ここでは、2記事を紹介します。連、傾向など８つの異常判定ルールがJISにあります。しかし、なぜ、それらが異常と言えるのか？理由を説明できますか？本来は、工程管理対象の特徴に合わせて異常判定を設定すべきです。

●異常ルールはJISに頼る前に、自分で考える必要があります。異常判定条件の考え方をまとめました。

【重要】管理図の異常判定ルールは自分で設計すべき(JISに頼るな!) 管理図の異常判定ルールは8種類ありますが、各々のルールである理由を説明できますか？本記事では、JISでも、自力でも異常判定ルールを考えるヒントを解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●「工程が管理状態であり、σ=0」とよく教科書に書いています。この状態を管理図で表現するとどうなるか？を解説しました。理想的な管理状態を管理図で見ておくことは重要です。

管理図で「工程が管理状態である」がわかる 管理図にて、「工程が管理状態である」とはどんな図になるのか？説明できますか？ 本記事では、暗記に頼らず、データの分散から管理状態を想定したデータを考え、そのデータの管理図を作成する流れを解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

(5)検出力を管理図で考える

ここでは、2記事を紹介します。管理限界は基本的には正規分布の±3σの点です。ここから第１種の誤り、第２種の誤り、検出力を確認することができます。

●管理図で第１種の誤りと第２種の誤り、検出力の関係と求め方を解説します。

【必読】管理図の第1種の誤りと第2種の誤り(検出力)がわかる 管理図において、第1種の誤り、第２種の誤り、検出力の関係について説明できますか？本記事では、管理図から、第1種の誤り、第２種の誤り、検出力を求める方法を詳細に解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●工程変化と検出力の関係をＯＣ曲線で表現することができます。抜取検査の主役であるＯＣ曲線が管理図でも出て来ます！

工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できる 管理図の管理限界と工程管理の検出力の関係が説明できますか？本記事では正規分布を活用して、工程管理の変化による検出力の影響を解説します。管理図とOC曲線と正規分布を使った応用事例です。管理図をマスターしたい方は必見です。

(6)管理図以外の単元と組み合わせた応用事例

ここでは、6記事を紹介します。

●R管理図で範囲Rの平均差の検定できることを解説します。平均差の検定はt分布を使いますが、正規分布でも検定ができることも解説します。

R管理図で範囲Rの平均差の検定ができる R管理図を用いて、母平均差の検定について解説します。t分布を使った検定方法と、古書にあるF検定を使った検定方法を解説します。管理図、検定・推定を組み合わせた応用事例です。管理図も検定・推定もマスターしたい方は必見です。

●u管理図の欠点数の差の検定を解説します。正規分布、管理図、検定・推定を組み合わせた応用事例を解説します。

u管理図の欠点数の差の検定ができる u管理図を用いて、欠点数の差の検定について解説します。正規分布を使った検定方法を解説します。管理図、検定・推定を組み合わせた応用事例です。管理図も検定・推定もマスターしたい方は必見です。

●管理図の平均値Xbarの差の検定を解説します。差の検定はt分布を使いますが、正規分布でも使えることを解説します。

管理図の平均値Xbarの差の検定ができる Xbar管理図を用いて、母平均差の検定について解説します。t分布を使った検定方法と、古書にある正規分布と管理図係数を使った検定方法を解説します。管理図、検定・推定を組み合わせた応用事例です。管理図も検定・推定もマスターしたい方は必見です。

●2つのデータを組み合わせた場合の管理図を考えます。分散の加法性と管理限界の関係性を解説します。

2つのデータを管理図にするときの注意点(分散の加法性と検出力のバランス） 2つのデータを和、差して合成したデータを管理図に入れるとき、何に注意すればよいか説明できますか？ 本記事では、確率分布に従うデータの合成後の管理図の作り方について解説します。管理限界と3σの関係、データ合成後の検出力の影響などがわかります。管理図をマスターしたい方は必見です。

●p管理図から不良率の差を検定します。管理図、正規分布、χ2乗分布を組み合わせた応用事例を解説します。

p管理図の不良率の差の検定ができる p管理図を用いて、不良率の差の検定について解説します。正規分布を使った検定方法と、χ2乗分布を使った検定方法を解説します。管理図、検定・推定を組み合わせた応用事例です。管理図も検定・推定もマスターしたい方は必見です。

●工程管理を改善すると管理図のグラフは変化します。それ同時に、各因子・効果の変動がどの程度変化するかを実験計画法・分散分析を使って数値化します。管理図と実験計画法を使った応用事例を解説します。

【必読】管理図と実験計画法を使ってばらつき低減効果を確認する データのばらつき低減効果と管理図の変化について解説します。管理図と実験計画法(三元配置実験)を使った応用問題として本記事を読むと理解が深まります。管理図と実験計画法をマスターしたい方は必見です。

ここまで読めば、かなり管理図の応用力がつきますね。

(7)特殊な管理図

ここでは、4記事を紹介します。

●X-Rs管理図を解説します。ＱＣ検定®１級では、過去に１回だけ出題されるくらいのレアですが、データが１つしかない場合の範囲Ｒをどう計算するかが注目ポイントです。

【必読】X-Rs管理図が作れる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべ

●移動平均と移動範囲の管理図を解説します。レアな管理図ですが、QCプラネッツはここまで広く深く解説します！

移動平均と移動範囲の管理図(xs-Rs管理図)がわかる 移動平均と移動範囲の管理図を解説します。特殊な管理図ですが、Xbar-R管理図との違い、xs-Rs管理図の描き方を解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●減点数の管理図の作り方を解説します。p管理図やnp管理図のように「不良」、「良」の２択ではなく、3択以上の複数の選択がある場合に活用する管理図です。レアな管理図ですが、QCプラネッツはここまで広く深く解説します！

減点数の管理図の作り方がわかる(ポアソン分布、分散の加法性) 欠点数を管理する場合、複数の区分で評価することが多いです。その場合、ポアソン分布と、分散の加法性を使いながら、管理図を作る方法を解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●「χ2乗管理図」って聞いたことがありますか？あるんです！np管理図やp管理図のように、「不良」、「良」の2択ではなく、3つ以上の選択がある場合、まとめて工程管理図を作る場合に考えたのがカイ2乗管理図です。レアな管理図ですが、QCプラネッツはここまで広く深く解説します！

カイ2乗管理図がわかる カイ2乗管理図があるのをご存じですか？pn管理図やp管理図のように、「不良」、「良」の2択ではなく、3つ以上の選択がある場合、まとめて工程管理図を作る場合に考えらたのがカイ2乗管理図です。管理図をマスターしたい方は必見です。

(8)管理図に関する良書

良書を紹介します。

管理図の良書の紹介(QCプラネッツを読む方がベター) 管理図に関する良書を紹介します。ですが、良書が少ない、少なぎる。近年の教科書は管理図の描き方しか解説しておらず、係数の値の導出、群内・群間分散の導出などを詳しく解説した書物がありません。そこで、QCプラネッツでは、管理図の理論や本質をしっかり解説しています。

以上、(1)～(8)の計27記事を紹介しました。これを全部理解すれば、日本で最も管理図が詳しいレベルにすぐ到達できます。必読です！公式暗記で済ませる管理図からさよならしてください。

まとめ

管理図の究め方について解説しました。

• ①管理図を究めるのは難しい
• ②管理図を究める道
• ③管理図を究める関連記事の紹介

管理図

「カイ2乗管理図って何？」と困っていませんか？　マニアックすぎて困ってない？　でもあるんです！紹介しますね。

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

と思いますが、あることはあります。折角なので解説します！必見ですよ！

• ①カイ２乗管理図とは
• ②カイ２乗管理図の描き方
• ③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①カイ２乗管理図とは

カイ２乗管理図がなぜ必要？

元々はp管理図やnp管理図で不良品、良品を管理しますが、「良か不良か」の2択しかありません。

中には、2択以上の複数選択をした管理図を作りたいニーズもあるでしょう。これをかなえるために作られたのが、カイ２乗管理図です。

カイ２乗管理図の数理

いろいろ疑問に思うでしょう。１つずつ解説します。

カイ２乗の式使うの？

次の式を使います。
●\(χ^2\)=\(\sum \frac{(実測値―期待値)^2}{期待値}\)

具体的に4つの階級がある場合は、
●\(χ^2\)=\(\frac{(r_A-\bar{r_A})^2}{\bar{r_A}}\)+\(\frac{(r_B-\bar{r_B})^2}{\bar{r_B}}\)
+\(\frac{(r_C-\bar{r_C})^2}{\bar{r_C}}\)+\(\frac{(r_D-\bar{r_D})^2}{\bar{r_D}}\)
となります。

中心、管理限界のCL,LCL,UCLはどう決めるの？

χ2乗分布と確率について下図のとおりです。

χ2乗分布表にて、自由度と確率点をみれば、χ2の値がわかります。
ただし、0.0027点や、1-0.0027点はχ2乗分布表では読み取れません。

Excelの関数を使って導出します。
●CHISQ.INV.RT(確率,自由度)で計算してくれます。
確率が1-0.0027で自由度が3の場合は、
●CHISQ.INV.RT(1-0.0027, 3)＝0.047
となります。ほぼ0ですね。

まとめると、

②カイ２乗管理図の描き方

データの用意

カイ2乗管理図と比較のためのpn管理図を作成します。

データは次の表のとおりです。

作る管理図

●4つの管理図を作ります。

np管理図を作る

●必要な値をそれぞれ求めます。表にまとめます。

●np管理図を描きましょう。

np管理図(1級)

np管理図(2級)

np管理図(3級)

カイ２乗管理図を作る

必要な値を求める。

●必要な値をそれぞれ求めます。表にまとめます。

まず、自由度は 1級、2級,3級の3つから１つ引いた、2です。
自由度2のカイ2乗分布を考えます。

●次に、データから各群のχ2を計算します。
例えば、群１の場合、
データが、174,10,16で、
それぞれの平均が170,10,20
です。

●\(χ^2\)=\(\frac{(r_A-\bar{r_A})^2}{\bar{r_A}}\)+\(\frac{(r_B-\bar{r_B})^2}{\bar{r_B}}\)
+\(\frac{(r_C-\bar{r_C})^2}{\bar{r_C}}\)
=\(\frac{(174-170)^2}{170}\)+\(\frac{(10-10)^2}{10}\)+\(\frac{(16-20)^2}{20}\)
=0.89
となります。
同様に群１から群10まで計算します。

●自由度2のχ2乗分布からLCL,CL,UCLを求めます。
◎LCL=CHISQ.INV.RT(1-0.0027,2)=0.0054
◎CL=CHISQ.INV.RT(0.5,2)=1.38
◎UCL=CHISQ.INV.RT(0.0027,2)=11.83
となります。

●結果を下表にまとめます。

●カイ２乗管理図を描きましょう。

③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

カイ２乗管理図のメリット

くらいでしょうか？

カイ２乗管理図のデメリット

以上から、デメリットの方が多いため、有名にならないマニアックな管理図になってしまったかもしれません。

まとめ

カイ2乗管理図について、解説しました。

• ①カイ２乗管理図とは
• ②カイ２乗管理図の描き方
• ③カイ２乗管理図のメリット、デメリット

管理図

「移動平均と移動範囲の管理図って何？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①移動平均と移動範囲のデータのとり方
• ②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}- R_s\)管理図)の描き方
• ③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①移動平均と移動範囲のデータのとり方

平均移動とは？平均範囲とは？

言葉にすると非常にわかりにくいので下表で説明します。

●まず、データを用意します。Noごとに１つのデータxを測定します。

●次に、群分けの方法ですが、
次々と出て来るデータを、ある個数n個ずつ順にずらして群分けとあります。
n=3とすると、
●3個ずつ順にずらすので、
(i)１群目：１個目、２個目、３個目のデータ
(ii)2群目：2個目、3個目、4個目のデータ
(iii)3群目：3個目、4個目、5個目のデータ
…
と区分けしていくことです。

すると、次の表に変形できますね。

移動平均と移動範囲のデータのとり方

データを群内、群間の2軸にまとめ直します

上表の横方向のデータの作り方が、\(\bar{X}\)-R管理図と異なります。

②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}-R_s\))理図)の描き方

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図の注意点

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図自体は、\(\bar{X}\)-R管理図と同じ描き方です。

\(\bar{x_s}-R_s\)管理図の描き方

元のデータを再掲します。

この表に、\(\bar{x_s}\)、\(\bar{\bar{x}}\)、\(R_s\)を追加します。

ここで、\(\bar{x_s}\)、\(\bar{\bar{x}}\)、\(R_s\)の計算方法を解説します。
●第１群の\(\bar{x_s}\)=(15+20+24)/3=19.67
(他の群も同様に計算)
●\(\bar{\bar{x}}\)=(15+20+24+23+15+18+11+12+19+14)/10=17.1
(群分けしない。データが重複しないため)
●第１群の\(R_s\)=(24-15)=9
(他の群も同様に計算)
また、
●\(\bar{R_s}\)=全群の\(R_s\)の平均
=7.375

\(\bar{x_s}\)管理図

●管理限界、LCL,UCLを計算します。
◎LCL=\(\bar{\bar{x}}-A_2 \bar{R_s}\)
=17.1-1.023×7.375
=9.56
◎UCL=\(\bar{\bar{x}}+A_2 \bar{R_s}\)
=17.1+1.023×7.375
=24.64

\(\bar{x_s}\)管理図のデータを下表にまとめます。

グラフは下図になります。

\(R_s\)管理図

●管理限界、LCL,UCLを計算します。
◎LCL=無しというか0
◎UCL=\(D_4 \bar{R_s}\)
=2.575×7.375
=18.99

\(\bar{x_s}管理図のデータを下表にまとめます。

グラフは下図になります。

管理図が完成しましたね。

③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット

どんなメリットがあるでしょうか？

\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のデメリット

どんなデメリットがあるでしょうか？

まとめると、私の感触では、\(\bar{X}\)-R管理図ほど便利なものではない気がします。でも、こういう管理図も考えられることを知っておいてください。

まとめ

移動平均と移動範囲の管理図\(\bar{x_s}- R_s\)について、解説しました。

• ①移動平均と移動範囲のデータのとり方
• ②移動平均と移動範囲の管理図(\(\bar{x_s}- R_s\)管理図)の描き方
• ③\(\bar{x_s}- R_s\)管理図のメリット、デメリット

管理図

「複数に区分された欠点数を評価する管理図が作れない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①複数に区分された欠点数を評価したい場合
• ②ポアソン分布と分散の加法性
• ③複数に区分された欠点数を評価する管理図の作り方

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

複数に区分された欠点数を評価したい場合

減点数のデータ

品質特性を調べるときに、「外観の傷などの欠点数」や「組立上の欠点」などを調べます。欠点の状態によって、いくつかの階級に分けて評価したい場合を考えます。

階級分けして評価する例

たとえば、

1. 致命的欠点(使用不可、ユーザに悪影響)
2. 重欠点(特性に欠陥があるが、修理可能)
3. 軽欠点(動作に問題ないが、気になる程度)
4. 微欠点(誤差範囲で問題無いレベル)

難しいですね。関西弁で書くと、

1. 絶対アカン！
2. ヤバい！
3. ちょっと気になるけど！
4. それくらい勘弁してよ！

などの、程度によって分けて評価することを考えます。基本的には、点数分けして区別するでしょう。

●合格点は70点以下とかにして、ある製品の欠点数が
◎致命的欠点は0つ
◎重欠点は１つ
◎軽欠点は１つ
◎微欠点は3つ
あった場合、評価点数は、
100×0+50×1+10×1+2×3=66点と70点以下のなので、出荷OKとするとか評価できますね。

では、階級別に点数化された評価点を管理図で管理することを考えます。

ポアソン分布と分散の加法性

欠点数はポアソン分布を活用

管理図は、3種類ありますね。

本記事は、欠点数を扱うので、ポアソン分布をベースに考えます。

階級別の欠点数はポアソン分布と分散の加法性を活用

仮定条件を設定

●1つの製品に、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳの4種の欠点の階級を考え、それぞれの階級にある欠点数はそれぞれ別々に以下のポアソン分布に従うと仮定します。

●上表の場合の製品の欠点数qは、
q=\(p_1 d_1\)+\(p_2 d_2\)+\(p_3 d_3\)+\(p_4 d_4\)
で具体例でいうと、
q=100×1+50×3+10×5+2×10=320
ですね。

欠点数合計の期待値、分散を導出

●欠点数合計qの期待値と分散を考えます。

●欠点数合計qの期待値\(μ_q\)=E[q]は、
\(μ_q\)=E[q]
= \(p_1\)E[\(d_1\)]+ \(p_2\)E[\(d_2\)]+ \(p_3\)E[\(d_3\)]+ \(p_4\)E[\(d_4\)]
=\(p_1\)\(m_1\)+ \(p_2\)\(m_2\)+ \(p_3\)\(m_3\)+ \(p_4\)\(d_4\)
になります。
欠点数dが変数になるので、E[\(d_i\)]⇒\(m_i\)と変形します。

●欠点数合計qの分散\(σ_q^2\)=V[q]は、
\(σ_q^2\)=V[q]
= \(p_1^2\)V[\(d_1\)]+ \(p_2^2\)V[\(d_2\)]+ \(p_3^2\)V[\(d_3\)]+ \(p_4^2\)V[\(d_4\)]
=\(p_1^2\)\(m_1\)+ \(p_2^2\)\(m_2\)+ \(p_3^2\)\(m_3\)+ \(p_4^2\)\(d_4\)
になります。

●期待値Eと分散Vの定義は、
E=\(\sum_{i} x_i f(x_i)\)
V=\(\sum_{i} x_i^2 f(x_i)\)
ですね。この定義どおり、立式するので、
期待値Eは\(p_i\)V[\(d_i\)]の和、
分散Vは\(p_i^2\)V[\(d_i\)]の和、
となります。

●ポアソン分布の期待値と分散は一致しますね。
つまり、平均が\(m_i\)なら、
期待値E =\(m_i\)V
分散V=\(m_i\)
と一致します。

減点数の管理図を作成

データ事例

次のデータを管理図に描きます。

管理図と管理限界の計算

１サンプルあたりの欠点数で評価します。c管理図を作成します。

まず、平均と管理限界を計算します。

欠点数合計の期待値、分散を導出

●期待値Eは
E=\(\sum_{i=1}^{4} p_i d_i\)/N
=251,214/20000=12.56

●分散Vは、サンプル数n=500を考慮して、
V=\(\sum_{i=1}^{4} \frac{p_i^2 d_i}{N}\)/n
=9,579,508/(20,000×500)=0.958
●標準偏差σは
σ=\(\sqrt{V}\)=0.979

管理図を作成

まとめると、

ここで１つ問題があります。⇒管理図がまだ描けない！

●例えば、月ごとの欠点数データを横軸にとって、管理すればよいでしょう。

次のような月ごとの欠点数データを取ります。

このデータと、期待値と標準偏差を使って管理限界を入れた管理図を作成します。

ポアソン分布と分散の加法性を活用して管理図を作る応用事例になります。

まとめ

ポアソン分布と分散の加法性を活用して管理図を作る方法を解説しました。

• ①複数に区分された欠点数を評価したい場合
• ②ポアソン分布と分散の加法性
• ③複数に区分された欠点数を評価する管理図の作り方

管理図

「2つのデータを管理図にするとき、何に注意すればよいかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①2つのデータの平均(期待値）と分散
• ②分散の加法性と検出力のバランスに注意
• ③計量値の管理図の注意点
• ④計数値の管理図の注意点は無い

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①2つのデータの平均(期待値）と分散

2つのデータのそれぞれの平均(期待値)と分散

2つデータを用意します。それぞれ正規分布に従うと仮定します。
●データA：　平均E[\(x_A\)]=\(μ_A\)、分散V[\(x_A\)]=\(σ_A^2\)
●データB：　平均E[\(x_B\)]=\(μ_B\)、分散V[\(x_B\)]=\(σ_B^2\)

2つのデータの和、差したデータを合成

データA,Bをそれぞれ和、差すると、平均(期待値）と分散はいくらになるか？を考えます。分散の加法性を使えばよいですね。

●和A+Bの場合
◎平均E[\(x_A+x_B\)]= E[\(x_A\)]+ E[\(x_B\)]=\(μ_A\)+\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A+x_B\)]= V[\(x_A\)]+ V[\(x_B\)]+2Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
となります。公式どおりですね。

●差A-Bの場合
◎平均E[\(x_A-x_B\)]= E[\(x_A\)]- E[\(x_B\)]=\(μ_A\)-\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A-x_B\)]= V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]-2Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
となります。公式どおりですね。
差の場合の分散はV[\(x_A\)]–V[\(x_B\)]ではなく、V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]に注意が必要ですね。

●一般には定数a,bを使って以下のように表現できます。
◎平均E[\(ax_A±bx_B\)]= aE[\(x_A\)]±b E[\(x_B\)]=\(aμ_A\)±\(bμ_B\)
◎分散V[\(ax_A+bx_B\)]= \(a^2\)V[\(x_A\)]+\(b^2\) V[\(x_B\)]±2\(ab\)Cov(\(x_A\),\(x_B\))
(Covは共分散)
公式どおりですね。

●以下、共分散Covは無視して考えます。

まとめると、
◎平均E[\(x_A±x_B\)]= E[\(x_A\)]±E[\(x_B\)]=\(μ_A\)±\(μ_B\)
◎分散V[\(x_A+x_B\)]=V[\(x_A\)]+V[\(x_B\)]

これがどう管理図に影響するか、考えてみましょう。

②分散の加法性と検出力のバランスに注意

分散の加法性で注意すべきこと

●上図では、合成する前のデータは、管理限界3σと管理図係数表は一致するように管理図係数表の値は作られています。
しかし、管理図係数表の値は、サンプル数nに変化する値となっているため、データの合成による分散の加法性は加味されません。

もともと管理図に載せるデータは、合成データではなく、１つのデータを管理することを想定しています。

まとめると、

検出力の影響

データを合成すると、管理限界3σの方が、管理図係数表の値より大きくなるため、管理限界に入る確率が低下します。逆をいえば、管理限界を超える確率が増えます。

図のように、管理限界を超える部分が増えると赤色部がデータの一部しかかからないことがわかります。つまり、検出力が低下することがわかります。

③計量値の管理図の注意点

●計量値の管理図は、X管理図、R管理図、s管理図があります。それぞれ、管理限界は管理図係数表で決まっていますね。

管理図係数表の値の導出方法は、関連記事にあります。ご確認ください。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

ここで、重要なのは、

つまり、データ合成前のデータだけ、管理図係数表の値が使えるわけです。

データ合成後のσ’を使って計量値の管理図を使いたい場合

JIS規格から離れて、自作の管理図になりますが、特に問題はありません。

管理したい対象と、異常の定義は管理図を管理する人が決めればよいです。JIS規格を活用することもできますが、JISどおりやる義務はありません。

④計数値の管理図の注意点は無い

二項分布、ポアソン分布の管理図の管理限界は標準偏差を使う

計数値においては、二項分布、ポアソン分布を仮定した管理図を作成します。

●二項分布の期待値Eと分散Vはそれぞれ、
E=np
V=np(1-p)
ですね。

●ポアソンの期待値Eと分散Vはそれぞれ、
E=c
V=c
ですね。ポアソン分布の確率密度関数は難しい式ですが、期待値と分散が同じとシンプルになるのが特徴的です。

計数値の管理図の管理限界はデータ合成も活用できる

●計量値の場合は、管理限界を決める係数は、管理図係数表から決まっています。しかし、サンプル数nだけ変化する値なので、データの合成には対応していません。

●一方、計数値の場合は、管理限界は自分のデータの標準偏差σで決めるので、データ合成した場合は、データ合成後の標準偏差σを使えばよいです。

まとめると、

データの状態や特徴によって、管理図や管理限界の作り方をよく考える必要があります。

まとめ

2つのデータを管理図にするときの注意点について解説しました。

• ①2つのデータの平均(期待値）と分散
• ②分散の加法性と検出力のバランスに注意
• ③計量値の管理図の注意点
• ④計数値の管理図の注意点は無い

管理図