2021/12/26 (更新日: 2023/12/10)

管理図係数値でnが6以上でないと使えない係数がある理由がわかる

「計量値管理図の係数(B3,B5,D1,D3)でn ≥6 でないとダメな理由がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

管理図係数値でnが6以上でない使えない係数がある理由がわかる

本記事の結論

管理図係数値は0以上が必須ですが、負になる場合は「―」とするから。

管理図係数値を実際に計算して、「―」となる場合の値を求めてみましょう。

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図係数表一覧

管理図係数表が使える理由

●変数Xは正規分布に従う。
●標準偏差sはχ2乗分布、正規分布に従う。
●範囲Rは、順序統計量(同時分布)と正規分布に従う。
と仮定するので、データ特性に関係なく、確率分布関数にデータが従うと考えます。
よって、管理限界を計算する係数がデータ対象に関係なく使えるとしています。

なお、係数はサンプル数nに関係する式となっています。

管理図係数表

JISZ9020-2(2016) 表2「管理限界線を計算するための係数」に載っている表です。なお、n=100の場合も下表に載せておきます。

各係数の算出公式を参考に載せます。導出は関連記事にありますので、ご覧ください。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる
シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

各係数の算出公式一覧を列挙します。k=3(3σ）でJISZ9020-2は計算しています。

管理限界の係数	\(\bar{X}\) 管理図	A	=	\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)
		\(A_2\)	=	\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)
		\(A_3\)	=	\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)
	s 管理図	\(B_3\)	=	\(max(0,1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_4\)	=	\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)
		\(B_5\)	=	\(max(0,c_4-k\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_6\)	=	\(c_4+k\sqrt{1-c_4^2}\)
	R 管理図	\(D_1\)	=	\(max(0,d_2-kd_3)\)
		\(D_2\)	=	\(d_2+kd_3\)
		\(D_3\)	=	\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
		\(D_4\)	=	\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)
中心線の係数	s	\(c_4\)	=	\(\frac{Γ(\frac{n}{2})\sqrt{\frac{2}{n-1}}}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)
	R	\(d_2\)	=	\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} [1-(1-φ(x))^n-(φ(x))^n]dx\)
	–	\(d_3\)	=	\(\sqrt{2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy-d_2^2 }\) \(f(x,y)=1-φ(y)^n-(1-φ(x))^n+(φ(y)-φ(x))^n\)

係数Aは理解しやすいですが、B,Dは導出が難しい\(c_4\),\(d_2\),\(d_3\)を使って計算します。\(c_4\),\(d_2\),\(d_3\)の導出も関連記事で確認ください。

●\(c_4\)の導出

【必読】s管理図の変数c4と管理限界の導出がわかる
s管理図の管理限界を求めるc4と管理限界値の導出を解説します。χ2乗分布、平方和、標準偏差の関係式を使って、意外と簡単に係数c4が導出できます。さらに、標準偏差と不偏標準偏差によって、若干式が異なる点も詳しく解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

●\(d_2\),\(d_3\)の導出

公式どおり、各係数を計算すると次の結果になります。

黄色枠部は計算すると係数が負となりますね。どこにも書いていませんので、必ず知っておいてください。

管理図係数値でnが6以上でない使えない係数がある理由を解説しました。