分割法(4因子3段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
「分割法って何なの？」、「分割法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」「分割数が多い場合の計算が大変」など、分割法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
分割法の分散分析や期待値の導出
- ➀分割法とは何かがわかる
- ②分割法のデータの構造式が書ける
- ③平方和の分解の式が書ける
- ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
- ⑤分散分析ができる
- ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！
●You tube動画もご覧ください。
➀分割法とは何かがわかる
教科書の定義は重要ではない
よくわかりませんよね。
でも、心配は不要です。
データの構造式から分割法を理解する
- 完全配置実験のデータの構造式を作る
- 一部の項を変形すれば分割法になる
②分割法のデータの構造式が書ける
データの構造式
1段分割が2因子、2段分割が1因子,3段分割が1因子から構成する4因子の分割法で、3因子の交互作用を見るために、添字がijklと4種類ある場合を考えます。
四元配置実験のデータの構造式
xijkl=μ+αi+βj+γk+δl
+(αβ) ij+(αγ) ik+ (αδ)il
+(βγ) jk+ (βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+ (αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl
● (αδ)il
= e(1)il
● (αβδ) ijl
= e(2)ijl
● (βδ) jl+(γδ)kl
+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+eijkl
= e(3)ijkl
とすれば、分割法に変えることができます。
δを変量因子にするので、δに関する交互作用をすべて残差に持って行きます。
各平均値をデータの構造式で作る
母数因子と変量因子の違い
関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。
母数因子と変量因子
母数因数：α、β、γ、αβ、αγ、βγ、αβγ
変量因子：δ(反復因子)、e(1)、e(2)、e(3)
平均値
母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。
平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。
平均値の式の代表例
データの構造式
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
\(\bar{x_{ijk･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk・}}\)
\(\bar{x_{ij･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(α_i\)+\(e_{(1)il}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(e_{(2)il}\)+\(\bar{e_{(3)ij・l}}\)
\(\bar{x_{ij･･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(\bar{e_{(3)ij・・}}\)
\(\bar{x_{i･k･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(\bar{e_{(2)i・・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{(3)i・k・}}\)
\(\bar{x_{i･･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(α_i\)+\(e_{(1)il}\)+\(\bar{e_{(2)i・l}}\)+\(\bar{e_{(3)i・・l}}\)
\(\bar{x_{･jk･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{(2)・j・}}\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{(3)・jk・}}\)
\(\bar{x_{i･･･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(\bar{e_{(2)i・・}}\)+\(\bar{e_{(3)i・・・}}\)
\(\bar{x_{･j･･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{(2)・j・}}\)+\(\bar{e_{(3)・j・・}}\)
\(\bar{x_{･･k･}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(γ_k\)+\(\bar{e_{(3)・・k・}}\)
\(\bar{x_{･･･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{(1)・l}}\)+\(\bar{e_{(2)・・l}}\)+\(\bar{e_{(3)・・・l}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(\bar{\bar{e}}\)
③分割法の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SD | SA | Se(1) | SB | SA×B | Se(2) | |
| \(x_{ijkl}\) | ||||||
| \(\bar{x_{i･･･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| \(\bar{x_{･j･･}}\) | 1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{･･k･}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{･･･l}}\) | 1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{ij･･}}\) | 1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{i･k･}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{i･･l}}\) | 1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{･jk･}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{･j･l}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{･･kl}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{ijk･}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{ij･l}}\) | 1 | |||||
| \(\bar{x_{i･kl}}\) | ||||||
| \(\bar{x_{･jkl}}\) | ||||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| SC | SA×C | SB×C | SA×B×C | Se(3) | ST (計) | |
| \(x_{ijkl}\) | 1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{i･･･}}\) | -1 | 1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{･j･･}}\) | -1 | 1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{･･k･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | |
| \(\bar{x_{･･･l}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{x_{ij･･}}\) | -1 | 1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{i･k･}}\) | 1 | -1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{i･･l}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{x_{･jk･}}\) | 1 | -1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{･j･l}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{x_{･･kl}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{x_{ijk･}}\) | 1 | -1 | 0 | |||
| \(\bar{x_{ij･l}}\) | -1 | 0 | ||||
| \(\bar{x_{i･kl}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{x_{･jkl}}\) | 0 | |||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA、SA×C、Se(3)を例に挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\( (\bar{x_{i･‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{i‥･}}-\bar{x_{･･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_{e(3)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((x_{ijkl}+\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･l}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。
式が複雑ですが、やっていることは単純です。本記事くらい複雑なケースを何度か眺めておくと、あなたが解く試験問題は簡単に見えるはずです。
④分割法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
主効果の分散の期待値の導出
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i…}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i‥}}+\bar{e_{(3)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i‥}}+\bar{e_{(3)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(bcd(a-1)σ_A^2\)
+\((a-1)(bcσ_{e(1)}^2+cσ_{e(2)}^2+σ_{e(3)}^2\))
主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[VA]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bcdσ_A^2\)
+\((bcσ_{e(1)}^2+cσ_{e(2)}^2+σ_{e(3)}^2\))
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。
交互作用の分散の期待値の導出
E[\(S_{A×C}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{i…}}-\bar{x_{‥k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}+(\bar{e_{(3)i･k･}}-\bar{e_{(3)i…}}-\bar{e_{(3)‥k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}^2)\)
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{(3)i･k･}}-\bar{e_{(3)i…}}-\bar{e_{(3)‥k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
第1項：
bdE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αγ)_{ik})^2]\)
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)
第2項：
=\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)
E[\(S_{A×C}\)]
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)
+\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)
交互作用A×Cの自由度は(a-1)(c-1)より、分散の期待値E[VA×C]が求まります。
E[\(V_{A×C}\)]=\(bdσ_{A×C}^2\)+\(σ_{e(2)}^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{A×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}^2}{(a-1)(c-1)}\)]
\(σ_{e(2)}^2\)については解説集にあります。
残差の分散の期待値の導出
\( S_{e(3)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((x_{ijkl}+\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･l}}\)
E[\(S_{e3}\)]=\((ab(c-1)(d-1)σ_{e(3)}^2\)
(全計算過程は解説集にあります)
残差e(2)の自由度はab(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V e(3)]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。
E[\(e_{(3)}\)]=\(σ_{e(3)}^2\)
⑤分割法の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
自由度をまとめます。
| a | b | c | d | ab | ac | |
| D | 1 | |||||
| A | 1 | |||||
| e(1) | -1 | -1 | ||||
| B | 1 | |||||
| A×B | -1 | -1 | 1 | |||
| e(2) | 1 | -1 | ||||
| C | 1 | |||||
| A×C | -1 | -1 | 1 | |||
| B×C | -1 | -1 | ||||
| A×B×C | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | |
| e3 | 1 | |||||
| T | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| bc | abc | abd | abcd | 1 | |
| D | -1 | ||||
| A | -1 | ||||
| e(1) | 1 | ||||
| B | -1 | ||||
| A×B | 1 | ||||
| e(2) | 1 | ||||
| C | -1 | ||||
| A×C | 1 | ||||
| B×C | 1 | 1 | |||
| A×B×C | -1 | 1 | -1 | ||
| e3 | -1 | -1 | 1 | ||
| T | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 |
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| D | d-1 | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2+abcσ_D^2\) |
| A | a-1 | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2+bcdσ_A^2\) |
| e(1) | (a-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2\) |
| B | b-1 | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+acdσ_B^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+cdσ_{A×B}^2\) |
| e(2) | a(b-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2\) |
| C | c-1 | \(σ_{e(3)}^2+acdσ_C^2\) |
| A×C | (a-1)(c-1) | \(σ_{e(3)}^2+bdσ_{A×C}^2\) |
| B×C | (b-1)(c-1) | \(σ_{e(3)}^2+adσ_{B×C}^2\) |
| A×B×C | (a-1)(b-1)(c-1) | \(σ_{e(3)}^2+dσ_{A×B×C}^2\) |
| e3 | ab(c-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2\) |
| T | abcd-1 | – |
⑥分割法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、D,e(1),e(2)とe(3)の分散の推定値E[V]を導出します。
| V | |
| D | VD=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bcσ_{e(1)}^2}\)+\(\widehat{abcσ_D^2}\) |
| e(1) | Ve(1)=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bcσ_{e(1)}^2}\) |
| e(2) | Ve(2)=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\) |
| e(3) | Ve(3)=\(\widehat{σ_{e(3)}^3}\) |
上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}=\frac{1}{bc}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}=\frac{1}{c}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)
\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)=Ve(3)
\(\widehat{σ_D^2}=\frac{1}{abc}(V_D-V_{e(1)})\)
主効果の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{･j‥}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{δ}+β_j +\bar{e_{(2)・j･}}+\bar{e_{(3)･j‥}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(B_j))\)
=V[μ+\(\bar{δ} +β_j+\bar{e_{(2)・j}}+\bar{e_{(3)･j‥}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(2)･j}}\)]+V[\(\bar{e_{(3)･j‥}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_D^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{acd}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
交互作用の区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk･}}\)
=\(μ\)+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i･}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij･}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[\(μ\)+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i･}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij･}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk･}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(1)i･}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)ij･}}\)]+ V[\(\bar{e_{(3)ijk･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{d}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑦分割法の分散分析を導出できる演習問題
本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。
xijkl=μ+δl+αi+e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
因子A,B,C,D(反復)の自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
(1)反復D,主効果A,B,C、交互作用A×C,B×C,A×B×C,残差e(1),e(2),e(3)の自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2) 主効果A,B,C交互作用A×C,B×C,A×B×Cの点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
4因子交互作用を含む3段の分割法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ➀分割法とは何かがわかる
- ②分割法のデータの構造式が書ける
- ③平方和の分解の式が書ける
- ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
- ⑤分散分析ができる
- ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題
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