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分割法(4因子3段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「分割法って何なの?」、「分割法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」「分割数が多い場合の計算が大変」など、分割法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

分割法の分散分析や期待値の導出ができる

分割法の分散分析や期待値の導出

  • ➀分割法とは何かがわかる
  • ②分割法のデータの構造式が書ける
  • ③平方和の分解の式が書ける
  • ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
  • ⑤分散分析ができる
  • ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です!

●You tube動画もご覧ください。

➀分割法とは何かがわかる

教科書の定義は重要ではない

全条件をランダムに実験できない場合、実験を複数に分けて、その分けた中でランダムにする方法が分割法である。

よくわかりませんよね。でも、心配は不要です。

データの構造式から分割法を理解する

  1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
  2. 一部の項を変形すれば分割法になる

②分割法のデータの構造式が書ける

データの構造式

1段分割が2因子、2段分割が1因子,3段分割が1因子から構成する4因子の分割法で、3因子の交互作用を見るために、添字がijklと4種類ある場合を考えます。

四元配置実験のデータの構造式

xijkl=μ+αijkl
+(αβ) ij+(αγ) ik+ (αδ)il
+(βγ) jk+ (βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+ (αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl

(αδ)il
= e(1)il

(αβδ) ijl
= e(2)ijl

(βδ) jl+(γδ)kl
+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+eijkl
= e(3)ijkl

とすれば、分割法に変えることができます。

δを変量因子にするので、δに関する交互作用をすべて残差に持って行きます。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事にて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数:α、β、γ、αβ、αγ、βγ、αβγ
変量因子:δ(反復因子)、e(1)、e(2)、e(3)

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

平均値の式の代表例

データの構造式

xijkl=μ+δli+ e(1)ilj+(αβ)ij+ e(2)ijlk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl

\(\bar{x_{ijk・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk・}}\)
\(\bar{x_{ij・l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(α_i\)+\(e_{(1)il}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(e_{(2)il}\)+\(\bar{e_{(3)ij・l}}\)
\(\bar{x_{ij・・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(\bar{e_{(3)ij・・}}\)
\(\bar{x_{i・k・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(\bar{e_{(2)i・・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{(3)i・k・}}\)
\(\bar{x_{i・・l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(α_i\)+\(e_{(1)il}\)+\(\bar{e_{(2)i・l}}\)+\(\bar{e_{(3)i・・l}}\)
\(\bar{x_{・jk・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{(2)・j・}}\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{(3)・jk・}}\)
\(\bar{x_{i・・・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(\bar{e_{(2)i・・}}\)+\(\bar{e_{(3)i・・・}}\)
\(\bar{x_{・j・・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{(2)・j・}}\)+\(\bar{e_{(3)・j・・}}\)
\(\bar{x_{・・k・}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(γ_k\)+\(\bar{e_{(3)・・k・}}\)
\(\bar{x_{・・・l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{(1)・l}}\)+\(\bar{e_{(2)・・l}}\)+\(\bar{e_{(3)・・・l}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{δ}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③分割法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです

SD SA Se(1) SB SA×B Se(2)
\(x_{ijkl}\)
\(\bar{x_{i・・・}}\) 1 -1 -1 1
\(\bar{x_{・j・・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{・・k・}}\)
\(\bar{x_{・・・l}}\) 1 -1
\(\bar{x_{ij・・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{i・k・}}\)
\(\bar{x_{i・・l}}\) 1 -1
\(\bar{x_{・jk・}}\)
\(\bar{x_{・j・l}}\)
\(\bar{x_{・・kl}}\)
\(\bar{x_{ijk・}}\)
\(\bar{x_{ij・l}}\) 1
\(\bar{x_{i・kl}}\)
\(\bar{x_{・jkl}}\)
\(\bar{\bar{x}}\) -1 -1 1 -1 1

SC SA×C SB×C SA×B×C Se(3) ST (計)
\(x_{ijkl}\) 1 1
\(\bar{x_{i・・・}}\) -1 1 0
\(\bar{x_{・j・・}}\) -1 1 0
\(\bar{x_{・・k・}}\) 1 -1 -1 1 0
\(\bar{x_{・・・l}}\) 0
\(\bar{x_{ij・・}}\) -1 1 0
\(\bar{x_{i・k・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{i・・l}}\) 0
\(\bar{x_{・jk・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{・j・l}}\) 0
\(\bar{x_{・・kl}}\) 0
\(\bar{x_{ijk・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{ij・l}}\) -1 0
\(\bar{x_{i・kl}}\) 0
\(\bar{x_{・jkl}}\) 0
\(\bar{\bar{x}}\) -1 1 1 -1 -1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA、SA×C、Se(3)を例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\( (\bar{x_{i・‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{i‥・}}-\bar{x_{・・k・}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_{e(3)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ijkl}+\bar{x_{ij・・}}-\bar{x_{ijk・}}-\bar{x_{ij・l}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

式が複雑ですが、やっていることは単純です。本記事くらい複雑なケースを何度か眺めておくと、あなたが解く試験問題は簡単に見えるはずです。

④分割法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i…}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i+\bar{e_{(1)i・}}+\bar{e_{(2)i‥}}+\bar{e_{(3)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{(1)i・}}+\bar{e_{(2)i‥}}+\bar{e_{(3)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(bcd(a-1)σ_A^2\)
+\((a-1)(bcσ_{e(1)}^2+cσ_{e(2)}^2+σ_{e(3)}^2\))

主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[VA]が求まります。

E[\(V_A\)]=\(bcdσ_A^2\)
+\((bcσ_{e(1)}^2+cσ_{e(2)}^2+σ_{e(3)}^2\))

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{A×C}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{i…}}-\bar{x_{‥k・}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}+(\bar{e_{(3)i・k・}}-\bar{e_{(3)i…}}-\bar{e_{(3)‥k・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}^2)\)
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{(3)i・k・}}-\bar{e_{(3)i…}}-\bar{e_{(3)‥k・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項:
bdE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αγ)_{ik})^2]\)
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)

第2項:
=\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)

E[\(S_{A×C}\)]
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)
+\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)

交互作用A×Cの自由度は(a-1)(c-1)より、分散の期待値E[VA×C]が求まります。

E[\(V_{A×C}\)]=\(bdσ_{A×C}^2\)+\(σ_{e(2)}^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{A×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}^2}{(a-1)(c-1)}\)]

\(σ_{e(2)}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

\( S_{e(3)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ijkl}+\bar{x_{ij・・}}-\bar{x_{ijk・}}-\bar{x_{ij・l}}\)

E[\(S_{e3}\)]=\((ab(c-1)(d-1)σ_{e(3)}^2\)

(全計算過程は解説集にあります)

残差e(2)の自由度はab(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V e(3)]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。

E[\(e_{(3)}\)]=\(σ_{e(3)}^2\)

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

a b c d ab ac
D 1
A 1
e(1) -1 -1
B 1
A×B -1 -1 1
e(2) 1 -1
C 1
A×C -1 -1 1
B×C -1 -1
A×B×C 1 1 1 -1 -1
e3 1
T 0 0 0 0 0 0

bc abc abd abcd 1
D -1
A -1
e(1) 1
B -1
A×B 1
e(2) 1
C -1
A×C 1
B×C 1 1
A×B×C -1 1 -1
e3 -1 -1 1
T 0 0 0 1 -1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
D d-1 \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2+abcσ_D^2\)
A a-1 \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2+bcdσ_A^2\)
e(1) (a-1)(d-1) \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2\)
B b-1 \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+acdσ_B^2\)
A×B (a-1)(b-1) \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+cdσ_{A×B}^2\)
e(2) a(b-1)(d-1) \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2\)
C c-1 \(σ_{e(3)}^2+acdσ_C^2\)
A×C (a-1)(c-1) \(σ_{e(3)}^2+bdσ_{A×C}^2\)
B×C (b-1)(c-1) \(σ_{e(3)}^2+adσ_{B×C}^2\)
A×B×C (a-1)(b-1)(c-1) \(σ_{e(3)}^2+dσ_{A×B×C}^2\)
e3 ab(c-1)(d-1) \(σ_{e(3)}^2\)
T abcd-1

⑥分割法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、D,e(1),e(2)とe(3)の分散の推定値E[V]を導出します。

V
D VD=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bcσ_{e(1)}^2}\)+\(\widehat{abcσ_D^2}\)
e(1) Ve(1)=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bcσ_{e(1)}^2}\)
e(2) Ve(2)=\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)+\(\widehat{cσ_{e(2)}^2}\)
e(3) Ve(3)=\(\widehat{σ_{e(3)}^3}\)

上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}=\frac{1}{bc}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}=\frac{1}{c}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)
\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)=Ve(3)
\(\widehat{σ_D^2}=\frac{1}{abc}(V_D-V_{e(1)})\)

主効果の点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{・j‥}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{δ}+β_j +\bar{e_{(2)・j・}}+\bar{e_{(3)・j‥}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(B_j))\)
=V[μ+\(\bar{δ} +β_j+\bar{e_{(2)・j}}+\bar{e_{(3)・j‥}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(2)・j}}\)]+V[\(\bar{e_{(3)・j‥}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_D^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{acd}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk・}}\)
=\(μ\)+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[\(μ\)+\(\bar{δ}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i・}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・}}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(3)ijk・}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(1)i・}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)ij・}}\)]+ V[\(\bar{e_{(3)ijk・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{d}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦分割法の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問】3因子交互作用を含む3段分割法について、次のデータの構造式を考える。
xijkl=μ+δli+e(1)ilj+(αβ)ij+ e(2)ijlk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
因子A,B,C,D(反復)の自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
(1)反復D,主効果A,B,C、交互作用A×C,B×C,A×B×C,残差e(1),e(2),e(3)の自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2) 主効果A,B,C交互作用A×C,B×C,A×B×Cの点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

4因子交互作用を含む3段の分割法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ➀分割法とは何かがわかる
  • ②分割法のデータの構造式が書ける
  • ③平方和の分解の式が書ける
  • ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
  • ⑤分散分析ができる
  • ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題


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