2021/09/12 (更新日: 2023/12/08)

多水準法(直交表)と完全配置実験の分散分析は一致する【必見】

実験計画法

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

多水準法(直交表)と完全配置実験の分散分析を比較

• ➀そもそも直交表と完全配置実験からは同じ平方和、分散分析結果が得られる
• ②4水準をもつ因子を直交表L16と完全配置実験から分散分析を導出
• ③9水準をもつ因子を直交表L27と完全配置実験から分散分析を導出

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

➀そもそも直交表と完全配置実験からは同じ平方和、分散分析結果が得られる

基本はデータの構造式

例として、3因子のデータの構造式を書きましょう。機械的に書けますね
x_ijk=μ+α_i+β_k+γ_j
+(αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+ε_ijk

直交表の列はデータの構造式の項

データの構造式の各項が直交表の列に該当し、その列にそれぞれの効果の平方和が計算できます。

	式	直交表列			平方和
1	α	a			SA
2	β		b		SB
3	γ			c	SC
4	αβ	a	b		SAB
5	βγ		b	c	SBC
6	αγ	a		c	SAC
7	ε	a	b	c	Se

データの構造式から完全配置実験も直交表も活用するので、分散分析結果は完全配置実験も直交表も同じ結果になります。

完全配置実験は全パターン実験する
直交表は実験回数が減らせる魔法の表
と理解しがちですが、同じものです。

本記事では、完全配置実験と多水準法(直交表)を使って分散分析が一致することを確認します。

平方和については、関連記事【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】を読んでください。

②4水準をもつ因子を直交表L16と完全配置実験から分散分析を導出

4水準をもつ因子の三元配置実験から分散分析を導出

データを用意します。

		B1	B2
A1	C1	12	30
	C2	24	48
A2	C1	30	36
	C2	42	48
A3	C1	60	66
	C2	72	84
A4	C1	90	96
	C2	102	120

三元配置実験
CT=\(\frac{1}{16}(12+30+…+120)^2\)=57600
S_T=(12²+30²+…+120²)-CT=14904
S_A=\(\frac{1}{4}(114^2+156^2+282^2+408^2)^2\)-CT=13230
同様に、
S_B=576
S_C=900
S_A×B=\(\frac{1}{2}(36^2+78^2+…+216^2)^2\)- S_A– S_B-CT=126
同様に、
S_A×C=18
S_B×C=36
S_e=18

分散分析表でまとめます。

–	S	φ	V	F	F0
A	13230	3	4410	735	9.28
B	576	1	576	96	10.13
C	900	1	900	150	10.13
AB	126	3	42	7	9.28
AC	18	3	6	1	9.28
BC	36	1	36	6	10.13
e	18	3	6	–	–
T	14904	15	–	–	–

直交表L16から分散分析を導出

直交表に割り当てます。

	列	直交表成分				1	2	S
A	1	a				270	690	11025
A	2		b			396	564	1764
A	3	a	b			522	438	441
B	4			c		432	528	576
AB	5	a		c		474	486	9
AB	6		b	c		468	492	36
AB	7	a	b	c		462	498	81
C	8				d	420	540	900
AC	9	a			d	486	474	9
AC	10		b		d	480	480	0
AC	11	a	b		d	474	486	9
BC	12			c	d	492	468	36
ABC	13	a		c	d	474	486	9
ABC	14		b	c	d	480	480	0
ABC	15	a	b	c	d	486	474	9

S_A=S[1]+S[2]+S[3]=11025+1764+441=13230
S_B=S[4]=576
S_C=S[8]=900
S_A×B= S[5]+S[6]+S[7]=9+36+81=126
S_A×C= S[9]+S[10]+S[11]=9+0+9=18
S_B×C= S[12]=36
S_e= S[13]+S[14]+S[15]=9+0+9=18
S_T= S[1]+…+S[16]=14904

–	S	φ	V	F	F0
A	13230	3	4410	735	9.28
B	576	1	576	96	10.13
C	900	1	900	150	10.13
AB	126	3	42	7	9.28
AC	18	3	6	1	9.28
BC	36	1	36	6	10.13
e	18	3	6	–	–
T	14904	15	–	–	–

完全配置実験と直交表でそれぞれ分散分析しても同じ結果になることがわかりました。

③9水準をもつ因子を直交表L27と完全配置実験から分散分析を導出

9水準をもつ因子の二元配置実験から分散分析を導出

データを用意します。

	B1	B2	B3
A1	8	13	9
A2	-5	18	26
A3	4	21	26
A4	19	15	20
A5	11	25	24
A6	15	23	28
A7	23	28	24
A8	9	32	40
A9	15	32	37

二元配置実験
CT=\(\frac{1}{27}(8+13+…+37)^2\)=10800
S_T=(3²+13²+…+37²)-CT=2730
S_A=\(\frac{1}{3}(30^2+39^2+…+84^2)^2\)-CT=912
同様に、
S_B=1134
S_e=684

分散分析表でまとめます。

	S	φ	V	F
A	912	8	114	2.67
B	1134	2	567	13.26
e	684	16	42.75	–
T	2730	26	–	–

直交表L27から分散分析を導出

直交表に割り当てます。

	列	直交表成分			1	2	3	平方和
A	1	a			120	180	240	800
B	2		b		99	207	234	1134
e	3	a	b		171	198	171	54
e	4	a	2b		171	171	198	54
A	5			c	159	180	201	98
A	6	a		c	177	177	186	6
A	7	a		2c	174	180	186	8
e	8		b	c	216	162	162	216
e	9	a	b	c	189	171	180	18
e	10	a	2b	2c	180	189	171	18
e	11		b	2c	216	144	180	288
e	12	a	2b	c	171	180	189	18
e	13	a	2b	2c	189	171	180	18

S_A=S[1]+S[5]+S[6]+S[7]=800+98+6+8=912
S_B=S[2]=1134
S_e= S[3]+S[4]+S[8]+…+S[13]=54+…18=684
S_T= S[1]+…+S[13]=2730

多水準法において、3因子A,Cを9因子Aに統合して直交表に割り付けました。

分散分析表でまとめます。

	S	φ	V	F
A	912	8	114	2.67
B	1134	2	567	13.26
e	684	16	42.75	–
T	2730	26	–	–

完全配置実験と直交表でそれぞれ分散分析しても同じ結果になることがわかりました。

まとめ

多水準法(直交表)と完全配置実験の分散分析は一致する

多水準法(直交表)と完全配置実験の分散分析は一致する内容を詳細に解説しました。

• ➀そもそも直交表と完全配置実験からは同じ平方和、分散分析結果が得られる
• ②4水準をもつ因子を直交表L16と完全配置実験から分散分析を導出
• ③9水準をもつ因子を直交表L27と完全配置実験から分散分析を導出

実験計画法

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