二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】
「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解
- ①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる
- ②二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。
本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！
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①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる
データの構造式
二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。
二元配置実験(交互作用無し)のデータの構造式
xij=μ+αi+βj+eij
二元配置実験をデータ分解する
因子と水準の違いは説明できますか？
関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】に解説していますが、
一言でいうと次の通りです。
【簡単】因子と水準の違い
水準はレベル(英語にするとわかりやすい)
二元配置実験(交互作用無し)のデータを用意します。
| xij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 8 | 9 | 13 | 10 |
| A2 | 8 | 15 | 19 | 26 |
| A3 | 17 | 24 | 40 | 51 |
データの分解方法
- 全体の平均μを求める
- 主効果\(α_i\)、\(β_j\)の各値を求める
- 残差\(e_{ij}\)は残りの値
計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。
(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=240/12=20
| μ | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 20 | |||
| A2 | ||||
| A3 | ||||
(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{8+9+13+10}{4}\)-20=-10
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{8+15+19+26}{4}\)-20=-3
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{17+24+40+51}{4}\)-20=13
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -10 | |||
| A2 | -3 | |||
| A3 | 13 | |||
(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める
\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{8+8+17}{3}\)-20=-9
\(β_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{9+15+24}{3}\)-20=-4
\(β_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{13+19+40}{3}\)-20=4
\(β_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{10+26+51}{3}\)-20=9
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 |
| A2 | ||||
| A3 | ||||
(iii)残差\(e_{ij}\)の各値を求める
\(e_{11}\)～\(e_{34}\)の全12種類を計算します。
\(e_{11}\)=AB11―μ―α1―β1=8-20-(-10)-(-9)=7
\(e_{12}\)=AB12―μ―α1―β2=9-20-(-10)-(-4)=3
…
\(e_{14}\)=AB14―μ―α1―β4=10-20-(-10)-9=-9
…
\(e_{34}\)=AB34―μ―α3―β4=51-20-13-9=9
| εij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 |
まとめると次のようにデータが分解できます。
データの分解のまとめ
| xij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 8 | 9 | 13 | 10 |
| A2 | 8 | 15 | 19 | 26 |
| A3 | 17 | 24 | 40 | 51 |
=
| μ | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 20 | |||
| A2 | ||||
| A3 | ||||
+
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -10 | |||
| A2 | -3 | |||
| A3 | 13 | |||
+
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 |
| A2 | ||||
| A3 | ||||
+
| εij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 |
②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
データの構造式
xij=μ+ αi+βj+eij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。
次に平方和を導出しましょう。
平方和の分解を導出
データの構造式
xij=μ+ αi+βj+eij
を
xij-μ=αi+βj+eij
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjをつけます。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i+β_j+e_{ij})^2\)
右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i e_{ij} +β_j e_{ij})\)
ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。
まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
これが、
ST= SA+ SB+ Se
となり、平方和の分解ができるのです。
平方和は分解できるのです。
でも、慣れないうちは難解なので、
次の表を使って平方和の分解ができることを理解しましょう。
データの分解した表から平方和の分解を導出
データの構造式
xij=μ+ αi+βj+eij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。
すべての値を2乗しましょう。
| xij | ||||||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |||||
| A1 | 64 | 81 | 169 | 100 | ||||
| A2 | 64 | 225 | 361 | 676 | ||||
| A3 | 289 | 576 | 1600 | 2601 | ||||
| 計 | 6806 | |||||||
| μ | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| A2 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| A3 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| 計 | 4800 | |||
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| A2 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| A3 | 169 | 169 | 169 | 169 |
| 計 | 1112 | |||
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| A2 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| A3 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| 計 | 582 | |||
| εij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 49 | 9 | 1 | 81 |
| A2 | 0 | 4 | 4 | 0 |
| A3 | 49 | 25 | 9 | 81 |
| 計 | 312 | |||
表の和をまとめると、
6806=4800+1112+582+312
と一致します。あら、不思議！
実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
ST6806-4800=2006
SA=1112
SB=582
Se=312
となります。
表から中間項の和が0になることを確認
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i β_j\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i e_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}β_j e_{ij}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。
6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}β_j e_{ij}\)=0
をやってみましょう。
| βj | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 | 0 |
| A2 | -9 | -4 | 4 | 9 | 0 |
| A3 | -9 | -4 | 4 | 9 | 0 |
×
| εij | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 | 0 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 | 0 |
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
=
| βjεij | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -63 | -12 | -4 | -81 | -160 |
| A2 | 0 | -8 | -8 | 0 | -16 |
| A3 | 63 | 20 | 12 | 81 | 176 |
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
黄色枠のとおり、合計は0になります。
③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
数式から理由を理解する
【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由
その他の主効果、交互作用、残差の和は0になるのは当然！
データの構造式
xij=μ+ αi+βj+eij
から、両辺に和をとります。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\ x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)=abμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)αi+βj+eij
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)αi=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)βj=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)eij=0
となります。
データの分解した表から理由を理解する
表でも確認しましょう。
主効果αi
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)αi=0
を確認します。
| αi | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -10 | 0 | |||
| A2 | -3 | ||||
| A3 | 13 | ||||
主効果βj
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)βj=0
を確認します。
| βj | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 | 0 |
| A2 | |||||
| A3 | |||||
残差eij
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)eij=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)eij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)eij=0
が成り立つことを確認します。
| εij | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 | 0 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 | 0 |
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。
次のデータから成る四元配置実験において、データの分解と平方和の分解をせよ。
四元配置実験データを分解するとかなり大変ですが、一回はやるか、見るかはしておきましょう。
| C1 | C2 | C3 | |||||
| D1 | D2 | D1 | D2 | D1 | D2 | ||
| A1 | B1 | 10 | 12 | 11 | 14 | 10 | 16 |
| 11 | 8 | 13 | 16 | 14 | 17 | ||
| B2 | 13 | 12 | 17 | 18 | 16 | 11 | |
| 10 | 15 | 18 | 13 | 18 | 12 | ||
| B3 | 14 | 20 | 23 | 17 | 11 | 18 | |
| 15 | 16 | 15 | 16 | 13 | 10 | ||
| A2 | B1 | 10 | 9 | 14 | 16 | 13 | 12 |
| 11 | 12 | 16 | 13 | 15 | 13 | ||
| B2 | 14 | 9 | 18 | 20 | 17 | 18 | |
| 15 | 14 | 20 | 13 | 19 | 10 | ||
| B3 | 17 | 14 | 17 | 11 | 14 | 15 | |
| 18 | 20 | 18 | 19 | 15 | 17 | ||
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
二元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。
- ①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる
- ②二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の和が0である理由がわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119