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一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「一元配置実験の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、一元配置実験の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

一元配置実験の分散分析や期待値の導出ができる

一元配置実験の分散分析や期待値の導出

  • ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
  • ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
  • ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ④一元配置実験の分散分析ができる
  • ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定1級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本サイトは、どんな複雑な方法も➀~➄の流れで解説します。本記事がわかれば、式が複雑になっていくだけ、内容は簡単です。実験計画法の肝なので、必読です!

●You tube動画もご覧ください

①一元配置実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

1因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
主効果の添字はi,残差ijと分けています。フィッシャーの三原則の反復ですね。

一元配置実験のデータの構造式

xij=μ+αi+ eij

各平均値をデータの構造式で作る

αは母数因子なので、1つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)2=x2+ y2, xy=0
を満たします。

平均値の式の代表例

データの構造式
xij=μ+αi+eij
\(\bar{x_{i・}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i・}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです

SA Se
\(x_{ij}\) 1
\(\bar{x_{i・}}\) 1 -1
\(\bar{\bar{x}}\) -1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA,Seを挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
と書けますね。

③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (α_i+\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (α_i )^2\)]
+2E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}}) \)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

ここで、第2項は0になることを証明します。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(\sum_{i=1}^{a} (α_i ) (\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}}) \)]
=bE[\(α_1(\bar{e_{1・}}-\bar{\bar{e}})+α_2(\bar{e_{2・}}-\bar{\bar{e}})+…+α_a(\bar{e_{a・}}-\bar{\bar{e}})\)]
=bE[\((α_1\bar{e_{1・}}+α_2\bar{e_{2・}}+…+α_a\bar{e_{a・}})\)+\((α_1+α_2+…+α_a) \bar{\bar{e}})\)]
後ろの項について、\((α_1+α_2+…+α_a)\)=0です。
=bE[\((α_1\bar{e_{1・}}+α_2\bar{e_{2・}}+…+α_a\bar{e_{a・}})\)]
=b(\(α_1\)E[\(\bar{e_{1・}}\)]+\(α_2\)E[\(\bar{e_{2・}}\)]+…+\(α_a\)E[\(\bar{e_{a・}}\)])
さらにE[\(\bar{e_{i・}}\)]=0です。
残差の実際の値は0ではないですが、期待値は0になります。
よって、すべて0になるため、
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}}) \)]=0

➀Σの中の式変形に慣れましょう。
②E[\(\bar{e_{ij}}\)]と残差の期待値の式にも慣れましょう。
③わからない場合は、公式暗記から始めて、慣れたら式に慣れましょう。

平方和の分解のポイント

中間項が常に0になる。

平方和は簡単に分解できて、
\( (x_1+x_2+…+x_n)^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
が成り立ちます。

この関係が各効果の平方和として分解することができ、
ST= SA+ SB+ …+ Se
と分解できます。

まずは、暗記で構いませんが、慣れてきたら中間項が0になることを確認してください。高校数学レベルで解けます。

E[\(S_A\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(b(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(σ_e^2\))

主効果Aの自由度は\((a-1)\)より、分散の期待値E[VA]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については以下のように解きます。式の意味を読んで見ましょう。慣れるまでは、添字の種類と分母の種類を揃える点に注目しましょう。
\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(e_{i・}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}(e_{・j}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((e_{ij}-\bar{e_{i・}})^2\)]

意図的に以下のように式変形します。
\((e_{ij}-\bar{\bar{e}})\)=\(\color{red}{(e_{ij}-\bar{e_{i・}})}\)+\((\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})\)

次に、両辺の2乗和の期待値を作ります。次の関係式が成り立ちます(確かめてみてください)。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{e_{i・}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

次に分散\(σ_e^2\)を作ります。次の3種類ができます。
分散は、各残差の値\(e_{ij})と残差の平均との差分の2乗和です。
差分の2乗和をそのまま式に書きます。

添字の種類とΣの数に注目してください。添字、Σが3つ以下の②③④の左辺は、\(σ_e^2\)に自由度a,bで割った値となっています。
➀\(σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}\)]
②\(\frac{σ_e^2}{b}\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a} (\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
③\(\frac{σ_e^2}{a}\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b} (\bar{e_{・j}}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}\)]

➀➁➂の違いを見比べて、慣れましょう。慣れてから式の意味を考えましょう。

次に➀➁➂を変形します。
➀\((ab-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
②\((a-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
③\((b-1)σ_e^2\)=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{・j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

求めたい期待値
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
は➀―②で算出できます。
E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\((ab-1)σ_e^2\)-\((a-1)σ_e^2\)
=\(a(b-1)σ_e^2\)
となります。

結果をまとめます。
E[\(S_e\)]=\(a(b-1)σ_e^2\)

残差eの自由度は\(a(b-1)\)より、分散の期待値E[Ve ]が求まります。
E[\(V_e\)]=\(σ_e^2\)

④一元配置実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる
SA Se
a 1 -1
b
ab 1
1 -1

表から、
Aの列(縦)には、aに1,1に-1とありますから、自由度はa-1、
eの列(縦)には、abに1,aに-1とありますから、自由度はab-a=a(b-1)、
となります。

また、各自由度はデータの構造式の添字を見ればすぐわかります。
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
添字はiと平均を見ます。
添字iの自由度aから平均の自由度1を引きます。よって、a-1。

E[\(S_e\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)]
添字はijと平均iを見ます。
添字ijの自由度abから平均iの自由度aを引きます。よって、ab-a。

データの構造式が複雑になるほど、上の表を活用すると自由度が求めやすくなります。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
A a-1 \(σ_e^2\)+b\(σ_A^2\)
e a(b-1) \(σ_e^2\)
T ab-1

⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

  

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve

主効果Aの点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i・}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{x_{i・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))\)
=V[μ+\(\bar{x_{i・}}\)]
=V[\(\bar{x_{i・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

まとめ

一元配置実験の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ①一元配置実験のデータの構造式が書ける
  • ②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
  • ③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ④一元配置実験の分散分析ができる
  • ⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

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