カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる
「カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる
- ①累積ハザード法の基礎を理解する
- ➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する
- ➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる
- ➃打切りデータが無い場合
- ➄打切りデータが有る場合
累積ハザード法がわかると、
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か？
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か？
がわからなくなるので解説します！
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か？
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か？
がわからなくなるので解説します！
①累積ハザード法の基礎を理解する
まずは、関連記事を読んでください。この記事をベースに本記事は解説しています。
 |
累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！ 累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する
違いは何か？
両者とも、計算方法の雰囲気がよく似ています。だから、違いが何かがわかりにくい！
カプランマイヤー法
関連記事の例題で解説したように、以下の表を使って、信頼度R(t)を計算します。関連記事はこれです！
 |
ヒストグラムから信頼度が計算できる ヒストグラムを使って、故障率や信頼度の計算ができますか？ヒストグラムの区分をいくらにすべきを自分の言葉で説明できますか？本記事では、信頼性工学の初級であるヒストグラムを使って故障率や信頼度を計算する方法と、その注意点をわかりやすく解説しています。信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
| i | 打切り | \(R(t)\)=\(\displaystyle \prod_{l=1}^i (\frac{n-l}{n-l+1})^{δ_i}\) |
| 0 | – | 1 |
| 1 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)=0.8 |
| 2 | 0 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)=0.8 |
| 3 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)=0.533 |
| 4 | 0 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)=0.533 |
| 5 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)×\((\frac{0}{1})^1\)=0 |
累積ハザード法
上の例題を累積ハザード法を使って信頼度R(t)を計算します。
| i | 打切り | ハザードλ(t) | 累積ハザード法H(t) | R(t)=\(exp(-H(t))\) |
| 0 | – | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | \((\frac{1}{5})\) | \((\frac{1}{5})\)=0.2 | exp(-0.2)=0.819 |
| 2 | 0 | \((\frac{0}{4})\) | (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)) | – |
| 3 | 1 | \((\frac{1}{3})\) | \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)=0.53 | exp(-0.53)=0.589 |
| 4 | 0 | \((\frac{0}{2})\) | (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)) | – |
| 5 | 1 | \((\frac{1}{1})\) | \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)+\((\frac{1}{1})\)=1.53 | exp(-1.53)=0.217 |
よく見ると、
| i | 打切り | カプランマイヤー法R(T) | 累積ハザード法H(t) |
| 0 | – | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)=0.8 | \((\frac{1}{5})\)=0.2 |
| 2 | 0 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)=0.8 | (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)) |
| 3 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)=0.533 | \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)=0.53 |
| 4 | 0 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)=0.533 | (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)) |
| 5 | 1 | 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)×\((\frac{0}{1})^1\)=0 | \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)+\((\frac{1}{1})\)=1.53 |
と、解き方がよく似ていますよね！
違いはわかりますか？
違いは、あまりありません！
打切り有無の両ケースを使って、２つの手法の計算結果をこれから比較しますが、
ほぼ同じ結果になります。
打切り有無の両ケースを使って、２つの手法の計算結果をこれから比較しますが、
ほぼ同じ結果になります。
あえて、違いをいえば、
●カプランマイヤー法の解き方は、指数分布を意識している
●累積ハザード法はワイブル分布などを意識している
くらいで、ほぼ同じと見てよいでしょうね。
●カプランマイヤー法の解き方は、指数分布を意識している
●累積ハザード法はワイブル分布などを意識している
くらいで、ほぼ同じと見てよいでしょうね。
実際に例題を使って比較しましょう。
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いをまとめた記事はＱＣプラネッツだけ！
➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる
例題
関連記事にもある、例題を使ってみましょう。同じ問いを使うことで、手法の違いが理解できます！
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 800 | 350 | 730 | 1770 | 390 |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 110 | 100 | 160 | 940 | 320 |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 40 | 190 | 590 | 1260 | 420 |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 250 | 490 | 1060 | 290 | 630 |
【問】
上の表データを
(1)カプランマイヤー法
(2)累積ハザード法
で、それぞれ信頼度Ｒを計算せよ。
上の表データを
(1)カプランマイヤー法
(2)累積ハザード法
で、それぞれ信頼度Ｒを計算せよ。
手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える
下表のようになります。これは、カプランマイヤー法、累積ハザード法両方とも同じです。
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 40 | 100 | 110 | 160 | 190 |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 250 | 290 | 320 | 350 | 390 |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 420 | 490 | 590 | 630 | 730 |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 800 | 940 | 1060 | 1260 | 1770 |
➃打切りデータが無い場合
まず、打切りが無い場合を解いてみましょう。
カプランマイヤー法
結果を表にまとめると、
| i | 打切り | カプランマイヤー法R(T) |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)=0.95 |
| 2 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.9 |
| 3 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)=0.85 |
| 4 | 1 | 0.8 |
| 5 | 1 | 0.75 |
| 6 | 1 | 0.7 |
| 7 | 1 | 0.65 |
| 8 | 1 | 0.6 |
| 9 | 1 | 0.55 |
| 10 | 1 | 0.5 |
| 11 | 1 | 0.45 |
| 12 | 1 | 0.4 |
| 13 | 1 | 0.35 |
| 14 | 1 | 0.3 |
| 15 | 1 | 0.25 |
| 16 | 1 | 0.2 |
| 17 | 1 | 0.15 |
| 18 | 1 | 0.1 |
| 19 | 1 | 0.05 |
| 20 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)×…×\((\frac{0}{1})^1\)=0 |
累積ハザード法
|
累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！ 累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
累積ハザードを計算すると、下表になります。
| i | 打切り | ハザードλ | 累積ハザード H(t)=∑λ |
信頼度R(t)= \(exp(-H(t)\) |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.05 | 0.05 | 0.951 |
| 2 | 1 | \((\frac{1}{19})^1\)=0.053 | 0.103 | 0.902 |
| 3 | 1 | \((\frac{1}{18})^1\)=0.056 | 0.158 | 0.854 |
| 4 | 1 | \((\frac{1}{17})^1\)=0.059 | 0.217 | 0.805 |
| 5 | 1 | \((\frac{1}{16})^1\)=0.063 | 0.28 | 0.756 |
| 6 | 1 | \((\frac{1}{15})^1\)=0.067 | 0.346 | 0.707 |
| 7 | 1 | \((\frac{1}{14})^1\)=0.071 | 0.418 | 0.659 |
| 8 | 1 | \((\frac{1}{13})^1\)=0.077 | 0.495 | 0.61 |
| 9 | 1 | \((\frac{1}{12})^1\)=0.083 | 0.578 | 0.561 |
| 10 | 1 | \((\frac{1}{11})^1\)=0.091 | 0.669 | 0.512 |
| 11 | 1 | \((\frac{1}{10})^1\)=0.1 | 0.769 | 0.464 |
| 12 | 1 | \((\frac{1}{9})^1\)=0.111 | 0.88 | 0.415 |
| 13 | 1 | \((\frac{1}{8})^1\)=0.125 | 1.005 | 0.366 |
| 14 | 1 | \((\frac{1}{7})^1\)=0.143 | 1.148 | 0.317 |
| 15 | 1 | \((\frac{1}{6})^1\)=0.167 | 1.314 | 0.269 |
| 16 | 1 | \((\frac{1}{5})^1\)=0.2 | 1.514 | 0.22 |
| 17 | 1 | \((\frac{1}{4})^1\)=0.25 | 1.764 | 0.171 |
| 18 | 1 | \((\frac{1}{3})^1\)=0.333 | 2.098 | 0.123 |
| 19 | 1 | \((\frac{1}{2})^1\)=0.5 | 2.598 | 0.074 |
| 20 | 1 | \((\frac{1}{1})^1\)=1 | 3.598 | 0.027 |
カプランマイヤー法と累積ハザード法を比較
結果は、
| i | 打切り | カプランマイヤー法R(T) | 信頼度R(t)=\(exp(-H(t)\) |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)=0.95 | 0.951 |
| 2 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.9 | 0.902 |
| 3 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)=0.85 | 0.854 |
| 4 | 1 | 0.8 | 0.805 |
| 5 | 1 | 0.75 | 0.756 |
| 6 | 1 | 0.7 | 0.707 |
| 7 | 1 | 0.65 | 0.659 |
| 8 | 1 | 0.6 | 0.61 |
| 9 | 1 | 0.55 | 0.561 |
| 10 | 1 | 0.5 | 0.512 |
| 11 | 1 | 0.45 | 0.464 |
| 12 | 1 | 0.4 | 0.415 |
| 13 | 1 | 0.35 | 0.366 |
| 14 | 1 | 0.3 | 0.317 |
| 15 | 1 | 0.25 | 0.269 |
| 16 | 1 | 0.2 | 0.22 |
| 17 | 1 | 0.15 | 0.171 |
| 18 | 1 | 0.1 | 0.123 |
| 19 | 1 | 0.05 | 0.074 |
| 20 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)×…×\((\frac{0}{1})^1\)=0 | 0.027 |
グラフで比較すると
両者とも、結果はほぼ同じとわかりました。
次に、打ち切りデータが有る場合を調べます。
➄打切りデータが有る場合
まず、打切りが有る場合を解いてみましょう。
打切りデータ有りの例題
打切りデータが無い場合のデータからいくつか、打切り有りのデータに変えましょう。
| サンプル番号 (A) |
順位i (B) |
時間ti (D) |
打切り有無 ○：未故障(打切り有) ×故障(打切り無) |
| 11 | 1 | 800 | ○ |
| 7 | 2 | 350 | × |
| 6 | 3 | 730 | × |
| 8 | 4 | 1770 | ○ |
| 12 | 5 | 390 | × |
| 16 | 6 | 110 | ○ |
| 19 | 7 | 100 | × |
| 10 | 8 | 160 | × |
| 2 | 9 | 940 | × |
| 5 | 10 | 320 | × |
| 15 | 11 | 40 | × |
| 17 | 12 | 190 | × |
| 13 | 13 | 590 | × |
| 20 | 14 | 1260 | ○ |
| 3 | 15 | 420 | × |
| 1 | 16 | 250 | × |
| 9 | 17 | 490 | × |
| 18 | 18 | 1060 | ○ |
| 14 | 19 | 290 | × |
| 4 | 20 | 630 | ○ |
カプランマイヤー法
結果を表にまとめると、
| i | 打切り | カプランマイヤー法R(T) |
| 1 | 0 | 1×\((\frac{19}{20})^0\)=1 |
| 2 | 1 | 1×\((\frac{19}{20})^0\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.947 |
| 3 | 1 | 0.895 |
| 4 | 0 | 0.895 |
| 5 | 1 | 0.839 |
| 6 | 0 | 0.839 |
| 7 | 1 | 0.779 |
| 8 | 1 | 0.719 |
| 9 | 1 | 0.659 |
| 10 | 1 | 0.599 |
| 11 | 1 | 0.539 |
| 12 | 1 | 0.479 |
| 13 | 1 | 0.419 |
| 14 | 0 | 0.419 |
| 15 | 1 | 0.35 |
| 16 | 1 | 0.28 |
| 17 | 1 | 0.21 |
| 18 | 0 | 0.21 |
| 19 | 1 | 0.105 |
| 20 | 0 | 1×\((\frac{19}{20})^0\)×\((\frac{18}{19})^1\)×…×\((\frac{1}{2})^0\)=0.105 |
累積ハザード法
累積ハザードを計算すると、下表になります。
| i | 打切り | ハザードλ(t) | 累積ハザードH(t)=∑λ(t) | 信頼度R(t)=\(exp(-H(t)\)) |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 0 | – |
| 2 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0526 | 0.053 | 0.949 |
| 3 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0556 | 0.108 | 0.897 |
| 4 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 0.108 | – |
| 5 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0625 | 0.171 | 0.843 |
| 6 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 0.171 | – |
| 7 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0714 | 0.242 | 0.785 |
| 8 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0769 | 0.319 | 0.727 |
| 9 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0833 | 0.402 | 0.669 |
| 10 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.0909 | 0.493 | 0.611 |
| 11 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.1 | 0.593 | 0.553 |
| 12 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.111 | 0.704 | 0.494 |
| 13 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.125 | 0.829 | 0.436 |
| 14 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 0.829 | – |
| 15 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.167 | 0.996 | 0.369 |
| 16 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.2 | 1.196 | 0.302 |
| 17 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.25 | 1.446 | 0.236 |
| 18 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 1.446 | – |
| 19 | 1 | \((\frac{1}{20})^1\)=0.5 | 1.946 | 0.143 |
| 20 | 0 | \((\frac{0}{20})^1\)=0 | 1.946 | – |
カプランマイヤー法と累積ハザード法を比較
結果は、
| 時間ti | 累積ハザード法 | カプランマイヤー法 |
| 40 | – | 1 |
| 100 | 0.949 | 0.947 |
| 110 | 0.897 | 0.895 |
| 160 | – | 0.895 |
| 190 | 0.843 | 0.839 |
| 250 | – | 0.839 |
| 290 | 0.785 | 0.779 |
| 320 | 0.727 | 0.719 |
| 350 | 0.669 | 0.659 |
| 390 | 0.611 | 0.599 |
| 420 | 0.553 | 0.539 |
| 490 | 0.494 | 0.479 |
| 590 | 0.436 | 0.419 |
| 630 | – | 0.419 |
| 730 | 0.369 | 0.35 |
| 800 | 0.302 | 0.28 |
| 940 | 0.236 | 0.21 |
| 1060 | – | 0.21 |
| 1260 | 0.143 | 0.105 |
| 1770 | – | 0.105 |
グラフで比較すると
両者とも、結果はほぼ同じとわかりました。
カプランマイヤー法も累積ハザード法も信頼度R(t)はほぼ同じ結果になることがわかりましたね！
まとめ
「カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる」を解説しました。
- ①累積ハザード法の基礎を理解する
- ➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する
- ➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる
- ➃打切りデータが無い場合
- ➄打切りデータが有る場合
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119