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カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる

信頼性工学

「カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわからない」、と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる
  • ①累積ハザード法の基礎を理解する
  • ➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する
  • ➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる
  • ➃打切りデータが無い場合
  • ➄打切りデータが有る場合
累積ハザード法がわかると、
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か?
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か?
がわからなくなるので解説します!

①累積ハザード法の基礎を理解する

まずは、関連記事を読んでください。この記事をベースに本記事は解説しています。

累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる!
累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか? 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します! 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する

違いは何か?

両者とも、計算方法の雰囲気がよく似ています。だから、違いが何かがわかりにくい!

カプランマイヤー法

関連記事の例題で解説したように、以下の表を使って、信頼度R(t)を計算します。関連記事はこれです!

ヒストグラムから信頼度が計算できる
ヒストグラムを使って、故障率や信頼度の計算ができますか?ヒストグラムの区分をいくらにすべきを自分の言葉で説明できますか?本記事では、信頼性工学の初級であるヒストグラムを使って故障率や信頼度を計算する方法と、その注意点をわかりやすく解説しています。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

i 打切り \(R(t)\)=\(\displaystyle \prod_{l=1}^i (\frac{n-l}{n-l+1})^{δ_i}\)
0 1
1 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)=0.8
2 0 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)=0.8
3 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)=0.533
4 0 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)=0.533
5 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)×\((\frac{0}{1})^1\)=0

累積ハザード法

上の例題を累積ハザード法を使って信頼度R(t)を計算します。

i 打切り ハザードλ(t) 累積ハザード法H(t) R(t)=\(exp(-H(t))\)
0 0 0 1
1 1 \((\frac{1}{5})\) \((\frac{1}{5})\)=0.2 exp(-0.2)=0.819
2 0 \((\frac{0}{4})\) (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\))
3 1 \((\frac{1}{3})\) \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)=0.53 exp(-0.53)=0.589
4 0 \((\frac{0}{2})\) (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\))
5 1 \((\frac{1}{1})\) \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)+\((\frac{1}{1})\)=1.53 exp(-1.53)=0.217

よく見ると、

i 打切り カプランマイヤー法R(T) 累積ハザード法H(t)
0 1 0
1 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)=0.8 \((\frac{1}{5})\)=0.2
2 0 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)=0.8 (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\))
3 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)=0.533 \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)=0.53
4 0 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)=0.533 (\((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\))
5 1 1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)×\((\frac{0}{1})^1\)=0 \((\frac{1}{5})\)+\((\frac{0}{4})\)+\((\frac{1}{3})\)+\((\frac{0}{2})\)+\((\frac{1}{1})\)=1.53

と、解き方がよく似ていますよね!

違いはわかりますか?

違いは、あまりありません!
打切り有無の両ケースを使って、2つの手法の計算結果をこれから比較しますが、
ほぼ同じ結果になります。
あえて、違いをいえば、
●カプランマイヤー法の解き方は、指数分布を意識している
●累積ハザード法はワイブル分布などを意識している
くらいで、ほぼ同じと見てよいでしょうね。
実際に例題を使って比較しましょう。
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いをまとめた記事はQCプラネッツだけ!

➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる

例題

関連記事にもある、例題を使ってみましょう。同じ問いを使うことで、手法の違いが理解できます!

サンプル番号 1 2 3 4 5
時間t 800 350 730 1770 390
サンプル番号 6 7 8 9 10
時間t 110 100 160 940 320
サンプル番号 11 12 13 14 15
時間t 40 190 590 1260 420
サンプル番号 16 17 18 19 20
時間t 250 490 1060 290 630

【問】
上の表データを
(1)カプランマイヤー法
(2)累積ハザード法
で、それぞれ信頼度Rを計算せよ。

手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える

下表のようになります。これは、カプランマイヤー法、累積ハザード法両方とも同じです。

サンプル番号 1 2 3 4 5
時間t 40 100 110 160 190
サンプル番号 6 7 8 9 10
時間t 250 290 320 350 390
サンプル番号 11 12 13 14 15
時間t 420 490 590 630 730
サンプル番号 16 17 18 19 20
時間t 800 940 1060 1260 1770

➃打切りデータが無い場合

まず、打切りが無い場合を解いてみましょう。

カプランマイヤー法

結果を表にまとめると、

i 打切り カプランマイヤー法R(T)
0 1 1
1 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)=0.95
2 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.9
3 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)=0.85
4 1 0.8
5 1 0.75
6 1 0.7
7 1 0.65
8 1 0.6
9 1 0.55
10 1 0.5
11 1 0.45
12 1 0.4
13 1 0.35
14 1 0.3
15 1 0.25
16 1 0.2
17 1 0.15
18 1 0.1
19 1 0.05
20 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)×…×\((\frac{0}{1})^1\)=0

累積ハザード法

累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる!
累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか? 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します! 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

累積ハザードを計算すると、下表になります。

i 打切り ハザードλ 累積ハザード
H(t)=∑λ
信頼度R(t)=
\(exp(-H(t)\)
0 1 0 0 1
1 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.05 0.05 0.951
2 1 \((\frac{1}{19})^1\)=0.053 0.103 0.902
3 1 \((\frac{1}{18})^1\)=0.056 0.158 0.854
4 1 \((\frac{1}{17})^1\)=0.059 0.217 0.805
5 1 \((\frac{1}{16})^1\)=0.063 0.28 0.756
6 1 \((\frac{1}{15})^1\)=0.067 0.346 0.707
7 1 \((\frac{1}{14})^1\)=0.071 0.418 0.659
8 1 \((\frac{1}{13})^1\)=0.077 0.495 0.61
9 1 \((\frac{1}{12})^1\)=0.083 0.578 0.561
10 1 \((\frac{1}{11})^1\)=0.091 0.669 0.512
11 1 \((\frac{1}{10})^1\)=0.1 0.769 0.464
12 1 \((\frac{1}{9})^1\)=0.111 0.88 0.415
13 1 \((\frac{1}{8})^1\)=0.125 1.005 0.366
14 1 \((\frac{1}{7})^1\)=0.143 1.148 0.317
15 1 \((\frac{1}{6})^1\)=0.167 1.314 0.269
16 1 \((\frac{1}{5})^1\)=0.2 1.514 0.22
17 1 \((\frac{1}{4})^1\)=0.25 1.764 0.171
18 1 \((\frac{1}{3})^1\)=0.333 2.098 0.123
19 1 \((\frac{1}{2})^1\)=0.5 2.598 0.074
20 1 \((\frac{1}{1})^1\)=1 3.598 0.027

カプランマイヤー法と累積ハザード法を比較

結果は、

i 打切り カプランマイヤー法R(T) 信頼度R(t)=\(exp(-H(t)\)
0 1 1 1
1 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)=0.95 0.951
2 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.9 0.902
3 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)=0.85 0.854
4 1 0.8 0.805
5 1 0.75 0.756
6 1 0.7 0.707
7 1 0.65 0.659
8 1 0.6 0.61
9 1 0.55 0.561
10 1 0.5 0.512
11 1 0.45 0.464
12 1 0.4 0.415
13 1 0.35 0.366
14 1 0.3 0.317
15 1 0.25 0.269
16 1 0.2 0.22
17 1 0.15 0.171
18 1 0.1 0.123
19 1 0.05 0.074
20 1 1×\((\frac{19}{20})^1\)×\((\frac{18}{19})^1\)×\((\frac{17}{18})^1\)×…×\((\frac{0}{1})^1\)=0 0.027

グラフで比較すると

カプランマイヤー法と累積ハザード法

両者とも、結果はほぼ同じとわかりました。

次に、打ち切りデータが有る場合を調べます。

➄打切りデータが有る場合

まず、打切りが有る場合を解いてみましょう。

打切りデータ有りの例題

打切りデータが無い場合のデータからいくつか、打切り有りのデータに変えましょう。

サンプル番号
(A)
順位i
(B)
時間ti
(D)
打切り有無
○:未故障(打切り有)
×故障(打切り無)
11 1 800
7 2 350 ×
6 3 730 ×
8 4 1770
12 5 390 ×
16 6 110
19 7 100 ×
10 8 160 ×
2 9 940 ×
5 10 320 ×
15 11 40 ×
17 12 190 ×
13 13 590 ×
20 14 1260
3 15 420 ×
1 16 250 ×
9 17 490 ×
18 18 1060
14 19 290 ×
4 20 630

カプランマイヤー法

結果を表にまとめると、

i 打切り カプランマイヤー法R(T)
1 0 1×\((\frac{19}{20})^0\)=1
2 1 1×\((\frac{19}{20})^0\)×\((\frac{18}{19})^1\)=0.947
3 1 0.895
4 0 0.895
5 1 0.839
6 0 0.839
7 1 0.779
8 1 0.719
9 1 0.659
10 1 0.599
11 1 0.539
12 1 0.479
13 1 0.419
14 0 0.419
15 1 0.35
16 1 0.28
17 1 0.21
18 0 0.21
19 1 0.105
20 0 1×\((\frac{19}{20})^0\)×\((\frac{18}{19})^1\)×…×\((\frac{1}{2})^0\)=0.105

累積ハザード法

累積ハザードを計算すると、下表になります。

i 打切り ハザードλ(t) 累積ハザードH(t)=∑λ(t) 信頼度R(t)=\(exp(-H(t)\))
0 1 0 0 1
1 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 0
2 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0526 0.053 0.949
3 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0556 0.108 0.897
4 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 0.108
5 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0625 0.171 0.843
6 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 0.171
7 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0714 0.242 0.785
8 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0769 0.319 0.727
9 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0833 0.402 0.669
10 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.0909 0.493 0.611
11 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.1 0.593 0.553
12 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.111 0.704 0.494
13 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.125 0.829 0.436
14 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 0.829
15 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.167 0.996 0.369
16 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.2 1.196 0.302
17 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.25 1.446 0.236
18 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 1.446
19 1 \((\frac{1}{20})^1\)=0.5 1.946 0.143
20 0 \((\frac{0}{20})^1\)=0 1.946

カプランマイヤー法と累積ハザード法を比較

結果は、

時間ti 累積ハザード法 カプランマイヤー法
40 1
100 0.949 0.947
110 0.897 0.895
160 0.895
190 0.843 0.839
250 0.839
290 0.785 0.779
320 0.727 0.719
350 0.669 0.659
390 0.611 0.599
420 0.553 0.539
490 0.494 0.479
590 0.436 0.419
630 0.419
730 0.369 0.35
800 0.302 0.28
940 0.236 0.21
1060 0.21
1260 0.143 0.105
1770 0.105

グラフで比較すると

カプランマイヤー法と累積ハザード法

両者とも、結果はほぼ同じとわかりました。

カプランマイヤー法も累積ハザード法も信頼度R(t)はほぼ同じ結果になることがわかりましたね!

まとめ

「カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる」を解説しました。

  • ①累積ハザード法の基礎を理解する
  • ➁カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いを理解する
  • ➂同じ問題をカプランマイヤー法と累積ハザード法それぞれで解いてみる
  • ➃打切りデータが無い場合
  • ➄打切りデータが有る場合


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