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【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる

信頼性工学

「MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式の意味や導出過程がわからない」、と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる
  • ①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな!
  • ➁点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる
  • ➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる
  • ➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる
QC検定®1級受験者は必読!
公式暗記より導出過程を理解せよ!
自力で導出できない式は公式でも使うな!

公式にもてあそばれないよう、ちゃんと式の導出を解説します!

●商標使用について、
①QC検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂QCプラネッツは、QC検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな!

QC検定®1級必須の公式

本記事で対象とする公式です。

打切り無し 定数打切り 定時打切り
点推定 \(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_c)\)
信頼下限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2(r+1),\frac{α}{2})}\)
信頼上限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\)

全公式は自力で導出できますか?
区間推定の式で何で「Tではなく、2Tなの?」
区間推定の式で何で「自由度がr,nでなく、2r,2nなの?」
定時と定数打ち切りの区間推定の式で何で「自由度が2rと2(r+1)と違う値を使うの?」
全部解説します!QCプラネッツにお任せください!

①点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる

1つの式で導出できる

再掲しますが、

打切り無し 定数打切り 定時打切り
点推定 \(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_c)\)

と3つ式が書いています。よく教科書では、

\(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \)
を最初に説明して、その変形版として、
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)

\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_c)\)
を解説していますね。

でも、この流れだと、

\(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \)
から
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)
には変形できません。

やってみればわかります。やってみてわかったことは、

導出過程が逆です!

つまり、

点推定は1つの式
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)
でよい。
打切りが無い場合は\(r=n\)になるので、
\(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \)
と変形できるってことです。
公式暗記は厳禁! QC検定®1級くらい目指すならなおさら!

1つずつ詳しくみてきましょう。

(i)打切りデータ無しの場合

打切りデータが無い場合は、下図のように、\(t_1\),\(t_2\),…, \(t_n\)と各故障時間を見ていきます。

打切り無し

MTBF,MTTFの点推定は公式

MTBF,MTTFの点推定は1つの式
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)
が基本形で、
打切りが無い場合は\(r=n\)となるので、
\(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \)
と変形できる!

となります。

(ii)定時打切りの場合

定時打切りの場合は、下図のように、ある時刻\(t_c\) (故障が\(r\)回と\(r+1\)回の間に到達する時間とします。)で区切ります。

定時打切り

MTBF,MTTFの点推定は公式

MTBF,MTTFの点推定は1つの式
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)
が基本形で、
は\( t_r \)を\(t_c\)と変えると、
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_c)\)
と変形できる!

となります。

(iii)定数打ち切りの場合

定数打切りの場合は、下図のように、\(r回\)で故障する時刻\(t_r\) で区切ります。

定数打切り

MTBF,MTTFの点推定は公式

MTBF,MTTFの点推定は1つの式
\(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\)
が基本形でよいです。

となります。

点推定の求め方を再掲すると

打切り無し 定数打切り 定時打切り
点推定 \(\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n}t_i) \) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_r)\) \(\frac{1}{r} (\sum_{i=1}^{r}t_i +(n-r) t_c)\)

と3つ式がありますが、1つの考え方で3パタ―ンの式になることが良くわかりますね。

➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる

次に推定区間を求める式を解説します。これ、式の意味がわからないと暗記は正直キツイ。私もQC検定®1級試験時は思い出せなかった! なので、導出過程を理解しましょう。

推定区間の導出式の表を再掲します。

打切り無し 定数打切り 定時打切り
信頼下限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2(r+1),\frac{α}{2})}\)
信頼上限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\)

指数分布、ガンマ分布、χ2乗分布の関係性を理解する

指数関数なのに、区間はχ2乗分布でしかも、2Tなり、自由度2nだったり、定時打切りと定数打切りでは自由度が若干違うなど、訳が分からないですよね!

全部解説します!QCプラネッツにお任せください!

ほな、解説行きます!

2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる

この理由は、

数学で証明できます。

関連記事で詳しく解説しています。ご確認ください。

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理解するポイント

下図のように、

MTBF

  1. 指数関数をn回畳み込み積分するとガウス分布になる(数学的帰納法で証明できる)
  2. ガンマ分布の変数を変換するとχ2乗分布の確率密度関数と一致する

となります。

ここで、χ2乗分布の確率密度関数
\(f(t,n)\)=\(\frac{1}{2^{n/2} Γ(n/2)} t^{n/2 -1} e^{-t/2}\)
に対して、
\(t=2λx\),\(n=2m\)と変換すると
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2^{m} Γ(m)} (2λx)^{m -1} e^{-λx}\)
=\(\frac{λ^{m-1}}{2Γ(m)} λ^{m-1} e^{-λx}\)
=\(\frac{1}{2λ} g(x)\)
(ここで\(g(x)\)はガンマ分布の確率密度関数)
となります。

ここで、変数\(x\)を総時間\(T\)に、
指数関数の場合の MTBF=\(\frac{1}{λ}\)の関係を代入すると、
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2λ} g(x)\)から
\(f(\frac{2T}{MTBF},2n)\)= \(\frac{1}{2λ} g(T)\)

つまり、総時間\(T\)は指数分布の畳み込み積分から成る、
ガンマ分布\(g(T)\)に従うが、
これはχ2乗分布\(f(\frac{2T}{MTBF},2n)\)の定数倍の関係になるので、
2Tは自由度2nのχ2乗分布に従って計算してよいとなります!

よって、

\(\frac{2T}{MTBF}\)=\(χ^2(2n,α)\)
と使ってよく、変形すると、
MTBF=\(\frac{2T}{χ^2(2n,α)}\)
という式が成り立ちます。
超難しいけど、ちゃんと式が導出できた!。

➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる

自由度を2n,2(n+1)と異なる理由

この理由は簡単です。

●定数の場合はr個の時で打ち切るので、自由度は2n
●定時の場合は時間で区切るので、故障数がr個とr+1個の間になるので、定数打切りと区別するために自由度2(r+1)としている。

これがわかれば、表を再掲しますが、随分、区間推定しやすくなったはずです。

打切り無し 定数打切り 定時打切り
信頼下限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2(r+1),\frac{α}{2})}\)
信頼上限 \(\frac{2T}{χ^2(2n,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\) \(\frac{2T}{χ^2(2r,1-\frac{α}{2})}\)

実務上は自由度2nでもOK

でも、

定時と定数で区間の式は1つでもいいんじゃないの? 自由度2nで統一しちゃ、ダメなの?

と疑問に思いませんか?

その答えは、

実務上はOK。むしろ自由度2nの方がベター。でも試験は自由度を分けた方がいい。

実務上はOKな理由

区間下限値の\(\frac{1}{χ^2(2(n+1),α)}\)より、\(\frac{1}{χ^2(2n,α)}\)の方が大きくなり、区間が短くなり厳しい条件となるから。

χ2乗分布の値の表をみると、
\(χ^2(2(n+1),α)\) > \(χ^2(2n,α)\)です。
この逆数を考えたら、大小関係がわかりますね。

でも、試験の時は、求められる公式が使えるかどうかを確かめているので、個別の公式を使ってください。

MTBFの区間推定の式の謎が解明しました!

まとめ

「【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる」を解説しました。

  • ①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな!
  • ➁点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる
  • ➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる
  • ➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる


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