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平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(ポアソン分布)

抜取検査

「平均出検品質AOQって何?」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何?」などがわからず、困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

選別型抜取検査(JISZ9015)の平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる

>選別型抜取検査(JISZ9015)の平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)

  • ➀平均出検品質AOQを定義
  • ②平均出検品限界質AOQLを導出
  • ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)

➀平均出検品質AOQを定義

AOQとは、「検査後の不良率」で
選別型抜取検査の場合
AOQ=pL(p)
p:不良率
L(p):ロットの不良率
で表現できます。

詳細は、関連記事にありますので、確認ください。

関連記事「平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)」も読んで確認しましょう。本記事は、関連記事のポアソン分布版です。

②平均出検品限界質AOQLを導出

関連記事「平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)」も読んで確認しましょう。本記事は、関連記事のポアソン分布版です。

③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)

 

AOQLの導出は、

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
L(p)+p \(\frac{d}{dp} L(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

を満たす、pを求めて、そのpに該当するAOQL=pL(p)を求めます。ただし、式が複雑なので、抜取個数cをc=0,1,2の場合について1つずつ求めてみます。

抜取個数c=0の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (np)^0}{ 0!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (-np+0)}{0!}(np)^0\)
=0

\( e^{-np} \) + \( e^{-np} (-np)\)
=0

1-np=0
p=1/n

AOQLを求めます。
AOQL=pL(p)
=p \( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (np)^0}{ 0!}\)
= \(\frac{1}{n} ftac{1}{e}\)

AOQ曲線を描いてAOQLをプロットしましょう。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

aoq

AOQLはp=1/nのとき、L(p)=\(\frac{1}{n×e}\)です。下表に数値をまとめると、確かにグラフと一致しています。

n p(=1/n) AOQL(=1/ne e=2.718)
1 1 0.368
2 0.5 0.183
3 0.33 0.122
4 0.25 0.092
5 0.2 0.074
8 0.125 0.046

抜取個数c=1の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{1} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{1} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

\( e^{-np} \) {\(\frac{(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(np)^1}{1!}\)
+\(\frac{(-np+0)(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(-np+1)(np)^1}{1!}\)}
=0

\((np)^2-(np)-1\)=0
p=\(\frac{1+\sqrt{5}}{2n}\) (p>0)
このpの値がAOQLを満たす値です。

AOQLとなるpの値が複雑なので、AOQのグラフを描きます。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

プロットしましょう。

aoq

抜取個数c=2の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{2} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{2} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

\( e^{-np} \) {\(\frac{(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(np)^1}{1!}\)
+ \(\frac{(np)^2}{2!}\)
+\(\frac{(-np+0)(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(-np+1)(np)^1}{1!}\)
\(\frac{(-np+2)(np)^2}{2!}\)}
=0

計算すると、
\((np)^2+(1-r)(np)-2r=0\)
p=\(\frac{-(1-r)+\sqrt{(1-r)^2+8r}}{2n}\)
このpの値がAOQLを満たす値です。

AOQLとなるpの値が複雑なので、AOQのグラフを描きます。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

プロットしましょう。

aoq

抜取個数c=0,1,2について、AOQを調べると
最大値があることがわかります。この値をAOQLとしています。

「平均出検品質AOQって何?」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何?」などがわからず、困っていませんか?

まとめ

二項分布について選別型抜取検査(JISZ9015)の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを導出しました。

  • ➀平均出検品質AOQを定義
  • ②平均出検品限界質AOQLを導出
  • ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)


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