計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(ポアソン分布)
「計数逐次抜取検査(JISZ9009)がよくわからない」、「合格判定線や平均検査個数の導出方法がわからない」など困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(ポアソン分布)
- ①逐次抜取検査とは何かがわかる
- ②合格判定線が必要な理由がわかる
- ③合格判定線の作り方がわかる
①逐次抜取検査とは何かがわかる
関連記事にまとめています。QCプラネッツでは、計数抜取検査は二項分布とポアソン分布の両方を解説します。ポアソン分布に慣れましょう。
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計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(二項分布) 計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論を解説します。OC曲線から逐次検査続行か、終了かを判断する判定式を詳細に解説します。また、平均検査個数の式も紹介します。逐次抜取検査をマスターしたい方は必見です。 |
②合格判定線が必要な理由がわかる
関連記事にまとめています。QCプラネッツでは、計数抜取検査は二項分布とポアソン分布の両方を解説します。ポアソン分布に慣れましょう。
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計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(二項分布) 計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論を解説します。OC曲線から逐次検査続行か、終了かを判断する判定式を詳細に解説します。また、平均検査個数の式も紹介します。逐次抜取検査をマスターしたい方は必見です。 |
③合格判定線の作り方がわかる
OC曲線から関係式を導出
OC曲線を描きます
赤枠はロットの不合格領域で、青枠がロットの合格領域です。
生産者危険を示す不良率p0、消費者危険を示す不良率p1とロット不良率について図から読むと
q0n=1-α、1-q0n=α
q1n=β、1- q1n=1-β
となります。
ここで、q0n, q1nを次のように定義します。
サンプル数nを抜き取り、n個の中にd個の不良品があるとして、
q0n：不良率p0であるときにロットが合格する確率
q1n：不良率p1であるときにロットが合格する確率
とします。
q0nとq1nの式を作ります。
●二項分布では、
\(q_{0n}\)=\({}_nC_d p_0^d(1-p_0)^{n-d}\)
\(q_{1n}\)=\({}_nC_d p_1^d(1-p_1)^{n-d}\)
です。
●ポアソン分布では、
\(q_{0n}\)=\(e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}\)
\(q_{1n}\)=\(e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}\)
です。
注意として、不良品数dに限定します。通常はロットの合格率はΣの和となりますが、今回はΣを入れません(強引な感じがしますけど)
ポアソン分布のOC曲線の描き方について、関連記事で詳しく解説しています。エクセルで自動で曲線が描けるプログラムも紹介しています。
関連記事
●OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布をマスターする
●OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう
●2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける
●2回抜取方式のOC曲線(二項分布とポアソン分布)をプログラムで描こう
これだけ読めば、ポアソン分布恐怖症もなくなるでしょう。
合格判定条件式を導出
合格判定条件式
不良率p0, p1におけるロットの合格率を
\(q_{0n}\)=\(e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}\)
\(q_{1n}\)=\(e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}\)
としました。
次に合格、不合格の判定条件式を作ります。
①合格：\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\) ≤ \(\frac{β}{1-α}\)
②不合格：\(\frac{1-β}{α}\) ≤ \(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)
③検査続行：\(\frac{β}{1-α}\) < \(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\) < \(\frac{1-β}{α}\)
(③は①と②の間のイメージです。)
OC曲線の図を見ながら、判定式を確認しましょう。\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\) の意味を理解するのに、時間がかかるかもしれません。
ここで、\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\)の大小関係を確認します。
\(\frac{1-β}{α}\)-\(\frac{β}{1-α}\)
=\(\frac{(1-α)(1-β)-αβ}{α(1-α}\)
=\(\frac{1-(α+β)}{α(1-α}\) > 0
(α=0.05,β=0.10などと小さい値をとるので、1-(α+β) > 0)
よって、
\(\frac{1-β}{α}\) > \(\frac{β}{1-α}\)
合格判定条件式を計算
\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)を計算します。
\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=\(\frac{ e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}}{ e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}}\)
=\(e^{-n(p_1-p_0)}(\frac{p_1}{p_0})^d\)
指数が多いので、\(log_e\)を取ります。ポアソン分布の式には自然対数eがあるので、対数は10よりeを選択します。
\(log \frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=\(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)
合格判定式について式を変形します。
①合格：\(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\) ≤ \(log \frac{β}{1-α}\)
②不合格：\(log \frac{1-β}{α}\) ≤ \(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)
③検査続行：\(log \frac{β}{1-α}\) < \(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)< \(log\frac{1-β}{α}\)
大変な式に見えますが、大丈夫です。
ここで 以下のように変数を定義して整理します。
\(a\)=\(log \frac{1-β}{α}\)
-\(b\)=\(log \frac{β}{1-α}\)
\(g_1\)=\(p_1-p_0\)
-\(g_2\)=\(log p_1 – log p_0\)
合格判定式について式を変形します。
①合格：-n\(g_1\)+d\(g_2\) ≤ -\(b\)
②不合格：\(a\) ≤ -n\(g_1\)+d\(g_2\)
③検査続行：-\(b\) < -n\(g_1\)+d\(g_2\) < \(a\)
合格判定式についてさらに、式を変形します。
①合格：d ≤ \(n \frac{g_1}{g_2}-\frac{b}{g_2}\)
②不合格：\(n \frac{g_1}{g_2}+\frac{a}{g_2}\) ≤ d
③検査続行：\(n \frac{g_1}{g_2}-\frac{b}{g_2}\) < d < \(n \frac{g_1}{g_2}+\frac{a}{g_2}\)
さらに、変数を置き換えて見やすく整理します。
\(h_1\)=\(\frac{b}{g_2}\)
\(h_2\)=\(\frac{a}{g_2}\)
s=\(\frac{g_1}{g_2}\)
合格判定式をまとめます。
①合格：d ≤ -\(h_1\)+sn
②不合格： \(h_2\)+sn ≤ d
③検査続行：-\(h_1\)+sn < d & \(h_2\)+sn
直線の領域を表現する式に整理することができました。
合格判定線を作成
かなりの変数を置き換えたので一旦整理します。
| a=\(log\frac{1-β}{α}\) | \(h_1\)=\(\frac{b}{g_2}\) | 合格判定線 |
| -b=\(log\frac{β}{1-α}\) | \(h_2\)=\(\frac{a}{g_2}\) | y=-\(h_1\)+sn |
| \(g_1\)=\(p_1 – p_0\) | s=\(\frac{g_1}{g_2}\) | 不合格判定線 |
| \(g_2\)=\(log p1-log p0\) | – | y=\(h_2\)+sn |
具体事例
α=0.01,β=0.05,p0=0.08,p1=0.15の場合の判定線を計算します。
上の表を使って計算すると、
a=1.26,b=0.98,g1=0.07,g2=0.063,h1=1.56,h2=2.00,s=0.111
が導出できます。
結果が下図の通りとなります。
まとめ
計数逐次抜取検査(JISZ9009)でポアソン分布の合格判断基準について、解説しました。
- ①逐次抜取検査とは何かがわかる
- ②合格判定線が必要な理由がわかる
- ③合格判定線の作り方がわかる
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