2021/11/21 (更新日: 2023/12/01)

計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(ポアソン分布)

抜取検査

「計数逐次抜取検査(JISZ9009)がよくわからない」、「合格判定線や平均検査個数の導出方法がわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(ポアソン分布)

①逐次抜取検査とは何かがわかる
②合格判定線が必要な理由がわかる
③合格判定線の作り方がわかる

①逐次抜取検査とは何かがわかる

関連記事にまとめています。QCプラネッツでは、計数抜取検査は二項分布とポアソン分布の両方を解説します。ポアソン分布に慣れましょう。

計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(二項分布)
計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論を解説します。OC曲線から逐次検査続行か、終了かを判断する判定式を詳細に解説します。また、平均検査個数の式も紹介します。逐次抜取検査をマスターしたい方は必見です。

②合格判定線が必要な理由がわかる

関連記事にまとめています。QCプラネッツでは、計数抜取検査は二項分布とポアソン分布の両方を解説します。ポアソン分布に慣れましょう。

③合格判定線の作り方がわかる

逐次抜取検査の理論を詳細に解説した良書などが、ほとんどないため、QCプラネッツでしっかり解説します。

ポアソン分布についての逐次抜取検査の理論もほとんど書いていないため、QCプラネッツでしっかり解説します。

OC曲線から関係式を導出

計数値の抜取検査はすべて、OC曲線から考えます。

OC曲線を描きます

赤枠はロットの不合格領域で、青枠がロットの合格領域です。

生産者危険を示す不良率p₀、消費者危険を示す不良率p₁とロット不良率について図から読むと
q_0n=1-α、1-q_0n=α
q_1n=β、1- q_1n=1-β
となります。

ここで、q_0n, q_1nを次のように定義します。
サンプル数nを抜き取り、n個の中にd個の不良品があるとして、
q_0n：不良率p₀であるときにロットが合格する確率
q_1n：不良率p₁であるときにロットが合格する確率
とします。

q_0nとq_1nの式を作ります。
●二項分布では、
\(q_{0n}\)=\({}_nC_d p_0^d(1-p_0)^{n-d}\)
\(q_{1n}\)=\({}_nC_d p_1^d(1-p_1)^{n-d}\)
です。

●ポアソン分布では、
\(q_{0n}\)=\(e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}\)
\(q_{1n}\)=\(e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}\)
です。

注意として、不良品数dに限定します。通常はロットの合格率はΣの和となりますが、今回はΣを入れません(強引な感じがしますけど)

ポアソン分布のOC曲線の描き方について、関連記事で詳しく解説しています。エクセルで自動で曲線が描けるプログラムも紹介しています。

合格判定条件式を導出

合格判定条件式

不良率p₀, p₁におけるロットの合格率を
\(q_{0n}\)=\(e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}\)
\(q_{1n}\)=\(e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}\)
としました。

次に合格、不合格の判定条件式を作ります。

●逐次抜取検査の合格、不合格、検査続行の判定式
①合格：\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\) ≤ \(\frac{β}{1-α}\)
②不合格：\(\frac{1-β}{α}\) ≤ \(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)
③検査続行：\(\frac{β}{1-α}\) < \(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\) < \(\frac{1-β}{α}\)
(③は①と②の間のイメージです。)

OC曲線の図を見ながら、判定式を確認しましょう。\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\) の意味を理解するのに、時間がかかるかもしれません。

ここで、\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\)の大小関係を確認します。
\(\frac{1-β}{α}\)-\(\frac{β}{1-α}\)
=\(\frac{(1-α)(1-β)-αβ}{α(1-α}\)
=\(\frac{1-(α+β)}{α(1-α}\) > 0
(α=0.05,β=0.10などと小さい値をとるので、1-(α+β) > 0)
よって、
　\(\frac{1-β}{α}\) > \(\frac{β}{1-α}\)

合格判定条件式を計算

\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)を計算します。
\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=\(\frac{ e^{-np_1}\frac{(np_1)^d}{d!}}{ e^{-np_0}\frac{(np_0)^d}{d!}}\)
=\(e^{-n(p_1-p_0)}(\frac{p_1}{p_0})^d\)

指数が多いので、\(log_e\)を取ります。ポアソン分布の式には自然対数eがあるので、対数は10よりeを選択します。
\(log \frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=\(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)

合格判定式について式を変形します。
①合格：\(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\) ≤ \(log \frac{β}{1-α}\)
②不合格：\(log \frac{1-β}{α}\) ≤ \(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)
③検査続行：\(log \frac{β}{1-α}\) < \(-n(p_1-p_0)+d(log p_1 – log p_0)\)< \(log\frac{1-β}{α}\)

大変な式に見えますが、大丈夫です。
ここで以下のように変数を定義して整理します。
\(a\)=\(log \frac{1-β}{α}\)
-\(b\)=\(log \frac{β}{1-α}\)
\(g_1\)=\(p_1-p_0\)
-\(g_2\)=\(log p_1 – log p_0\)

合格判定式について式を変形します。
①合格：-n\(g_1\)+d\(g_2\) ≤ -\(b\)
②不合格：\(a\) ≤ -n\(g_1\)+d\(g_2\)
③検査続行：-\(b\) < -n\(g_1\)+d\(g_2\) < \(a\)

合格判定式についてさらに、式を変形します。
①合格：d ≤ \(n \frac{g_1}{g_2}-\frac{b}{g_2}\)
②不合格：\(n \frac{g_1}{g_2}+\frac{a}{g_2}\) ≤ d
③検査続行：\(n \frac{g_1}{g_2}-\frac{b}{g_2}\) < d < \(n \frac{g_1}{g_2}+\frac{a}{g_2}\)

さらに、変数を置き換えて見やすく整理します。
\(h_1\)=\(\frac{b}{g_2}\)
\(h_2\)=\(\frac{a}{g_2}\)
s=\(\frac{g_1}{g_2}\)

合格判定式をまとめます。
①合格：d ≤ -\(h_1\)+sn
②不合格： \(h_2\)+sn ≤ d
③検査続行：-\(h_1\)+sn < d & \(h_2\)+sn

直線の領域を表現する式に整理することができました。

合格判定線を作成

かなりの変数を置き換えたので一旦整理します。

a=\(log\frac{1-β}{α}\)	\(h_1\)=\(\frac{b}{g_2}\)	合格判定線
-b=\(log\frac{β}{1-α}\)	\(h_2\)=\(\frac{a}{g_2}\)	y=-\(h_1\)+sn
\(g_1\)=\(p_1 – p_0\)	s=\(\frac{g_1}{g_2}\)	不合格判定線
\(g_2\)=\(log p1-log p0\)	–	y=\(h_2\)+sn

具体事例

α=0.01,β=0.05,p0=0.08,p1=0.15の場合の判定線を計算します。
上の表を使って計算すると、
a=1.26,b=0.98,g1=0.07,g2=0.063,h1=1.56,h2=2.00,s=0.111
が導出できます。

結果が下図の通りとなります。

まとめ

計数逐次抜取検査(JISZ9009)でポアソン分布の合格判断基準について、解説しました。

①逐次抜取検査とは何かがわかる
②合格判定線が必要な理由がわかる
③合格判定線の作り方がわかる

抜取検査