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投稿者: QCプラネッツ

  • 回帰母数の検定と推定がよくわかる

    回帰母数の検定と推定がよくわかる

    「回帰母数の検定と推定がわからない」など、疑問に思いませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    回帰母数の検定と推定がよくわかる

    おさえておきたいポイント

    • ①回帰母数の検定・推定に必要な公式
    • ➁回帰の検定が理解できる例題
    • ➂回帰直線の傾きについての検定と推定
    • ➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定
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    ①回帰母数の検定・推定に必要な公式

    基本は、回帰直線の推定区間の導出から得られる公式を使って解いていきます。
    理論は関連記事で確認ください。

    回帰直線の区間推定が導出できる(その1)
    回帰直線の区間推定が暗記せず、公式が導出できますか？本記事では２回に分けて導出過程をわかりやすく解説します。公式暗記に頼らず式を理解することがとても大事です。回帰分析を勉強する人は必読です。

    回帰直線の区間推定が導出できる(その2)
    回帰直線の区間推定が暗記せず、公式が導出できますか？本記事では２回に分けて導出過程をわかりやすく解説します。公式暗記に頼らず式を理解することがとても大事です。回帰分析を勉強する人は必読です。

    傾き\(a\)について

    関連記事からは、傾き\(a\)の期待値E[\(a\)]と分散V[\(a\)]は以下の式です。

    ●E[\(a\)]= \(a\)
    ●V[\(a\)]= \(\frac{σ^2}{S_{xx}}\)

    なので、これが正規分布に従うとしたら、
    傾き\(a\)は、N[\(a\)、\(\frac{σ^2}{S_{xx}}\)]
    に従うと書けますね。

    標準化して、正規分布を使った検定統計量を式にすると

    \(u\)=\(\frac{a-a_0}{\sqrt{σ^2/S_{xx}}}\)
    は正規分布N(0,\(1^2\))に従います。

    ただし、実際は\(σ^2\)を推定しないといけないので、よくt分布の直して検定と推定を行いますね。個人的には、別に正規分布のままで検定と推定してもよいと思いますけど。

    \(σ^2\)→Veに直して、　残差の自由度\(n-2\)を使って、t分布に従う検定統計量を書き直します。

    ●検定統計量\(t\)=\(\frac{a-a_0}{\sqrt{Ve/S_{xx}}}\)
    は自由度\(n-2\)のt分布に従い、
    ●区間推定は \(a\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{\frac{Ve}{S_{xx}}}\)
    から計算します。

    \(y\)切片\(b\)について

    関連記事からは、傾きy切片\(b\)の期待値E[\(b\)]と分散V[\(b\)]は以下の式です。

    ●E[\(b\)]= \(b\)
    ●V[\(b\)]=\(σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})\)

    なので、これが正規分布に従うとしたら、
    傾き\(y\)切片\(b\)は、N[\(b\)、\(σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})\)]
    に従うと書けますね。

    標準化して、正規分布を使った検定統計量を式にすると

    \(u\)=\(\frac{b-b_0}{\sqrt{σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}}\)
    は正規分布N(0,\(1^2\))に従います。

    ただし、実際は\(σ^2\)を推定しないといけないので、よくt分布の直して検定と推定を行いますね。個人的には、別に正規分布のままで検定と推定してもよいと思いますけど。

    \(σ^2\)→Veに直して、　残差の自由度\(n-2\)を使って、t分布に従う検定統計量を書き直します。

    ●検定統計量\(t\)=\(\frac{b-b_0}{\sqrt{Ve(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}}\)
    は自由度\(n-2\)のt分布に従い、
    ●区間推定は \(b\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{Ve(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}\)
    から計算します。

    ＯＫですね。では、実例を使って計算してみましょう。

    ➁回帰の検定が理解できる例題

    例題をあげましょう。

    10個のデータがあったが、再実験して下表のデータが得られた。
    元のデータにおいては、
    ●傾き\(a_0\)=1.2
    ●\(y\)切片\(b_0\)=-8
    だった。
    (1) 傾き\(a\)において、元の傾きから変化したかどうかを検定せよ。
    (2) 傾き\(a\)における信頼率95%の信頼区間を計算せよ。
    (3) \(y\)切片\(b\)において、元の\(y\)切片から変化したかどうかを検定せよ。
    (4) \(y\)切片\(b\)における信頼率95%の信頼区間を計算せよ。
    No ｘ ｙ
    1 1.3 2.4
    2 3.4 4.5
    3 5.6 3.6
    4 7.5 6.7
    5 9.1 8.9
    6 11.2 6.6
    7 13.4 14.3
    8 13.7 24.5
    9 14.2 20.8
    10 16.2 30.5
    合計 95.6 122.8

    – 平方和 分散分析 S Φ V データ –
    Sxx 226.50 R 659.52 1 659.52 傾き\(a\) 1.7
    Syy 866.28 e 206.76 8 25.84 \(y\)切片\(b\) -4.03
    Sxy 386.50 T 866.28 9 ー R 0.76

    回帰分析

    では解いてみましょう。

    ➂回帰直線の傾きについての検定と推定

    傾きについての検定

    検定統計量を使って計算します。

    ●検定統計量\(t\)=\(\frac{a-a_0}{\sqrt{Ve/S_{xx}}}\)

    ●\(t\)=\(\frac{1.70-1.2}{\sqrt{25.84/226.50}}\)
    =1.50 < \(t(10-2,0.05)\)=2.306
    より、傾きが変化したとはいえないという結果になります。

    傾きについての推定

    ●区間推定は \(a\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{\frac{Ve}{S_{xx}}}\)

    ●区間推定=1.70± 2.306×\(\sqrt{\frac{25.84}{226.50}}\)
    =0.93～2.49
    となります。

    基本をしっかりおさえていれば、あとは公式代入で解けます。もちろん、理論が一番大事ですよ！

    ➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定

    ●検定統計量\(t\)=\(\frac{b-b_0}{\sqrt{Ve(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}}\)

    ●\(t\)=\(\frac{-4.03-(-8)}{\sqrt{25.84(\frac{1}{10}+\frac{\bar{9.56^2}}{226.50})}}\)
    =1.10 < \(t(10-2,0.05)\)=2.306
    より、\(y\)切片が変化したとはいえないという結果になります。

    傾きについての推定

    ●区間推定は \(b\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{Ve(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}\)

    ●区間推定=-4.03±2.306×\(\sqrt{25.84(\frac{1}{10}+\frac{\bar{9.56^2}}{226.50})}\)
    =-12.35～4.29
    となります。

    結構幅が広いことがわかりますね。

    難しい計算問題でしたが、ちゃんとできましたね！

    公式は導出できてから使いましょう。

    まとめ

    「回帰母数の検定と推定がよくわかる」を解説しました。

    • ①回帰母数の検定・推定に必要な公式
    • ➁回帰の検定が理解できる例題
    • ➂回帰直線の傾きについての検定と推定
    • ➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定

  • スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較する

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較する

    「スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数の違いがよくわからない」など、疑問に思いませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較する

    おさえておきたいポイント

    • ➀スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較
    • ➁スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する条件
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    スピアマンの順位相関係数については、特別に公式暗記する必要はありません。自分で導出できます。

    導出過程は関連記事で確認ください。

    スピアマンの順位相関係数が導出できる
    スピアマンの順位相関係数は導出できますか？本記事では、一般的に使うピアソンの相関係数からスピアマンの順位相関係数を導出します。公式暗記は不要で自力で導出できるので、マスターしましょう

    スピアマンの順位相関係数の正負の入れ替えがわかる
    スピアマンの順位相関係数では、変数の順位が降順・降順で入れ替わると相関係数の正負が入れ替わります。その理由をわかりやすく解説します。スピアマンの順位相関係数はピアソンの相関係数から計算できるので、スピアマンの順位相関係数のための公式暗記は一切不要です。

    ピアソンの相関係数と比較することで、スピアマンの順位相関係数の理解を深めましょう。大事な記事です！

    ➀スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較

    データを用意

    変数\(x,y\)からなる、変量データを用意します。下表のとおりです。

    No x y
    1 0.15 8.05
    2 1.2 4.05
    3 2.08 5.77
    4 2.42 11.2
    5 4.82 20.17
    6 5.93 17.21
    7 6.15 15.22
    8 6.5 18.38
    9 7.32 30.59
    10 8.45 8.99

    ピアソンの相関係数

    平方和\(S_{xx}\),\(S_{yy}\),\(S_{xy}\)を計算します。
    ●\(S_{xx}\)=\(\sum_{i=1}^{n}(x_i -\bar{x})^2\)
    ●\(S_{yy}\)=\(\sum_{i=1}^{n}(y_i -\bar{y})^2\)
    ●\(S_{xy}\)=\(\sum_{i=1}^{n}(x_i -\bar{x})(y_i-\bar{y})\)
    表を追加します。

    No x y \((x-\bar{x})^2\) \((y-\bar{y})^2\) \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\)
    1 0.15 8.05 18.94 34.96 25.73
    2 1.2 4.05 10.9 98.27 32.73
    3 2.08 5.77 5.87 67.13 19.84
    4 2.42 11.2 4.33 7.63 5.75
    5 4.82 20.17 0.1 38.53 1.97
    6 5.93 17.21 2.04 10.54 4.64
    7 6.15 15.22 2.72 1.58 2.07
    8 6.5 18.38 3.99 19.51 8.83
    9 7.32 30.59 7.94 276.46 46.85
    10 8.45 8.99 15.59 24.73 -19.63
    合計 45.02 139.63 72.42 579.34 128.79
    平均 4.502 13.963 ↑(\(S_{xx}\)) ↑(\(S_{yy}\)) ↑(\(S_{xy}\))

    よって、ピアソンの相関係数\(r\)は、

    ピアソンの相関係数\(r\)
    \(r\)=\(\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}\)
    =\(\frac{128.79}{\sqrt{72.42×579.34}}\)
    =0.629

    これは、簡単ですね。

    スピアマンの順位相関係数

    変数\(x,y\)の順位をつけましょう。下表のとおりに変化しますね。

    – 実測データ 順位
    No x y x y
    1 0.15 8.05 1 3
    2 1.2 4.05 2 1
    3 2.08 5.77 3 2
    4 2.42 11.2 4 5
    5 4.82 20.17 5 9
    6 5.93 17.21 6 7
    7 6.15 15.22 7 6
    8 6.5 18.38 8 8
    9 7.32 30.59 9 10
    10 8.45 8.99 10 4

    スピアマンの順位相関係数\(r’\)を計算します。

    関連記事から、導出式を使います。

    スピアマンの順位相関係数が導出できる
    スピアマンの順位相関係数は導出できますか？本記事では、一般的に使うピアソンの相関係数からスピアマンの順位相関係数を導出します。公式暗記は不要で自力で導出できるので、マスターしましょう

    ●スピアマンの順位相関係数
    \(r\)=1-\(\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}\)
    ここで、\(d_i\)=\(x_i -y_i\)

    計算に必要なデータは下表にあります。

    No x y d=x-y d2
    1 1 3 -2 4
    2 2 1 1 1
    3 3 2 1 1
    4 4 5 -1 1
    5 5 9 -4 16
    6 6 7 -1 1
    7 7 6 1 1
    8 8 8 0 0
    9 9 10 -1 1
    10 10 4 6 36
    ー ー ー 合計 62
    ●スピアマンの順位相関係数
    \(r\)=1-\(\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}\)
    =1-\(\frac{6×62}{10(10^2-1)}\)
    =0.624

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較

    図を比較します。

    スピアマンの順位相関係数

    ●ピアソンの相関係数\(r\)=0.629
    ●スピアマンの順位相関係数=0.624
    とスピアマンの順位相関係数の方が若干小さくなりました。
    データ値によって、
    ピアソンの相関係数とスピアマンの順位相関係数の
    大小関係の入れ替えはあります。

    ➁スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する条件

    では、次の疑問が沸きますよね！

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する条件って何？
    どんなデータを用意すればいいのか？

    一致するデータを用意

    結論からいいますと、

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する条件は、
    各データから求まるR=\(\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}\)
    が一致する場合

    そりゃそうでしょう！というオチですが、
    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数の計算式は実は同じで、
    変数データを順位データに変換しても、寄与率Rの値が変化しなければOKです。

    スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する例

    いろいろ例がありますが、

    1. ピアソンの相関係数とスピアマンの順位相関係数で扱うデータ値が完全に一致する場合
    2. ピアソンの相関係数側のデータが回帰直線に完全に乗る場合（つまり相関係数=1の場合)
    3. など(他の例も見つけてみてください)

    例えば、ピアソンの相関係数側のデータが回帰直線に完全に乗る場合（つまり相関係数=1の場合)ですが、実測データが完全に回帰直線に乗る場合(例としてy=3x-1)を下表に示します。

    No x y x順位 y順位
    1 0.15 -0.55 → 1 1
    2 1.2 2.6 → 2 2
    3 2.08 5.24 → 3 3
    4 2.42 6.26 → 4 4
    5 4.82 13.46 → 5 5
    6 5.93 16.79 → 6 6
    7 6.15 17.45 → 7 7
    8 6.5 18.5 → 8 8
    9 7.32 20.96 → 9 9
    10 8.45 24.35 → 10 10
    10 8.45 24.35 → 10 10

    グラフに描くと、確かに両者の相関係数は一致しています。

    スピアマンの順位相関係数

    などなど、いろいろ例がありますので、調べてみましょう。

    大事なのは、ピアソンの相関係数の式からスピアマンの順位相関係数の性質が導出できます！スピアマンの順位相関係数のための公式暗記は一切不要！導出過程を理解しましょう！

    まとめ

    「スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較する」を解説しました。

    • ➀スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数を比較
    • ➁スピアマンの順位相関係数とピアソンの相関係数が一致する条件

  • 【まとめ】信頼性工学を究める！

    【まとめ】信頼性工学を究める！

    ★ 本記事のテーマ

    【まとめ】信頼性工学を究める！
    • ①QC検定で学んだくらいでは何もわかっていないのと同じ
    • ➁信頼性工学は何を学ぶものか？
    • ➂信頼性向上が信頼性工学の目的
    • ➃信頼性工学を究めるために必要な記事の紹介
    • ⑤ブログだった32記事を冊子にまとめました！
    単なる試験対策の勉強では、
    信頼性工学なんて何もわかっていないのと同じ。
    信頼性工学の本質がわかる
    ＱＣプラネッツ記事で勉強しましょう。

    ①QC検定で学んだくらいでは何もわかっていないのと同じ

    QC検定で学ぶ内容

    点数稼ぎやすく、落とせない信頼性工学ですよね！　だから、簡単で馴染みやすいイメージが強いはずです。

    頻出パターンは大体こんな感じです。

    1. 直列・並列の系の信頼度の計算
    2. MTTF,MTBF,MTTRの公式使った計算
    3. 意味不明でもいいから信頼度の区間計算はχ2乗分布とその自由度代入に注意して解く問題
    4. 突然出て来るワイブル分布を活用した確率紙の使い方
    5. 確率紙からパラメータやB10ライフの求め方

    得点源となる信頼性工学は簡単と思いがち

    理解していなくても、公式代入や確率紙の使い方を暗記すれば点数は稼げるし、QC検定1級も合格できます。

    でも、何もわかっていないのと同じ

    でも、そんな問題は
    お子ちゃまレベル！
    信頼性工学ってそんなに甘くないし
    ちゃんと理論を理解しましょう！
    信頼性向上で品質改善、業績向上につながる大事な理論です！

    QCプラネッツの思い

    過去の良書をかき集め、信頼性工学のプロとしても十分通用する大事なエッセンスを50記事にして解説しました！
    試験対策はもちろん、仕事しても、プロとしても十分通用できるレベルになれます！

    苦労して学んで得た、皆に伝えたいエッセンスを記事で解説しています。

    ➁信頼性工学は何を学ぶものか？

    関連記事の紹介の前に、全部ガチで勉強した結果、

    信頼性工学は何を学ぶものか？

    の結論を述べます。

    1. 信頼度向上(故障しにくく)する工夫とその効果が知りたい
    2. 信頼度を評価するパラメータを活用したい
    3. 信頼度を評価するための数学を駆使する
    4. QC検定合格したい(本質ではない)

    つまり、

    1. 使っている製品の寿命を評価し、延伸できる方法を考えたい
    2. 寿命を計算で求めたい
    3. 寿命計算できるための数学力が前提
    4. 公式暗記して問題が解ける(本質ではない)

    とわかりました。

    そこで、まとめのブログ記事として以下を紹介しています。

    1. 【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)
    2. 【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)
    3. 【信頼性工学】ワイブル分布がわかる
    4. 対数正規分布がよくわかる
    5. 【必読】寿命計算の信頼区間にχ2乗分布を使う理由がよくわかる
    6. 信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)
    7. 【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる
    8. 直列系の信頼性・故障率がよくわかる
    9. 並列系の信頼性・故障率がよくわかる
    10. 多数決系の信頼性・故障率がわかる
    11. 【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる
    12. 信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる
    13. 正規確率紙がよくわかる
    14. スタージェスの公式がよくわかる
    15. 対数正規確率紙がよくわかる
    16. メジアンランク法がよくわかる
    17. ミーンランク法がよくわかる
    18. ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）
    19. ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)
    20. 累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！
    21. ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる
    22. 【まとめ】信頼性工学を究める！

    なので、ＱＣ検定対策のための記事はありませんが、本質を解説した記事なので、試験は楽勝に合格できる内容です。

    今回は、
    【まとめ】信頼性工学を究める！

    この記事にリンク先はすべてのQCプラネッツ信頼性工学の記事につながっています！

    ➂信頼性向上が信頼性工学の目的

    信頼性工学を学ぶ目的は？

    単体の信頼性モデルや、数式が難解なため、単体モデルを考えるだけでもハードです。
    だから、

    信頼性工学を学ぶ目的が見失いがち

    さらに、教科書の章立てやページも、説明しやすさを優先するので、信頼性工学を学ぶ目的や目標が見えにくいです。むしろ、手前の数式とかでくじけやすい！

    信頼性工学を学ぶ目的は
    信頼性を向上させる方法を学ぶ！
    つまり、壊れにくい系を考え、数量評価すること！
    信頼性工学を学ぶ目的のために
    基礎となる確率、数学、統計の勉強
    単体の信頼性の評価
    が身に着けておく必要がある！
    信頼性工学に関する本、データをかき集めてファンダメンタルな理論をわかりやすく解説します！

    なお、半導体や電子部品などの実例を解説した本などありますが、どの分野でも自分で考えた確率分布を用いて信頼性評価したいので、ここの解説は省いています。

    ＱＣプラネッツ信頼性工学の記事は50あります。結構ボリュームありますので、じっくり読み進めてください。

    ➃信頼性工学を究めるために必要な記事の紹介

    上から関連記事を読むと理解が進みますが、もちろん読みたい所からでもOKです。

    【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)

    信頼性工学 信頼性工学は自力で説明や式の導出ができますか？公式や内容を暗記しやすい内容ですが、理論は意外と難しい信頼性工学。本記事では数式やモデルを理解しながら大事な信頼性工学を解説していきます。きちっと信頼性工学を勉強したい人は必読です。

    【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)

    信頼性工学_正規分布 信頼性工学は自力で説明や式の導出ができますか？公式や内容を暗記しやすい内容ですが、理論は意外と難しい信頼性工学。本記事ではストレスストリングスモデルを使った正規分布型の関数を解説します。きちっと信頼性工学を勉強したい人は必読です。

    【信頼性工学】ワイブル分布がわかる

    信頼性工学_ワイブル分布 信頼性工学は自力で説明や式の導出ができますか？公式や内容を暗記しやすい内容ですが、理論は意外と難しい信頼性工学。本記事ではワイブル分布の導出や、ワイブル分布の確率密度関数の期待値と分散を導出過程を端折らず解説！。きちっと信頼性工学を勉強したい人は必読です。

    対数正規分布がよくわかる

    信頼性工学_対数正規分布 信頼性工学で使う対数正規分布が説明できますか？　本記事では、正規分布から対数正規分布を導出し、期待値・分散、故障率の変化をわかりやすく解説します。信頼性工学をマスターしたい方は必読です。

    【必読】寿命計算の信頼区間にχ2乗分布を使う理由がよくわかる

    信頼性工学_寿命区間 指数分布に従う製品の寿命の信頼区間を計算するのに、何で自由度倍のχ2乗分布を使うか理由がわかりますか？本記事では理由を丁寧に解説します。単なる公式暗記ではなく、理由を理解することが大事です

    信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)

    信頼性工学_ワイブル分布_点推定と区間推定 信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事ではワイブル分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

    【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる

    信頼性工学_ポアソン分布と指数分布の関係 信頼性工学で扱う指数分布とポアソン分布の関係が説明不足できますか？本記事では、数式を使って両者の関係を導出します。丸暗記せず導出を理解しましょう。

    直列系の信頼性・故障率がよくわかる

    信頼性工学_直列系 直列系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、並列系、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

    並列系の信頼性・故障率がよくわかる

    信頼性工学_並列系 並列系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

    多数決系の信頼性・故障率がわかる

    信頼性工学_多数決系 多数決系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、多数決系、並列系、待機系の平均寿命の違いが理解できます。

    【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる

    信頼性工学MTTF_MTBF_MTTR MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式を無理に暗記していませんか？本記事では、点推定と推定区間の式を導出解説します。定時打切り、定数打切りで自由度が異なったり、変数2Tや自由度2nと2倍を使う理由をわかりやすく解説します。必読です！

    信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる

    信頼性工学_抜取検査_ポアソン分布を使う理由 信頼性でも抜取検査することがありますが、なぜポアソン分布型を使うのか説明できますか？本記事では指数分布で信頼性を定義したものをポアソン分布の抜取検査を使ってよい理由を、数式で導出します。導出過程があるのはQCプラネッツだけです。必読です！

    正規確率紙がよくわかる

    信頼性工学_正規確率紙 正規確率紙の使い方や理論を解説します。Excelで済むので、今は不要ですが、平均ランク法や順序統計量、度数分布表などの信頼性工学に必要なエッセンスが詰まっています。信頼性工学を学ぶ方は必読です。

    スタージェスの公式がよくわかる

    信頼性工学_スタージェスの公式 ヒストグラムの区分数を考える１つの方法として、スタージェスの公式を解説します。信頼性工学ではヒストグラムをよく使いますので、紹介します。

    対数正規確率紙がよくわかる

    信頼性工学_対数正規確率紙 対数正規確率紙の使い方や、対数正規分布の平均・分散、メジアンランク法の使い方を解説します。ヒストグラムから対数正規確率紙を使って平均・分散導出する過程を丁寧に解説！　必読です！

    メジアンランク法がよくわかる

    信頼性工学_メジアンランク メジアンランク法は説明できますか？ 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ミーンランク法がよくわかる

    信頼性工学_ミーンランク法 ミーンランク法を解説します。ミーンランク法の活用方法や、公式の導出、メジアンランク法との違いをわかりやすく解説！信頼性工学・統計学を学ぶ方は必読です。

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）

    信頼性工学_ワイブル確率紙1 ワイブル確率紙は使えますか？　ワイブル確率紙の目的を理解して、ワイブル確率紙に頼らず自分で解析できますか？　本記事は、ワイブル確率紙を使うために必要なエッセンスをわかりやすく解説します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)

    信頼性工学_ワイブル確率紙2 ワイブル確率紙は使えますか？　ワイブル確率紙の目的を理解して、ワイブル確率紙に頼らず自分で解析できますか？本記事は、ワイブル確率紙を使うために必要なエッセンスをわかりやすく解説します。指数分布とワイブル分布について確率紙を使った事例を解説！信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！

    信頼性工学_累積ハザード法1 累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？　本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！　信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる

    信頼性工学_ワイブル確率紙と累積ハザード法の違い ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いや、使い分けが説明できますか？本記事では、ワイブル確率紙と累積ハザード法の使い分けをわかりやすく解説します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ⑤ブログだった32記事を冊子にまとめました！

    以前、ブログ解説していましたが、１つのPDFにまとめました。勉強に役立ててください。

    No 題名
    1 【信頼性工学】ガンマ分布がわかる
    2 【信頼性工学】二項正規分布がわかる
    3 【必読】ワイブル分布の寿命計算なのにχ2乗分布を使う理由がよくわかる
    4 信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)
    5 信頼度の点推定と区間推定がわかる(正規分布)
    6 信頼度の推定方法がわかる(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合)
    7 信頼度の推定方法がわかる(寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合)
    8 待機系の信頼性・故障率がよくわかる
    9 待機系の冷予備系の信頼性・故障率がわかる
    10 待機系の温予備系の信頼性・故障率がわかる
    11 待機系の熱予備系の信頼性・故障率がわかる
    12 要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系)
    13 要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(完全修理系)
    14 要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(不完全修理系)
    15 【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる
    16 【必読】アベイラビリティがよくわかる
    17 並列系のアベイラビリティがよくわかる
    18 直列系のアベイラビリティがよくわかる
    19 並列系のアベイラビリティがよくわかる(修理系の一部が無い場合)
    20 信頼性工学がよくわかる(離散系と連続系まとめて理解できる)
    21 信頼性工学ができる(離散系と連続系まとめて演習)
    22 カプランマイヤー法が理解できる
    23 打切りデータがある場合の信頼度の計算がわかる
    24 ヒストグラムから信頼度が計算できる
    25 信頼性(指数分布)における計数抜取検査がよくわかる
    26 信頼性(指数分布)における計量抜取検査がよくわかる
    27 信頼性(指数分布)における逐次抜取検査がよくわかる
    28 一様分布のメジアンランク法がよくわかる
    29 カプランマイヤー法と累積ハザード法の違いがよくわかる
    30 直列モデルを使った累積ハザード法がよくわかる
    31 （カプランマイヤー法）グリーンウッドの公式導出がわかる
    32 信頼性工学に使う経験分布関数がわかる

    内容は以下です。応用レベルをわかりやすく解説しています。97ページあります。

    この記事を読めば、信頼性工学は究めたと言って過言ではありません！

    まとめ

    「【まとめ】信頼性工学を究める！」を解説しました。

    • ①QC検定で学んだくらいでは何もわかっていないのと同じ
    • ➁信頼性工学は何を学ぶものか？
    • ➂信頼性向上が信頼性工学の目的
    • ➃信頼性工学を究めるために必要な記事の紹介
    • ⑤ブログだった32記事を冊子にまとめました！

  • ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる

    「ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる
    • ①累積ハザード法の基礎を理解する
    • ➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
    • ➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる
    • ➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる
    • ➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る
    累積ハザード法がわかると、
    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か？
    カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か？
    がわからなくなるので解説します！
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    ①累積ハザード法の基礎を理解する

    まずは、関連記事を読んでください。この記事をベースに本記事は解説しています。

    累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！
    累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する

    違いは何か？

    図のように同じような確率紙を使って、パラメータの値を求めます。
    違いはわかりますか？

    累積ハザード法

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは打切りデータを考慮できるかどうかの違い

    つまり、

    打切りデータが無い場合は、ほぼ同じ結果になるが、
    打切りデータが有る場合は、
    ワイブル確率紙の方は、打切りしない（故障した）データとして扱い
    累積ハザード法は打切りデータとして扱えるため、
    ワイブル確率紙の方が厳し目の結果になってしまう。

    という違いが出ます。

    実際に例題を使って比較しましょう。
    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いをまとめた記事はＱＣプラネッツだけ！

    ➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる

    例題

    関連記事にもある、例題を使ってみましょう。

    サンプル番号 1 2 3 4 5
    時間t 800 350 730 1770 390
    サンプル番号 6 7 8 9 10
    時間t 110 100 160 940 320
    サンプル番号 11 12 13 14 15
    時間t 40 190 590 1260 420
    サンプル番号 16 17 18 19 20
    時間t 250 490 1060 290 630

    【問】
    上の表データを
    (1)ワイブル確率紙
    (2)累積ハザード法
    それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
    (注)
    （ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
    \(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
    \(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
    定数\(m\)、\(η\)を求めること

    手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える

    下表のようになります。これは、ワイブル確率紙、累積ハザード法両方とも同じです。

    サンプル番号 1 2 3 4 5
    時間t 40 100 110 160 190
    サンプル番号 6 7 8 9 10
    時間t 250 290 320 350 390
    サンプル番号 11 12 13 14 15
    時間t 420 490 590 630 730
    サンプル番号 16 17 18 19 20
    時間t 800 940 1060 1260 1770

    ➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる

    まず、打切りが無い場合を解いてみましょう。

    ワイブル確率紙

    確率を順序統計量に従って、メディアンランク法から計算します。これについては、関連記事で確認ください。

    メジアンランク法がよくわかる
    メジアンランク法は説明できますか？ 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    確率F= \(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)という式をメディアンランク法から使いますが、公式の導出過程を関連記事で確認してください。

    結果を表にまとめると、

    i data F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\) R=1-F X(=log(data)) Y(=ln(ln(1/R))
    1 40 0.034 0.966 3.689 -3.355
    2 100 0.083 0.917 4.606 -2.442
    3 110 0.132 0.868 4.701 -1.952
    4 160 0.181 0.819 5.076 -1.609
    5 190 0.23 0.77 5.248 -1.34
    6 250 0.279 0.721 5.522 -1.116
    7 290 0.328 0.672 5.67 -0.921
    8 320 0.377 0.623 5.769 -0.747
    9 350 0.426 0.574 5.859 -0.587
    10 390 0.475 0.525 5.967 -0.438
    11 420 0.525 0.475 6.041 -0.296
    12 490 0.574 0.426 6.195 -0.16
    13 590 0.623 0.377 6.381 -0.026
    14 630 0.672 0.328 6.446 0.108
    15 730 0.721 0.279 6.594 0.243
    16 800 0.77 0.23 6.685 0.384
    17 940 0.819 0.181 6.847 0.535
    18 1060 0.868 0.132 6.967 0.704
    19 1260 0.917 0.083 7.14 0.91
    20 1770 0.966 0.034 7.48 1.216

    ワイブル確率は、上表のX(=log(data))とY(=ln(ln(1/R))の直線グラフから定数\(m\)、\(η\)を求めます。グラフは下図になります。

    ワイブル確率紙

    結果は、
    \(m\)=直線の傾きより=1.233
    \(η\)=593.02
    (\(η\)は y切片 \(m(log(η))\)=7.8706から算出)
    となります。

    累積ハザード法

    累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！
    累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    累積ハザードを計算すると、下表になります。

    順位i
    (B)    		 逆順位K=n-i+1
    (n=20)
    (C)    		 時間ti
    (D)    		 打切り有無
    ○⇒0
    ×⇒1    		 不良率hi
    1/(逆順位) ×100%
    (E)     		累積ハザード値Hi
    ∑hi
    (F)
    1 20 40 1 1/20 1/20=0.05
    2 19 100 1 1/19 1/20+1/19=0.103
    3 18 110 1 1/18 1/20+1/19+1/18
    =0.158
    4 17 160 1 1/17 0.217
    5 16 190 1 1/16 0.28
    6 15 250 1 1/15 0.346
    7 14 290 1 1/14 0.418
    8 13 320 1 1/13 0.495
    9 12 350 1 1/12 0.578
    10 11 390 1 1/11 0.669
    11 10 420 1 1/10 0.769
    12 9 490 1 1/9 0.88
    13 8 590 1 1/8 1.005
    14 7 630 1 1/7 1.148
    15 6 730 1 1/6 1.314
    16 5 800 1 1/5 1.514
    17 4 940 1 1/4 1.764
    18 3 1060 1 1/3 2.098
    19 2 1260 1 1/2 2.598
    20 1 1770 1 1/1 1/20+1/19+1/18
    +…+1/2+1/1
    =3.598

    累積ハザード法を直線グラフにするために、上の表の色枠をつけた、時間log(ti)
    と、累積ハザード値log(Hi)を使って、下表にまとめます。

    順位i
    (B)    		 t H(t) log(t) log(H(t)
    1 800 0.05 3.689 -2.996
    2 350 0.103 4.606 -2.277
    3 730 0.158 4.701 -1.844
    4 1770 0.217 5.076 -1.528
    5 390 0.28 5.248 -1.275
    6 110 0.346 5.522 -1.061
    7 100 0.418 5.67 -0.873
    8 160 0.495 5.769 -0.704
    9 940 0.578 5.859 -0.548
    10 320 0.669 5.967 -0.402
    11 40 0.769 6.041 -0.263
    12 190 0.88 6.195 -0.128
    13 590 1.005 6.381 0.005
    14 1260 1.148 6.446 0.138
    15 420 1.314 6.594 0.273
    16 250 1.514 6.685 0.415
    17 490 1.764 6.847 0.568
    18 1060 2.098 6.967 0.741
    19 290 2.598 7.14 0.955
    20 630 3.598 7.48 1.28

    結果をグラフにまとめると

    累積ハザード法

    結果は、
    \(m\)=直線の傾きより=1.173
    \(η\)=580.24
    (\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=7.4461から算出)
    となります。

    ワイブル確率紙と累積ハザード法を比較

    結果は、

    ワイブル確率紙 累積ハザード法
    \(m\) 1.233 1.173
    \(η\) 593.02 580.24
    ワイブル確率紙でも累積ハザード法でもほぼ同じ結果が出ました！

    グラフでも比較すると、

    累積ハザード法

    打切りデータが無い場合は、ほぼ同じ結果になることがわかりました。

    では、次に、打切りデータが有る場合に、両者の結果に差が出るか確認しましょう。

    ➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る

    データに打切り有無を追加

    関連記事にもある、例題を使ってみましょう。

    未故障だったデータ、つまり打切りデータある場合は（○）
    故障したデータ、つまり打切りしなかったデータは（×）と表記します。
    サンプル番号 1 2 3 4 5
    時間t 800(○) 350(×) 730(×) 1770(○) 390(×)
    サンプル番号 6 7 8 9 10
    時間t 110(○) 100(×) 160(×) 940(×) 320(×)
    サンプル番号 11 12 13 14 15
    時間t 40(×) 190(×) 590(×) 1260(○) 420(×)
    サンプル番号 16 17 18 19 20
    時間t 250(×) 490(×) 1060(○) 290(×) 630(○)

    【問】
    上の表データを
    (1)ワイブル確率紙
    (2)累積ハザード法
    それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
    (注)
    （ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
    \(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
    \(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
    定数\(m\)、\(η\)を求めること

    手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える

    これは、ワイブル確率紙、累積ハザード法両方とも同じで、打切りデータ有無に関係ありません。同じ表なので、割愛します。

    < h3>ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙においては、打切りデータある場合の対処がないため、打切りデータが無い場合と同じ結果になります。

    結果を表にまとめると、

    ワイブル確率は、上表のX(=log(data))とY(=ln(ln(1/R))の直線グラフから定数\(m\)、\(η\)を求めます。グラフは下図になります。

    ワイブル確率紙

    結果は、
    \(m\)=直線の傾きより=1.233
    \(η\)=593.02
    (\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=7.8706から算出)
    となります。

    累積ハザード法

    累積ハザードを計算すると、下表になります。

    順位i
    (B)    		 逆順位K=n-i+1
    (n=20)
    (C)    		 時間ti
    (D)    		 打切り有無
    ○⇒0
    ×⇒1    		 不良率hi
    1/(逆順位) ×100%
    (E)     		累積ハザード値Hi
    ∑hi
    (F)
    1 20 40 0 0/20 –
    2 19 100 1 1/19 0/20+1/19=0.053
    3 18 110 1 1/18 0/20+1/19+1/18=0.108
    4 17 160 0 0/17 0.108
    5 16 190 1 1/16 0.171
    6 15 250 0 0/15 0.171
    7 14 290 1 1/14 0.242
    8 13 320 1 1/13 0.319
    9 12 350 1 1/12 0.402
    10 11 390 1 1/11 0.493
    11 10 420 1 1/10 0.593
    12 9 490 1 1/9 0.704
    13 8 590 1 1/8 0.829
    14 7 630 0 0/7 0.829
    15 6 730 1 1/6 0.996
    16 5 800 1 1/5 1.196
    17 4 940 1 1/4 1.446
    18 3 1060 0 0/3 1.446
    19 2 1260 1 1/2 1.946
    20 1 1770 0 0/1 0/20+1/19+1/18+…+0/3+1/2+0/1=1.946

    累積ハザード法を直線グラフにするために、上の表の色枠をつけた、時間log(ti)
    と、累積ハザード値log(Hi)を使って、下表にまとめます。

    ちなみに、打切り無しのデータを下表の右側にも参考で載せます。打切り有無でデータが変わっているのが分かりますね。

    log(t) log(H(t) log(H(t)
    (打切り無し)
    3.689 – -2.996
    4.606 -2.945 -2.277
    4.701 -2.224 -1.844
    5.076 -2.224 -1.528
    5.248 -1.768 -1.275
    5.522 -1.768 -1.061
    5.67 -1.418 -0.873
    5.769 -1.143 -0.704
    5.859 -0.91 -0.548
    5.967 -0.707 -0.402
    6.041 -0.522 -0.263
    6.195 -0.35 -0.128
    6.381 -0.187 0.005
    6.446 -0.187 0.138
    6.594 -0.004 0.273
    6.685 0.179 0.415
    6.847 0.369 0.568
    6.967 0.369 0.741
    7.14 0.666 0.955
    7.48 0.666 1.28

    結果をグラフにまとめると

    累積ハザード法

    結果は、
    \(m\)=直線の傾きより=0.7965
    \(η\)=924.42
    (\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=5.4401から算出)
    となります。

    ワイブル確率紙と累積ハザード法を比較

    結果は、

    ワイブル確率紙 累積ハザード法
    \(m\) 1.233 0.7965
    \(η\) 593.02 924.42
    ワイブル確率紙でも累積ハザード法で、結果に差が出ました。
    ｍは累積ハザード法の方が低くでました。
    打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。
    ηは累積ハザード法の方が長くでました。
    打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。

    グラフでも比較すると、

    累積ハザード法

    打切りデータがあると、ワイブル確率紙は寿命が短いという厳しい評価をするために、累積ハザード法を使う必要があることがよくわかりますね。

    まとめ

    「ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる」を解説しました。

    • ①累積ハザード法の基礎を理解する
    • ➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
    • ➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる
    • ➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる
    • ➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る

  • 累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！

    累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！

    「累積ハザード法がよくわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！
    • ①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
    • ➁指数分布を確率紙で考える
    • ➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する(その２へ）
    累積ハザード法も自分でグラフ描いてフィッティングできます
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    ①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する

    累積ハザード法とは

    「累積ハザード法」単体で説明されることが多いですが、

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いが最後までわからないはずなので、違いがわかるように最初から書きます。
    累積ハザード法とは、未故障データ（打切りデータ）を打切りデータとして扱ってよい手法

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する

    ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは、教科書的には、

    ワイブル確率紙とは、未故障データ（打切りデータ）を故障データとみなして扱う手法(打切りデータそのものは扱えない)
    累積ハザード法とは、未故障データ（打切りデータ）を打切りデータとして扱ってよい手法(打切りデータそのもの扱える)

    ＱＣプラネッツ、個人的には、どちらでも差はないとみています。
    フィッティングして求める手法であり、精度もそれほど高いものでもないからです。
    モデルで故障時間を推定しても、本当にその時間で故障するかなんてわからんし、おまじない程度です。

    大事なのは、違いを理解することです！理解せずにやり方だけ知っているとならないよう注意しましょう。

    ➁累積ハザード法の使い方がわかる

    ハザード関数、累積ハザード関数とは

    信頼度\(R(t)\)を
    ●\(R(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt)\)
    ここで、
    ●\(R(t)\)=\(exp(-H(t)\)
    \(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)
    とおくと、

    ●\(λ(t)dt \)をハザード関数
    ●\(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)を累積ハザード関数
    と定義します。

    累積ハザードでは、実データをもとに、ハザード関数、累積ハザード関数を使います。
    実際は、

    ●\(λ(t)dt \)=\(\frac{(t_i,t_i+Δt)における故障数}{t_iの直前における未故障データ数}\)
    ●\(H(t)\)=\( \sum_{i=1}^{l} \frac{(t_i,t_i+Δt)における故障数}{t_iの直前における未故障データ数}\)
    とて計算します。

    【ここを理解せよ！】ハザード関数、累積ハザード関数を使う理由

    ここで、大事なのは、

    ●\(λ(t)dt \)をハザード関数
    ●\(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)を累積ハザード関数
    は、未故障データ（打切りデータ）を打切りデータとして扱ってよい手法(打切りデータそのもの扱える)ことです。
    これがわからないと、何でワイブル確率紙じゃダメなの？と理解できない！
    ここを教科書では説明していない！

    【ここを理解せよ！】ハザード関数、累積ハザード関数を使う理由

    関連記事の「カプランマイヤー法」という全く別の手法の解説にヒントがあります。

    カプランマイヤー法が理解できる(その2)
    信頼性工学で「打切りデータ」を扱う際、カプランマイヤー法を使いますが、カプランマイヤーの式は導出できますか？ 本記事では、公式暗記しがちなカプランマイヤーの式を丁寧に導出します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ハザード関数がポイント！

    ●ハザード関数
    \(λ(t)\)= \( \displaystyle \lim_{Δt \to 0} \frac{1}{Δt}\)\((Pr(t \leq T \leq t+Δt|T \geq t)) \)

    ここで、２つの独立した確率分布T,Uを用意します。
    ●T：生存時間確率分布(打切りなし)
    ●U：打切り時間確率分布（打切りあり）

    「打切りデータ」も考慮できるポイントは、
    条件付き確率で、打切りなしの確率Ｔに、打切りなしの確率Ｕの式を分母分子に掛け算して整理すると、合成することができる！
    つまり、　打切りあり、なしを区別しても合成してハザード関数が扱える性質を活かして、累積ハザード法を使っている点を理解しましょう。

    実例を使って累積ハザード法の使い方をマスターする

    では、データを用意します。

    サンプル番号 1 2 3 4 5
    時間t 800(○) 350(×) 730(×) 1770(○) 390(×)
    サンプル番号 6 7 8 9 10
    時間t 110(○) 100(×) 160(×) 940(×) 320(×)
    サンプル番号 11 12 13 14 15
    時間t 40(×) 190(×) 590(×) 1260(○) 420(×)
    サンプル番号 16 17 18 19 20
    時間t 250(×) 490(×) 1060(○) 290(×) 630(○)

    累積ハザード法を使って、信頼度関数を作ってみましょう。ただし、上の○×は
    ○：故障無しで打切り有データ
    ×：故障有りデータ
    として、打切り有無両方のケースを含むとします。

    累積ハザード法を使って、信頼度関数を作る

    下ごしらえをします。

    1. 不良率λを計算するために、逆順位K=n-i+1を計算
    2. 不良率λは、逆順位Kの逆数
    3. 累積ハザードHiを計算
    サンプル
    番号
    (A)    		 順位i
    (B)    		 逆順位
    K=n-i+1
    (n=20)
    (C)    		 時間ti
    (D)    		 打切り
    有無
    ○⇒0
    ×⇒1    		 不良率hi
    1/(逆順位) ×100%
    (E)     		累積ハザード値Hi
    ∑hi
    (F)
    11 1 20 40 0 0/20 0/20=0
    7 2 19 100 1 1/19 0/20+1/19=0.053
    6 3 18 110 1 1/18 0/20+1/19+1/18=0.108
    8 4 17 160 0 0/17 =0.108
    12 5 16 190 1 1/16 =0.171
    16 6 15 250 0 0/15 =0.171
    19 7 14 290 1 1/14 =0.242
    10 8 13 320 1 1/13 =0.319
    2 9 12 350 1 1/12 =0.402
    5 10 11 390 1 1/11 =0.493
    15 11 10 420 1 1/10 =0.593
    17 12 9 490 1 1/9 =0.704
    13 13 8 590 1 1/8 =0.829
    20 14 7 630 0 0/7 =0.829
    3 15 6 730 1 1/6 =0.996
    1 16 5 800 1 1/5 =1.196
    9 17 4 940 1 1/4 =1.446
    18 18 3 1060 0 0/3 =1.446
    14 19 2 1260 1 1/2 =1.946
    4 20 1 1770 0 0/1 0/20+1/19+1/18+…+1/2+0/1=1.946

    どの確率分布にフィッティングするか？

    今回は、ワイブル分布にフィッティングさせます！

    ワイブル分布は、
    \(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)
    \(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)
    ですね。

    で、\(H(t)\)と\(t\)の値は、上の表からすでに計算ができています。
    これを直線で定数\(η\)、\(m\)の値を求めるので、
    \(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)を直線化します。

    両辺を対数logで取ると、
    \(log(H(t))\)=\(m(logt-logη)\)
    ●\(Y\)=\(log(H(t))\)
    ●\(X\)=\(logt\)
    ●\(n\)=\(-m(logη)\)
    として、直線で定数\(η\)、\(m\)の値を求めましょう。

    グラフに必要な表を作るため、上の表の\(t\),\(H(t)\)に対数logを取った値をいれます。

    順位i
    (B)    		 t H(t) log(t) log(H(t)
    1 800 0 3.689 –
    2 350 0.053 4.606 -2.945
    3 730 0.108 4.701 -2.224
    4 1770 0.108 5.076 -2.224
    5 390 0.171 5.248 -1.768
    6 110 0.171 5.522 -1.768
    7 100 0.242 5.67 -1.418
    8 160 0.319 5.769 -1.143
    9 940 0.402 5.859 -0.91
    10 320 0.493 5.967 -0.707
    11 40 0.593 6.041 -0.522
    12 190 0.704 6.195 -0.35
    13 590 0.829 6.381 -0.187
    14 1260 0.829 6.446 -0.187
    15 420 0.996 6.594 -0.004
    16 250 1.196 6.685 0.179
    17 490 1.446 6.847 0.369
    18 1060 1.446 6.967 0.369
    19 290 1.946 7.14 0.666
    20 630 1.946 7.48 0.666

    ここから、\(X=log(t)\)、\(Y=log(H(t)\)
    として、直線を描きます。

    累積ハザード法

    両辺を対数logで取ると、
    ●\(m\)=0.7965
    ・\(n\)=-5.44=\(-m(logη)\)より
    ●\(η\)=924.4
    となります。

    累積ハザード法も確率紙があるが、手法を理解する方が大事

    ちなみに、累積ハザード法も確率紙があります。

    累積ハザード法

    ただ、

    解き方を理解すれば、確率紙は不要。
    計算機がない時代は重宝されたが、今は自力で解ける！

    ➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する(その２へ）

    慣れると気づくこの疑問

    さて、累積ハザード法を理解すると、絶対気づくこの疑問！

    ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いは何？

    累積ハザード法

    図見ると、見た目同じだけど

    さらに、累積ハザード法を理解すると、絶対気づくこの疑問！

    打切り有無ってカプランマイヤー法もあるけど、累積ハザード法の違いは何？

    となるはず。

    次の関連記事で解説！

    では、次に参りましょう。

    まとめ

    「累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！」を解説しました。

    • ①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
    • ➁指数分布を確率紙で考える
    • ➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する

  • ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)

    「ワイブル確率紙がよくわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)
    • ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない(その1)
    • ➁確率紙は順序統計量から入るもの(その1)
    • ➂確率紙の考え方がわかる(その1)
    • ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)
    • ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に)
    • ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！

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    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）
    ワイブル確率紙は使えますか？ ワイブル確率紙の目的を理解して、ワイブル確率紙に頼らず自分で解析できますか？ 本記事は、ワイブル確率紙を使うために必要なエッセンスをわかりやすく解説します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その1)で解説した通り、４つの流れで解けば、確率紙を使わなくても解ける！

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    では、実際に解いてみましょう！
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    ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)

    まず、順序統計量

    確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

    メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

    ワイブル確率紙

    下ごしらえは順序統計量でできる
    確率分布は一切関係ない！

    指数分布のプロット化

    指数分布の式を用意します。
    \(R(t)=exp^{-λt}\)

    直線型に変換します！

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    両辺、logを取ると
    \(log R(t)\)=\(-λt\)
    マイナスを消します。
    \(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)

    よって、
    \(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)
    で、
    \(Y=log{\frac{1}{R(t)}}\),\(t=X\)とおくと、
    \(Y=λt\)
    という原点を通る直線にプロットすることができます。

    【重要】変数の対応を確認！

    式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

    ワイブル確率紙

    F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
    R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

    確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

    昭和の時代は、計算機が無かったから、ワイブル確率紙が必須だった。
    でも、今はExcel、関数電卓、スマホからlogの計算が楽勝にできる！
    だから、ワイブル確率紙の使い方より、ワイブル分布の定数の導出方法や理論を理解する方が大事なんです！

    例題で確認

    データを用意します。

    10個のデータを指数分布の確率紙にプロットせよ。
    1.1、0.2、2.1、0.5、3.4、2.5、2.8、0.8、0.4、1.6

    小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

    データを並び替えると、
    0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
    です。

    これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

    i データ F
    (メジアンランク法)
    F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
    1 0.2 0.067
    2 0.4 0.163
    3 0.5 0.26
    4 0.8 0.356
    5 1.1 0.452
    6 1.6 0.548
    7 2.1 0.644
    8 2.5 0.74
    9 2.8 0.837
    10 3.4 0.933

    これは図でいうと、

    ワイブル確率紙

    変数を対応させて直線プロットを描く

    変数の関係は、

    ●変数の関係は、
    ・\(R(t)=1-F(t)\)
    ・\(X=t=(data)\)
    ・\(Y=log(\frac{1}{R(t)})= log(\frac{1}{1-F(t)})\)

    計算結果を表にまとめると、

    i data F R=1-F X Y
    1 0.2 0.067 0.933 0.2 0.07
    2 0.4 0.163 0.837 0.4 0.179
    3 0.5 0.26 0.74 0.5 0.301
    4 0.8 0.356 0.644 0.8 0.44
    5 1.1 0.452 0.548 1.1 0.601
    6 1.6 0.548 0.452 1.6 0.794
    7 2.1 0.644 0.356 2.1 1.034
    8 2.5 0.74 0.26 2.5 1.349
    9 2.8 0.837 0.163 2.8 1.811
    10 3.4 0.933 0.067 3.4 2.699

    データをプロットします。指数分布の場合は、原点を通る直線ですね。

    ワイブル確率紙

    指数分布にあてはめよう

    図より、
    Y=0.6389xなので、λ=0.6389となります。
    よって、指数分布は\(y=exp^{-0.6389t}\)
    となります。(マイナスがあるのを注意しましょう。)

    理論がわかれば、簡単なグラフから確率分布のパラメータが求めることがわかりましたね！ワイブル分布も同様に解けます！

    ➄ワイブル分布をワイブル確率紙で考える

    まず、順序統計量

    確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

    メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

    ワイブル確率紙

    下ごしらえは順序統計量でできる
    確率分布は一切関係ない！

    ワイブル分布のプロット化

    ワイブル分布の式を用意します。
    \(R(t)\)=\(exp(-(\frac{t}{η})^m )\)

    直線型に変換します！

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    両辺、logを取ると
    \(log R(t)\)=\( -(\frac{t}{η})^m \)
    マイナスを消します。
    \(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \( (\frac{t}{η})^m \)

    もう１回対数logをとります。
    \(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)

    よって、
    \(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)<
    で、
    \(Y= loglog{\frac{1}{R(t)}}\),\( logt =X\)、\( n=-mlogη\)とおくと、
    \(Y=mX+n\)
    という直線にプロットすることができます。

    【重要】変数の対応を確認！

    式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

    ワイブル確率紙

    F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
    R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

    確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

    昭和の時代は、計算機が無かったから、ワイブル確率紙が必須だった。
    でも、今はExcel、関数電卓、スマホからlogの計算が楽勝にできる！
    だから、ワイブル確率紙の使い方より、ワイブル分布の定数の導出方法や理論を理解する方が大事なんです！

    例題で確認

    データを用意します。

    10個のデータを指数分布の確率紙にプロットせよ。
    1.1、0.2、2.1、0.5、3.4、2.5、2.8、0.8、0.4、1.6

    小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

    データを並び替えると、
    0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
    です。

    これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

    i データ F
    (メジアンランク法)
    F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
    1 0.2 0.067
    2 0.4 0.163
    3 0.5 0.26
    4 0.8 0.356
    5 1.1 0.452
    6 1.6 0.548
    7 2.1 0.644
    8 2.5 0.74
    9 2.8 0.837
    10 3.4 0.933
    ●この表は、指数分布の例と同じです。
    不信頼度はメジアンランク法かミーンランク法で求めるので、
    確率分布によらず、同じ結果であることが大事です。

    変数を対応させて直線プロットを描く

    変数の関係は、

    ●変数の関係は、
    ・\(R(t)=1-F(t)\)
    ・\(X=log t=log(data)\)
    ・\(Y=log(log(\frac{1}{R(t)}))= log(log(\frac{1}{1-F(t)}))\)
    ・\(m\)は直線の傾き
    ・\(n=mlogη\)から\(η\)を算出

    ちょっと、換算式が複雑ですが、ここが大事で、ワイブル確率紙が何をやっている紙なのかを理解するポイントです。理解するポイントがわかれば、別に、ワイブル確率紙を使わなくても、簡単なグラフで直線にできます！

    計算結果を表にまとめると、

    i data F R=1-F X(=log(data)) Y(=ln(ln(1/R))
    1 0.2 0.067 0.933 -1.61 -2.664
    2 0.4 0.163 0.837 -0.916 -1.723
    3 0.5 0.26 0.74 -0.693 -1.202
    4 0.8 0.356 0.644 -0.223 -0.822
    5 1.1 0.452 0.548 0.095 -0.509
    6 1.6 0.548 0.452 0.47 -0.23
    7 2.1 0.644 0.356 0.742 0.033
    8 2.5 0.74 0.26 0.916 0.299
    9 2.8 0.837 0.163 1.03 0.594
    10 3.4 0.933 0.067 1.224 0.993

    データをプロットします。ワイブル分布の場合は、y=mx+nの直線ですね。

    ワイブル確率紙

    指数分布にあてはめよう

    図より、
    Y=1.1695x-0.6441なので、
    ・\(m\)=1.1695
    ・\(n=mlogη\)=0.6441　より、\(η\)=1.734

    ワイブル分布は
    \(R(t)=exp(-(\frac{t}{1.734})^1.1695)\)

    理論がわかれば、簡単なグラフから確率分布のパラメータが求めることがわかりましたね！ワイブル分布も同様に解けます！

    ワイブル確率紙を使った結果と比較

    ワイブル確率紙を使った結果を、簡単なグラフにすると、下図のようになり、

    ワイブル確率紙

    上の計算結果と比較すると、
    ・\(m\)=1.2(1.1695と近い結果)
    ・\(η\)=1.5(1.734と近い結果)
    両者とも、ほぼ同じ値が算出できたことがわかります！

    途中の計算が嫌なら、ワイブル確率紙を使えばいいけど、
    理論を理解して自分で計算できるなら、慣れるまで時間がかかるワイブル確率紙を使わなくてもいい
    ワイブル確率紙も自力でも使えるようになれば完璧ですね！

    まとめ

    「ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)」を解説しました。

    • ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない(その1)
    • ➁確率紙は順序統計量から入るもの(その1)
    • ➂確率紙の考え方がわかる(その1)
    • ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)
    • ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に)
    • ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！

  • ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）

    「ワイブル確率紙がよくわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）
    • ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない
    • ➁確率紙は順序統計量から入るもの
    • ➂確率紙の考え方がわかる
    • ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)(その2)
    • ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に) (その2)
    • ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！ (その2)
    QC検定®1級によく出るワイブル確率紙ですが、使い方だけ勉強しても本質まで理解できません。

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    ●商標使用について、
    ①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
    ➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
    ➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
    ほとんどの教科書は、
    ワイブル分布はしっかり記述するが、
    確率紙のエッセンスである順序統計量の内容は
    あいまいな記述が多い
    今の時代、確率紙は不要です。関数電卓やExcelで対数計算すればいいから
    むしろ考え方をしっかり理解してほしい
    確率紙の本質を理解して、
    順序統計量→確率分布の流れと理解し、
    ワイブル分布以外の確率分布も対応できるように
    解説します！
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    ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない<

    QC検定®受験対策は重要だけど

    ワイブル分布やワイブル確率紙を勉強する人のほとんどが、大学の勉強やQC検定®受験のためでしょう。

    テストに出るから、テストの出題パターンに沿って勉強する人がほとんど。

    でも、勉強する上で、次の観点で疑問に思って欲しいです。

    1. 今の時代に確率紙は必要か？　（不要です！）
    2. 「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」って何だ？
    3. ワイブル確率紙を勉強しているが、他の確率分布でも活用できないか？

    そりゃ、試験では、

    1. ワイブル確率紙のプロットの仕方
    2. パラメータの値を確率紙から求める方法
    3. B10ライフの求め方

    が解ければOKですが、ここは、本質ではありません。試験対策で学んだ後、振り返ると「何でこう解くのか？」がわかっていないことに気が付きます。

    ➁確率紙は順序統計量から入るもの

    確率分布から確率紙を入ってはいけない！

    ワイブル分布の式が難しいから、確かに、確率分布から確率紙を入ります。で、さらっと、
    「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」は暗記して、受験対策しますよね

    ダメです！
    ここで、疑問に思って欲しい
    何で、データをプロットする重要な所に、確率分布に関係のない、 「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」のか？
    確率分布に関係のない、 「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」ことが、確率紙の最初のstepです。

    では、何で、確率分布と関係のないプロット方法をやってよいか？を解説します。

    データを大きさ順に並べて簡単な式で確率を求める所が確率紙の肝

    このからくりが、「順序統計量」ですね。

    データを大きさ順に並べると、数学的に統計量として扱うことができ、その確率が順序統計量から求めることができる。これは、データがどんな確率分布に属していても１つの数式で表現できる

    これが、

    確率分布に関係のない、 「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」ことが、確率紙の最初のstepです。

    順序統計量→確率分布の流れで確率紙を理解する

    なので、確率紙は、以下の流れで理解しましょう。ワイブル確率紙の具体的な解法はまだ先でよいです。

    1. 順序統計量を理解する
    2. データを大きさ順に並べると順序統計量から確率が計算できる
    3. 確率紙でデータと確率をプロットした後、データに属する確率分布を好きに振り分ける

    でも、ほとんどの教科書は逆の手順で説明しますよね。だから、解き方がわかっても、意味がわからない！

    1. データに属する確率分布を説明する
    2. データを大きさ順に並べると確率が計算してもいいとさらっと説明
    3. 確率紙のプロット方法を丁寧に解説

    教科書勉強しただけでは、本質までたどり着きません。なので、本記事で解説しています。

    順序統計量からメジアンランク法やミーンランク法が出て来る

    確率分布に関係のない、 「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」ことが、確率紙の最初のstepです。
    F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
    はどこから出て来るんや？
    とツッコんでください。これが勉強！

    QCプラネッツでは、順序統計量からメジアンランク法・ミーンランク法までを網羅して解説しています。関連記事のリンクを上げます。一回は目を通してください。

    勉強してほしい関連記事














    「QCを学ぶ」＝「順序統計量をマスターする」と言っても過言ではない！
    でも順序統計量は難しいからみんな避けてしまう
    だから本質が理解しにくくなる！

    では、ワイブル確率紙に入る前に、指数分布の確率紙を考えてみましょう。簡単な関数でウォーミングアップして、本題のワイブル確率紙に入りましょう。

    ➂確率紙の考え方がわかる

    ワイブル確率紙だけ勉強するな！

    ワイブル確率紙だけ知っているのは、単なる受験対策って感じですよね。自分で考えて使いこなせるようになりましょう。

    しつこく書きましたが、

    基本は、順序統計量→確率分布の順で確率紙を理解する！

    確率紙は今は不要、だけどエッセンスは理解すべき

    今の時代、関数電卓もExcelなどの電子ツールがたくさんあります。スマホでも確率紙の計算はできる時代です。

    今さら確率紙で何を理解する？
    確率紙の使い方より、考え方ですよ！
    確率紙の考え方を鍛えましょう

    確率紙で考える

    ポイントは、

    1. データは順序に並べて、順序統計量からｙの確率を求める
    2. 直線型にすると確率分布のパラメータ値が求めやすい

    流れを図で説明します。

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    ワイブル確率紙

    指数分布を確率紙にプロットせよ！
    って教科書には出てこない「この問い」ができますか？

    確率紙の考え方がわかっていれば、簡単ですよね！　使い方しか覚えていないと応用が利かないはず。

    では、実際に、指数分布とワイブル分布の両方を例に、確率紙の使い方を理解しましょう。
    （その２）に参りましょう。

    まとめ

    「ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１）」を解説しました。

    • ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない
    • ➁確率紙は順序統計量から入るもの
    • ➂確率紙の考え方がわかる
    • ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)(その2)
    • ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に) (その2)
    • ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！ (その2)

  • ミーンランク法がよくわかる

    ミーンランク法がよくわかる

    「ミーンランク法がよくわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ミーンランク法がよくわかる
    • ①確率Fは順序統計量から求める
    • ➁ミーンランク法がわかる
    • ➂ミーンランク法を解く
    • ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？
    確率紙を学ぶには、順序統計量を理解しておく必要があります。
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    ①確率Fは順序統計量から求める

    何で、小さい順にデータを並べるの？

    正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね！

    何で、データを大きさ順に並び替える必要があるか説明できますか？

    順序統計量の性質を活用するため

    答えは

    データを大きさ順に並び替える理由は、順序統計量の性質を活用するため

    ところが、

    教科書などは、確率分布がメインで、
    「確率紙はデータを大きさ順に並び替えます(順序統計量という)」
    くらいの一言で、
    「\(F=\frac{i-0.3}{n+0.4}\)を使う」
    といきなり式が出て来ますよね！
    何じゃこりゃ！
    順序統計量って何？
    でも試験には出題されないから、無視してワイブル確率紙を勉強しよう！となりがち

    ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。

    順序統計量を復習しながら確率紙を理解しましょう。

    順序統計量の復習

    順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。

    順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
    順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

    式を理解する重要なポイント

    データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
    (ここで、何で？　とツッコんでください！　順序統計量だな！と読みましょう！)

    \(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
    の各母集団が下図のように分布しているとして、

    メジアンランク法

    \(F_i\)が\(F\)～\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、

    \(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

    式が難解なので、イメージを解説すると、

    順序統計量

    の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。

    順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
    順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

    \(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
    の式が、メジアンランク法やミーンランク法の出発点です！
    順序統計量はムズイからパスしたい！
    試験やテストなら無視でもいいけど、
    実務で活用するなら順序統計量の学びは必須です。
    ＱＣ（品質管理）の数理は結構、順序統計量が出て来ます。

    ➁ミーンランク法がわかる

    ミーンランク法とは

    「ミーン」とは、平均値なので、平均値について計算します。

    \(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)の積分値が対象とする確率(P=0.5など)を満たすための、変数\(F,n,i\)を求めること
    積分区間を、0から1とする方法が「ミーンランク法」で
    なお、0からメジアンとする方法が「メジアンランク法」です。

    【重要】ミーンランク法の注意点

    メジアンランク法と比較すると２点注意が必要です。

    メジアンランク法は関連記事で解説しています。まず確認しましょう。

    メジアンランク法がよくわかる
    メジアンランク法は説明できますか？ 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

    一様分布のメジアンランク法がよくわかる
    メジアンランク法で求める確率は計算できますか？本記事では、一様分布と順序統計量を使って、自力でメジアンランク法の確率を計算します。メジアンランク法の理解を高めたい方は必読です。

    ●メジアンランク法
    P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
    ●ミーンランク法
    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)

    違いがわかりますか？

    メジアンランク法とミーンランク法の違い

    1. 積分区間が違う(0-1か、0-x(xは1以下)
    2. 積分式の\(F\)を１つ多いのがミーンランク法

    積分区間が異なるから、メジアンランク法とミーンランク法の2つがあるので、理解しやすいのですが、

    P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
    と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。
    何で？

    この理由を解説します。

    ミーンランク法はメジアンランク法よりFが１つ多くして積分する理由

    理由は２つあります。

    1. 平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるから
    2. メジアンランク法と同じ\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)として計算すると1になって、関数として使えないから

    平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるからという理由が、一番強い理由と考えています。

    ➂ミーンランク法を解く

    手計算できる！

    メジアンランク法は手計算がしんどい
    ミーンランク法は手計算できる！

    メジアンランク法のようにプログラムは不要です。

    ミーンランク法を解く！

    ●ミーンランク法
    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)

    ここで超重要なことを伝えます。

    \(g(F)\)によらず計算結果は１つ
    つまり、確率分布に関係なく、確率は１つに決まる！
    確率分布に関係なく、確率は１つに決まる手法から、データと確率の関係を作り、
    支配させたい確率分布にモデル化するのが
    確率紙を使う本質！

    ここで、「なるほど！」と来ない人は、ワイブル確率紙などの確率紙を使う意味を理解していないということ！

    本質を理解していないと、それはわかっていないのと同じ！

    では、解きます。必要な数学は、ベータ関数です。

    ベータ関数の関連記事で、復習しましょう。

    ベータ関数がよくわかる
    ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

    ミーンランク法を解く！

    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
    = \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F・F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
    = \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)

    ここで、

    ●ベータ関数
    \(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
    =\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)

    と
    \( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
    をにらめっこすると
    \(p=i+1\)、\(q=n+1-i\)
    を代入すればＯＫとわかりますね。

    よって、
    P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i)!(n-i)!}{(n+1)!} \)
    =\(\frac{i}{n+1}\)
    となります。

    確率分布に関係なく、確率は
    P=\(\frac{i}{n+1}\)
    をミーンランク法から解いてＯＫとわかりますね。

    メジアンランク法と同じ式でミーンランク法解くと積分値が1になる

    先の、

    P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
    と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。

    と、ありましたね。

    積分する関数をメジアンランク法と同じするとどうなるか？計算しましょう。

    解く！

    P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)
    = \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
    = \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

    ここで、

    ●ベータ関数
    \(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
    =\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)

    と
    \( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
    をにらめっこすると
    \(p=i\)、\(q=n-i\)
    を代入すればＯＫとわかりますね。

    よって、
    P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i-1)!(n-i)!}{(n)!} \)
    =1
    となります。

    積分した結果が、数字になると、使い道ないですね。。。
    だから、ミーンランク法はP= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)なのでしょう。

    余談したが、比較すると理解が深まりますね！

    ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？

    ●メジアンランク法：P=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)

    ●ミーンランク法：P=\(\frac{i}{n+1}\)

    とよく似た式ですね。

    結論は、

    1. 個数iが少ないときは、両者の値に差が出る。実測値に近い方をとる
    2. 変数n,iを大きくすると両者の値に差はない。どちらでもOK

    となりますね。

    手法、公式を使った後は、その結果が妥当かどうかは必ず確認しましょう。

    まとめ

    「ミーンランク法がよくわかる」を解説しました。

    • ①確率Fは順序統計量から求める
    • ➁ミーンランク法がわかる
    • ➂ミーンランク法を解く
    • ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？

  • 不完全ベータ関数が計算できる

    不完全ベータ関数が計算できる

    「不完全ベータ関数が計算できない」と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    不完全ベータ関数が計算できる
    • ①不完全ベータ関数とは
    • ➁不完全ベータ関数は手計算できない
    • ➂プログラムを使って不完全ベータ関数を計算しよう
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    ①不完全ベータ関数とは

    ベータ関数とは

    詳細は関連記事をご覧ください。

    ベータ関数がよくわかる
    ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

    式は

    \(B(m,n)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    =\(\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\)

    不完全ベータ関数とは

    積分区間が違います。

    \(B(m,n)= \displaystyle \int_{0}^{z} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    =??

    大した差ではないですが、計算の大変さが全然ちがいます。

    不完全ベータ関数はメジアンランク法に使う

    信頼性工学のメジアンランク法で不完全ベータ関数を使うので、解説します。

    詳細は関連記事をご覧ください。

    ➁不完全ベータ関数は手計算できない

    完全なベータ関数を部分積分する

    まず、部分積分すると、漸化式が作れます。

    \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)を部分積分すると、
    \(\left[ \frac{1}{m}x^{m} (1-x)^{n-1} \right]_{1}^{0}\)
    =\(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    +\(\frac{n-1}{m}\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(-1)(1-x)^{n-2} dx\)

    (左辺)= \(\left[ \frac{1}{m}x^{m} (1-x)^{n-1} \right]_{1}^{0}\)は0です。

    (右辺)=\(I(m.n)\)-\(\frac{n-1}{m}I(m+1,n-1)\)
    となり、
    0=\(I(m.n)\)-\(\frac{n-1}{m}I(m+1,n-1)\)
    から漸化式が作れて、
    積分\(I(m.n)\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)が計算できます。

    不完全なベータ関数を部分積分する

    同様に積分区間が[0,z]においても、部分積分すると、漸化式が作れます。

    \(\displaystyle \int_{0}^{z} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)を部分積分すると、
    \(\left[ \frac{1}{m}x^{m} (1-x)^{n-1} \right]_{z}^{0}\)
    =\(\displaystyle \int_{0}^{z} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    +\(\frac{n-1}{m}\displaystyle \int_{0}^{z} x^{m}(-1)(1-x)^{n-2} dx\)

    (左辺)= \(\left[ \frac{1}{m}x^{m} (1-x)^{n-1} \right]_{z}^{0}\)は0にならず、zの変数になります。です。

    (右辺)=\(I(m.n)\)-\(\frac{n-1}{m}I(m+1,n-1)\)
    となり、
    (左辺のzの式)=\(I(m.n)\)-\(\frac{n-1}{m}I(m+1,n-1)\)
    から漸化式が作れますが、

    ここから手計算はキツイ。。。

    なので、

    プログラムを使って不完全ベータ関数を計算しよう

    ➂プログラムを使って不完全ベータ関数を計算しよう

    二項定理を使って、不完全ベータ関数の計算式を作る

    では、やってみましょう。

    \(B(m,n)= \displaystyle \int_{0}^{z} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    ここで、\((1-x)^{n-1}\)を二項定理で展開します。大丈夫ですか？

    QCには欠かせない二項定理、統計学、抜取検査、信頼性工学と大活躍です。

    \((1-x)^{n-1}\)=\(\sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1}C_r 1^r (-x)^{n-1-r}\)

    これを積分式に代入します。ちょっと難しいけど、頑張りましょう。

    \(B(m,n)= \displaystyle \int_{0}^{z} {}_{n-1}C_r x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    = \(\displaystyle \int_{0}^{z} x^{m-1} \sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1}C_r 1^r (-x)^{n-1-r} dx\)
    \(x\)の次数を合計します。

    = \(\displaystyle \int_{0}^{z} \sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1}C_r (-1)^{n-1-r} x^{n+m-2-r} dx\)

    \(x\)の整式なので、積分すると、
    \(\left[ \sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1}C_r (-1)^{n-1-r} \frac{1}{n+m-1-r} x^{n+m-1-r} \right]_{z}^{0}\)
    =\( \sum_{r=0}^{n-1} {}_{n-1}C_r (-1)^{n-1-r} \frac{1}{n+m-1-r} z^{n+m-1-r} \)

    となります。これをプログラムに入れて計算させます。

    プログラム(Excel VBA)を使って不完全ベータ関数を計算しよう

    では、プログラムを公開します。実際、いじってみてください。

    VBAプログラム例

    1. Sub gam()
    2.
    3. gok = 0 ‘B(m,n) 初期化
    4.
    5. Dim nn As Long, mm As Long
    6. nn = Cells(2, 3): mm = Cells(3, 3): zz = Cells(4, 3)
    ‘自然数n,mと、実数(0～1)zをセルに代入
    7.
    8. For i1 = 1 To nn ‘nの値　1～nまで
    9. Cells(i1 + 6, 2) = i1
    10. For j1 = 1 To mm ‘mの値　1～mまで
    11. Cells(6, j1 + 2) = j1
    12. gok = 0 ‘初期化
    13. For k1 = 0 To i1 – 1
    ‘rの値　0～n-1まで(二項定理)
    14.
    15. ‘積分の計算
    16. gok = gok + WorksheetFunction.Combin(i1 – 1, k1) *
    ((-1) ^ (i1 – 1 – k1))
    * (1 / (i1 + j1 – k1 – 1))
    * (zz ^ (i1 + j1 – k1 – 1))
    17. Next k1
    18. Cells(i1 + 6, j1 + 2) = gok ‘結果を出力
    19. Next j1
    20. Next i1
    21.
    22. End Sub

    計算例

    z=1のとき

    z=1のときは、完全なベータ関数ですから、

    \(B(m,n)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx\)
    =\(\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\)

    の値と一致します。

    上のプログラムの計算結果は

    不完全ベータ関数

    となり、
    \(B(m,n)\)= \(\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\)
    と一致します。

    確かに、\(m=4,n=5\)を代入するとB(m,n)は
    \(B(4,5)\)= \(\frac{(4-1)!(5-1)!}{(4+5-1)!}\)
    = \(\frac{3!・4!}{8!}\)
    =\(\frac{1}{280}\)
    =0.003571

    図を見ると確かに、　\(m=4,n=5\)のときは、0.003571となり、計算結果が一致しています。

    z=zのとき

    テキトウな値を入れて、確認しましょう。

    不完全ベータ関数

    z=0.5の場合を計算しましたが、0から１の間の実数を入れれば、上のプログラムで一瞬で計算してくれます。是非活用ください！

    できましたね。

    まとめ

    「不完全ベータ関数が計算できる」を解説しました。

    • ①不完全ベータ関数とは
    • ➁不完全ベータ関数は手計算できない
    • ➂プログラムを使って不完全ベータ関数を計算しよう

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