投稿者: QCプラネッツ

直列系のアベイラビリティがよくわかる

「直列系のアベイラビリティがよくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

直列系のアベイラビリティがよくわかる

①アベイラビリティ
➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える

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①アベイラビリティとは

アベイラビリティとは

信頼度を高めるには、
「故障しないこと」以外に、
「修理が短時間で終わること」も重要ですね。

動作状態(アップタイムU)と休止状態(ダウンタイムD)の比を取ったものが
「アベイラビリティ」です。

アベイラビリティA = \(\frac{アップタイムU}{アップタイムU+ダウンタイムD}\)

アベイラビリティは公式暗記で済ませるな！

結局、

A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
になりますが、暗記より導出が大事！

それと、

アベイラビリティAは時間\(t\)の関数であるが、
A(t⇒∞)=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
ばかり試験や教科書しか出ないので、みんなこれを丸暗記して簡単と思ってしまう！

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。

アベイラビリティを公式暗記するリスク

単純な系なら、
A=\(\frac{MTBF}{MTBF+MTTR}\)
でいいのですが、直列系、並列系と応用になると、式が複雑化し、式が理解できなくなります。

ちゃんとモデル式を立ててからアベイラビリティA(t)を導出しましょう。導出方法がわかれば、どんな系でもアベイラビリティは導出できます。

アベイラビリティの基本は、関連記事で解説しています。ご確認ください。

【必読】アベイラビリティがよくわかる
QCでよく出るアベイラビリティを公式暗記だけで終わっていませんか？本記事では、アベイラビリティの定義や導出を丁寧に解説！信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題

本記事では、次の例題を使って、直列系のアベイラビリティを解説します。

直列系のアベイラビリティA(t)をきちっと解く
直列系のアベイラビリティがいくらになるかを解く
直列系のメリットをアベイラビリティから理解する

なお、わかりやすくするため、指数分布について解説します。

直列系のアベイラビリティを考える例題

下図のようなn個の同じ要素からなる直列系において、故障した要素を修理しつつ系を稼働させる場合の信頼度(確率)P(t)とアベイラビリティA(t)を求めたい。
　下図のシャント線図で、各状態を定義する。
●\(S_0\)：故障しない(故障数0)の場合、またその確率を\(P_0\)とする。
●\(S_i\)(\(i=1,…,n\))：要素\(i\)が故障の場合、またその確率を\(P_i\)とする。
直列系では、ある要素\(i\)が故障の場合、その修理中他の要素は停止させるとする。
当然、\(P_0+P_1+…+P_n=1\)である。
さらに、故障率\(λ_i\)、修理率\(μ_i\)を下図のシャント線図のように定義する。
(1) 連立微分方程式を作れ
(2) 定常状態(t⇒∞)における、各状態の確率\(P_i\)とアベイラビリティ\(A\)を計算せよ。
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=…=P_i(0)=…=P_n(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。
(4) 直列系にするメリットは何か？アベイラビリティの値から考えよ。

ちょっと長～～い問題文になったけど、重要なので１つ１つやっていきましょう。

各問は以下でそれぞれ解説します。

①アベイラビリティ
➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
⇒(1)を解説
➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出
⇒(2)を解説
➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算
⇒(3)を解説
➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える
⇒(4)を解説

信頼性工学は以下の3点の流れで解いていきます。ＱＣプラネッツの全記事共通です。

シャント線図、微分方程式の導出
ラプラス変換の基本
MTTF,MTBF,MTTRの導出方法

QCに必要なラプラス変換がわかる
QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系)
要素が非独立な場合の信頼度は計算できますか？単純に掛け算ではできず、微分方程式から計算する必要があります。本記事では、難解な非独立系の信頼度をわかりやすく解説します。信頼性工学を学びたい方は必読です。

【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる
MTTF,MTBF,MTTRの違いは説明できますか？公式暗記に頼らず自力で導出できますか？本記事では暗記に頼ることなく導出できるよう丁寧に解説します。信頼性工学は自力で導出すると理解度が一気に増します。必読です！

連立微分方程式を作る

シャント線図を見ながら、微分方程式を作ります。

●直列系のシャント線図は理解が難しいです。
直列系なので、どれか１つが故障すると、すべてが動作停止となるため、
1：動作中
2：停止中
の２つしかありません。だから、左が\(S_0\)、右が\(S_i\)となります。
なお、どの要素で故障するかわからないので、右の状態が\(i=1,2,…,n\)と縦に並列しています。

●微分方程式は下のようになります。

●微分方程式((1)の答え)
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
また、当然ですけど、全確率の和は１なので
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)

初期条件は決まっている

●初期条件
\(P_0 (0)=1\),\(P_1 (0)=0\),…,\(P_n (0)=0\)です。

では、微分方程式をラプラス変換して解いてみましょう。

➂定常状態の直列系のアベイラビリティAを導出

定常状態とは、t⇒∞で、確率の変化が0の場合です。つまり、(1)の微分方程式でいうと
\(\displaystyle \frac{dP_i(t)}{dt} \)=0 (\(i\)=0,1,…,n)です。

よって計算できます。

●微分方程式から
0=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
0=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
0=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
0=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)

解くと、
●\(P_i\)=\(\frac{λ_i}{μ_i} P_0\) (\(i=1,2,…,n\))
●\(P_0+P_1+…+P_2=1\)
から、

\(P_0+(\sum_{i=1}^{n})\frac{λ_i}{μ_i})P_0=1\)
よって、

\(P_0\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
\(P_i\)=\(\frac{\frac{λ_i}{μ_i}}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\) (\(i=1,2,…,n\))
となります。

また、アベイラビリティ\(A\)は

動作できる状態の確率をアベイラビリティとすると、
\(A\)=\(P_0\)と定義できす。

よって、

定常状態の各確率とアベイラビリティ((2)の答えは
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)

(2)もできました。

➃直列系のアベイラビリティA(t)を計算

問いを再掲

もう一度、問と微分方程式に戻ります。

問（再掲）
(3) 初期条件を\(P_0(0)=1\),\(P_1(0)=…=P_i(0)=…=P_n(0)=0\)とし、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)として、各状態の確率\(P_i(t)\)とアベイラビリティ\(A(t)\)を計算せよ。

●微分方程式(再掲)
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( (\sum_{i=1}^{n}λ_i) P_0(t)\)+\(\sum_{i=1}^{n} μ_i P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λ_1 P_0(t)\) ―\(μ_1 P_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λ_2 P_0(t)\) ―\(μ_2 P_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λ_n P_0(t)\) ―\(μ_n P_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)

で、\(λ_i\)=\(μ_i\)=\(λ\)としてよいので、微分方程式は
\(\displaystyle \frac{dP_0(t)}{dt} \)=―\( nλ P_0(t)\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_1(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_2(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_2(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_n(t)}{dt} \)=\(λP_0(t)\) ―\(μP_n(t)\)
\(P_0 + P_1 +…+P_n =1\)

ラプラス変換して解析

ラプラス変換すると微分方程式は、
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
●\(sP_1 \)=\(λP_0\) ―\(μP_1\)
…
●\(sP_i \)=\(λP_0\) ―\(μP_i\)
…
●\(sP_2 \)=\(λP_0\) ―\(μP_n\)

また、\( \sum_{i=1}^{n} P_i\)=\(1-P_0\)を使うと、\(P_0\)が簡単に計算できます。
●\(sP_0 -P_0(=1) \)=―\( nλ P_0\)+\( μ\sum_{i=1}^{n} P_i\)
\(sP_0 -1\)=―\( nλ P_0\)+\( μ(1-P_0)\)
\(P_0\)=\(\frac{μ+1}{s+nλ+μ}\)

そして、\(P_i\)は
●\(sP_i \)=\(\frac{λ}{s+μ}P_0\)
=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)

まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{μ+1}{s+nλ+μ}\)
●\(sP_i \)=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)

逆ラプラス変換する

ラプラス変換を逆に戻すポイントは
\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)= \(\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\)
と分母の積を分解することです。

よって、
●\(sP_i \)=\(\frac{λ(μ+1)}{(s+μ)( s+nλ+μ)}\)
=\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+μ}\)―\(\frac{μ+1}{n} \frac{1}{s+nλ+μ}\)

確率\(R_i(t)\)と\(A(t)\)を解析

逆ラプラス変換すると

各確率\(P_i (t)\)は
●\(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
●\(P_i (t)\)=\( \frac{μ+1}{n} e^{-μt}\)―\( \frac{μ+1}{n} e^{-(nλ+μ)t}\)

計算は正しいですが、\(P_0 (t)\)=1でなく、\(μ+1\)とずれます。これは今後課題解決します！
とにかく、解き方は並列系と同じ流れで解けることを理解しましょう。

アベイラビリティA(t)は

動作できる状態の確率をアベイラビリティとすると、
\(A\)=\(P_0\)と定義できす。

よって、アベイラビリティA(t)は
\(A(t)\)= \(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)

(3)の答えをまとめると、

各確率\(P_i (t)\)は
●\(P_0 (t)\)=\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)
●\(P_i (t)\)=\( \frac{μ+1}{n} e^{-μt}\)―\( \frac{μ+1}{n} e^{-(nλ+μ)t}\)
◎\(A(t)\) =\( (μ+1)e^{-(nλ+μ)t} \)

できましたね。

➃直列系のメリットをアベイラビリティから考える

問を再掲します。計算した確率とアベイラビリティの時刻tにおける極限値を考えます。

【問を再掲】
(4) 直列系にするメリットは何か？アベイラビリティの値から考えよ。

直列系をアベイラビリティから考える

(2)の解で定常状態のアベイラビリティ\(A\)は

定常状態の各確率とアベイラビリティ((2)の答えは
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)

見やすくするために、\(λ_i\)=\(λ\)、\(μ_i\)=\(μ\)とおくと、
●\(A\)=\(\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} \frac{λ_i}{μ_i} }\)
=\(\frac{1}{1+n \frac{λ}{μ} }\)
となり、

要素の個数nを増やすと
アベイラビリティAは低下します。

直列系ですから、１つでも故障すると全体が動作できません。それだけ、故障リスクが増大するため、アベイラビリティが低下することとつながっていますね。

直列系のメリットよりかは、デメリットがアベイラビリティからもよく理解できました。

まとめ

「直列系のアベイラビリティがよくわかる」を解説しました。

①アベイラビリティ
➁直列系のアベイラビリティA(t)を導出する例題
➂直列系のアベイラビリティA(t)を導出
➃直列系のアベイラビリティA(∞)を計算
➄直列系のメリットをアベイラビリティから考える

信頼性工学

2022年11月6日

並列系のアベイラビリティがよくわかる