投稿者: QCプラネッツ

【必読】一元配置実験(繰返し数が同じ)が解ける【QC検定®2級対策】
★ 本記事のテーマ

【必読】一元配置実験(繰返し数が同じ)が解ける【QC検定®2級対策】

「QC検定®2級で出題される二元配置実験(繰返し有り)のどこを学べばOKなの？」、「対策本や問題集が多く、ページ数が長いから時間もないし、難しいからわからない」など、二元配置実験(繰返し有り)の学習がうまくできず、試験に合格できるかどうか悩んでいませんか？

そんなあなたに朗報です！

QCプラネッツにお任せください！
- ➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
- ②2乗表を作る
- ③平方和を計算する
- ④分散分析表を作る
- ⑤F検定する
- ⑥推定を算出
★記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法を全く知らない状態から3ヶ月にQC検定®2級を合格し、さらに、QC検定®１級合格して、さらに実験計画法に磨きをかけています。

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

★【QC検定® 2級合格対策講座】で必勝！

QC検定® 2級合格対策講座を販売します。合格だけでなく、各単元の本質も理解でき、QC検定® 1級合格も狙える５９題をぜひ活用ください。

★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

試験合格に必要最小限エッセンスをまとめた「必勝メモ」と
何度も解いて合格に導く「必勝ドリル」
何度も繰り返すから力になる！

a a a

a a a

a a a

QC検定®２級必勝メモ
1000円 QC検定®２級必勝ドリル
1000円

★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

QC検定®3級、QC検定®2級受験の方、QC検定®１級受験挑戦する方への問題集(80問)です。
数学が苦手で品質管理の数理で苦戦していたら是非勉強しましょう！

a a

a a

a a

品質管理(ＱＣ)を究めるを
数理問題集
(初級・中級向け)
3000円

●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
1. 一元配置実験(繰返し数同じ)
2. 一元配置実験(繰返し数異なる)
3. 二元配置実験(繰返し無し)
4. 二元配置実験(繰返し有り)
の4種類だけです。
何が違いのか?　識別できますか？
それは、「データ表が違う」だけでOKです。

慣れるとデータの構造式が違うと言えるようになりますが、
QC検定®2級合格には、データ表を見て、どのパターンかがすぐ判断できたらOKです。

本記事は、1つ目の一元配置実験(繰返し数が同じ)の必勝パターンを解説します。

★必勝方法

本記事だけに集中して、いつでも解けるように何度も練習してください。
合格できない人は、本記事のどこかが消化不良のまま受験しているはずです。

②2乗表を作る

データを用意

A1 A2 A3 A4

1 11 20 21 22

2 13 12 24 25

3 17 19 27 28

4 19 18 28 19

5 20 16 20 21

計 80 85 120 115

合計 400

データの構造式(見るだけ)

データの構造式こそ、実験計画法の本質ですが、最初は無視しましょう。
x_ij=μ+α_i +ε_ij
まずは分散分析表攻略を優先して、推定区間の式を習得しましょう。

2乗表を作る

データ表と、繰返し分の和の表もどちらも2乗します。

A1 A2 A3 A4

1 121 400 441 484

2 169 144 576 625

3 289 361 729 784

4 361 324 784 361

5 400 256 400 441

計 8450

試験では、合計が問題文に与えられていますが、必ず、2乗表がすぐに作れるように練習してください。

③平方和を計算する

公式は確実に覚えて使いこなせるように何度も練習しましょう。

「数学苦手だから」、「年だから」は関係ありません。能力、年齢ではなく、復習不足なだけです。

●S_T=$\sum_{i}x_i^2-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=8450-$\frac{400^2}{20}$=450

●S_A=$\frac{\sum_{i}x_A^2}{n_A}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{80^2}{5}$+$\frac{85^2}{5}$+$\frac{120^2}{5}$+$\frac{115^2}{5}$-$\frac{400^2}{20}$=250

●S_e= S_T– S_A
=450-250=200

この計算を確実に何度も練習しましょう。試験では4因子×5データまでは出ませんが、本記事の例題がさっと解けるになるとよいでしょう。

④分散分析表を作る

分散分析表を作ります。

自由度や平均平方(不偏分散ということもあります)V,F値の計算は大丈夫か確認しましょう。

– S φ V(=S/φ) F(=V/Ve) F0

A 250 3 83.33 6.67 3.13

e 200 16 12.5 – –

T 450 19 – – –

⑤F検定する

分散分析表から確認します。
F(φ_A,φ_e,α)=F(3,16,0.05)=3.13<6.67より有意である。
因子Aだけ有意であるとわかりました。

試験対策だけならばF値の比較は、意味を知らなくてもOKで、
有意かどうか区別つけば、まずはOK。
有意有無は、その因子に効果があるかどうかです。
有意でなければ誤差の影響が強いという意味です。

でも、なぜ分散分析して、Ｆ検定するのか。Ｆ検定の判定から何がいえるのか？は実験計画法が慣れてきたら考えようとしてください。QCプラネッツの記事でも解説していますが、単に計算できて点数とればいいだけでは、すぐ忘れてしまいます。

この後、試験でよくプーリングして、再度分散分析する問題も頻出です。

⑥推定を算出

点推定

A1=(11+13+17+19+20)/5=16
A2=17
A3=24
A4=23

信頼区間

QC検定®では電卓を使います。分数と平方根を速く計算できるように練習しましょう。

A1=16±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A1}}$
=16±t(16,0.05) $\sqrt{\frac{12.5}{5}}$
A2=17±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A2}}$
=17±t(16,0.05) $\sqrt{\frac{12.5}{5}}$
A3=24±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A3}}$
=24±t(16,0.05) $\sqrt{\frac{12.5}{5}}$
A4=23±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A4}}$
=23±t(16,0.05) $\sqrt{\frac{12.5}{5}}$

最適な組合せの点推定と信頼区間

工程平均の式の導出は、関連記事【★リンク【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる】に解説していますが、QC検定®2級受験の場合は、公式暗記で済ませましょう。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

最適な組合せは、最も値が大きい場合が多いです。A₃ですね。

A3=24±t(16,0.05) $\sqrt{\frac{12.5}{5}}$
=24±2.120×1.581=24±3.352

となります。一連の流れを何度も読んで、マスターしましょう。
試験時間を考慮すると、ここまでで7,8分程度で来れるように何度も練習しましょう。

まとめ

QC検定®2級で、二元配置実験(繰返し無し)で必ず出題される内容を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。
- ➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
- ②2乗表を作る
- ③平方和を計算する
- ④分散分析表を作る
- ⑤F検定する
- ⑥推定を算出
2021年9月11日

【必読】一元配置実験(繰返し数が異なる)が解ける【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

【必読】一元配置実験(繰返し数が異なる)が解ける【QC検定®2級対策】

「QC検定®2級で出題される二元配置実験(繰返し有り)のどこを学べばOKなの？」、「対策本や問題集が多く、ページ数が長いから時間もないし、難しいからわからない」など、二元配置実験(繰返し有り)の学習がうまくできず、試験に合格できるかどうか悩んでいませんか？

そんなあなたに朗報です！

QCプラネッツにお任せください！

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

★記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法を全く知らない状態から3ヶ月にQC検定®2級を合格し、さらに、QC検定®１級合格して、さらに実験計画法に磨きをかけています。

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

★【QC検定® 2級合格対策講座】で必勝！

QC検定® 2級合格対策講座を販売します。合格だけでなく、各単元の本質も理解でき、QC検定® 1級合格も狙える５９題をぜひ活用ください。

★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

試験合格に必要最小限エッセンスをまとめた「必勝メモ」と
何度も解いて合格に導く「必勝ドリル」
何度も繰り返すから力になる！

a	a	a
a	a	a
a	a	a
QC検定®２級必勝メモ 1000円	QC検定®２級必勝ドリル 1000円

★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

QC検定®3級、QC検定®2級受験の方、QC検定®１級受験挑戦する方への問題集(80問)です。
数学が苦手で品質管理の数理で苦戦していたら是非勉強しましょう！

a		a
a		a
a		a
品質管理(ＱＣ)を究めるを数理問題集 (初級・中級向け) 3000円

●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない

一元配置実験(繰返し数同じ)
一元配置実験(繰返し数異なる)
二元配置実験(繰返し無し)
二元配置実験(繰返し有り)

の4種類だけです。
何が違いのか?　識別できますか？
それは、「データ表が違う」だけでOKです。

慣れるとデータの構造式が違うと言えるようになりますが、
QC検定®2級合格には、データ表を見て、どのパターンかがすぐ判断できたらOKです。

本記事は、2つ目の一元配置実験(繰返し数が異なる)の必勝パターンを解説します。

★必勝方法

本記事だけに集中して、いつでも解けるように何度も練習してください。
合格できない人は、本記事のどこかが消化不良のまま受験しているはずです。

②2乗表を作る

データを用意

	A1	A2	A3	A4
1	11	20	21	22
2	13	12	24	25
3	17	19	27	28
4	19	18	28
5		16
計	60	85	100	75
			合計	320

データの構造式(見るだけ)

データの構造式こそ、実験計画法の本質ですが、最初は無視しましょう。
x_ij=μ+α_i +ε_ij
まずは分散分析表攻略を優先して、推定区間の式を習得しましょう。

2乗表を作る

データ表を2乗します。

	A1	A2	A3	A4
1	121	400	441	484
2	169	144	576	625
3	289	361	729	784
4	361	324	784
5		256
			計	6848

試験では、合計が問題文に与えられていますが、必ず、2乗表がすぐに作れるように練習してください。

③平方和を計算する

公式は確実に覚えて使いこなせるように何度も練習しましょう。

「数学苦手だから」、「年だから」は関係ありません。能力、年齢ではなく、復習不足なだけです。

●S_T=$\sum_{i}x_i^2-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=6848-$\frac{320^2}{16}$=448

●S_A=$\frac{\sum_{i}x_A^2}{n_A}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{60^2}{4}$+$\frac{85^2}{5}$+$\frac{100^2}{4}$+$\frac{75^2}{3}$-$\frac{320^2}{16}$=320
Aの分母の数字に注意

●S_e= S_T– S_A
=448-320=128

この計算を確実に何度も練習しましょう。

④分散分析表を作る

分散分析表を作ります。

自由度や平均平方(不偏分散ということもあります)V,F値の計算は大丈夫か確認しましょう。

–	S	φ	V(=S/φ)	F(=V/Ve)	F0
A	320	3	106.67	10	3.29
e	128	12	10.67	–	–
T	448	15	–	–	–

⑤F検定する

分散分析表から確認します。
F(φ_A,φ_e,α)=F(3,12,0.05)=3.29<10より有意である。
因子Aだけ有意であるとわかりました。

試験対策だけならばF値の比較は、意味を知らなくてもOKで、
有意かどうか区別つけば、まずはOK。
有意有無は、その因子に効果があるかどうかです。
有意でなければ誤差の影響が強いという意味です。

でも、なぜ分散分析して、Ｆ検定するのか。Ｆ検定の判定から何がいえるのか？は実験計画法が慣れてきたら考えようとしてください。QCプラネッツの記事でも解説していますが、単に計算できて点数とればいいだけでは、すぐ忘れてしまいます。

この後、試験でよくプーリングして、再度分散分析する問題も頻出です。

⑥推定を算出

点推定

A1=(11+13+17+19)/4=15
A2=(20+12+19+18+16)/5=17
A3=(21+24+27+28)/4=25
A4=(22+25+28)/3=25

信頼区間

QC検定®では電卓を使います。分数と平方根を速く計算できるように練習しましょう。

A1=15±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A1}}$
=15±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{4}}$
A2=17±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A2}}$
=17±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{5}}$
A3=25±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A3}}$
=25±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{4}}$
A4=25±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A4}}$
=25±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{3}}$

最適な組合せの点推定と信頼区間

工程平均の式の導出は、関連記事
★リンク【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できるに解説していますが、QC検定®2級受験の場合は、公式暗記で済ませましょう。

最適な組合せは、最も値が大きい場合が多いです。A₃とA₄ですね。

A3max=25+t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{4}}$
=25+2.179×1.633=28.56
A4max=25+t(12,0.05) $\sqrt{\frac{10.66}{3}}$
=25+2.179×1.886=29.11
A4maxが最も特性値が高くなります。

となります。一連の流れを何度も読んで、マスターしましょう。
試験時間を考慮すると、ここまでで7,8分程度で来れるように何度も練習しましょう。

まとめ

QC検定®2級で、二元配置実験(繰返し無し)で必ず出題される内容を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

2021年9月10日

【必読】二元配置実験(繰返し無し)が解ける【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

【必読】二元配置実験(繰返し無し)が解ける【QC検定®2級対策】

そんなあなたに朗報です！

QCプラネッツにお任せください！

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

★記事の信頼性

★【QC検定® 2級合格対策講座】で必勝！

QC検定® 2級合格対策講座を販売します。合格だけでなく、各単元の本質も理解でき、QC検定® 1級合格も狙える５９題をぜひ活用ください。

★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

試験合格に必要最小限エッセンスをまとめた「必勝メモ」と
何度も解いて合格に導く「必勝ドリル」
何度も繰り返すから力になる！

a	a	a
a	a	a
a	a	a
QC検定®２級必勝メモ 1000円	QC検定®２級必勝ドリル 1000円

★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

a		a
a		a
a		a
品質管理(ＱＣ)を究めるを数理問題集 (初級・中級向け) 3000円

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない

一元配置実験(繰返し数同じ)
一元配置実験(繰返し数異なる)
二元配置実験(繰返し無し)
二元配置実験(繰返し有り)

本記事は、3つ目の二元配置実験(繰返し無し)の必勝パターンを解説します。

★必勝方法

②2乗表を作る

データを用意

データ表	B1	B2	B3	計
A1	13	9	14	36
A2	8	19	21	48
A3	21	20	25	66
A4	22	32	36	90
計	64	80	96	240

データの構造式(見るだけ)

データの構造式こそ、実験計画法の本質ですが、最初は無視しましょう。
x_ij=μ+α_i+β_j+ε_ij
まずは分散分析表攻略を優先して、推定区間の式を習得しましょう。

2乗表を作る

データ表を2乗します。

2乗表	B1	B2	B3	計
A1	169	81	196	446
A2	64	361	441	866
A3	441	400	625	1466
A4	484	1024	1296	2804
計	1158	1866	2558	5582

試験では、合計が問題文に与えられていますが、必ず、2乗表がすぐに作れるように練習してください。

③平方和を計算する

公式は確実に覚えて使いこなせるように何度も練習しましょう。

「数学苦手だから」、「年だから」は関係ありません。能力、年齢ではなく、復習不足なだけです。

●S_T=$\sum_{i}x_i^2-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=5582-$\frac{240^2}{12}$=782

●S_A=$\frac{\sum_{i}x_A^2}{n_A}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{36^2}{3}$+$\frac{48^2}{3}$+$\frac{66^2}{3}$+$\frac{90^2}{3}$-$\frac{240^2}{12}$=552

●S_B=$\frac{\sum_{i}x_B^2}{n_B}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{64^2}{4}$+$\frac{80^2}{4}$+$\frac{96^2}{4}$-$\frac{240^2}{12}$=128

●S_e= S_T– S_A– S_B
=782-552-128=102

この計算を確実に何度も練習しましょう。

④分散分析表を作る

分散分析表を作ります。

自由度や平均平方(不偏分散ということもあります)V,F値の計算は大丈夫か確認しましょう。

–	S	φ	V(=S/φ)	F(=V/Ve)	F0
A	552	3	184	9.02	5.41
B	128	2	64	3.14	5.79
e	102	5	20.4	–	–
T	782	11	–	–	–

⑤F検定する

分散分析表から確認します。
F(φ_A,φ_e,α)=F(3,5,0.05)=5.41<9.02より有意である。
F(φ_B,φ_e,α)=F(2,5,0.05)=5.79>3.14より有意ではない。
因子Aだけ有意であるとわかりました。

この後、試験でよくプーリングして、再度分散分析する問題も頻出です。

⑥推定を算出

点推定

A1=(13+9+14)/3=12
A2=16
A3=22
A4=30

B1=(13+8+21+22)/4=16
B2=20
B3=24

信頼区間

QC検定®では電卓を使います。分数と平方根を速く計算できるように練習しましょう。

A1=12±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=12±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{3}}$
A2=16±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=16±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{3}}$
A3=22±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=22±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{3}}$
A4=30±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=30±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{3}}$

B1=16±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=16±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{4}}$
B2=20±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=20±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{4}}$
B3=24±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=24±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{4}}$

最適な組合せの点推定と信頼区間

最適な組合せは、最も値が大きい場合が多いです。A₄B₃ですね。

μ(A₄B₃)=$\bar{A_4}+\bar{B_3}-\bar{T}$
=90/3+96/4-240/12=30+24-20=26
μ(A₄B₃)の信頼区間は
μ±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$
=26±t(5,0.05) $\sqrt{\frac{20.4}{2}}$

信頼区間=t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$
ここで、n_eが伊奈の式や田口の式が出てきます。

n_e
田口の式
=$\frac{abc}{1+φ_A+φ_B}$=$\frac{12}{1+3+2}$=2
伊奈の式
=$\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}}$=2

となります。一連の流れを何度も読んで、マスターしましょう。
試験時間を考慮すると、ここまでで7,8分程度で来れるように何度も練習しましょう。

まとめ

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

2021年9月8日

【必読】二元配置実験(繰返し有り)が解ける【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

【必読】二元配置実験(繰返し有り)が解ける【QC検定®2級対策】

そんなあなたに朗報です！

QCプラネッツにお任せください！

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

★記事の信頼性

★【QC検定® 2級合格対策講座】で必勝！

QC検定® 2級合格対策講座を販売します。合格だけでなく、各単元の本質も理解でき、QC検定® 1級合格も狙える５９題をぜひ活用ください。

★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

試験合格に必要最小限エッセンスをまとめた「必勝メモ」と
何度も解いて合格に導く「必勝ドリル」
何度も繰り返すから力になる！

a	a	a
a	a	a
a	a	a
QC検定®２級必勝メモ 1000円	QC検定®２級必勝ドリル 1000円

★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

a		a
a		a
a		a
品質管理(ＱＣ)を究めるを数理問題集 (初級・中級向け) 3000円

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない

一元配置実験(繰返し数同じ)
一元配置実験(繰返し数異なる)
二元配置実験(繰返し無し)
二元配置実験(繰返し有り)

本記事は、4つ目の二元配置実験(繰返し有り)の必勝パターンを解説します。

★必勝方法

②2乗表を作る

データを用意

データ表
	B1	B2	B3	計
A1	4	5	14	36
A1	-4	7	10	36
A2	7	10	16	54
A2	1	10	10	54
A3	15	13	15	72
A3	5	17	7	72
A4	18	10	11	78
A4	10	16	13	78
計	56	88	96	240

また、S_ABを算出するために、AiBjの合計した表も作ります。

繰返しの和	B1	B2	B3	計
A1	0	12	24	36
A2	8	20	26	54
A3	20	30	22	72
A4	28	26	24	78
計	56	88	96	240

データの構造式(見るだけ)

データの構造式こそ、実験計画法の本質ですが、最初は無視しましょう。
x_ijk=μ+α_i+β_j+αβ_ij+ε_ijk
まずは分散分析表攻略を優先して、推定区間の式を習得しましょう。

2乗表を作る

データ表と、繰返し分の和の表もどちらも2乗します。

2乗和
	B1	B2	B3	計
A1	16	25	196	402
A1	16	49	100	402
A2	49	100	256	606
A2	1	100	100	606
A3	225	169	225	982
A3	25	289	49	982
A4	324	100	121	1070
A4	100	256	169	1070
計	756	1088	1216	3060

繰返しの和も2乗和します。

繰返しの和	B1	B2	B3	計
A1	0	144	576	720
A2	64	400	676	1140
A3	400	900	484	1784
A4	784	676	576	2036
計	1248	2120	2312	5680

試験では、合計が問題文に与えられていますが、必ず、2種類のデータ表と2種類の2乗和表がすぐに作れるように練習してください。

③平方和を計算する

公式は確実に覚えて使いこなせるように何度も練習しましょう。

「数学苦手だから」、「年だから」は関係ありません。能力、年齢ではなく、復習不足なだけです。

●S_T=$\sum_{i}x_i^2-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=3060-$\frac{240^2}{24}$=660

●S_A=$\frac{\sum_{i}x_A^2}{n_A}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{36^2}{6}$+$\frac{54^2}{6}$+$\frac{72^2}{6}$+$\frac{78^2}{6}$-$\frac{240^2}{24}$=180

●S_B=$\frac{\sum_{i}x_B^2}{n_B}-\frac{(\sum_{i}x_i^2)}{n}$
=$\frac{56^2}{8}$+$\frac{88^2}{8}$+$\frac{96^2}{8}$-$\frac{240^2}{24}$=112

●S_AB=$\frac{5680}{2}-\frac{240^2}{24}$=440

●S_A×B= S_AB– S_A– S_B
=440-180-112=148

●S_e= S_T– S_A– S_B– S_A×B
=660-180-112-148=220

この計算を確実に何度も練習しましょう。

④分散分析表を作る

分散分析表を作ります。

自由度や平均平方(不偏分散ということもあります)V,F値の計算は大丈夫か確認しましょう。

–	S	φ	V=S/φ	F=V/Ve	F0
A	180	3	60	3.27	3.49
B	112	2	56	3.05	3.89
A×B	148	6	24.67	1.35	3.00
e	220	12	18.33	–	–
T	660	23	–	–	–

⑤F検定する

分散分析表から確認します。
F(φ_A,φ_e,α)=F(3,12,0.05)=3.49>3.27より有意ではない。
F(φ_B,φ_e,α)=F(2,12,0.05)=3.89>3.05より有意ではない。
F(φ_A×B,φ_e,α)=F(6,12,0.05)=3.00>1.35より有意ではない。

この後、試験でよくプーリングして、再度分散分析する問題も頻出です。

⑥推定を算出

点推定

A1=(4+5+14-4+7+10)/6=6
A2=9
A3=12
A4=13

B1=(4-4+7+1+15+5+18+10)/8=7
B2=11
B3=12

信頼区間

QC検定®では電卓を使います。分数と平方根を速く計算できるように練習しましょう。

A1=6±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=6±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{6}}$
A2=9±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=9±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{6}}$
A3=12±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=12±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{6}}$
A4=13±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_A}}$
=13±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{6}}$

B1=7±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=7±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{8}}$
B2=11±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=11±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{8}}$
B3=12±t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_B}}$
=12±t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{8}}$

最適な組合せの点推定と信頼区間

工程平均の式で、交互作用を無視しない場合とします。
無視する場合は、関連記事【★リンク【必読】二元配置実験(繰返し無し)が解ける【QC検定®2級対策】】を見てください。

【必読】二元配置実験(繰返し無し)が解ける【QC検定®2級対策】
本記事は、7,8分で解ける二元配置実験(繰返し無し)の解法を解説します。QC検定®2級合格に必須な実験計画法を速く習得したい方は必見です。

工程平均の式の導出は、関連記事【★リンク【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる】に解説していますが、QC検定®2級受験の場合は、公式暗記で済ませましょう。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

最適な組合せは、最も値が大きい場合が多いです。A₃B₂ですね。

点推定=(13+17)/2=15
信頼区間=t(φ_e,α) $\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$
ここで、n_eが伊奈の式や田口の式が出てきます。

n_e=$\frac{abc}{1+φ_A+φ_B+φ_{A×B}}$=$\frac{24}{1+3+2+6}$=2
信頼区間=t(12,0.05) $\sqrt{\frac{18.33}{2}}$

まとめ

QC検定®2級で、二元配置実験(繰返し有り)で必ず出題される内容を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

➀QC検定®2級の実験計画法は4種類しかない
②2乗表を作る
③平方和を計算する
④分散分析表を作る
⑤F検定する
⑥推定を算出

2021年9月7日

二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

★ 本記事のテーマ

二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

「平方和の分解」が解ける！
「主効果、交互作用、残差の各値が計算」できる！
「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由」がわかる！

★【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方におススメです。

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

★究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法を究めた方におススメです。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

実験計画法を勉強始めたばかりで、よくわからないことが多いですね。
初心者の方がつまづきやすいポイントを関連記事にまとめています。

★究める！実験計画法

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

★【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】
実験計画法から何が求まるのか？をわかりやすく解説します！

★なぜ、実験計画法は分散で検定するのか？【初心者向け】

なぜ、実験計画法は分散で検定するのか？【初心者向け】
実験計画法はなんで分散分析するのか？、帰無仮説・対立仮説は何かがすぐ分かります！

★実験計画法のプーリングがわかる

実験計画法のプーリングがわかる
実験計画法のプーリングって何？がすぐにわかります！

★実験計画法の交絡がわかる

【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
実験計画法の交絡が何かがすぐにわかります！

①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる

データの構造式

二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

★二元配置実験(交互作用有り)のデータの構造式

x_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk

二元配置実験をデータ分解する

★因子と水準の違いは説明できますか？

関連記事
「一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】」
を確認しましょう。

【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】
実験計画法で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

P1-3で確認ください。

★【簡単】因子と水準の違い

因子は変数の種類
水準はレベル(英語にするとわかりやすい)

二元配置実験(交互作用有り)のデータを用意します。

x_ijk
	B1	B2	B3	B4
A1	11	4	19	19
A1	5	14	7	1
A2	3	21	15	31
A2	13	9	23	21
A3	24	15	46	54
A3	10	33	34	48

データの分解方法

全体の平均μを求める
主効果$α_i$、$β_j$の各値を求める
交互作用$(αβ)_{ij}$の各値を求める
残差$e_{ijk}$は残りの値

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

★(i)全体の平均μを求める

μ=合計/個数=480/24=20

x_ijk
	B1	B2	B3	B4
A1	11	4	19	19
A1	5	14	7	1
A2	3	21	15	31
A2	13	9	23	21
A3	24	15	46	54
A3	10	33	34	48

★(ii)主効果$α_i$の各値(i=1,2,3)を求める

●$α_1$=(水準1の平均)―μ=$\frac{11+4+19+19+5+14+7+1}{8}$-20=-10
●$α_2$=(水準2の平均)―μ=$\frac{3+21+15+31+13+9+23+21}{8}$-20=-3
●$α_3$=(水準3の平均)―μ=$\frac{24+15+46+54+10+33+34+48}{8}$-20=13

αi
	B1	B2	B3	B4
A1	-10
A2	-3
A3	13

★(ii)主効果$β_j$の各値(j=1,2,3,4)を求める

●$β_1$=(水準1の平均)―μ=$\frac{11+5+3+13+24+10}{6}$-20=-9
●$α_2$=(水準2の平均)―μ=$\frac{4+14+21+9+15+33}{6}$-20=-4
●$α_3$=(水準3の平均)―μ=$\frac{19+7+15+23+46+34}{6}$-20=4
●$α_4$=(水準4の平均)―μ=$\frac{19+1+31+21+54+48}{6}$-20=9

βj
	B1	B2	B3	B4
A1	-9	-4	4	9
A2
A3

★(iii)交互作用$(αβ)_{ij}$の各値を求める

$(αβ)_{11}$～$(αβ)_{34}$の全12種類を計算します。
●$αβ_{11}$=(AB11の平均)―μ―α1―β1=$\frac{11+5}{2}$-20-(-10)-(-9)=7
●$αβ_{12}$=(AB12の平均)―μ―α1―β2=$\frac{4+14}{2}$-20-(-10)-(-4)=3
…
●$αβ_{14}$=(AB14の平均)―μ―α1―β4=$\frac{19+1}{2}$-20-(-10)-9=-9
…
●$αβ_{34}$=(AB34の平均)―μ―α3―β4=$\frac{54+48}{2}$-20-13-9=9

ちょっとややこしい計算ですが、
S_A×B=S_AB– S_A– S_B
と連想すれば計算式が理解しやすいですね。

(αβ)ij
	B1	B2	B3	B4
A1	7	3	-1	-9
A2	0	2	-2	0
A3	-7	-5	3	9

★(iv) 残差$e_{ijk}$は残りの値

$ε_{ijk}$=$x_{ijk}$-μ-$α_i$-$β_j$-$(αβ)_{ij}$
例えばi=2,j=3,k=2としましょう。
$ε_{232}$=$x_{232}$-μ-$α_2$-$β_3$-$(αβ)_{23}$
=23-20-(-3)-4-(-2)=4
これをすべてのijkについて計算します。

εijk
	B1	B2	B3	B4
A1	3	-5	6	9
A1	-3	5	-6	-9
A2	-5	6	-4	5
A2	5	-6	4	-5
A3	7	-9	6	3
A3	-7	9	-6	-3

まとめると次のようにデータが分解できます。

データの分解のまとめ

x_ijk
	B1	B2	B3	B4
A1	11	4	19	19
A1	5	14	7	1
A2	3	21	15	31
A2	13	9	23	21
A3	24	15	46	54
A3	10	33	34	48

μ
	B1	B2	B3	B4
A1	20
A2
A3

αi
	B1	B2	B3	B4
A1	-10
A2	-3
A3	13

βj
	B1	B2	B3	B4
A1	-9	-4	4	9
A2
A3

(αβ)ij
	B1	B2	B3	B4
A1	7	3	-1	-9
A2	0	2	-2	0
A3	-7	-5	3	9

εijk
	B1	B2	B3	B4
A1	3	-5	6	9
A1	-3	5	-6	-9
A2	-5	6	-4	5
A2	5	-6	4	-5
A3	7	-9	6	3
A3	-7	9	-6	-3

②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる

データの構造式

x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
の、各i,j,kに対する値について、表を使って計算しました。

次に平方和を導出しましょう。

平方和の分解を導出

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
を
x_ijk-μ=α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjΣkをつけます。

$\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}$=0, $\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}$=0

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2$
=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk})^2$

右辺は、
(右辺)= $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$$(α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)$
+2$(α_i β_j+α_i (αβ)_{ij}+α_i e_{ijk}+β_j (αβ)_{ij} +β_j e_{ijk} +(αβ)_{ij} e_{ijk})$

ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$$(α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)$
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。

まとめると、
$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2$
$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$$(α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)$
これが、
S_T= S_A+ S_B+ S_A×B+ S_e
となり、平方和の分解ができるのです。

2乗項以外の中間項の和はすべて0になる性質があるため、
平方和は分解できるのです。
でも、慣れないうちは難解なので、
次の表を使って平方和の分解ができることを理解しましょう。

データの分解した表から平方和の分解を導出

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ije_ijk
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

xijk
	B1	B2	B3	B4
A1	121	16	361	361
A1	25	196	49	1
A2	9	441	225	961
A2	169	81	529	441
A3	576	225	2116	2916
A3	100	1089	1156	2304
			計	14468

μ
	B1	B2	B3	B4
A1	400	400	400	400
A1	400	400	400	400
A2	400	400	400	400
A2	400	400	400	400
A3	400	400	400	400
A3	400	400	400	400
			計	9600

αi
	B1	B2	B3	B4
A1	100	100	100	100
A1	100	100	100	100
A2	9	9	9	9
A2	9	9	9	9
A3	169	169	169	169
A3	169	169	169	169
			計	2224

βj
	B1	B2	B3	B4
A1	81	16	16	81
A1	81	16	16	81
A2	81	16	16	81
A2	81	16	16	81
A3	81	16	16	81
A3	81	16	16	81
			計	1164

(αβ)ij
	B1	B2	B3	B4
A1	49	9	1	81
A1	49	9	1	81
A2	0	4	4	0
A2	0	4	4	0
A3	49	25	9	81
A3	49	25	9	81
			計	624

εijk
	B1	B2	B3	B4
A1	9	25	36	81
A1	9	25	36	81
A2	25	36	16	25
A2	25	36	16	25
A3	49	81	36	9
A3	49	81	36	9
			計	856

表の和をまとめると、
14468=9600+2224+1164+624+856
と一致します。あら、不思議！

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
●S_T14468-9600=4868
●S_A=2224
●S_B=1164
●S_A×B=624
●S_e=856
となります。

表から中間項の和が0になることを確認

● $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i β_j$=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i (αβ)_{ij}$=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i e_{ijk}$=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j (αβ)_{ij}$=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j e_{ijk} $=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}$=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。

6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}$=0
をやってみましょう。

(αβ)ij
	B1	B2	B3	B4
A1	7	3	-1	-9
A2	0	2	-2	0
A3	-7	-5	3	9

εijk
	B1	B2	B3	B4
A1	3	-5	6	9
A1	-3	5	-6	-9
A2	-5	6	-4	5
A2	5	-6	4	-5
A3	7	-9	6	3
A3	-7	9	-6	-3

(αβ)ij×εijk
	B1	B2	B3	B4	計
A1	21	-15	-6	-81	0
A1	-21	15	6	81	0
A2	0	12	8	0	0
A2	0	-12	-8	0	0
A3	-49	45	18	27	0
A3	49	-45	-18	-27	0
計	0	0	0	0	0

黄色枠のとおり、合計は0になります。

③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

数式から理由を理解する

★【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データx_ijkの合計と、平均μの総和は同じだから。
その他の主効果、交互作用、残差の和は0になるのは当然！

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
から、両辺に和をとります。

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}x_{ijk}$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}μ$=abcμ
より、
$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
● $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$α_i=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$β_j=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$(αβ)_ij=0
●$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$ e_ijk=0
となります。

データの分解した表から理由を理解する

表でも確認しましょう。

★主効果α

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$α_i=0
を確認します。

αi
	B1	B2	B3	B4	計
A1	-10				0
A2	-3
A3	13

★主効果β

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$β_j=0

を確認します。

βj
	B1	B2	B3	B4	計
A1	-9	-4	4	9	0
A2
A3

★交互作用αβ

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$α_i=0
を確認します。さらにいうと、
$\sum_{i=1}^{a}$(αβ)_ij=0
$\sum_{j=1}^{b}$(αβ)_ij=0
が成り立つことを確認します。

(αβ)ij
	B1	B2	B3	B4	計
A1	7	3	-1	-9	0
A2	0	2	-2	0	0
A3	-7	-5	3	9	0
計	0	0	0	0	0

★残差e

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$e_ijk=0
を確認します。さらにいうと、
$\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}$e_ijk=0
$\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$e_ijk=0
が成り立つことを確認します。

εijk
	B1	B2	B3	B4	計
A1	3	-5	6	9	0
A1	-3	5	-6	-9	0
A2	-5	6	-4	5	0
A2	5	-6	4	-5	0
A3	7	-9	6	3	0
A3	-7	9	-6	-3	0
計	0	0	0	0	0

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

【問題】：
次のデータから成る二元配置実験において、データの分解と平方和の分解をせよ。

【データ】

		C1	C2	C3	C4
A1	B1	10	11	15	18
	B1	12	14	16	19
	B2	13	19	16	20
	B2	14	22	17	22
	B3	15	16	20	23
	B3	16	17	21	24
A2	B1	11	13	13	14
	B1	12	14	15	15
	B2	14	20	17	21
	B2	15	23	18	23
	B3	17	15	20	13
	B3	19	16	21	15

是非、解いてみましょう。

まとめ

以上、「二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】」を解説しました。

①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

2021年8月30日

【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

★ 本記事のテーマ

【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
②田口の式、伊奈の式の紹介
③有効反復数の導出事例

「分散分析から有効反復数を求める方法」がわかる！
「田口の式や伊奈の式」が使いこなせる！

★【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方におススメです。

★究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法を究めた方におススメです。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

実験計画法を勉強始めたばかりで、よくわからないことが多いですね。
初心者の方がつまづきやすいポイントを関連記事にまとめています。

★究める！実験計画法

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

★【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】
実験計画法から何が求まるのか？をわかりやすく解説します！

★なぜ、実験計画法は分散で検定するのか？【初心者向け】

★実験計画法のプーリングがわかる

実験計画法のプーリングがわかる
実験計画法のプーリングって何？がすぐにわかります！

★実験計画法の交絡がわかる

【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
実験計画法の交絡が何かがすぐにわかります！

➀データの構造式から有効反復数を導出する方法

導出方法が理解できたら、公式暗記は不要になります。
田口の式、伊奈の式を使えば有効反復数はすぐ求まりますが、
自力で有効反復数を求めることができます。

【重要】有効反復数の導出方法

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
(B)母平均の式を作る(関連記事)
(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
(D)戻したデータの構造式の分散を求める

(A)(B)は、
関連記事「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。
(C)(D)は本記事です。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

この4つの流れで、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法、多水準法などすべてのパターンに適応できます。

4つの流れを理解して、速く計算したくなったら、田口の式や伊奈の式に代入でしましょう。

二元配置実験の場合

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

$x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}$+$e_{ijk}$

とします。因子A,Bと繰り返しの自由度はそれぞれa,b,cとします。

最適条件$μ(A_i B_j)$の点推定値の有効反復数を求めます。
ここで、$(αβ)_{ij}$を無視した場合を紹介します。
その方が導出過程が理解しやすいからです。

★ (B)母平均の式を作る(関連記事)

$μ(A_i B_j)$
=$μ+α_i+β_j$
=$\bar{\bar{x}}$+$(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})$+$(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})$
=$\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}$

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

$μ(A_i B_j)$
=$\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}$
=($μ+α_i+\bar{e_{i‥}}$)
+($μ+β_j+\bar{e_{･j･}}$)
-($μ+\bar{\bar{e}}$)
=($μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}$)

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[$μ(A_i B_j)$]
=V[($μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}$)]
=V[($\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}$)]
= $(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})σ_e^2$
=$\frac{a+b-1}{abc}σ_e^2$

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。
以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

②田口の式、伊奈の式の紹介

田口の式、伊奈の式の紹介

★田口の式、伊奈の式

(A) 田口の式
$\frac{1}{n_e}$=$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$
(B) 伊奈の式
$\frac{1}{n_e}$=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和

★二元配置実験の場合を田口の式で導出

$\frac{1}{n_e}$=$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$
$\frac{1}{n_e}$=$\frac{1+(a-1)+(b-1))}{abc}$
=$\frac{a+b-1}{abc}$
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★二元配置実験の場合を伊奈の式で導出

$\frac{1}{n_e}$=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
$\frac{1}{n_e}$=$(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})$
=$\frac{a+b-1}{abc}$
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

田口の式、伊奈の式を使わずにデータの構造式から導出する理由

公式暗記ではなく、導出過程を理解してほしいから

田口の式、伊奈の式は便利です。でも、

(i)式を理解せず、暗記公式しても、実験計画法はマスターできない。
(ii)データの構造式から実験計画法はすべてがわかることが本質。

(iii)分割法、多水準法など応用事例になると公式が増加。

に注意しましょう。

また、

田口の式：無視しない要因の自由度の和
伊奈の式：点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
が日本語を式にするのは、慣れるまでは結構ミスります。

ならば

遠回りしてもデータの構造式から有効反復数を

1パターンの解法でどんな応用事例も対処できます。

次に、複雑にした応用事例を解説します。

③有効反復数の導出事例

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。もう一度、書いておきます。

【重要】有効反復数の導出方法

(A)データの構造式を用意する(関連記事)
(B)母平均の式を作る(関連記事)
(C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す
(D)戻したデータの構造式の分散を求める

多因子を割り当てた直交表の事例

直交表$L_{16} 2^{15}$に因子A,B,C,D,Fと交互作用A×B,C×Dを割り付けた。
データの構造式は
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e (eは誤差)
とする。この時、ABCDFの水準組み合わせで母平均を推定する。
この母平均の有効反復数を導出します。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=$\bar{\bar{x}}$+($\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}$)+($\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}$)+($\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}$)
+($\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}$)+($\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}$)+($\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}$)
+($\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}$)
=$\bar{x_{ab}}$+$\bar{x_{cd}}$+$\bar{x_f}$-2$\bar{\bar{x}}$

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

慣れると、変量因子や残差項のみを書きましょう。
主効果や交互作用の項は書いても、分散を導出する時は0になるので、
最初から書かなくてもOKです。

μ(ABCDF)
=$\bar{x_{ab‥}}+\bar{x_{cd‥}}+\bar{x_{f･‥}}-2\bar{\bar{x}}$
=$\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}$

直交表L16は添字4種類ですが、a,b,c,d,fの5種類を割当てています。
4種類から割り当てた種類を引いた分を・で表記します。

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(ABCDF)]
=V[$\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}$]
= $(\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-2\frac{1}{16})σ_e^2$
=$\frac{1}{2}σ_e^2$

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

$\frac{1}{n_e}$=$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$
=$\frac{1+φ_A+φ_B+φ_C+φ_D +φ_F+φ_AB +φ_CD}{16}$
=$\frac{1+1+1+1+1+1+1+1}{16}$=$\frac{1}{2}$
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★ 伊奈の式で導出

$\frac{1}{n_e}$=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
V[μ(ABCDF)]=V[μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)]
=8×$\frac{1}{16}σ_e^2$
$\frac{1}{n_e}$=$\frac{1}{2}$
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

乱塊法と分割法を使った事例

乱塊法と分割法(2分割)を考える。データ構造式を
\(x_{ijk}=μ+γ_k+α_i+e_{(1)ik}+β_j+e_{(2)ijk}
とする。γは反復(変量因子)、α、βは主効果とする。
自由度はα→a,β→b,γ→cとする。
この時、AiBj母平均と有効反復数を導出せよ。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

乱塊法と分割法のセットとなる、応用事例です。難しそうですが、

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

$x_{ijk}$=μ+$γ_k+α_i+e_{(1)ik}+β_j+e_{(2)ijk}$

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(A_iB_j)
=$μ+α_i+β_j$
=$\bar{\bar{x}}$+($\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}$)+($\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}$)
=$\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}$

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

μ(A_iB_j)
=$\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}$
=$(μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})$
+$(μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}})$
-$(μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+\bar{ e_{(2)}})$
=$(μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})$
+$(\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})$

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(A_iB_j)]
=V[$(μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})$
+$(\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})$]
= V[$(\bar{r} +\bar{e_{(1)i･}})$
+$(\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})$]
=$\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}$

ここで、分散分析表を作ります。必要なのは、効果、自由度、分散の期待値E[V]です。

さっと作れますか？　

関連記事
「分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」
を確認しましょう。

【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】
実験計画法で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

P27-30で確認ください。

★分散分析表

–	φ	E[V]
R	c-1	$σ_{e(2)}^2$+$bσ_{e(1)}^2$+$abσ_R^2$
A	a-1	$σ_{e(2)}^2$+$bσ_{e(1)}^2$+$bcσ_A^2$
e(1)	(a-1)(c-1)	$σ_{e(2)}^2$+$bσ_{e(1)}^2$
B	b-1	$σ_{e(2)}^2$+$acσ_B^2$
A×B	(a-1)(b-1)	$σ_{e(2)}^2$+$cσ_{A×B}^2$
e(2)	a(b-1)(c-1)	$σ_{e(2)}^2$
T	abc-1	–

分散分析表から分散の推定値を導出します。

	V
R	V_R=$\widehat{σ_{e(2)}^2}$+$\widehat{bσ_{e(1)}^2}$+$\widehat{abσ_R^2}$
e(1)	V_e(1)=$\widehat{σ_{e(2)}^2}$+$\widehat{bσ_{e(1)}^2}$
e(2)	V_e(2)=$\widehat{σ_{e(2)}^2}$

から、次を導出します。
●$\widehat{σ_{e(2)}^2}$= V_e(2)
●$\widehat{σ_{e(1)}^2}$=$\frac{1}{b}$( V_e(1)– V_e(2))
●$\widehat{σ_R^2}$=$\frac{1}{ab}$( V_R– V_e(1))

まとめると
V[μ(A_iB_j)]
=$\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}$

=$\frac{1}{abc}$ V_R+$\frac{a-1}{abc}$ V_e(1)+$\frac{b-1}{abc}$ V_e(2)

分割法の有効反復数の導出は、慣れるまでは大変かもしれません。
なので、田口の式、伊奈の式から導出しましょう。

(E)田口の式、伊奈の式からも導出

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

乱塊法＋分割法になると変量因子Rや残差eの種類が増えるため、田口の式を拡張する必要があります。
これも結構、ややこしい話ですけど。

田口の式を拡張
(i)反復因子Rを無視しない場合
V[μ(A_iB_j)]
=$\frac{1}{全実験回数}$V_R+$\frac{(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(1)
+$\frac{(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(2)
–
(ii) 反復因子Rを無視する場合
V[μ(A_iB_j)]
=$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(1)
+$\frac{(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(2)
(ややこしい)

反復因子Rを無視しないので、
V[μ(A_iB_j)]
=$\frac{1}{全実験回数}$ V_R+$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(1)
+$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}$ V_e(2)

=$\frac{1}{abc}$ V_R+$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=a-1)}{全実験回数}$ V_e(1)
+$\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=b-1)}{全実験回数}$ V_e(2)
=$\frac{1}{abc}$ V_R+$\frac{a-1}{abc}$ V_e(1)+$\frac{b-1}{abc}$ V_e(2)
と一致します。

★ 伊奈の式で導出

伊奈の式は適用できないので割愛します。

分割法になると、データの構造式からの有効反復数の導出が大変です。
なので、田口の式や伊奈の式に頼りたいですが、公式も乱塊法や分割法によって
式を変形する必要があります。

分割法の有効反復数はデータの構造式から導出しても、
公式暗記しても難しいです。
ですから、導出過程をよく見て、本質を理解してください。

まとめ

以上、「【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる」を解説しました。

➀データの構造式から有効反復数を導出する方法
②田口の式、伊奈の式の紹介
③有効反復数の導出事例

2021年8月23日

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】

★ 本記事のテーマ

【必見！】サタースウェイトの等価自由度の導出ができる

①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説
③導出詳細はnoteで販売しております！

難解な「サタースウェイトの等価自由度」を端折らずに解説します！どうやって式ができているか見てみましょう！

①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる

サタースウェイトの等価自由度

標本分散V₁, V₂,…, V_k(それぞれの自由度φ₁, φ₂,…, φ_k)は互いに独立で、c₁, c₂,…, c_kを定数とするとき、
$\widehat{V}$=$c_1 V_1$+$c_1 2_2$+…$c_k V_k$
のように合成された分散$\widehat{V}$の自由度を$φ^*$(等価自由度)とするとき、等価自由度φ^*を次式から求める。
$φ^*$=$\frac{(c_1 V_1+c_2 V_2+…+ c_k V_k)^2}{\frac{(c_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(c_2 V_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k V_k)^2}{φ_k}}$

サタースウェイトの等価自由度が必要な場合

★サタースウェイトの等価自由度が必要な理由

区間推定で分散が複数ある場合に等価自由度が必要になる

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

★区間推定のポイント

ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
誤差eの自由度φ_eである
Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

Veが複数項ある場合に、サタースウェイトの等価自由度が必要になります。

★ Veが複数項ある場合

分割法で、残差eが複数ある場合
乱塊法の反復因子Rのような変量因子を含む場合

サタースウェイトの等価自由度の値

整数ではないことがほとんど

サタースウェイトの等価自由度をφ^*と表記しますと、
φ^*=12.21とか小数をふくみます。
t分布表には自由度は整数のみなので、
φ=12,13のt分布の値を読み取り、
t(12)

②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説

教科書や他のwebサイトから、最も詳細な解説をしているのが、｢入門　実験計画法 / 永田靖｣P353にあります。

でも、一部の導出過程が端折っているので、そこがわからない！と困るはずです。

本サイトは、途中過程を端折らず解説します。

サタースウェイトの等価自由度

$φ^*$=$\frac{(c_1 V_1+c_2 V_2+…+ c_k V_k)^2}{\frac{(c_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(c_2 V_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k V_k)^2}{φ_k}}$
を導出します。
2段階で導出します。

χ²分布の公式を活用した変形
χ²分布の期待値と分散の公式を活用した変形

分布の公式を活用した変形

分散を扱っているので、χ²分布の式を使います。
χ²分布は、平方和S、分散σ²を使うと
χ²=$\frac{S}{σ^2}$
となります。
χ²分布が不安な方は、

関連記事
「【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】」
で確認ください。

【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
χ2乗分布を使うときに注意すべきポイントをわかりやすく解説します。

平方和Sは不偏分散Vとその自由度φ=n-1を使って、
V=$\frac{S}{n-1}$=$\frac{S}{φ}$
より、
S=Vφ
と表現できます。

よって、
χ²=$\frac{S}{σ^2}$=$\frac{ Vφ}{σ^2}$
と表現できます。
左辺がχ²なので、右辺はχ²分布に従います。

$\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}$はχ²分布に従います。

分布の期待値と分散の公式を活用した変形

χ²分布(自由度k)の期待値と分散は
E[X]=k
V(X)=2k

という、χ²分布の性質を使います。

V(X)=2kから
X= $\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}$
K=$φ_i $
を代入します。
V($\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}$)=2$φ_i $
が成り立ちます。

また、分散において、定数項cは2乗にして外に出すことができます。
V(cX)=c²V(X)

V($\frac{ V_i φ_i}{σ_i^2}$)= $\frac{φ_i ^2}{σ_i^4}$V($V_i)$=2$φ_i$
$V(V_i)=\frac{2σ^4}{φ_i}$

さらに、合成分散$\widehat{V}$の分散V($\widehat{V}$)を定義して、式変形します。無理矢理感がありますけど。
V($\widehat{V}$)=V($c_1 V_1$+$c_1 2_2$+…$c_k V_k$)
=$c_1^2V(V_1)+ c_2^2V(V_2)+…+ c_k^2V(V_k)$
=2($c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}$+$c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}$+…+$c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}$)

ここで、合成分散$\widehat{V}$は自由度$φ^*$、分散$σ_*^2$を用いると、
$\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}$はχ²分布に従います。

χ²分布の分散を用いると、
V($\frac{\widehat{V}φ^*}{σ_*^2}$)=$\frac{φ^*2}{σ_*^4}V(V_i)$=2$φ^*$
V($\widehat{V}$)=$\frac{2σ_*^4}{φ^*}$

よって、
$\frac{2σ_*^4}{φ^*}$=2($c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}$)
が成り立ちます。

まとめると、
$φ^*$= ($\frac{σ_*^4}{ c_1^2\frac{σ_1^4}{φ_1}+ c_2^2\frac{σ_2^4}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{σ_k^4}{φ_k}}$)

なお、$σ_1^2$,$σ_2^2$,…,$σ_k^2$,$σ_*^2$は未知数で、それぞれの推定量を$\widehat{V_1}$,$\widehat{V_2}$,…, $\widehat{V_k}$,$\widehat{V}$として代入します。
$φ^*$= $\frac{\widehat{V^2}}{c_1^2\frac{\widehat{V}_1^2}{φ_1}+ c_2^2\frac{\widehat{V}_2^2}{φ_2}+…+ c_k^2\frac{\widehat{V}_k^2}{φ_k}}$
$φ^*$=$\frac{c_1 \widehat{V}_1+c_2 \widehat{V}_2+…+c_k \widehat{V}_k}{\frac{(c_1 \widehat{V}_1)^2}{φ_1}+ \frac{(c_2 \widehat{V}_2)^2}{φ_2}+…+\frac{(c_k \widehat{V}_k)^2}{φ_k}}$

と導出できました。力技で導出した感じですね。

③導出詳細はnoteで販売しております！

なお、「ウェルチの方法」と「サタースウェイトの自由度」
の導出は、noteでもまとめています。有料になりますが、ご参照ください。

ウェルチ(Welch)の方法とサタースウェイトの自由度が導出できる【検定と推定】
●サタースウェイトの自由度Φ* の導出を途中を一切端折らずに解説します！

まとめ

サタースウェイトの等価自由度を詳細に解説しました。

①サタースウェイトの等価自由度がなぜ必要かがわかる
②サタースウェイトの等価自由度の導出を解説
③導出詳細はnoteで販売しております！

2021年8月21日

一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】

★ 本記事のテーマ

一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】

①一元配置実験のデータの構造式が書ける
②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける
③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
④一元配置実験の分散分析ができる
⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

「一元配置実験の分散分析や期待値の導出」ができる！
「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法」がわかる！

★【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方におススメです。

★究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法を究めた方におススメです。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

実験計画法を勉強始めたばかりで、よくわからないことが多いですね。
初心者の方がつまづきやすいポイントを関連記事にまとめています。

★究める！実験計画法

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

●You tube動画もご覧ください

①一元配置実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

1因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
主効果の添字はi,残差ijと分けています。フィッシャーの三原則の反復ですね。

★一元配置実験のデータの構造式

x_ij=μ+α_i+ e_ij

各平均値をデータの構造式で作る

αは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
$\sum_{i=1}^{a} α_i$=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

★平均値の式の代表例

データの構造式

x_ij=μ+α_i+e_ij
$\bar{x_{i･}}$=μ+$α_i$+$\bar{e_{i･}}$
$\bar{\bar{x}}$=μ+$\bar{\bar{e}}$

②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。
分散分析はデータの構造式が複雑になると
表で整理するのがオススメです。

	S_A	S_e
$x_{ij}$		1
$\bar{x_{i･}}$	1	-1
$\bar{\bar{x}}$	-1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A,S_eを挙げます。
$S_A$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$ (\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2$
$S_e$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2$
と書けますね。

③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事
「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」
をご覧下さい。

確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】
期待値と分散の導出過程を確認しましょう！

主効果の分散の期待値の導出

E[$S_A$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2$]
=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$ (α_i+\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2$]
=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (α_i )^2$]
+2E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) $]
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2$]

★ここで、第2項は0になることを証明します。
E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) $]
=bE[$\sum_{i=1}^{a} (α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) $]
=bE[$α_1(\bar{e_{1･}}-\bar{\bar{e}})+α_2(\bar{e_{2･}}-\bar{\bar{e}})+…+α_a(\bar{e_{a･}}-\bar{\bar{e}})$]
=bE[$(α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})$+$(α_1+α_2+…+α_a) \bar{\bar{e}})$]

後ろの項について、$(α_1+α_2+…+α_a)$=0です。
=bE[$(α_1\bar{e_{1･}}+α_2\bar{e_{2･}}+…+α_a\bar{e_{a･}})$]
=b($α_1$E[$\bar{e_{1･}}$]+$α_2$E[$\bar{e_{2･}}$]+…+$α_a$E[$\bar{e_{a･}}$])
さらにE[$\bar{e_{i･}}$]=0です。
残差の実際の値は0ではないですが、期待値は0になります。

よって、すべて0になるため、
E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i ) (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}}) $]=0

➀Σの中の式変形に慣れましょう。
②E[$\bar{e_{ij}}$]と残差の期待値の式にも慣れましょう。
③わからない場合は、公式暗記から始めて、慣れたら式に慣れましょう。

★平方和の分解のポイント

中間項が常に0になる。

平方和は簡単に分解できて、
$ (x_1+x_2+…+x_n)^2$=$x_1^2+x_2^2+…+x_n^2$
が成り立ちます。

この関係が各効果の平方和として分解することができ、
S_T= S_A+ S_B+ …+ S_e
と分解できます。

まずは、暗記で構いませんが、
慣れてきたら
中間項が0になること
を確認してください。高校数学レベルで解けます。

E[$S_A$]
=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i )^2$]
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2$]
=$b(a-1)σ_A^2$ +$(a-1)(σ_e^2$)

主効果Aの自由度は$(a-1)$より、分散の期待値E[V_A]が求まります。
E[$V_A$]=$bσ_C^2$ +$σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。
$ σ_A^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}$]

$σ_e^2$については以下のように解きます。式の意味を読んで見ましょう。慣れるまでは、添字の種類と分母の種類を揃える点に注目しましょう。

$σ_e^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}$]
$\frac{σ_e^2}{b}$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}(e_{i･}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}$]
$\frac{σ_e^2}{a}$=E[$\frac{\sum_{j=1}^{b}(e_{･j}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}$]

残差の分散の期待値の導出

E[$S_e$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2$]
= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2$]

意図的に以下のように式変形します。
$(e_{ij}-\bar{\bar{e}})$=$\color{red}{(e_{ij}-\bar{e_{i･}})}$+$(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})$

次に、両辺の2乗和の期待値を作ります。次の関係式が成り立ちます(確かめてみてください)。
E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2$]
=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{e_{i･}})^2$]
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2$]

次に分散$σ_e^2$を作ります。次の3種類ができます。
分散は、各残差の値\(e_{ij})と残差の平均との差分の2乗和です。
差分の2乗和をそのまま式に書きます。

添字の種類とΣの数に注目してください。添字、Σが3つ以下の②③④の左辺は、$σ_e^2$に自由度a,bで割った値となっています。

➀$σ_e^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2}{ab-1}$]
②$\frac{σ_e^2}{b}$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a} (\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}$]
③$\frac{σ_e^2}{a}$=E[$\frac{\sum_{j=1}^{b} (\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2}{b-1}$]

➀➁➂の違いを見比べて、慣れましょう。慣れてから式の意味を考えましょう。

次に➀➁➂を変形します。
➀$(ab-1)σ_e^2$=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2$]
②$(a-1)σ_e^2$=E[$\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{i･}}-\bar{\bar{e}})^2$]
③$(b-1)σ_e^2$=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2$]

求めたい期待値
E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2$]
は➀―②で算出できます。
E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (e_{ij}-\bar{\bar{e}})^2$]
=$(ab-1)σ_e^2$-$(a-1)σ_e^2$
=$a(b-1)σ_e^2$
となります。

結果をまとめます。
E[$S_e$]=$a(b-1)σ_e^2$

残差eの自由度は$a(b-1)$より、分散の期待値E[V_e]が求まります。
E[$V_e$]=$σ_e^2$

④一元配置実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。
関連記事
「【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)」
に解説しています。まとめると次の3つです。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
実験計画法はデータの構造式ですべて解けることを解説します！

データの構造式を書く
主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出する
自由度は表を活用すると簡単に求まる

S_A S_e

a 1 -1

b

ab 1

1 -1

表から、
Aの列(縦)には、aに1,1に-1とありますから、自由度はa-1、
eの列(縦)には、abに1,aに-1とありますから、自由度はab-a=a(b-1)、
となります。

また、各自由度はデータの構造式の添字を見ればすぐわかります。
E[$S_A$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2$]
添字はiと平均を見ます。
添字iの自由度aから平均の自由度1を引きます。よって、a-1。

E[$S_e$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}$$(x_{ij}-\bar{x_{i･}})^2$]
添字はijと平均iを見ます。
添字ijの自由度abから平均iの自由度aを引きます。よって、ab-a。

データの構造式が複雑になるほど、上の表を活用すると自由度が求めやすくなります。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]

A a-1 $σ_e^2$+b$σ_A^2$

e a(b-1) $σ_e^2$

T ab-1 –

⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
で確認下さい。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

★区間推定のポイント

ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る

誤差eの自由度φ_eである

Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出する

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】
サタースウェイトの等価自由度が導出できる方法をわかりやすく解説します！

主効果の点推定と区間推定の導出

★分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=$σ_e^2$
よって、
$\widehat{σ_e^2}$= V_e

★主効果Aの点推定と区間推定

●点推定：　$\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･}}$=$\widehat{μ+α_i}$
=$μ+\bar{x_{i･}}$

●分散：$\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))$
=V[μ+$\bar{x_{i･}}$]
=V[$\bar{x_{i･}}$]
=$\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}$
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

まとめ

以上、「一元配置実験の分散分析・区間推定が解ける【必見】」を解説しました。

①一元配置実験のデータの構造式が書ける

②一元配置実験の平方和の分解の式が書ける

③一元配置実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

④一元配置実験の分散分析ができる

⑤一元配置実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

2021年8月20日

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

★ 本記事のテーマ

三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

「三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出」ができる!
「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法」がわかる!

●You tube動画もご覧ください。

★【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方におススメです。

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

★究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法を究めた方におススメです。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

★究める！実験計画法

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

データの構造式

3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

★三元配置実験のデータの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

各平均値をデータの構造式で作る

α、β、γは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。

$\sum_{i=1}^{a} α_i$=0
$\sum_{j=1}^{b} β_j$=0
$\sum_{k=1}^{c} γ_k$=0
$\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}$=0, $\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}$=0
$\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}$=0, $\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}$=0
$\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}$=0, $\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}$=0
$\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}$=0, $\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}$=0, $\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}$=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)²=x²+ y², xy=0
を満たします。

なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。

★ 平均値の式の代表例

データの構造式

x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl

$\bar{x_{i･･･}}$=μ+$α_i$+$\bar{e_{i･･･}}$
$\bar{x_{･j･･}}$=μ+$β_j$+$\bar{e_{･j･･}}$
$\bar{x_{･･k･}}$=μ+$γ_k$+$\bar{e_{･･k･}}$
$\bar{x_{ij･･}}$=μ+$α_i$+$β_j$+$(αβ)_{ij}$+$\bar{e_{ij･･}}$
$\bar{x_{i･k･}}$=μ+$α_i$+$γ_k$+$(αγ)_{ik}$+$\bar{e_{i･k･}}$
$\bar{x_{･jk･}}$=μ+$β_j$+$γ_k$+$(βγ)_{jk}$+$\bar{e_{･jk･}}$
$\bar{x_{ijk･}}$=μ+$α_i$+$β_j$+$γ_k$+$(αβ)_{ij}$+$(αγ)_{ik}$+$(βγ)_{jk}$+$(αβγ)_{ijk}$+$\bar{e_{ijk･}}$
$\bar{\bar{x}}$=μ+$\bar{\bar{e}}$

②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

S_A S_B S_C S_A×B S_A×C S_B×C S_A×B×C S_e

$x_{ijkl}$ 1

$\bar{x_{i･･･}}$ 1 -1 -1 1

$\bar{x_{･j･･}}$ 1 -1 -1 1

$\bar{x_{･･k･}}$ 1 -1 -1 1

$\bar{x_{ij･･}}$ 1 -1

$\bar{x_{i･k･}}$ 1 -1

$\bar{x_{･jk･}}$ 1 -1

$\bar{x_{ijk･}}$ 1 -1

$\bar{\bar{x}}$ -1 -1 -1 1 1 1 -1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。
S_C、S_A×B×C,S_eを例に挙げます。

$S_C$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$ (\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2$

$S_{ A×B×C }$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}$$\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2$

$ S_e$= $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(x_{ijkl}-\bar{x_{ijk･}})^2$

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。

③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事
「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」
をご覧下さい。

確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】
期待値と分散の導出過程を確認しましょう！

本記事では因子C、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。

●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。

【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】
実験計画法で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

プレミアムテキストP21-22で確認ください。

主効果の分散の期待値の導出

E[$S_C$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2$]

=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$ (γ_k+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2$]

=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(γ_k )^2$]
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2$]
=$abd(c-1)σ_C^2$ +$(c-1)(σ_e^2$)

主効果Cの自由度は(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。

E[$V_C$]=$abdσ_C^2$ +$σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。

$ σ_C^2$=E[$\frac{\sum_{k=1}^{c}γ_k^2}{c-1}$]

$σ_e^2$については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[$S_{ A×B×C }$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} $
$(\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}$
+$\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2$]

= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$
$((αβγ)_{ijk}+(\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}$
+$\bar{e_{i‥･}}-\bar{e_{･j‥}}-\bar{e_{･･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2$]

= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$
$((αβγ)_{ijk}^2)$]
+ E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$
$(\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}$
+$\bar{e_{i‥･}}+\bar{e_{･j‥}}+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}}))^2$]

●第1項：
=dE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}$
$((αβγ)_{ijk}^2)$
=$d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2$

●第2項：
結論から言うと
eの添え字を見ると
ijk-ij-ik-jk+i+j+k-1が見えるので、i⇒a,j⇒b,k⇒cに変えます。
⇒abc-ab-ac-bc+a+b+c-1になるので、因数分解して
=$(a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2$

E[$S_{A×B×C}$]
=$d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2$
+$(a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2$

交互作用A×B×Cの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V_A×B×C]が求まります。

E[$V_{A×B×C}$]=$dσ_{A×B×C}^2$+$σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。

$ σ_{ A×B×C }^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}$]

残差の分散の期待値の導出

E[$S_e$]= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(x_{ijkl}-\bar{ x_{ijk･}})^2$]
= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}$$(e_{ijkl}-\bar{ e_{ijk･}})^2$]
=abc(d-1)$σ_e^2$
(結論を言うと同様に ijkl-ijkをabcdに直して、abcd-abcを因数分解します。)

E[$S_e$]= abc(d-1)$σ_e^2$

残差eの自由度はabc(d-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると$σ_e^2$になることがわかります。

E[e]=$σ_e^2$

④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。
関連記事
「【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)」
に解説しています。
まとめると次の3つです。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
実験計画法はデータの構造式ですべて解けることを解説します！

データの構造式を書く

主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出

自由度は表を活用すると簡単に求まる

S_A S_B S_C S_A×B S_A×C S_B×C S_A×B×C S_e

a 1 -1 -1 1

b 1 -1 -1 1

c 1 -1 -1 1

ab 1 -1

ac 1 -1

bc 1 -1

abc 1 -1

abcd 1

1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]

A a-1 $σ_e^2$+bcd$σ_A^2$

B b-1 $σ_e^2$+acd$σ_B^2$

C c-1 $σ_e^2$+abd$σ_C^2$

A×B (a-1)(b-1) $σ_e^2$+cd$σ_{A×B}^2$

A×C (a-1)(c-1) $σ_e^2$+bd$σ_{A×C}^2$

B×C (b-1)(c-1) $σ_e^2$+ad$σ_{B×C}^2$

A×B×C (a-1)(b-1)(c-1) $σ_e^2$+d$σ_{A×B×C}^2$

e abc(d-1) $σ_e^2$

T abcd-1 –

⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
で確認ください。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

★区間推定のポイント

ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る

誤差eの自由度φ_eである

Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】
サタースウェイトの等価自由度が導出できる方法をわかりやすく解説します！

主効果の点推定と区間推定の導出

★分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
V_e=$σ_e^2$
よって、
$\widehat{σ_e^2}$= V_e

★主効果の点推定と区間推定

●点推定：　$\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{‥k･}}$=$\widehat{μ+γ_k}$
=$μ+\bar{e_{‥k･}}$

●分散：$\widehat{Var}(\widehat{μ}(C_k))$
=V[μ+$\bar{e_{‥k･}}$]
=V[$\bar{e_{‥k･}}$]
=$\frac{\widehat{σ_e^2}}{abd}$

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

★交互作用の区間推定

●点推定：　$\widehat{μ}(A_i B_j C_k)$=$\bar{x_{ijk･}}$
=$μ+α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}$

●分散：$\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))$
=V[μ+$α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}$]
=V[$\bar{e_{ijk･}}$]
=$\frac{\widehat{σ_e^2}}{d}$

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問題】
三元配置実験(繰り返し有り)について、次のデータの構造式を考える。
x_ijkl=μ+α_i+β_j+γ_k
+ (αβ) _ij+(αγ) _ik
+(αβγ) _ijk+ e_ijkl
((βγ) _jkをe_ijklmにプーリングした場合を考える。)
因子A,B,Cの自由度はそれぞれa,b,cとする。
(1)主効果、交互作用,残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(是非、解いてみましょう！)

まとめ

以上、「三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」を解説しました。

①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

2021年8月17日

枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

★ 本記事のテーマ

枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

➀枝分かれ実験とは何かがわかる

②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける

③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける

④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

⑤枝分かれ実験の分散分析ができる

⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

・「枝分かれ実験って何？」がわかる！
・「枝分かれ実験の分散分析や期待値の導出」ができる！
・「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法」が解ける！

★【QC検定®１級合格】実験計画法問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方におススメです。

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

★究める！実験計画法　演習問題を販売します！

実験計画法を究めた方におススメです。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

★究める！実験計画法

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

「多元配置法」、「乱塊法」、「分割法」など
手法が多い実験計画法ですが、
すべて１つの導出方法で解けます。
関連記事をたくさん紹介しますので
何度も読んで習得してください。

●You tube動画で解説しています。ご覧ください。

さっそく見ていきましょう。

➀枝分かれ実験とは何かがわかる

枝分かれ図で理解する

枝分かれ方法は、直列と並列が考えつきますね。
教科書ではよく直列型が紹介されます。
本記事は、直列型（左下図）について解説します。

また、並列型も考えられますよね!
QCプラネッツ限定関連記事があります。

究める！実験計画法
実験計画法のまとめトップページ。実験計画法を究めることができます！

★イメージ図

イメージ図を見ながら、データの構造式を作っていくのでよく見ておきましょう。

データの構造式から枝分かれ実験を理解する

~~完全配置実験のデータの構造式を作る~~

~~一部の項を変形すれば枝分かれ実験になる~~

枝分かれ図をそのままデータの構造式に書く

本サイトでは、すべての実験計画法の手法は、
完全配置実験のデータの構造式を一部書き換えてできることを解説しています。

枝分かれ実験も同様にできるのですが、枝分かれ図を見て、そのまま式にした方が楽です。

②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける

データの構造式

枝分かれ図をそのままデータの構造式に書きます。

因子Bは因子Aから枝分かれ→β_ijとする。

因子Cは因子Bから枝分かれ→γ_ijkとする。

因子Dは因子Cから枝分かれ→δ_ijklとする。

まとめると、データの構造式ができます。

★枝分かれ実験(直列型)のデータの構造式

x_ijklm=μ+α_i+β_ij+γ_ijk+δ_ijkl+ e_ijklm

各平均値をデータの構造式で作る

★母数因子と変量因子の違い

関連記事「【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかる」にて、母数因子と変量因子を解説しました。

【QCプラネッツ実験計画法プレミアム勉強プリント】
実験計画法で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

P8-9「【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかる」
で確認ください。

★母数因子と変量因子

母数因数：取らない場合が多い
変量因子：α、β、γ、δ、e

枝分かれ実験では、ロット間の誤差、サンプル間の誤差、測定誤差を因子として割当てることがあり、誤差は変量因子なため、母数因数を取らないことがあります。主効果の分散の期待値は母数因数でも変量因子でも関係なく、同じ値になります。

変数に意味を持たせるなら母数因子と変量因子をはっきり分けるとよいですが、
分散の期待値はどちらも同じになるようにしているので、母数因子も変量因子もどちらでもよいと思います。

本記事では、教科書的に変量因子として分散の期待値を導出します。

★平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

★枝分かれ実験のデータの構造式

$x_{ijklm}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$γ_{ijk}$+$δ_{ijkl}$+$e_{ijklm}$
$\bar{x_{i････}}$=μ+$α_i$+$\bar{β_{i･}}$+$\bar{γ_{i･･}}$+$\bar{δ_{i･･･}}$+$\bar{e_{i････}}$
$\bar{x_{ij･･･}}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$\bar{γ_{ij･}}$+$\bar{δ_{ij･･}}$+$\bar{e_{ij･･･}}$
$\bar{x_{ijk･･}}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$γ_{ijk}$+$\bar{δ_{ijk･}}$+$\bar{e_{ijk･･}}$
$\bar{x_{ijkl･}}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$γ_{ijk}$+$δ_{ijkl}$+$\bar{e_{ijkl･}}$
$\bar{\bar{x}}$=μ+$\bar{\bar{α}}$+$\bar{\bar{β}}$+$\bar{\bar{γ}}$+$\bar{\bar{δ}}$+$\bar{\bar{e}}$

③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

S_A S_B S_C S_D S_e 計(S_T)

$x_{ijklm}$ 1 1

$\bar{x_{i････}}$ 1 -1

$\bar{x_{ij･･･}}$ 1 -1

$\bar{x_{ijk･･}}$ 1 -1

$\bar{x_{ijkl･}}$ 1 -1

$\bar{\bar{x}}$ -1 -1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A、S_C、S_eを例に挙げます。

$S_A$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$ (\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2$
$S_C$=$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$ (\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2$
$ S_e$= $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$

$ (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2$
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」をご覧下さい。

確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】
期待値と分散の導出過程を確認しましょう！

主効果S_Aの分散の期待値の導出

E[$S_A$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$(\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2$]

=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$ ((α_i-\bar{\bar{α}})+(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})+(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})$
+$ (\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})+(\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}}))^2$

=bcdeE[$\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2$]
+cdeE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})^2$]
+deE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})^2$
+dE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})^2$]
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$(\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}})^2$]

=$(a-1)bcdeσ_A^2$+$(a-1)cdeσ_B^2$+$(a-1)deσ_C^2$+$(a-1)eσ_D^2$+$(a-1)σ_e^2$

主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。

以上より、

E[$V_A$]=$bcdeσ_A^2$ +$cdeσ_B^2$+$deσ_C^2$+$eσ_D^2$+$σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。
$ σ_A^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2}{a-1}$]

主効果S_Cの分散の期待値の導出

E[$S_C$]=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$(\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2$]

=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$((\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})$+$(\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})+(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2$

=deE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})^2$]
+eE[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})^2$
+E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2$

=$ab(c-1)deσ_C^2$+$ab(c-1)eσ_D^2$+$ab(c-1)σ_e^2$

主効果Cの自由度はab(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。

自由度の導出は難しいので次の節で解説します。

以上より、

E[$V_C$]=$deσ_C^2$ +$eσ_D^2$+$σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。
$ σ_C^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c} (γ_{ijk}-\bar{γ_{ij･}})^2}{ab(c-1)}$]

残差の分散の期待値の導出

E[$ S_e$]= E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$

$ (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2$]
=E[$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}$
$ (\bar{e_{ijklm}}-\bar{e_{ijkl･}})^2$]
=abcd(e-1) $σ_e^2$

E[$ S_e$]= abcd(e-1) $σ_e^2$

残差eの自由度はabcd(e-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。

以上より、

E[$V_e$]= $σ_e^2$

なお、分散の期待値を以下とします。
$ σ_e^2$=E[$\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e} (e_{ijklm}-\bar{e_{ijkl･}})^2}{abcd(e-1)}$]

⑤枝分かれ実験の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。
関連記事「【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)」に解説しています。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)
実験計画法はデータの構造式ですべて解けることを解説します！

まとめると次の3つです。

データの構造式を書く

主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出

自由度は表を活用すると簡単に求まる

因子BについてはAB全体の自由度から因子Aの自由度を引きます。
枝分かれイメージで、全体から残りを引く感じになります。
データの構造式の添字から自由度を求めることができます。

AB全体の自由度＝ab-1
因子Aの自由度=a-1
因子Bの自由度=(ab-1)-(a-1)=ab-a=a(b-1)
データの構造式の添字を見ると
(ij…)-(i…･)から(ab-1)-(a-1)
とイメージしてもOKです。

★因子Dの自由度

因子DについてはABCD全体の自由度からABC全体の自由度を引きます。
ABCD全体の自由度＝abcd-1
ABC全体の自由度=abc-1
因子Dの自由度=(abcd-1)-(abc-1)=abcd-abc=abc(d-1)
データの構造式の添字を見ると (ijkl･)-(ijk‥)から(abcd-1)-(abc-1)とイメージしてもOKです。

★残差eの自由度

残差eについてはABCDE全体の自由度からABCD全体の自由度を引きます。
ABCDE全体の自由度＝abcde-1
ABCD全体の自由度=abcd-1
残差eの自由度=(abcde-1)-(abcd-1)=abcde-abcd=abcd(e-1)

データの構造式の添字を見ると (ijklm)-(ijkl･)から(abcde-1)-(abcd-1)とイメージしてもOKです。

以上をまとめましょう。

自由度をまとめます。

A B C D e

a 1 -1

ab 1 -1

abc 1 -1

abcd 1 -1

abcde 1

1 -1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]

A a-1 $σ_e^2$+$eσ_D^2$+$deσ_C^2$+$cdeσ_B^2$+$bcdeσ_A^2$

B a(b-1) $σ_e^2$+$eσ_D^2$+$deσ_C^2$+$cdeσ_B^2$

C ab(c-1) $σ_e^2$+$eσ_D^2$+$deσ_C^2$

D abc(d-1) $σ_e^2$+$eσ_D^2$

e abde(e-1) $σ_e^2$

T abcde-1 –

⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

関連記事で確認ください。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる
母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

★区間推定のポイント

ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る

誤差eの自由度φ_eである

Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出する

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】
サタースウェイトの等価自由度が導出できる方法をわかりやすく解説します！

主効果の点推定と区間推定の導出

★分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、a,b,c,d,eの分散の推定値E[V]を導出します。すべて変量因子なのでE[V]を求めます。

V

A V_A=$\widehat{σ_e^2}$+$\widehat{eσ_D^2}$+$\widehat{deσ_C^2}$+$\widehat{cdeσ_B^2}$+$\widehat{bcdeσ_A^2}$

B V_B=$\widehat{σ_e^2}$+$\widehat{eσ_D^2}$+$\widehat{deσ_C^2}$+$\widehat{cdeσ_B^2}$

C V_C=$\widehat{σ_e^2}$+$\widehat{eσ_D^2}$+$\widehat{deσ_C^2}$

D V_D=$\widehat{σ_e^2}$+$\widehat{eσ_D^2}$

e V_e=$\widehat{σ_e^2}$

上の表から、分散の推定値を求めます。
・$\widehat{σ_A}^2=\frac{1}{bcde}(V_A-V_B)$
・$\widehat{σ_B}^2=\frac{1}{cde}(V_B-V_C)$
・$\widehat{σ_C}^2=\frac{1}{de}(V_C-V_D)$
・$\widehat{σ_D}^2=\frac{1}{e}(V_D-V_e$
・$\widehat{σ_e^2}$=V_e

データの構造式

$x_{ijklm}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$γ_{ijk}$+$δ_{ijkl}$+$e_{ijklm}$

★主効果Aの点推定と区間推定

●点推定：　$\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･･‥}}$=$\widehat{μ+α_i}$
=$μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}$

●分散：$\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i))$
=V[$μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}$]
=V[$\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}$]
=$\frac{1}{b}V_B$+ $\frac{1}{bc}V_C$+$\frac{1}{bcd}V_C$+$\frac{1}{bcde}V_e$

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

★主効果Cの点推定と区間推定

●点推定：　$\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{ijk‥}}$=$\widehat{μ+α_i+β_{ij}+γ_{ijk}}$
=$μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}$

●分散：$\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i+β_{ij}+γ_{ijk}))$
=V[$μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}$]
=V[$\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}$]
=$\frac{1}{d}V_D$+$\frac{1}{de}V_e$

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。

【問題】
直列型の枝分かれ実験について、次のデータの構造式を考える。
$x_{ijklm}$=μ+$α_i$+$β_{ij}$+$γ_{ijk}$+$δ_{ijkl}$+$e_{ijklm}$
因子A,B,C,D,eの自由度はそれぞれa,b,c,d,eとする。
(1)主効果および残差の自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2) 主効果の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細な解説は下の演習問題集にあります。)

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

まとめ

以上、「枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」を解説しました。

➀枝分かれ実験とは何かがわかる

②枝分かれ実験のデータの構造式が書ける

③枝分かれ実験の平方和の分解の式が書ける

④枝分かれ実験の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

⑤枝分かれ実験の分散分析ができる

⑥枝分かれ実験の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

⑦枝分かれ実験の分散分析が導出できる演習問題

2021年8月14日

前のページ
1 … 36 37 38 39 40 41
次のページ

QCプラネッツ

品質のプロフェッショナルを育成するサイト

ブログ
このサイトについて
よくある質問
投稿者

イベント
ショップ
パターン
テーマ

Twenty Twenty-Five

Designed with WordPress

error: Content is protected !!

	V
R	V_R=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bσ_{e(1)}^2}\)+\(\widehat{abσ_R^2}\)
e(1)	V_e(1)=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)+\(\widehat{bσ_{e(1)}^2}\)
e(2)	V_e(2)=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

	A1	A2	A3	A4
1	121	400	441	484
2	169	144	576	625
3	289	361	729	784
4	361	324	784	361
5	400	256	400	441
			計	8450

–	S	φ	V(=S/φ)	F(=V/Ve)	F0
A	250	3	83.33	6.67	3.13
e	200	16	12.5	–	–
T	450	19	–	–	–

		C1	C2	C3	C4
A1	B1	10	11	15	18
	B1	12	14	16	19
	B2	13	19	16	20
	B2	14	22	17	22
	B3	15	16	20	23
	B3	16	17	21	24
A2	B1	11	13	13	14
	B1	12	14	15	15
	B2	14	20	17	21
	B2	15	23	18	23
	B3	17	15	20	13
	B3	19	16	21	15

–	φ	E[V]
R	c-1	\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(abσ_R^2\)
A	a-1	\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)+\(bcσ_A^2\)
e(1)	(a-1)(c-1)	\(σ_{e(2)}^2\)+\(bσ_{e(1)}^2\)
B	b-1	\(σ_{e(2)}^2\)+\(acσ_B^2\)
A×B	(a-1)(b-1)	\(σ_{e(2)}^2\)+\(cσ_{A×B}^2\)
e(2)	a(b-1)(c-1)	\(σ_{e(2)}^2\)
T	abc-1	–

	S_A	S_B	S_C	S_A×B	S_A×C	S_B×C	S_A×B×C	S_e
\(x_{ijkl}\)								1
\(\bar{x_{i･･･}}\)	1			-1	-1		1
\(\bar{x_{･j･･}}\)		1		-1		-1	1
\(\bar{x_{･･k･}}\)			1		-1	-1	1
\(\bar{x_{ij･･}}\)				1			-1
\(\bar{x_{i･k･}}\)					1		-1
\(\bar{x_{･jk･}}\)						1	-1
\(\bar{x_{ijk･}}\)							1	-1
\(\bar{\bar{x}}\)	-1	-1	-1	1	1	1	-1

	φ	E[V]
A	a-1	\(σ_e^2\)+bcd\(σ_A^2\)
B	b-1	\(σ_e^2\)+acd\(σ_B^2\)
C	c-1	\(σ_e^2\)+abd\(σ_C^2\)
A×B	(a-1)(b-1)	\(σ_e^2\)+cd\(σ_{A×B}^2\)
A×C	(a-1)(c-1)	\(σ_e^2\)+bd\(σ_{A×C}^2\)
B×C	(b-1)(c-1)	\(σ_e^2\)+ad\(σ_{B×C}^2\)
A×B×C	(a-1)(b-1)(c-1)	\(σ_e^2\)+d\(σ_{A×B×C}^2\)
e	abc(d-1)	\(σ_e^2\)
T	abcd-1	–

	S_A	S_B	S_C	S_D	S_e	計(S_T)
\(x_{ijklm}\)					1	1
\(\bar{x_{i････}}\)	1	-1
\(\bar{x_{ij･･･}}\)		1	-1
\(\bar{x_{ijk･･}}\)			1	-1
\(\bar{x_{ijkl･}}\)				1	-1
\(\bar{\bar{x}}\)	-1					-1

	φ	E[V]
A	a-1	\(σ_e^2\)+\(eσ_D^2\)+\(deσ_C^2\)+\(cdeσ_B^2\)+\(bcdeσ_A^2\)
B	a(b-1)	\(σ_e^2\)+\(eσ_D^2\)+\(deσ_C^2\)+\(cdeσ_B^2\)
C	ab(c-1)	\(σ_e^2\)+\(eσ_D^2\)+\(deσ_C^2\)
D	abc(d-1)	\(σ_e^2\)+\(eσ_D^2\)
e	abde(e-1)	\(σ_e^2\)
T	abcde-1	–

	V
A	V_A=\(\widehat{σ_e^2}\)+\(\widehat{eσ_D^2}\)+\(\widehat{deσ_C^2}\)+\(\widehat{cdeσ_B^2}\)+\(\widehat{bcdeσ_A^2}\)
B	V_B=\(\widehat{σ_e^2}\)+\(\widehat{eσ_D^2}\)+\(\widehat{deσ_C^2}\)+\(\widehat{cdeσ_B^2}\)
C	V_C=\(\widehat{σ_e^2}\)+\(\widehat{eσ_D^2}\)+\(\widehat{deσ_C^2}\)
D	V_D=\(\widehat{σ_e^2}\)+\(\widehat{eσ_D^2}\)
e	V_e=\(\widehat{σ_e^2}\)

		C1	C2	C3	C4
A1	B1	10	11	15	18
	B1	12	14	16	19
	B2	13	19	16	20
	B2	14	22	17	22
	B3	15	16	20	23
	B3	16	17	21	24
A2	B1	11	13	13	14
	B1	12	14	15	15
	B2	14	20	17	21
	B2	15	23	18	23
	B3	17	15	20	13
	B3	19	16	21	15

		C1	C2	C3	C4
A1	B1	10	11	15	18
	B1	12	14	16	19
	B2	13	19	16	20
	B2	14	22	17	22
	B3	15	16	20	23
	B3	16	17	21	24
A2	B1	11	13	13	14
	B1	12	14	15	15
	B2	14	20	17	21
	B2	15	23	18	23
	B3	17	15	20	13
	B3	19	16	21	15