投稿者: QCプラネッツ

「計数逐次抜取検査(JISZ9009)がよくわからない」、「合格判定線や平均検査個数の導出方法がわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

計数逐次抜取検査(JISZ9009)の理論がわかる(二項分布)

• ①逐次抜取検査とは何かがわかる
• ②合格判定線が必要な理由がわかる
• ③合格判定線の作り方がわかる
• ④平均検査個数の計算方法はあるが、導出方法がわからない

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①逐次抜取検査とは何かがわかる

ある合格基準があり、合格基準を満たせば、検査は合格として終了。
不合格基準を満たせば、検査は不合格として終了。
どちらでも無く決着がつかなければ、検査を続行するものです。

②合格判定線が必要な理由がわかる

合格判定線、不合格判定線を下図に描きます。

青線は、不良個数が検査で増加しても、合格判定領域に入ったため、合格と判断できます。一方、赤線は、不合格領域に入ったため、不合格と判断できます。

合格、不合格の領域線が直線であるため、検査続行、検査終了の判断がしやすいですね。

では、判定線をどのように作るのかを解説します。

③合格判定線の作り方がわかる

OC曲線から関係式を導出

OC曲線を描きます

赤枠はロットの不合格領域で、青枠がロットの合格領域です。

生産者危険を示す不良率p₀、消費者危険を示す不良率p₁とロット不良率について図から読むと
q_0n=1-α、1-q_0n=α
q_1n=β、1- q_1n=1-β
となります。

ここで、q_0n, q_1nを次のように定義します。
サンプル数nを抜き取り、n個の中にd個の不良品があるとして、
q_0n：不良率p₀であるときにロットが合格する確率
q_1n：不良率p₁であるときにロットが合格する確率
とします。

q_0nとq_1nの式を作ります。
\(q_{0n}\)=\({}_nC_d p_0^d(1-p_0)^{n-d}\)
\(q_{1n}\)=\({}_nC_d p_1^d(1-p_1)^{n-d}\)
注意として、不良品数dに限定します。通常はロットの合格率はΣの和となりますが、今回はΣを入れません(強引な感じがしますけど)

合格判定条件式を導出

合格判定条件式

不良率p₀, p₁におけるロットの合格率を
\(q_{0n}\)=\({}_nC_d p_0^d(1-p_0)^{n-d}\)
\(q_{1n}\)=\({}_nC_d p_1^d(1-p_1)^{n-d}\)
としました。

次に合格、不合格の判定条件式を作ります。

OC曲線の図を見ながら、判定式を確認しましょう。\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\) の意味を理解するのに、時間がかかるかもしれません。

ここで、\(\frac{1-β}{α}\)と\(\frac{β}{1-α}\)の大小関係を確認します。
\(\frac{1-β}{α}\)-\(\frac{β}{1-α}\)
=\(\frac{(1-α)(1-β)-αβ}{α(1-α}\)
=\(\frac{1-(α+β)}{α(1-α}\) > 0
(α=0.05,β=0.10などと小さい値をとるので、1-(α+β) > 0)
よって、
　\(\frac{1-β}{α}\) > \(\frac{β}{1-α}\)

合格判定条件式を計算

\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)を計算します。

\(\frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=\(\frac{{}_nC_d p_1^d(1-p_1)^{n-d}}{{}_nC_d p_0^d(1-p_0)^{n-d}}\)
=\(\frac{p_1^d(1-p_1)^{n-d}}{p_0^d(1-p_0)^{n-d}}\)

指数が多いので、\(log_{10}\)を取ります。微分しないので、対数はeより10を選択します。
\(log \frac{q_{1n}}{q_{0n}}\)=d\(log \frac{p_1}{p_0}\)+(n-d) \(log \frac{1-p_1}{1-p_0}\)

合格判定式について式を変形します。
①合格：d\(log \frac{p_1}{p_0}\)+(n-d) \(log \frac{1-p_1}{1-p_0}\) ≤ \(log \frac{β}{1-α}\)
②不合格：\(log \frac{1-β}{α}\) ≤ d\(log \frac{p_1}{p_0}\)+(n-d) \(log \frac{1-p_1}{1-p_0}\)
③検査続行：\(log \frac{β}{1-α}\) < d\(log \frac{p_1}{p_0}\)+(n-d) \(log \frac{1-p_1}{1-p_0}\)< \(log\frac{1-β}{α}\)

大変な式に見えますが、大丈夫です。
ここで 以下のように変数を定義して整理します。
\(a\)=\(log \frac{1-β}{α}\)
-\(b\)=\(log \frac{β}{1-α}\)
\(g_1\)=\(log \frac{p_1}{p_0}\)
-\(g_2\)=\(log \frac{1-p_1}{1-p_0}\)

合格判定式について式を変形します。
①合格：d\(g_1\)-(n-d)\(g_2\) ≤ -\(b\)
②不合格：\(a\) ≤ d\(g_1\)-(n-d)\(g_2\)
③検査続行：-\(b\) < d\(g_1\)-(n-d)\(g_2\) < \(a\)

合格判定式についてさらに、式を変形します。
①合格：d ≤ \(\frac{-b}{g_1 + g_2}\)+\(\frac{g_2}{g_1 + g_2} n\)
②不合格：\(\frac{a }{g_1 + g_2}\)+\(\frac{g_2}{g_1 + g_2} n\) ≤ d
③検査続行：\(\frac{-b}{g_1 + g_2}\)+\(\frac{g_2}{g_1 + g_2} n\) < d < \(\frac{a }{g_1 + g_2}\)+\(\frac{g_2}{g_1 + g_2} n\)

さらに、変数を置き換えて見やすく整理します。
\(h_1\)=\(\frac{b}{g_1 + g_2}\)
\(h_2\)=\(\frac{a}{g_1 + g_2}\)
s=\(\frac{g_2}{g_1 + g_2}\)

合格判定式をまとめます。
①合格：d ≤ -\(h_1\)+sn
②不合格： \(h_2\)+sn ≤ d
③検査続行：-\(h_1\)+sn < d < \(h_2\)+sn

直線の領域を表現する式に整理することができました。

合格判定線を作成

かなりの変数を置き換えたので一旦整理します。

具体事例

α=0.01,β=0.05,p0=0.1,p1=0.2の場合の判定線を計算します。
上の表を使って計算すると、
a=1.97,b=1.29,g1=0.30,g2=0.05,h1=3.68,h2=5.61,s=0.145
が導出できます。

結果が下図の通りとなります。

④平均検査個数の計算方法はあるが、導出方法がわからない

JISで規定されている導出方法(でも導出方法がわからない)

なぜこの式で導出できるか？はわかりません。

導出方法が書いていないことと、私も式から見て導出方法を考えたのですが、見当もつきません。もしわかっている方がいれば教えてください。

まとめ

計数逐次抜取検査(JISZ9009)で二項分布の合格判断基準について、解説しました。

• ①逐次抜取検査とは何かがわかる
• ②合格判定線が必要な理由がわかる
• ③合格判定線の作り方がわかる
• ④平均検査個数の計算方法はあるが、導出方法がわからない

抜取検査

「計量抜取検査(JISZ9003,JISZ9004)がよくわからない」、「計量抜取検査は何が重要なのか？あまり教科書に書いてないから、わからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①計量抜取検査の基礎がわかれば自力で導出・設計できる
• ②計量抜取検査は4つのパターンをおさえる
• ③計量抜取検査をマスターできる関連記事のご紹介

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①計量抜取検査の基礎がわかれば自力で導出・設計できる

計量抜取検査はJISZ9003,JISZ9004に規定

JIS規格を読むと、内容が多く、難解な図やグラフがあります。
エッセンスは本記事でおさえましょう。エッセンスがわかれば、
JISZ9003,JISZ9004を読まなくても自力で計量抜取検査は設計できます。

計量抜取検査はモデル図が最重要

計量抜取検査では、規準となる2つの平均・分布の関係を式にします。
検定力でも同じ図を使うので、このモデル図から関係式を導出する流れをおさえましょう。

これらの関係式から、サンプル数nと合格判定係数k、合格判定値\(X_U\)についての式を導出します。詳細は関連記事にあります。

②計量抜取検査は4つのパターンをおさえる

●標準偏差σが、既知or未知の2パターンにおいては、
既知⇒JISZ9003
未知⇒JISZ9004
と分かれています。

4パターンは
●標準偏差σが既知で、上下限規格値が与えられた場合
●標準偏差σが既知で、上下限合格判定値が与えられた場合
●標準偏差σが未知で、上下限規格値が与えられた場合
●標準偏差σが未知で、上下限合格判定値が与えられた場合
があります。

③計量抜取検査をマスターできる関連記事のご紹介

(A)数量抜取検査の基礎
(B)標準偏差σが既知で、上下限規格値が与えられた場合
(C)標準偏差σが既知で、上下限合格判定値が与えられた場合
(D)標準偏差σが未知で、上下限規格値が与えられた場合
(E)標準偏差σが未知で、上下限合格判定値が与えられた場合
に分けて、関連記事を紹介します。

(A)数量抜取検査の基礎

●最も基礎となる、サンプル数n、合格判定係数k,合格判定値の導出、OC曲線の描き方を解説しています。

計量抜取検査でOC曲線のサンプル数と合格判定個数の関係がわかる JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)でOC曲線とサンプル数n、合格判定係数kとの関係を解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説し、nとkの変化によるOC曲線の影響を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

●JISZ9003の抜取表(n,k)は自力で計算できることを解説しています。

JISZ9003計量規準型一回抜取検査の抜取表にあるn,kが計算できる JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で、付表2の抜取表にある不良率p0,p1とサンプル数n,合格判定係数kとの関係を解説します。抜取表が無くても自力で導出できる点を詳しく解説します。

(B)標準偏差σが既知で、上下限規格値が与えられた場合

上限、下限についてそれぞれ解説していますが、どこが同じで異なるかも理解しておきましょう。

●上限規格値が既知の場合について解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

●下限規格値が既知の場合について解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

(C)標準偏差σが既知で、上下限合格判定値が与えられた場合

上限、下限についてそれぞれ解説していますが、どこが同じで異なるかも理解しておきましょう。

●上限合格判定値が既知の場合について解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

●下限合格判定値が既知の場合について解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

(D)標準偏差σが未知で、上下限規格値が与えられた場合

上限、下限についてそれぞれ解説していますが、どこが同じで異なるかも理解しておきましょう。
また、標準偏差σが既知と未知でもどこが同じで異なるかも理解しておきましょう。

●まずは、標準偏差が未知の場合の理論を解説します。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

●上限規格値が既知の場合について解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とOC曲線について解説します。OC曲線を描いて、標準偏差が既知と未知の違いを比較しました。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

●下限規格値が既知の場合について解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とOC曲線について解説します。OC曲線を描いて、標準偏差が既知と未知の違いを比較しました。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

(E)標準偏差σが未知で、上下限合格判定値が与えられた場合

上限、下限についてそれぞれ解説していますが、どこが同じで異なるかも理解しておきましょう。

●上限合格判定値が既知の場合について解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、上限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

●下限合格判定値が既知の場合について解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

まとめ

計量抜取検査のエッセンスが理解できて、自力で計算・設計できるポイントを解説しました。JISZ9003,JISZ9004のエッセンスがすべて理解できるはずです。

• ①計量抜取検査の基礎がわかれば自力で導出・設計できる
• ②計量抜取検査は4つのパターンをおさえる
• ③計量抜取検査をマスターできる関連記事のご紹介

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限合格判定値が既知の抜取方式

• ①上限合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が既知の場合)
• ③サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
• ④サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

下限合格判定値Ｌについては関連記事で解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①上限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

②上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_U}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

本記事では、標準偏差が既知と未知の場合を比較します。
標準偏差が既知で上限合格判定値が既知の抜取方式ついては、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

②サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が既知の場合)

(i)標準偏差が既知の場合は
\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

導出過程は関連記事にありますので、確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

サンプル数nの導出

n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)

上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の導出

\(\bar{X_U}\)=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

③サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出方法の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

サンプル数nの導出

上限合格判定値Uについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_U}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

ここで、強引にn-1≒nとします。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)

上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の導出

上限合格判定値Uについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

n-1≒nとして
\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)を代入します。
\(\bar{X_U}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

④サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

(iii)標準偏差が未知でQCプラネッツ独自の導出の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)

サンプル数nの導出

上限合格判定値Uについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_U}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+k’^2 m^2}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)

上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の導出

上限合格判定値Uについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)を代入します。
\(\bar{X_U}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

まとめ

面白いですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

• ①上限合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が既知の場合)
• ③サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
• ④サンプル数nと上限合格判定値Uの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)
• ③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
• ④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①下限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

②下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

本記事では、標準偏差が既知と未知の場合を比較します。
標準偏差が既知で下限合格判定値が既知の抜取方式ついては、関連記事で確認ください。

②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)

(i)標準偏差が既知の場合は
\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

導出過程は関連記事にありますので、確認ください。

サンプル数nの導出

n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

\(\bar{X_L}\)=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出方法の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

サンプル数nの導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

ここで、強引にn-1≒nとします。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

n-1≒nとして
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)を代入します。
\(\bar{X_L}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

(iii)標準偏差が未知でQCプラネッツ独自の導出の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)

サンプル数nの導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+k’^2 m^2}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)を代入します。
\(\bar{X_L}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

まとめ

面白いですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)
• ③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
• ④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」、「標準偏差既知(JISZ9003)と何が違う？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

関連記事に、上限規格値が既知の抜取方式もあります。ほぼ内容であることが理解できればOKです。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とOC曲線について解説します。OC曲線を描いて、標準偏差が既知と未知の違いを比較しました。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限規格値が既知の抜取方式

• ①サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ②演習問題
• ③OC曲線を描く

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①サンプル数nと合格判定係数kを導出

標準偏差が未知の場合において、サンプル数n、合格判定係数kの導出は、関連記事にまとめております。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

標準偏差が未知の場合、未知をどう定義するかがポイントになります。

JISZ9004の定義方法と、QCプラネッツ独自の定義方法を使って、それぞれサンプル数n、合格判定係数kを導出しています。

本記事は、結果だけ扱います。

JISZ9004の定義方法の場合

標準偏差が未知の場合は、k’分だけサンプル数が増加するわけです。

QCプラネッツ独自の定義方法の場合

標準偏差が未知の場合は、k’とm分だけサンプル数が増加するわけです。変数mは標準偏差sとσの比ですが、実際はいくらになるかわかりません。mをいくらか仮定し、抜取検査の結果にどうように影響を与えるかを考えるヒントになります。

②演習問題

実際の例を見ながら、理解を深めていきます。

単なる公式代入ですが、標準偏差σが既知・未知でどの程度違うのかを計算しましょう。

合格判定係数kとk’

●k’=k=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)
\(\frac{1.282×2.326+1.645×1.282}{1.645 + 1.282}\)
=1.739

標準偏差が既知、未知どの場合も同じ結果になります。

サンプル数n

●標準偏差σが既知の場合
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2\)
=7.845≒8

●標準偏差σが未知の場合(JISZ9004の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+\frac{k’^2}{2}\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+\frac{1.739^2}{2}\))
=19.71≒20

●標準偏差σが未知の場合(自己流の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+k’^2 m^2\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+1.739^2 m^2\))
mの変数となります。

mを変化させた場合のサンプル数nの変化をグラフします。

m=0.7くらいで、JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法による
サンプル数nが一致します。統計量sは標準偏差σの0.7倍くらいとすれば、
JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法のどちらでもサンプル数nは等しいと
いえますね。

演習問題の解答

k=1.739でしたから,
サンプル数nに対して、\(\bar{x}\),sを求めて
\(\bar{x}\)-1.739s ≥ L ならば、ロットは合格
\(\bar{x}\)-1.739s < L ならば、ロットは不合格
となります。

③OC曲線を描く

上の例題について、OC曲線を描いて比較しましょう。

OC曲線を描くための準備

L(p)の作り方

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
(i)標準偏差が既知の場合
(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合
(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合

標準偏差が既知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

標準偏差が未知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

k,K_p1とK_βの関係式を作る

それぞれの場合について関係式を作ります。関連記事に解説しています。
k’をkに戻します。
(i) k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
(ii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)
(iii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)

p1⇒p, β⇒L(p)に変えて一般化し、K_L(p)についての式に変形します。
(i) (k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{L(p)}\)
(ii) (k-\(K_{p1}\)) 1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)= \(K_{L(p)}\)
(iii) (k-\(K_{p1}\))1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)= \(K_{L(p)}\)

n,k,pを入力して、\(K_{L(p)}\)からL(p)を計算します。PとL(p)の関係をOC曲線に描きます。

上の例題をもとにOC曲線を描きます。

OC曲線のデータ表

(i)標準偏差が既知の場合

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合

(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合(m=1の計算結果)

結果をグラフにまとめます。

３つの場合のOC曲線はほぼ一致しました。あら、不思議ですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説しました。

• ①サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ②演習問題
• ③OC曲線を描く

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」、「標準偏差既知(JISZ9003)と何が違う？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式

• ①サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ②演習問題
• ③OC曲線を描く

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①サンプル数nと合格判定係数kを導出

標準偏差が未知の場合において、サンプル数n、合格判定係数kの導出は、関連記事にまとめております。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

標準偏差が未知の場合、未知をどう定義するかがポイントになります。

JISZ9004の定義方法と、QCプラネッツ独自の定義方法を使って、それぞれサンプル数n、合格判定係数kを導出しています。

本記事は、結果だけ扱います。

JISZ9004の定義方法の場合

標準偏差が未知の場合は、k’分だけサンプル数が増加するわけです。

QCプラネッツ独自の定義方法の場合

標準偏差が未知の場合は、k’とm分だけサンプル数が増加するわけです。変数mは標準偏差sとσの比ですが、実際はいくらになるかわかりません。mをいくらか仮定し、抜取検査の結果にどうように影響を与えるかを考えるヒントになります。

②演習問題

実際の例を見ながら、理解を深めていきます。

単なる公式代入ですが、標準偏差σが既知・未知でどの程度違うのかを計算しましょう。

合格判定係数kとk’

●k’=k=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)
\(\frac{1.282×2.326+1.645×1.282}{1.645 + 1.282}\)
=1.739

標準偏差が既知、未知どの場合も同じ結果になります。

サンプル数n

●標準偏差σが既知の場合
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2\)
=7.845≒8

●標準偏差σが未知の場合(JISZ9004の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+\frac{k’^2}{2}\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+\frac{1.739^2}{2}\))
=19.71≒20

●標準偏差σが未知の場合(自己流の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+k’^2 m^2\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+1.739^2 m^2\))
mの変数となります。

mを変化させた場合のサンプル数nの変化をグラフします。

m=0.7くらいで、JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法による
サンプル数nが一致します。統計量sは標準偏差σの0.7倍くらいとすれば、
JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法のどちらでもサンプル数nは等しいと
いえますね。

演習問題の解答

k=1.739でしたから,
サンプル数nに対して、\(\bar{x}\),sを求めて
\(\bar{x}\)+1.739s ≤ U ならば、ロットは合格
\(\bar{x}\)+1.739s > U ならば、ロットは不合格
となります。

③OC曲線を描く

上の例題について、OC曲線を描いて比較しましょう。

OC曲線を描くための準備

L(p)の作り方

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
(i)標準偏差が既知の場合
(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合
(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合

標準偏差が既知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

標準偏差が未知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論 JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

k,K_p1とK_βの関係式を作る

それぞれの場合について関係式を作ります。関連記事に解説しています。
k’をkに戻します。
(i) k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
(ii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)
(iii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)

p1⇒p, β⇒L(p)に変えて一般化し、K_L(p)についての式に変形します。
(i) (k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{L(p)}\)
(ii) (k-\(K_{p1}\)) 1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)= \(K_{L(p)}\)
(iii) (k-\(K_{p1}\))1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)= \(K_{L(p)}\)

n,k,pを入力して、\(K_{L(p)}\)からL(p)を計算します。PとL(p)の関係をOC曲線に描きます。

上の例題をもとにOC曲線を描きます。

OC曲線のデータ表

(i)標準偏差が既知の場合

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合

(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合(m=1の計算結果)

結果をグラフにまとめます。

３つの場合のOC曲線はほぼ一致しました。あら、不思議ですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説しました。

• ①サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ②演習問題
• ③OC曲線を描く

抜取検査

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」、「標準偏差既知(JISZ9003)と何が違う？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論がわかる

• ①上限規格値Uと合否判定基準
• ②上限規格値の分散の仮定方法(JISと自己流)
• ③サンプル数n,合格判定係数kの導出(JISZ9004準拠)
• ④サンプル数n,合格判定係数kの導出(自己流)
• ⑤下限規格値Lが既知の場合のn,kの導出

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①上限規格値Uと合否判定基準

標準偏差が既知(σ)の場合の関係式

●ロットの平均値\(\bar{x}\)
●上限規格値U
●上限合格判定値\(X_U\)
●合格判定係数k
を使います。

上限合格判定値\(X_U\)=U-kσ
として、
●ロットの平均値\(\bar{x}\) ≤ \(X_U\)=U-kσ ならばロットは合格
●ロットの平均値\(\bar{x}\) > \(X_U\)=U-kσ ならばロットは不合格
つまり、
●\(\bar{x}\) +kσ ≤ Uならばロットは合格
●\(\bar{x}\) +kσ > Uならばロットは不合格
とします。

標準偏差が未知(s)の場合の関係式

σ⇒s
k⇒k’に
に書き換えます。

●\(\bar{x}\) +k’s ≤ Uならばロットは合格
●\(\bar{x}\) +k’s > Uならばロットは不合格
とします。

②上限規格値の分散の仮定方法(JISと自己流)

\(\bar{x}\) +k’sの分散を求める

ここで、変数xは、正規分布N(μ,\(σ^2\))に従うとすると、
ロットの平均値\(\bar{x}\)は、正規分布N(μ,\(\frac{σ^2}{n}\))に従います。

\(\bar{x}\) +k’sの分散において、
統計量sの分散の仮定の仕方が2通りあります。

JISZ9004に準拠する場合

なぜこう近似できるかは、よくわかりませんが、この仮定でJISは規定しています。理由がわかる方、教えてください

JISZ9004に準拠する場合をまとめると、

自己流の場合

JISZ9004の仮定の仕方がよくわからない(納得いかない)ので、QCプラネッツは自己流で仮定します。

統計量sの分散は　\(σ^2/n\)の\(m^2\)倍と置くことにします。
この方が理解しやすいと考えます。

よって、

JISZ9004の方法と自己流でサンプル数nと合格判定係数k’を導出します。

③サンプル数n,合格判定係数kの導出(JISZ9004準拠)

上限規格値Uの立式

JISの方法でn,kを導出します。

モデル図からUの関係式を導出します。

U=\(μ_0\)+k’σ+\(K_α\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
U=\(μ_1\)+k’σ-\(K_β\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
と導出できます。

変数\(K_{p0}\)と\(K_{p1}\)の導出

変数\(K_{p0}\)と\(K_{p1}\)は図より、
\(K_{p0}\)=\(\frac{U-μ_0}{σ}\)
\(K_{p1}\)=\(\frac{U-μ_1}{σ}\)
となります。

U=\(μ_0\)+k’σ+\(K_α\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
U=\(μ_1\)+k’σ-\(K_β\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
を変形して

U-\(μ_0\)=σ(k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\))
U-\(μ_1\)=σ(k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\))
とします。

\(K_{p0}\)=,\(K_{p1}\)=の式に変形します。

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
\(K_{p1}\)= k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
となります。

合格判定係数k’の導出

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
\(K_{p1}\)= k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
の\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)に注目して変形します。

\(\frac{K_{p0}-k’}{K_α}\)=\(\frac{k’-K_{p1}}{K_β}\)
となり、k’の式に変形します。

標準偏差が既知の場合の合格判定係数kの導出については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

サンプル数nの導出

近似します。n-1≒nとして変形します。ちょっと強引？
\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)
をn-1≒nとして
\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2n}}\)
にして変形します。うーん強引ですけど。

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’^2}{2}}\)
\(\sqrt{n}\)(\(K_{p0}-k’\))=\(K_α\)\(\sqrt{1+\frac{k’^2}{2}}\)

n=\((\frac{K_α}{K_{p0}-k’})^2(1+\frac{k’^2}{2}\))
k’=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)を代入して、

サンプル数n、合格判定係数k’の導出のまとめ

④サンプル数n,合格判定係数kの導出(自己流)

変数\(K_{p0}\)と\(K_{p1}\)の導出

JISZ9004の導出方法と同じで、
\(K_{p0}\)=\(\frac{U-μ_0}{σ}\)
\(K_{p1}\)=\(\frac{U-μ_1}{σ}\)
となります。

U=\(μ_0\)+k’σ+\(K_α\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
U=\(μ_1\)+k’σ-\(K_β\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
を変形して

U-\(μ_0\)=σ(k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\))
U-\(μ_1\)=σ(k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\))
とします。

\(K_{p0}\)=,\(K_{p1}\)=の式に変形します。

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
\(K_{p1}\)= k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
となります。

合格判定係数k’の導出

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
\(K_{p1}\)= k’-\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
の\(\sqrt{\frac{k’^2 m^2}{n}}\)に注目して変形します。

\(\frac{K_{p0}-k’}{K_α}\)=\(\frac{k’-K_{p1}}{K_β}\)
となり、k’の式に変形します。

サンプル数nの導出

\(K_{p0}\)= k’+\(K_α\)\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+k’^2 m^2}\)
\(\sqrt{n}\)(\(K_{p0}-k’\))=\(K_α\)\(\sqrt{1+k’^2 m^2}\)

n=\((\frac{K_α}{K_{p0}-k’})^2(1+k’^2 m^2\))
k’=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)を代入して、

サンプル数n、合格判定係数k’の導出のまとめ

⑤下限規格値Lが既知の場合のn,kの導出

結果だけまとめます。

サンプル数n,合格判定係数kの導出(JISZ9004準拠)

サンプル数n,合格判定係数kの導出(自己流)

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説しました。

• ①上限規格値Uと合否判定基準
• ②上限規格値の分散の仮定方法(JISと自己流)
• ③サンプル数n,合格判定係数kの導出(JISZ9004準拠)
• ④サンプル数n,合格判定係数kの導出(自己流)
• ⑤下限規格値Lが既知の場合のn,kの導出

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式

• ①上限合格判定値についての関係式を導出
• ②上限合格判定値と上限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

下限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

①上限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の関係式を作ります。
ここから
・\(μ_0\)=\(\bar{X_U}\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_U}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

サンプル数nの導出

式変形します。
\(μ_1\)-\(μ_0\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

よって、
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_1-μ_0})^2 σ^2\)

下限合格判定値が与えられた場合と同じ式になります。

上限合格判定値\(\bar{X_U}\)の導出

\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
=\(μ_0\)+\(K_{α} \frac{μ_1-μ_0}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ K_{β}μ_0+ K_{α}μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

なお、サンプル数nと、合格判定値の式は
下限合格判定値が与えられた場合と同じ式になります。

②上限合格判定値と上限規格値の導出方法の違い

上限規格値の場合

上限合格判定値の場合

サンプル数nを表現する変数が変わることと
合格判定係数kではなく、直接上限合格判定値を使うこと
の2点の違いがあります。

③演習問題

サンプル数nと上限合格判定値\(\bar{X_U}\)を使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。

次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、上限合格判定値が決まっていますね。

サンプル数nと上限合格判定値\(\bar{X_U}\)を導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=1.645 (α=0.05のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{152-150})^2 5^2\)
=54

\(\bar{X_U}\)
=\(\frac{ K_{β}μ_0+ K_{α}μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ 1.282×150+ 1.645×152}{ 1.645+ 1.282}\)
=151.12

まとめると
(n, \(\bar{X_U}\))=(54,151.12)の値で、
平均値が151.12g以上ならロット合格、未満ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、の関係式を再度書きます。
・\(μ_1\)=\(\bar{X_U}\)+\(K_{β} σ/\sqrt{n}\)

ここで、\(μ_1\),βを一般化して、
\(μ_1\)⇒μ
β⇒L(μ)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

μ=\(\bar{X_U}\)+\(K_{ L(μ)} σ/\sqrt{n}\)
\(\frac{μ_\bar{X_U}}{σ} \sqrt{n}\)=\(K_{ L(μ)}\)

L(p)の作り方

1. μを変数として値を振る。
2. \(\frac{μ-\bar{X_U}}{σ} \sqrt{n}\)を計算する。
3. μとL(μ)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
L(p)=1- (NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))

OC曲線を描く

OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。

計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

• ①上限合格判定値についての関係式を導出
• ②上限合格判定値と上限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

上限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

①下限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

サンプル数nの導出

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

よって、
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
=\(μ_0\)-\(K_{α} \frac{μ_0-μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

なお、サンプル数nと、合格判定値の式は
下限の場合も上限の場合も同じ式になります。

②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い

下限規格値の場合

下限合格判定値の場合

サンプル数nを表現する変数が変わることと
合格判定係数kではなく、直接下限合格判定値を使うこと
の2点の違いがあります。

③演習問題

サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。

次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、下限合格判定値が決まっていますね。

サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=1.645 (α=0.05のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{120-118})^2 1^2\)
=3

n=3かあ、少なすぎますが、数学的は正しいので仕方がありません。

\(\bar{X_L}\)
=\(\frac{ K_{β}μ_0+ K_{α}μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ 1.282×120+ 1.645×118}{ 1.645+ 1.282}\)
=118.88

まとめると
(n, \(\bar{X_L}\))=(3,118.88)の値で、
平均値が118.88g以上ならロット合格、未満ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、の関係式を再度書きます。
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β} σ/\sqrt{n}\)

ここで、\(μ_1\),βを一般化して、
\(μ_1\)⇒μ
β⇒L(μ)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

μ=\(\bar{X_L}\)-\(K_{ L(μ)} σ/\sqrt{n}\)
\(\frac{μ_\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)=\(K_{ L(μ)}\)

L(p)の作り方

1. μを変数として値を振る。
2. \(\frac{μ-\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)を計算する。
3. μとL(μ)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
L(p)= (NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))

OC曲線を描く

OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。

普段、右下がりのOC曲線ですが、今回は逆の右上がりの曲線になりました。
右上がりなOC曲線もたまに見かけるので、知っておいてください。

計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

抜取検査