カテゴリー: 手法

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

上限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

①下限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

サンプル数nの導出

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

よって、
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
=\(μ_0\)-\(K_{α} \frac{μ_0-μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

なお、サンプル数nと、合格判定値の式は
下限の場合も上限の場合も同じ式になります。

②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い

下限規格値の場合

下限合格判定値の場合

サンプル数nを表現する変数が変わることと
合格判定係数kではなく、直接下限合格判定値を使うこと
の2点の違いがあります。

③演習問題

サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。

次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、下限合格判定値が決まっていますね。

サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=1.645 (α=0.05のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{120-118})^2 1^2\)
=3

n=3かあ、少なすぎますが、数学的は正しいので仕方がありません。

\(\bar{X_L}\)
=\(\frac{ K_{β}μ_0+ K_{α}μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ 1.282×120+ 1.645×118}{ 1.645+ 1.282}\)
=118.88

まとめると
(n, \(\bar{X_L}\))=(3,118.88)の値で、
平均値が118.88g以上ならロット合格、未満ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、の関係式を再度書きます。
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β} σ/\sqrt{n}\)

ここで、\(μ_1\),βを一般化して、
\(μ_1\)⇒μ
β⇒L(μ)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

μ=\(\bar{X_L}\)-\(K_{ L(μ)} σ/\sqrt{n}\)
\(\frac{μ_\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)=\(K_{ L(μ)}\)

L(p)の作り方

1. μを変数として値を振る。
2. \(\frac{μ-\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)を計算する。
3. μとL(μ)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
L(p)= (NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))

OC曲線を描く

OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。

普段、右下がりのOC曲線ですが、今回は逆の右上がりの曲線になりました。
右上がりなOC曲線もたまに見かけるので、知っておいてください。

計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

• ①下限合格判定値についての関係式を導出
• ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

抜取検査

「計量規準型一回抜取検査の抜取表のn,kの求め方がわからない」、「JIS規格だから絶対的なもの」などと思っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量規準型一回抜取検査の抜取表にあるn,kが計算できる

• ①不良率p0,p1とサンプル数n,合格判定係数kの関係
• ②サンプル数n,合格判定係数kを計算結果とJISの抜取表を比較
• ③計量抜取検査のサンプル数nは少ない

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①不良率p0,p1とサンプル数n,合格判定係数kの関係

前提条件

標準偏差がσで既知であり、正規分布に従っていることです。

不良率p0,p1とサンプル数n,合格判定係数kの導出については、関連記事にあります。
上限規格値または下限規格値のいづれにしても、
抜取形式やOC曲線に必要な変数の式は同じです。

上限規格値S_Uが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

下限規格値S_Lが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

不良率p0,p1がわかると、
正規分布表を使って、\(K_{p0}\), \(K_{p1}\)を求めます。

同様に、α、βも
正規分布表を使って、\(K_{α}\), \(K_{β}\)を求めます。

②サンプル数n,合格判定係数kを計算結果とJISの抜取表を比較

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)の付表2
「p0(%),p1(%)をもとにして試料の大きさnと合格判定値を計算するための係数kを求める表」
にあるいくつかの場合について、
自分で計算した結果とJISの抜取表の結果を比較します。

比較結果を下表のとおりです。

α=0.05,β=0.10と
\(K_α\)=1.645, \(K_β\)=1.282は
どの条件も同じ値です。

(n,k)の値を比較する(赤枠と黄色枠)とぴったり一致します。

これで、自力で(n,k)が計算できますね。　
計算式から導出できることは、
理論が理解できている証拠です。

計量抜取検査の抜取表にある(n,k)の導出は、シンプルです。

③計量抜取検査のサンプル数nは少ない

サンプル数がこんなにも少なくても大丈夫なのでしょうか？
数学的に正しいと証明されて導出されていますので、大丈夫ですが、
感覚的に少ないですね。

計数値抜取表の方はサンプル数が数千個レベルまであるから
計量抜取検査のサンプル数の少なさには心配します。

これは、
\(σ_{\bar{x}}\)=σ/\(\sqrt{n}\)
と置いたからです。でも、数学的に正しいので仕方がありません。

サンプル数nを数百か数千にしておきたい場合は、
\(σ_{\bar{x}}\)=σ/\(\sqrt{n}\)
の式を意図的に変えて、実用的な式にするなどしてもよいかもしれません。

数学的に正しくても、感覚的に変！なことも時々あります。
その場合は、仮定条件を疑って、実用的に変えてみることも大事です。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)でJISの抜取表のサンプル数nと合格判定係数kの導出方法について解説しました。

• ①不良率p0,p1とサンプル数n,合格判定係数kの関係
• ②サンプル数n,合格判定係数kを計算結果とJISの抜取表を比較
• ③計量抜取検査のサンプル数nは少ない

抜取検査

計量抜取検査でOC曲線のサンプル数と合格判定個数の関係がわかる

「計量抜取検査のOC曲線の描き方がわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kの値を変えるとOC曲線はどう変わるの？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

計量抜取検査でOC曲線のサンプル数と合格判定個数の関係がわかる

• ①計量抜取検査のOC曲線を描く
• ②サンプル数nとOC曲線の関係
• ③合格判定係数kとOC曲線の関係

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①計量抜取検査のOC曲線を描く

計量抜取検査からOC曲線を描く流れを理解する

詳細は関連記事にあります。
上限規格値または下限規格値のいづれにしても、
抜取形式やOC曲線に必要な変数の式は同じです。

上限規格値S_Uが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

下限規格値S_Lが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

計量抜取検査のOC曲線を描くために必要な変数

サンプル数nと、合格判定係数kです。
ただし、標準偏差σが既知の場合です。

ここで、\(K_{α}\)、\(K_{β}\)、\(K_{p0}\)、\(K_{p1}\)は、
確率α、β、p0,p1に相当するK値を正規分布から読み取ります。

計量抜取検査のOC曲線を描く準備

関連記事にもありますように、次の順番でOC曲線を描きます。

L(p)の作り方

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

実際に関連記事で具体事例を挙げてOC曲線を描いています。確認ください。

上限規格値S_Uが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

下限規格値S_Lが既知の場合

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

②サンプル数nとOC曲線の関係

OC曲線が描ける条件がそろいました。
サンプル数nをいろいろ変えてみましょう。

●条件1: n=10
●条件2: n=50
●条件3: n=500
Kはすべて1.5で同一とします。

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

3つのOC曲線を描くと次のグラフになります。

面白いですね。

次はkを振ってみましょう。

③合格判定係数kとOC曲線の関係

次は、合格判定係数kをいろいろ変えてみましょう。

●条件1: k=1.0
●条件2: k=1.5
●条件3: k=2.0
nはすべて100で同一とします。

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

3つのOC曲線を描くと次のグラフになります。

面白いですね。

L(p)の導出式

(k-Kp)\(\sqrt{n}\)=\(K_{L(P)}\)
n,kを変えると\(K_{L(P)}\)とL(p)の変化につながります。

式から理論的にn,kの変化の影響を見てもよいですが、
本記事ではOC曲線を視覚的に見て理解できるようにしました。

まとめ

計量抜取検査のOC曲線を作る変数、サンプル数nと合格判定係数k。このn,kを変えるとOC曲線がどのように変化するかを解説しました。

• ①計量抜取検査のOC曲線を描く
• ②サンプル数nとOC曲線の関係
• ③合格判定係数kとOC曲線の関係

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式がわかる

• ①上限規格値と合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

下限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

①上限規格値と合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②上限規格値Lの関係式を作ります。
●\(μ_0\)=U-\(K_{p0}σ\)
●\(μ_1\)=U-\(K_{p1}σ\)

③合格判定値\(\bar{X_U}\)の関係式を作ります。
●μを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=\(μ_1\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

●Uを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

②サンプル数nと合格判定係数kを導出

関係式からサンプル数nと合格判定係数kを導出します。

サンプル数nを導出

ただし、わかっている値で表現します。
わかっている値は
\(K_{α}\)
\(K_{β}\)
\(K_{p0}\)
\(K_{p1}\)
です。

●Uを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
の２式を引きます。

0=0-\(K_{p0}σ\)+\(K_{p1}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(σ_{\bar{x}}\)

この式に、\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)を代入します。
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
両辺をσで割って,2乗します。
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)

上限、下限規格値どちらも、サンプル数nは同じ式ができます。

合格判定係数kを導出

初登場のkですが、
・\(\bar{X_U}\)=U-kσ
と置きます。

\(\bar{X_U}\)は
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
= U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

なお、OC曲線を描くために、β,p1を使った関係式も導出します。
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β} σ_{\bar{x}}\)
= U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

ｎは先ほど導出しました、
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
を、
\(\sqrt{n}\)=\(\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}}\)
とします。

k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{ K_{p0}-K_{p1}}{ K_{α}+K_{β}}\)
よって、
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
となります。

③演習問題

不良率p0,p1と上で求めた、サンプル数nと合格判定係数kを使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。

次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、上限規格値が決まっていますね。

サンプル数nと、合格判定係数kを導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)、\(K_{p0}\)、\(K_{p1}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=2.878 (α=0.002のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

\(K_{p0}\)=2.326(p0=0.01のときのK値)
\(K_{p1}\)=1.881(p1=0.03のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
= n=\((\frac{2.878+1.282}{2.326-1.881})^2\)
=85.3≒86
と計算できます。

合格判定係数kは
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
=\(\frac{2.326×1.282+1.881×2.878}{ 2.878+1.282}\)
=2.02

ちなみに、上限合格判定値\(\bar{X_U}\)は、
\(\bar{X_U}\)=U-kσ
=1.6-2.02×0.3=0.995

まとめると
(n,k)=(86,2.02)の値で、
平均値が0.995mm以下ならロット合格、超過ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
変形して
(k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{β}\)

ここで、p1,βを一般化して、
p1⇒p
β⇒L(p)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

L(p)の作り方

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。/li>
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
Kp=ABS(NORM.INV(pの値,0,1))
L(p)=1-(NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))

OC曲線を描く

OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。

計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説しました。

• ①上限規格値と合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式がわかる

• ①下限規格値と合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

上限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

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①下限規格値と合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②下限規格値Lの関係式を作ります。
●\(μ_0\)=L+\(K_{p0}σ\)
●\(μ_1\)=L+\(K_{p1}σ\)

③合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
●μを使う場合
・\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_L}\)=\(μ_1\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

●Lを使う場合
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p0}σ\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p1}σ\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

②サンプル数nと合格判定係数kを導出

関係式からサンプル数nと合格判定係数kを導出します。

サンプル数nを導出

ただし、わかっている値で表現します。
わかっている値は
\(K_{α}\)
\(K_{β}\)
\(K_{p0}\)
\(K_{p1}\)
です。

●Lを使う場合
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p0}σ\)-\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p1}σ\)+\(K_{β} σ_{\bar{x}}\)
の２式を引きます。

0=0+\(K_{p0}σ\)-\(K_{p1}σ\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(σ_{\bar{x}}\)

この式に、\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)を代入します。
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
両辺をσで割って,2乗します。
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)

合格判定係数kを導出

初登場のkですが、
・\(\bar{X_L}\)=L+kσ
と置きます。

\(\bar{X_L}\)は
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p0}σ\)-\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
= L+\(K_{p0}σ\)-\(K_{α} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

なお、OC曲線を描くために、β,p1を使った関係式も導出します。
・\(\bar{X_L}\)=L+\(K_{p1}σ\)+\(K_{β} σ_{\bar{x}}\)
= L+\(K_{p1}σ\)+\(K_{β} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

ｎは先ほど導出しました、
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
を、
\(\sqrt{n}\)=\(\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}}\)
とします。

k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{ K_{p0}-K_{p1}}{ K_{α}+K_{β}}\)
よって、
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
となります。

③演習問題

不良率p0,p1と上で求めた、サンプル数nと合格判定係数kを使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。

次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、下限規格値が決まっていますね。

サンプル数nと、合格判定係数kを導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)、\(K_{p0}\)、\(K_{p1}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=2.878 (α=0.002のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

\(K_{p0}\)=2.326(p0=0.01のときのK値)
\(K_{p1}\)=1.645(p1=0.05のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
= n=\((\frac{2.878+1.282}{2.326-1.645})^2\)
=37.3≒38
と計算できます。

合格判定係数kは
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
=\(\frac{2.326×1.282+1.645×2.878}{ 2.878+1.282}\)
=1.855

ちなみに、下限合格判定値\(\bar{X_L}\)は、
\(\bar{X_L}\)=L+kσ
=3.3+1.855×0.2=3.67

まとめると
(n,k)=(38,1.86)の値で、
平均値が3.67以上ならロット合格、未満ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
変形して
(k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{β}\)

ここで、p1,βを一般化して、
p1⇒p
β⇒L(p)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

L(p)の作り方

1. 不良率pを変数として0から値を振る。
2. pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
3. サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
4. \(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
5. pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
Kp=ABS(NORM.INV(pの値,0,1))
L(p)=1-(NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))

OC曲線を描く

OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。

計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。

まとめ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説しました。

• ①下限規格値と合格判定値についての関係式を導出
• ②サンプル数nと合格判定係数kを導出
• ③演習問題
• ④OC曲線を描く

抜取検査

「選別型抜取検査がよくわからない」、「規準型抜取検査との違いがよくわからない」など、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

教科書で選別型抜取検査を読んでも、いまいちメリットがわかりません。
また、AOQ,AOQLという変数も出てきて、調整型抜取検査のAQLと混同します。

選別型抜取検査のメリットと特徴を本記事で明確に解説します。また、OC曲線・二項分布・ポアソン分布から数式を使って理論や背景を解説します。

本記事は、選別型抜取検査のまとめ記事になります。本記事の内容をおさえておけばOKです。

【重要】選別型抜取検査がわかる

• ➀選別型抜取検査とは何か？メリットは？
• ②選別型抜取検査の特徴(AOQと不良率pの関係)

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

➀選別型抜取検査とは何か？メリットは？

1. 規準型抜取検査より検査後の不良率を低減できること
2. 規準型抜取検査より検査量は増える

規準型抜取検査より検査後の不良率を低減できること

つまり、検査後の不良率であるAOQは、検査対象の不良率pより小さいため、検査後の不良率を低減することができます。

その代わり、抜取検査から全数検査に切り替える手間が増えます。

検査後の不良率を低減するための変数として、
平均出検品質(AOQ)
平均出検品質限界(AOQL)
があります。

詳細は、関連記事で解説しています。

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQがわかる 選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)が何かを説明できますか？ 本記事では、選別型抜取検査の基本である平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)をわかりやすく解説しました。選別型抜取検査の特徴を理解したい方は必見です。

規準型抜取検査より検査量は増える

平均検査量Iという変数を使って、選別型抜取検査の検査量を解いていきます。

詳細は、関連記事で解説しています。

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量がわかる 選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量と平均検査量を最小化する不良率との関係を説明できますか？ 本記事では、選別型抜取検査の平均検査量と平均検査量を最小化する不良率との関係をわかりやすく解説します。選別型抜取検査の特徴を理解したい方は必見です。

②選別型抜取検査の特徴(AOQと不良率pの関係)

平均出検品質AOQと平均出検品質限界AOQLについて、不良率pとの関係をプロットすることができます。

また、そのプロットには、サンプル数nによってさまざまな曲線が描けます。サンプル数と検査後の不良率であるAOQの関係がわかります。

ロット合格率L(p)は二項分布とポアソン分を使います。教科書は、ほぼ二項分布だけしか紹介していませんが、QCプラネッツではポアソン分布の場合も解説します。

二項分布については、関連記事の解説を読んでください。

平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布) 二項分布について選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを解析的に導出します。教科書ではグラフだけ見せて終わることが多いですが、実際に式から導出します。選別型抜取検査をマスターしたい方は必見です。

ポアソン分布については、関連記事の解説を読んでください。

平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(ポアソン分布) ポアソン分布について選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを解析的に導出します。教科書ではグラフだけ見せて終わることが多いですが、実際に式から導出します。選別型抜取検査をマスターしたい方は必見です。

まとめ

選別型抜取検査（JISZ9015）に必要なエッセンスを解説しました。

• ➀選別型抜取検査とは何か？メリットは？
• ②選別型抜取検査の特徴(AOQと不良率pの関係)

抜取検査

「平均出検品質AOQって何？」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何？」などがわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

>選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)

• ➀平均出検品質AOQを定義
• ②平均出検品限界質AOQLを導出
• ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)

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➀平均出検品質AOQを定義

詳細は、関連記事にありますので、確認ください。

関連記事「平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)」も読んで確認しましょう。本記事は、関連記事のポアソン分布版です。

②平均出検品限界質AOQLを導出

関連記事「平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)」も読んで確認しましょう。本記事は、関連記事のポアソン分布版です。

③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)

AOQLの導出は、

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
L(p)+p \(\frac{d}{dp} L(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

を満たす、pを求めて、そのpに該当するAOQL=pL(p)を求めます。ただし、式が複雑なので、抜取個数cをc=0,1,2の場合について１つずつ求めてみます。

抜取個数c=0の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (np)^0}{ 0!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (-np+0)}{0!}(np)^0\)
=0

\( e^{-np} \) + \( e^{-np} (-np)\)
=0

1-np=0
p=1/n

AOQLを求めます。
AOQL=pL(p)
=p \( \sum_{r=0}^{0} \frac{e^{-np} (np)^0}{ 0!}\)
= \(\frac{1}{n} ftac{1}{e}\)

AOQ曲線を描いてAOQLをプロットしましょう。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

AOQLはp=1/nのとき、L(p)=\(\frac{1}{n×e}\)です。下表に数値をまとめると、確かにグラフと一致しています。

抜取個数c=1の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{1} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{1} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

\( e^{-np} \) {\(\frac{(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(np)^1}{1!}\)
+\(\frac{(-np+0)(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(-np+1)(np)^1}{1!}\)}
=0

\((np)^2-(np)-1\)=0
p=\(\frac{1+\sqrt{5}}{2n}\) (p>0)
このpの値がAOQLを満たす値です。

AOQLとなるpの値が複雑なので、AOQのグラフを描きます。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

プロットしましょう。

抜取個数c=2の場合のAOQとAOQLを求める

\( \sum_{r=0}^{2} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{2} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

\( e^{-np} \) {\(\frac{(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(np)^1}{1!}\)
+ \(\frac{(np)^2}{2!}\)
+\(\frac{(-np+0)(np)^0}{0!}\)+ \(\frac{(-np+1)(np)^1}{1!}\)
\(\frac{(-np+2)(np)^2}{2!}\)}
=0

計算すると、
\((np)^2+(1-r)(np)-2r=0\)
p=\(\frac{-(1-r)+\sqrt{(1-r)^2+8r}}{2n}\)
このpの値がAOQLを満たす値です。

AOQLとなるpの値が複雑なので、AOQのグラフを描きます。
AOQ= p \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)

プロットしましょう。

「平均出検品質AOQって何？」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何？」などがわからず、困っていませんか？

まとめ

二項分布について選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを導出しました。

• ➀平均出検品質AOQを定義
• ②平均出検品限界質AOQLを導出
• ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(ポアソン分布)

抜取検査

「平均出検品質AOQって何？」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何？」などがわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

>選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)

• ➀平均出検品質AOQを定義
• ②平均出検品限界質AOQLを導出
• ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)

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➀平均出検品質AOQを定義

詳細は、関連記事にありますので、確認ください。

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQがわかる 選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)が何かを説明できますか？ 本記事では、選別型抜取検査の基本である平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)をわかりやすく解説しました。選別型抜取検査の特徴を理解したい方は必見です。

②平均出検品限界質AOQLを導出

平均出検品限界質AOQLを導出

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0が、AOQLを求める条件です。

L(p)が二項分布の場合
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0

L(p)がポアソン分布の場合

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0

非常に複雑な式になります。

微分の途中経過がわからない場合は、関連記事に解説しています。

③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)

AOQLの導出は、
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
を満たす、pを求めて、そのpに該当するAOQL=pL(p)を求めます。ただし、式が複雑なので、抜取個数cをc=0,1,2の場合について１つずつ求めてみます。

抜取個数c=0の場合のAOQとAOQLを求める

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0

\( \sum_{r=0}^{0}\)を外し、両辺を
\({}_nC_r, p^r, (1-p)^{n-r-1}\)で割ります。

p=\(\frac{r+1}{n+1}\)=\(\frac{1}{n+1}\)
(c=0よりr=0)
となります。

AOQ=pL(p)
=p \( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}\)
=p (1-p)^n
=\(\frac{1}{n+1} (\frac{n}{n+1})^n\)

プロットしましょう。

抜取個数c=1の場合のAOQとAOQLを求める

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{1} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{1} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0

\({}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}+{}_nC_1 p^1 (1-p)^{n-1}\)
+p\( {}_nC_0 (n-0)p^0 (-1) (1-p)^{n-0-1}\)
+ p\( {}_nC_1 (1 p^{1-1} (1-p)^{n-1}+(n-1)p^1 (-1)(1-p)^{n-1-1})\)
=0

両辺を
\((1-p)^{n-2}\)で割ります。

\((1-n^2)p^2+(n-2)p+1=0\)

p>0に注意して
p=\(\frac{(2-n)+\sqrt{5n^2-4n}}{2(1-n^2 )}\)

AOQ=pL(p)
にpを代入したいですが、複雑すぎるため、直接プロットしましょう。

AOQ=pL(p)
\( p\sum_{r=0}^{1} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
をグラフに描きます。

抜取個数c=2の場合のAOQとAOQLを求める

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{2} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{2} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0

\({}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}+{}_nC_1 p^1 (1-p)^{n-1}\)
\(+{}_nC_2 p^2 (1-p)^{n-2}\)
+p\( {}_nC_0 (n-0)p^0 (-1)(1-p)^{n-0-1}\)
+ p\( {}_nC_1 (1 p^{1-1} (1-p)^{n-1}+(n-1)p^1 (-1)(1-p)^{n-1-1})\)
+ p\( {}_nC_2 (2 p^{2-1} (1-p)^{n-2}+(n-2)p^2 (-1)(1-p)^{n-2-1})\)
=0

ちょっときついですね、計算してもpの3次式になり、
方程式の解が求めることができません。

AOQ=pL(p)
\( p\sum_{r=0}^{2} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
をグラフに描きます。

まとめ

二項分布について選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを導出しました。

• ➀平均出検品質AOQを定義
• ②平均出検品限界質AOQLを導出
• ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)

抜取検査

「平均検査量って何？」、「平均検査量の最小化と不良率との関係がよくわからない」と選別型抜取検査の平均検査量がわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量がわかる

• ➀平均検査量を導出
• ②平均検査量の最小値(二項分布)を導出
• ③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出

本物の「抜取検査」問題集を販売します！

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

➀平均検査量を導出

平均検査量を定義

選別型抜取検査では、抜取回数が変わるため、平均検査量を評価する必要があります。

平均検査量I=(抜取個数)×(ロットの合格率)+ (全体個数)×(ロットの不合格率)
で定義します。

n=(抜取個数) (n L(p)= (ロットの合格率)
N=(全体個数)
1-L(p)= (ロットの不合格率)
とすると、

I= nL(p) + N(1-L(p))
となります。

また、
I=n-n+ nL(p) + N(1-L(p))
と変形すると、
I=n-n(1-L(p))+N(1-L(p))
I=n+(N-n)(1-L(p))
と変形ができます。
よく教科書に出る式ですね。

規準型抜取検査で平均検査量を導出

なお、規準型抜取検査で平均検査量を導出してみます。

平均検査量I=(抜取個数)×(ロットの合格率)+ (全体個数)×(ロットの不合格率)
I= nL(p) + n(1-L(p))
I=n
となります。

規準型抜取検査は全数個数抜き取らないので、個数は抜取数nとします。

規準型抜取検査はn個検査しますので、I=nになるのは当然です。

選別抜取検査の平均検査量は規準型抜取検査の検査量より多い

平均検査量Iについては、関連記事で解説しています。

2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式の2回抜取検査の第1サンプルのac,reを決める方法を知っていますか？単に抜取表の使い方だけしか知らないままでしょうか？本記事では、OC曲線や平均検査量を使って、合格判定数の決め方を解説しています。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

平均検査量Ｉを比較すると
●選別型抜取検査I₁= n+(N-n)(1-L(p))
●規準型抜取検査I₂= n
より
I₁– I₂
=(N-n)(1-L(p)) >0
より、
選別抜取検査の平均検査量は規準型抜取検査の検査量より多くなります。

平均検査量Ｉが規準型抜取検査より多くなるデメリットがある分、
途中で全数検査に切り替えることによる検査後にすり抜ける不良率を低減するメリットがあります。

どんな手法も必ず、一長一短があるので、手法どうしを比較しながら理解していきましょう。

②平均検査量の最小値(二項分布)を導出

平均検査量Iを最小にする不良率p

平均検査量Iを最小にする不良率pを考えます。

\(\frac{dI}{dp}\)
=\(\frac{d}{dp} (nL(p)+N(1-L(p))) \)
= (n-N)\(\frac{d}{dp} L(p) \)
=(*)

L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)を代入します。
(*)=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (rp^{r-1} (1-p)^{n-r}+ p^r (n-r)(-1)(1-p)^{n-r-1})\)
=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^{r-1} (1-p)^{n-r-1} (r-pn)\)

\(\frac{dI}{dp}\)=0の条件は、
r-pn=0
つまり、p=r/n
のときです。
よって、
p=r/n
の場合が、平均検査量Iが最小になります。

平均検査量Iが最小になる意味

p=r/n のとき、\(\frac{dI}{dp}\)=0となり、
平均検査量Iは最小になります。

これはどういう意味か？を考えます。
rは変数で0から合格判定個数ac2まで変わる整数値です。
0 ≤ r ≤ ac2
サンプル数nと合格判定個数ac2との比が不良率pになるように調整すると、
平均検査量をおさえることができるとわかります。

ac2=4個,n=100個とすると
p =r/n ≤ ac2/n=4/100=4%
くらいで見ておくと、平均検査量Iを小さくできます。

③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出

平均検査量Iを最小にする不良率p

平均検査量Iを最小にする不良率pを考えます。

\(\frac{dI}{dp}\)
=\(\frac{d}{dp} (nL(p)+N(1-L(p))) \)
= (n-N)\(\frac{d}{dp} L(p) \)
=(*)

L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} e^{(-np)}\frac{(np)^r}{r!}\)を代入します。
(*)=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} ((-n)e^{-(np)}\frac{(np)^r}{r!}\)
+\(e^{-(np)}\frac{r n^r p^{r-1}}{r!}\))
=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} e^{-(np)} \frac{n^rp^{r-1}}{r!} (r-pn)\)

\(\frac{dI}{dp}\)=0の条件は、
r-pn=0
つまり、p=r/n
のときです。
よって、
p=r/n
の場合が、平均検査量Iが最小になります。

二項分布の場合と同じ結果になりました。

平均検査量Iが最小になる意味

二項分布の場合と同じですが、再掲します。

p=r/n のとき、\(\frac{dI}{dp}\)=0となり、
平均検査量Iは最小になります。

これはどういう意味か？を考えます。
rは変数で0から合格判定個数ac2まで変わる整数値です。
0 ≤ r ≤ ac2
サンプル数nと合格判定個数ac2との比が不良率pになるように調整すると、
平均検査量をおさえることができるとわかります。

ac2=4個,n=100個とすると
p =r/n ≤ ac2/n=4/100=4%
くらいで見ておくと、平均検査量Iを小さくできます。

まとめ

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量について解説しました。

• ➀平均検査量を導出
• ②平均検査量の最小値(二項分布)を導出
• ③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出

抜取検査

「平均出検品質AOQって何？」、「平均出検品質AOQを求めるメリットは何？」と選別型抜取検査や平均出検品質AOQの意義がわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQがわかる

• ➀平均出検品質(AOQ)とは検査後の不良率
• ②規準型抜取検査と選別型抜取検査の平均出検品質(AOQ)
• ③平均出検品質限界(AOQL)の導出
• ④平均出検品質(AOQ)と平均出検品質限界(AOQL)の関係

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今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

➀平均出検品質(AOQ)とは検査後の不良率

選別型抜取検査に出て来る難解な用語

平均検査量I、許容不良率LTPD(Lot Torelance Percent Defective)、平均出検品質(AOQ)、平均出検品質限界(AOQL)をよく使います。難しいし、すぐ忘れるので、簡単にまとめます。

平均検査量Iについては、関連記事で解説しています。

2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式の2回抜取検査の第1サンプルのac,reを決める方法を知っていますか？単に抜取表の使い方だけしか知らないままでしょうか？本記事では、OC曲線や平均検査量を使って、合格判定数の決め方を解説しています。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

第１種の誤りや第２種の誤りについては、関連記事で解説しています。

抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える 抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えていきます。OC曲線を構成する二項分布の導出や式の意味、OC曲線の描き方や描くために必要な制約条件について解説します。教科書では表面的な理解しかできない本当のOC曲線の意味がわかるようになり、自分で抜取検査が設計・計画できるようになります。

平均出検品質(AOQ)とは検査後の不良率

検査後の不良率(AOQ)を式で表す

元々、不良率pの製品を抜取検査したとします。
検査後の不良率(AOQ)を次の式で定義します。

わかりにくい「検査後の不良率(AOQ)」の式ですが、
(不良率×ロットの合否確率の和)をロットの合否確率で割った、不良率の平均値みたいな値
と考えましょう。

このわかりにくい「検査後の不良率(AOQ)」の式
規準型抜取検査と選別型抜取検査の違いをうまく表現できます！

②規準型抜取検査と選別型抜取検査の平均出検品質(AOQ)

規準型抜取検査の平均出検品質(AOQ)

不良率はp
ロット合格率はL(p)
ロット不良率は1-L(p)
です。

「検査後の不良率(AOQ)」の式は
検査後の不良率(AOQ)
= \(\frac{pL(p)+p(1-L(p))}{L(p)+(1-L(p))}\)
=p

選別型抜取検査の平均出検品質(AOQ)

不良率はp
ロット合格率はL(p)
ロット不良率は1-L(p)
です。

全数検査して、不良品があれば良品に取り換えるため、不良率は0%と考えます。

選別型抜取検査の「検査後の不良率(AOQ)」の式は
検査後の不良率(AOQ)
= \(\frac{pL(p)+0(1-L(p)}{L(p)+(1-L(p))}\)
=pL(p)

選別型抜取検査のメリット

規準型抜取検査のAOQはpです。
選別型抜取検査のAOQはpL(p)です。
ロット合格率L(p)は確率なので、0 <L(p) < 1です。

つまり、
p > pL(p)
となります。

この式から、選別型抜取検査は検査後の不良率を低減することができることがわかります。

③平均出検品質限界(AOQL)の導出

平均出検品質限界(AOQL)はAOQの最大値

平均出検品質限界って何？　⇒気にしなくていいです。AOQの最大値です。計算して導出すれば、わかります。

規準型抜取検査の場合、AOQ=pです。y=pのグラフは直線なので、規準型抜取検査のAOQLは考えません。

選別型抜取検査の場合、AOQ=pL(p)です。
L(p)は二項分布やポアソン分布の式が入ります。
pL(p)が最大値を持つ特徴があります。

詳細は関連記事を見てください。

平均出検品質限界(AOQL)の導出

L(p)が二項分布とポアソン分布についてそれぞれ導出します。最大値を求めるのでpL(p)をpで微分します。

L(p)が二項分布の場合

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)
=L(p)+p \(\frac{d}{dp} L(p)\)
= \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (-1) (1-p)^{n-r-1})\)

L(p)がポアソン分布の場合

\(\frac{d}{dp} pL(p)\)
=L(p)+p \(\frac{d}{dp} L(p)\)
= \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)

非常に複雑な式になります。

④平均出検品質(AOQ)と平均出検品質限界(AOQL)の関係

平均出検品質(AOQ)と平均出検品質限界(AOQL)を導出しましたので、グラフにしましょう。

赤い直線のy=pより下側にAOQ曲線があることがわかり、
AOQ曲線にそれぞれ最大値AOQLがあることがわかります。

選別型抜取検査もOC曲線をベースに数式を使って、検査の特徴を理解することが重要です。
QCプラネッツは、抜取検査を自力で考え、設計・計画できるよう、解説していきます。

まとめ

選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQ とその最大値である平均出検品質限界(AOQL)について解説しました。

• ➀平均出検品質(AOQ)とは検査後の不良率
• ②規準型抜取検査と選別型抜取検査の平均出検品質(AOQ)
• ③平均出検品質限界(AOQL)の導出
• ④平均出検品質(AOQ)と平均出検品質限界(AOQL)の関係

抜取検査