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  • 2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる

    2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる

    「JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式の2回抜取検査の第1サンプルのac,reはどう決まっているのか？」、「なぜ全合格判定個数の半分程度になっているのかがわからない」など困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる

    2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる

    • ①2回抜取検査のメリットは平均検査量が少ないこと
    • ②2回抜取検査は1回抜取検査と同じOC曲線であること
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    ①①2回抜取検査のメリットは平均検査量が少ないこと

    1回目の抜取検査で終了できれば平均検査量は減らせる

    2回抜取検査のメリットは、平均検査量が減らせることですが、
    デメリットは、検査回数が増えて手間であることです。

    ●検査個数
    ・2回抜取方式で検査する場合: 1回目はn1個、2回目はn2個を検査
    ・1回抜取方式で検査する場合： n1+n2個を検査

    ●検査終了の場合分け
    ・2回抜取方式において、1回目で検査終了する確率をp1,2回目まで検査する確率をp2とします。

    ●期待値の平均検査量Iを導出
    ・2回抜取方式の平均検査量I2=n1p1+n2p2
    ・1回抜取方式の平均検査量I1=n1+n2

    ●平均検査量の差分
    I1– I2
    =(n1+n2)-(n1p1+n2p2)
    =n1(1-p1)+n2(1-p2)
    > 0
    ((1-p1) > 0かつ (1-p2) > 0)

    数式で証明しましたが、1回目の検査で終了する場合があるため、2回抜取検査の平均検査量は1回抜取検査より少なくできます。

    詳細は、関連記事に解説しています。

    2回抜取方式(二項分布)のOC曲線が描ける
    抜取検査を2回する場合の確率の計算やOC曲線は描けますか？抜取検査を1回から2回に分けるメリットは何かわかりますか？本記事では、2回抜取検査におけるロット合格率の求め方、OC曲線の描き方、2回に検査を分けるメリットを解説します。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

    ポアソン分布についても解説しています。

    2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける
    抜取検査を2回する場合の確率の計算やOC曲線は描けますか？抜取検査を1回から2回に分けるメリットは何かわかりますか？本記事では、2回抜取検査におけるロット合格率の求め方、OC曲線の描き方、2回に検査を分けるメリットを解説します。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

    １回目、2回目の検査量と合格判定数の配分方法

    2回抜取検査量のメリットは、平均検査量が減らせることだから、検査量が減らせるように1回目と2回目の検査を配分したい！

    と思いますよね。

    平均検査量を減らすには、なるべく1回目の検査で終わらせて、2回目の検査は無しで済ませたい！と考えますよね。

    平均検査量を減らすには、1回目の検査で合格として終わらせたいから
    1回目の検査数は少なく、合格判定数ac1は多く(ac2以下に注意して)すればよい！

    そこで、次のクイズを考えます。

    平均検査量が少ないのはどれ？

    クイズ：2回抜取検査でもともと次の条件(a)で検査しようとしていた。
    (a) (JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式のなみ検査 AQL=1.5%の場合)
    1回目試料数50個、合格判定1個、不合格判定3個
    2回目試料数50個、合格判定4個、不合格判定5個
    しかし、平均検査量を下げたいので、次の2条件を考えた。
    (b)1回目の試料数を減らし、合格判定数を増やす場合
    1回目試料数20個、合格判定3個、不合格判定4個
    2回目試料数80個、合格判定4個、不合格判定5個
    (c) 1回目の試料数を増やし、合格判定数を減らす場合
    1回目試料数80個、合格判定0個、不合格判定4個
    2回目試料数20個、合格判定1個、不合格判定5個
    どの方法が最も平均検査量が少ないか？

    1回目の検査数は少なく、合格判定数ac1は多く(ac2以下に注意して)すればよい！
    わけですから、クイズの正解は、「b」ですね。

    実際に3条件の平均検査量をプロットしましょう。

    平均検査量

    確かに、(b)の条件が平均検査量Iは少ないですね。

    でも、ここで、疑問が1つあります。

    JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式のなみ検査 AQL=1.5%の場合は
    なぜ、
    1回目試料数50個、合格判定1個、不合格判定3個
    2回目試料数50個、合格判定4個、不合格判定5個
    なのでしょうか？

    平均検査量Iをもっと減らした方が、検査の効率がいいですよね。

    実は、平均検査量だけで判断するのは、不十分です。それを次で解説します。

    ②2回抜取検査は1回抜取検査と同じOC曲線であること

    もともと検査は、合否を判断するものです。
    抜取検査回数に関係しないし、してはいけません。

    つまり、
    1回抜取検査と2回抜取検査の合否判断は同じでなければなりません。
    1回抜取検査と2回抜取検査のOC曲線はほぼ等しくなければなりません。

    平均検査量を減らした場合のOC曲線を比較

    上の例の3条件をOC曲線で描いてみましょう。

    (a) (JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式のなみ検査 AQL=1.5%の場合)
    1回目試料数50個、合格判定1個、不合格判定3個
    2回目試料数50個、合格判定4個、不合格判定5個
    しかし、平均検査量を下げたいので、次の2条件を考えた。
    (b)1回目の試料数を減らし、合格判定数を増やす場合
    1回目試料数20個、合格判定3個、不合格判定4個
    2回目試料数80個、合格判定4個、不合格判定5個
    (c) 1回目の試料数を増やし、合格判定数を減らす場合
    1回目試料数80個、合格判定0個、不合格判定4個
    2回目試料数20個、合格判定1個、不合格判定5個

    ここで、1回抜取方式では(n,c)=(100,4)のOC曲線を描いています。

    OC曲線

    黒線の1回抜取方式のOC曲線に近いことが、2回抜取方式で求められます。
    条件(b)(c)は1回抜取方式のOC曲線から大きく外しています。
    これでは、平均検査量を変えても意味が無いとわかります。

    黒線の1回抜取方式のOC曲線に近いのは、条件(a)の
    1回目試料数50個、合格判定1個、不合格判定3個
    2回目試料数50個、合格判定4個、不合格判定5個

    まとめると、2回抜取方式で検査する条件は

    まとめると、2回抜取方式で検査する条件は
    ①平均検査量Iをなるべく減らすこと
    ②1回抜取方式のOC曲線から外さないこと
    であるとわかります。

    1回目、2回目の検査量と合格判定数の配分(JIS抜取表)

    1回抜取方式 (n,c)=(100,4)のOC曲線に近い
    2回抜取方式はどれかを考えます。
    JISの抜取表にある
    1回目試料数50個、合格判定1個、不合格判定3個
    2回目試料数50個、合格判定4個、不合格判定5個
    の決め方を見ましょう。

    なお、2回抜取方式では、
    n1=50,n2=50,ac2=4,re5=5は固定し、
    ac1,re1をいろいろ振ってOC曲線を比較します。

    そこで、次のクイズを考えます。

    1回抜取検査OC曲線に最も近いのはどれ?

    条件

    条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    n1 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
    ac1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
    re1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
    n2 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
    ac2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
    re2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

    OC曲線を描きます。

    OC曲線

    1回抜取OC曲線と距離を評価するために、各条件のある不良率pにおけるロット不良率L(p)との差分の2乗和で評価します。つまり、

    S(各条件)=\(\sum (L(p)_{1回抜取}-L(p)_{各条件})^2\)

    S(各条件)の小さい順に順位をつけると下表のようになりました。

    条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    n1 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
    ac1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
    re1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
    n2 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
    ac2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
    re2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
    順位 14 11 6 1 2 10 3 4 5 7 8 9 12 13 15

    JISの抜取表の値は条件(7)で順位は3位でした。1位ではありませんでした。
    実際は1回抜取検査のOC曲線に近いパターンを選んで、合格判定個数を少し調整して
    JIS規格の値を決めたように考えられます。

    順位1～5位のOC曲線を描くと、1回抜取検査の場合(黒実線)と近いですし、
    JIS規格の曲線(赤点線)は黒実線とほぼ同じことがわかります。

    OC曲線

    OC曲線を駆使していくと、抜取検査が設計できて、JIS規格の値や式の決まり方がわかるようになります。

    まとめ

    JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式の2回抜取検査の第1サンプルのac,reを決める方法を、平均検査量とOC曲線を使って解説しました。

    • ①2回抜取検査のメリットは平均検査量が少ないこと
    • ②2回抜取検査は1回抜取検査と同じOC曲線であること

  • 【重要】計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)はOC曲線から作れる

    【重要】計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)はOC曲線から作れる

    「計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)の値はどのように決まっているかわからない」、「抜取検査表の見方は知っているけど、その理由は知らない」など困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)はOC曲線から作れる

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)はOC曲線から作れる

    • ①不良率p0,p1は標準数で設定
    • ②サンプル数nと合格判定個数cはOC曲線から求める
    • ③OC曲線のp0,p1と抜取表の結果は一致する
    • ④抜取検査設計補助表の式の導出はわからない

    ●You tube動画もご覧ください

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    ①不良率p0,p1は標準数で設定

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)の2軸,p0,p1の値と間隔はどのように決まっているか？

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002) (黄色枠の数値)

    p1 (%) 0.71 0.91 1.13 1.41 ・・・ 22.5 28.1
    〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜
    p0 (%) 0.90 1.12 1.40 1.80 ・・・ 28.0 35.5
    0.09 〜 0.112 ＊ 400 1 ↓ ← ・・・ ↓ ↓
    0.113 〜 0.14 ＊ ↓ 300 1 ↓ ・・・ ↓ ↓
    0.141 〜 0.180 ＊ 500 2 ↓ 250 1 ・・・ ↓ ↓
    ・・・ 〜 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・
    9.01 〜 11.2 ＊ ＊ ＊ ＊ ・・・ 60 10 30 6

    p0は0.09%から、p1は0.71%からスタートし
    0.09,0.113,0.141,…,0.9,1.13,1.41,…と桁数をあげつつ同じ値を繰り返す。
    その理由はわかりますか？

    p0,p1の間隔は標準数から決まっていることと、
    p0=0.09%,p1=0.71%からスタートするのは、抜取表が見やすく使いやすくするために調整したためです。

    関連記事にまとめていますので、ご覧ください。

    【重要】抜取検査に欠かせない標準数がわかる
    規準型抜取検査や調整型抜取検査の抜取表の範囲や区分はどのように決めているかご存じですか？本記事は、抜取表の範囲や区分や、抜取表を自分で作る方法を解説します。抜取表の作り方が知りたい方は必見です。

    知っている人は知っている「標準数」です。
    知らない人は覚えてね！となります。

    ②サンプル数nと合格判定個数cはOC曲線から求める

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)の(n,c)に注目します。

    規準型抜取検査表(JISZ9002) (黄色枠の数値)

    p1 (%) 0.71 0.91 1.13 1.41 ・・・ 22.5 28.1
    〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜
    p0 (%) 0.90 1.12 1.40 1.80 ・・・ 28.0 35.5
    0.09 〜 0.112 ＊ 400 1 ↓ ← ・・・ ↓ ↓
    0.113 〜 0.14 ＊ ↓ 300 1 ↓ ・・・ ↓ ↓
    0.141 〜 0.180 ＊ 500 2 ↓ 250 1 ・・・ ↓ ↓
    ・・・ 〜 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・
    9.01 〜 11.2 ＊ ＊ ＊ ＊ ・・・ 60 10 30 6

    ②サンプル数nと合格判定個数cはOC曲線から求め、
    L(p)=1-αのpをp0,
    L(p)=βのpをp1とします。

    この基本的な考え方で、計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)は作られています。

    OC曲線についてと、曲線の描き方については関連記事をご覧ください。

    OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布をマスターする
    抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えます。OC曲線を構成する３つの確率分布は超幾何分布、二項分布、ポアソン分布です。それぞれの分布の関係を理解し、不良率または不良個数からOC曲線が描けるようになりましょう。

    ③OC曲線のp0,p1と抜取表の結果は一致する

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)の(n,c)に数字がある枠について、n,cとp0,p1の関係を見ます。

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002) (黄色枠の数値)

    p1 (%) 0.71 0.91 1.13 1.41 ・・・ 22.5 28.1
    〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜
    p0 (%) 0.90 1.12 1.40 1.80 ・・・ 28.0 35.5
    0.09 〜 0.112 ＊ 400 1 ↓ ← ・・・ ↓ ↓
    0.113 〜 0.14 ＊ ↓ 300 1 ↓ ・・・ ↓ ↓
    0.141 〜 0.180 ＊ 500 2 ↓ 250 1 ・・・ ↓ ↓
    ・・・ 〜 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・
    9.01 〜 11.2 ＊ ＊ ＊ ＊ ・・・ 60 10 30 6

    次に関連記事にあるプログラムを使って、(n,c)から(p0,p1)を計算します。

    OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう
    抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えます。OC曲線をすぐ描けるようプログラムを用意しました。二項分布、ポアソン分布両方のOC曲線を実際に描いて感触を確かめましょう。

    結果を比較します。

    – – JIS9015Z QCプラネッツ 比較
    n c p0 p1 p0 p1 P0 p1
    400 1 0.090～0.112 0.91～1.12 0.082 0.972 × ●
    500 2 0.141～0.180 0.91～1.12 0.154 1.065 ● ●
    300 1 0.113～0.140 1.13～1.40 0.115 1.291 ● ●
    400 2 0.181～0.224 1.13～1.40 0.204 1.327 ● ●
    500 3 0.225～0.280 1.13～1.40 0.267 1.334 ● ●
    250 1 0.141～0.180 1.41～1.80 0.137 1.549 × ●
    300 2 0.225～0.280 1.41～1.80 0.268 1.766 ● ●
    400 3 0.281～0.355 1.41～1.80 0.337 1.665 ● ●
    500 4 0.356～0.450 1.41～1.80 0.393 1.593 ● ●
    200 1 0.181～0.224 1.81～2.24 0.174 1.932 × ●
    250 2 0.281～0.355 1.81～2.24 0.325 2.116 ● ●
    300 3 0.356～0.450 1.81～2.24 0.452 2.214 × ●
    400 4 0.451～0.560 1.81～2.24 0.492 1.989 ● ●
    500 6 0.561～0.710 1.81～2.24 0.654 2.097 ● ●
    150 1 0.225～0.280 2.25～2.80 0.234 2.57 ● ●
    200 2 0.356～0.450 2.25～2.80 0.409 2.641 ● ●
    250 3 0.451～0.560 2.25～2.80 0.545 2.654 ● ●
    300 4 0.561～0.710 2.25～2.80 0.655 2.649 ● ●
    400 6 0.711～0.900 2.25～2.80 0.821 2.619 ● ●
    60 0 0.090～0.112 2.81～3.55 0.086 3.766 × ×
    120 1 0.281～0.355 2.81～3.55 0.297 3.203 ● ●
    150 2 0.451～0.560 2.81～3.55 0.545 3.51 ● ●
    200 3 0.561～0.710 2.81～3.55 0.684 3.31 ● ●
    250 4 0.711～0.900 2.81～3.55 0.79 3.173 ● ●
    300 6 0.901～1.12 2.81～3.55 1.1 3.485 ● ●
    500 10 1.13～1.40 2.81～3.55 1.235 3.067 ● ●
    50 0 0.090～0.112 3.56～4.50 0.103 4.501 ● ×
    100 1 0.356～0.450 3.56～4.50 0.354 3.835 × ●
    120 2 0.561～0.710 3.56～4.50 0.684 4.375 ● ●
    150 3 0.711～0.900 3.56～4.50 0.915 4.399 × ●
    200 4 0.901～1.12 3.56～4.50 0.989 3.958 ● ●
    250 6 1.13～1.40 3.56～4.50 1.32 4.176 ● ●
    400 10 1.41～1.80 3.56～4.50 1.547 3.827 ● ●
    40 0 0.113～0.140 4.51～5.60 0.129 5.594 ● ●
    80 1 0.451～0.560 4.51～5.60 0.444 4.776 × ●
    100 2 0.711～0.900 4.51～5.60 0.821 5.235 ● ●
    120 3 0.901～1.12 4.51～5.60 1.145 5.483 × ●
    150 4 1.13～1.40 4.51～5.60 1.321 5.259 ● ●
    200 6 1.41～1.80 4.51～5.60 1.652 5.207 ● ●
    300 10 1.81～2.24 4.51～5.60 2.068 5.09 ● ●
    30 0 0.141～0.180 5.61～7.00 0.171 7.388 ● ×
    60 1 0.561～0.710 5.61～7.00 0.595 6.329 ● ●
    80 2 0.901～1.12 5.61～7.00 1.029 6.516 ● ●
    100 3 1.13～1.40 5.61～7.00 1.377 6.559 ● ●
    120 4 1.41～1.80 5.61～7.00 1.654 6.552 ● ●
    150 6 1.81～2.24 5.61～7.00 2.21 6.916 ● ●
    250 10 2.25～2.80 5.61～7.00 2.486 6.096 ● ●
    25 0 0.181～0.224 7.11～9.00 0.205 8.799 ● ●
    50 1 0.711～0.900 7.11～9.00 0.715 7.559 ● ●
    60 2 1.13～1.40 7.11～9.00 1.376 8.628 ● ●
    80 3 1.41～1.80 7.11～9.00 1.725 8.161 ● ●
    100 4 1.81～2.24 7.11～9.00 1.99 7.835 ● ●
    120 6 2.25～2.80 7.11～9.00 2.768 8.612 ● ●
    200 10 2.81～3.55 7.11～9.00 3.114 7.599 ● ●
    20 0 0.225～0.280 9.01～11.2 0.256 10.875 ● ●
    40 1 0.901～1.12 9.01～11.2 0.896 9.38 × ●
    50 2 1.41～1.80 9.01～11.2 1.654 10.296 ● ●
    60 3 1.81～2.24 9.01～11.2 2.309 10.797 × ●
    70 4 2.25～2.80 9.01～11.2 2.856 11.096 × ●
    100 6 2.81～3.55 9.01～11.2 3.33 10.294 ● ●
    150 10 3.56～4.50 9.01～11.2 4.166 10.086 ● ●
    15 0 0.281～0.355 11.3～14.0 0.342 14.231 ● ×
    30 1 1.13～1.40 11.3～14.0 1.198 12.357 ● ●
    40 2 1.81～2.24 11.3～14.0 2.075 12.763 ● ●
    50 3 2.25～2.80 11.3～14.0 2.778 12.876 ● ●
    60 4 2.81～3.55 11.3～14.0 3.34 12.883 ● ●
    80 6 3.56～4.50 11.3～14.0 4.178 12.793 ● ●
    120 10 4.51～5.60 11.3～14.0 5.225 12.549 ● ●
    15 0 0.356～0.450 14.1～18.0 0.342 14.231 × ●
    25 1 1.41～1.80 14.1～18.0 1.44 14.687 ● ●
    30 2 2.25～2.80 14.1～18.0 2.781 16.781 ● ●
    40 3 2.81～3.55 14.1～18.0 3.488 15.945 ● ●
    50 4 3.56～4.50 14.1～18.0 4.023 15.355 ● ●
    60 6 4.51～5.60 14.1～18.0 5.605 16.893 × ●
    100 10 5.61～7.10 14.1～18.0 6.292 14.988 ● ●
    10 0 0.451～0.560 18.1～22.4 0.512 20.567 ● ●
    20 1 1.81～2.24 18.1～22.4 1.806 18.096 × ×
    25 2 2.81～3.55 18.1～22.4 3.351 19.914 ● ●
    30 3 3.56～4.50 18.1～22.4 4.685 20.93 × ●
    40 4 4.51～5.60 18.1～22.4 5.057 18.998 ● ●
    50 6 5.61～7.10 18.1～22.4 6.759 20.113 ● ●
    70 10 7.11～9.01 18.1～22.4 9.069 21.154 × ●
    7 0 0.561～0.710 22.5～28.0 0.73 28.032 × ×
    15 1 2.25～2.80 22.5～28.0 2.422 23.557 ● ●
    20 2 3.56～4.50 22.5～28.0 4.217 24.477 ● ●
    25 3 4.51～5.60 22.5～28.0 5.656 24.802 × ●
    30 4 5.61～7.10 22.5～28.0 6.805 24.899 ● ●
    40 6 7.11～9.01 22.5～28.0 8.513 24.845 ● ●
    50 10 9.01～11.2 22.5～28.0 12.855 29.13 × ×
    5 0 0.711～0.900 28.1～35.5 1.021 36.904 × ×
    10 1 2.81～3.55 28.1～35.5 3.677 33.685 × ●
    15 2 4.51～5.60 28.1～35.5 5.685 31.729 × ●
    20 3 5.61～7.10 28.1～35.5 7.135 30.419 × ●
    25 4 7.11～9.01 28.1～35.5 8.229 29.467 ● ●
    30 6 9.01～11.2 28.1～35.5 11.499 32.469 × ●

    ×が33個、●が157個になり、一致する率は 157/(33+157)=82.6%となり、
    ほぼ計数規準型一回抜取検査表と一致することがわかりました。

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)は自分で作ったOC曲線から作れることがわかりますね。
    JIS規格も身近な存在に感じますね。

    規格表の作り方がわかると、その理論や背景も理解できます。
    単に表の見方だけでなく、意味も理解することができます。

    ④抜取検査設計補助表の式の導出はわからない

    どの参考文献にも導出過程が書いていませんが、計数規準型一回抜取検査表が初めて規格になった1956年からはすでにこの式はありました。

    抜取検査設計補助表

    p1/p00 c n
    17以上 0 2.56/p0+115/p1
    16～7.9 1 17.8/p0+194/p1
    7.8～5.6 2 40.9/p0+266/p1
    5.5～4.4 3 68.3/p0+334/p1
    4.3～3.6 4 98.5/p0+400/p1
    3.5～2.8 6 164/p0+527/p1
    2.7～2.3 10 308/p0+770/p1
    2.2～2.0 15 502/p0+1065/p1
    1.99～1.86 20 704/p0+1350/p1

    抜取検査設計補助表が分からない点

    1. n=A/p0+B/p1型で表現できる理由が分からない
    2. 比p1/p0とcの値ごとにnの式の係数A,Bが変わる理由が分からない

    抜取検査が分かりにくい背景

    1. 抜取検査規格は米国の軍事規格からJISへ踏襲したから
    2. 計算機が未発達な時代は近似式で求めるのが常套手段だったから
    • ①抜取検査規格は米国の軍事規格からJISへ踏襲したから

    抜取検査が日本のJIS規格で登場するのが,1956年です。
    その前には、米国の軍事規格(MIL-STD-105D)がありました。
    当時は、朝鮮戦争で日本の製造品質を急ピッチで高める必要があったため、
    占領下の米国の軍事規格を日本で普及させた背景があります。

    米国の軍事規格の詳細までは追えないため、抜取検査設計補助表の式の導出までは完全にはわかっていません。

    • ②計算機が未発達な時代は近似式で求めるのが常套手段だったから

    今は、Excelで個人PCでもかなりの計算ができますが、
    60年前はそれが不可能でした。当時は、関数論などを駆使しして、
    近似式で当てはめて使う方法が常套手段でした。

    現在は、値はPCや大型計算機にプログラミングすれば計算できます。
    現在最も重要なのは、式より式の導出や理論が分かることです。

    計算結果より、その理由が重要です。

    計算は機械の仕事
    理論や説明は人間の仕事
    です。

    理解していない方法は使うべきではない

    抜取検査設計補助表が必要なp0,p1を使う場合、
    近似式が使いたくないときは、
    自分でOC曲線を引いてn,c,p0,p1を確認した方がよいでしょう。

    結果は近似式と変わらないでしょうが、
    近似式の式が理解できない場合は使わないのも１つの方法です。

    抜取検査設計補助表の式の導出や理論について、今後もQCプラネッツは追究していきます。

    まとめ

    計数規準型一回抜取検査表(JISZ9002)はOC曲線から作れることを解説し、抜取検査設計補助表の式の導出や理論がよくわかっていないことも紹介しました。

    • ①不良率p0,p1は標準数で設定
    • ②サンプル数nと合格判定個数cはOC曲線から求める
    • ③OC曲線のp0,p1と抜取表の結果は一致する
    • ④抜取検査設計補助表の式の導出はわからない

  • 2回抜取方式のOC曲線(二項分布とポアソン分布)をプログラムで描こう

    2回抜取方式のOC曲線(二項分布とポアソン分布)をプログラムで描こう

    「2回抜取検査のOC曲線を作り方がわからない」、「二項分布、ポアソン分布のOC曲線が描けない」など困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    OC曲線(二項分布、ポアソン分布の2回抜取検査)を描こう

    抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える

    本記事ではExcel VBAを使ってOC曲線を描き、抜取検査の理論を追究できる準備をします。

    なお、１回抜取検査のOC曲線を描くプログラムは、関連記事で紹介しています。

    OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう
    抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えます。OC曲線をすぐ描けるようプログラムを用意しました。二項分布、ポアソン分布両方のOC曲線を実際に描いて感触を確かめましょう。

    • ➀2回抜取検査OC曲線を描こう(二項分布)
    • ②2回抜取検査OC曲線を描こう(ポアソン分布)

    2回抜取検査を自動で描くプログラムを解説するのは本記事だけです。

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    本物の「抜取検査」問題集を販売します！

    QC検定®1級合格したい方、抜取検査の本質・理論をしっかり学びたい方におススメです。
    今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

    ➀2回抜取検査OC曲線を描こう(二項分布)

    二項分布のOC曲線をExcelで描く

    下図のように,Excelファイル(.xlsm)を用意し、
    ①シート”二項”に
    ②データ間隔[%]と③(n1,ac1,re1,n2,ac2,re2)の値を入れてください。
    ④VBAで④のように自動計算します。

    2回抜取方式

    ロット合格率L(p)は、
    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ac1} {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} {}_{n2} C_s p^s (1-p)^{n2-s}\)}
    Excelではx=pとして計算します。

    2回抜取検査のロット合格率L(p)の式の導出は関連記事にあります。

    2回抜取方式(二項分布)のOC曲線が描ける
    抜取検査を2回する場合の確率の計算やOC曲線は描けますか？抜取検査を1回から2回に分けるメリットは何かわかりますか？本記事では、2回抜取検査におけるロット合格率の求め方、OC曲線の描き方、2回に検査を分けるメリットを解説します。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

    VBAプログラム例

    1. Sub oc2kai_1()
    2.
    3. Dim n1(1 To 1000) As Long, ac1(1 To 1000) As Long, re1(1 To 1000) As Long
    4. Dim n2(1 To 1000) As Long, ac2(1 To 1000) As Long, re2(1 To 1000) As Long
    5. Dim SH As String, ncol As Long, ab As Double, nrow As Long
    6. Dim tt(1 To 1000) As Double, ta(1 To 1000) As Double
    7.
    8. SH = “二項”　　’シート名
    9. ncol = Worksheets(SH).Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column – 5 ‘最大列数
    10.
    11. ab = Worksheets(SH).Cells(2, 1) ‘間隔
    12.
    13. nrow = Int(100 / ab) + 1 ‘計算行数
    14. ‘初期化
    15. Range(Worksheets(SH).Cells(10, 6), Worksheets(SH).Cells(9 + nrow, 5 + ncol)).ClearContents
    16. Range(Worksheets(SH).Cells(11, 5), Worksheets(SH).Cells(10 + nrow, 5 + ncol)).ClearContents
    17.
    18. Worksheets(SH).Cells(11, 5) = 0.001
    19.
    20. For i1 = 1 To ncol ‘抜取検査対象を入力
    21. Worksheets(SH).Cells(10, 5 + i1) = “y” & i1
    22. n1(i1) = Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1)
    23. ac1(i1) = Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1)
    24. re1(i1) = Worksheets(SH).Cells(3, 5 + i1)
    25. n2(i1) = Worksheets(SH).Cells(4, 5 + i1)
    26. ac2(i1) = Worksheets(SH).Cells(5, 5 + i1)
    27. re2(i1) = Worksheets(SH).Cells(6, 5 + i1)
    28. Next i1
    29.
    30. For i1 = 1 To nrow
    31. If i1 > 1 Then
    32. ta(i1) = ta(i1 – 1) + ab
    33. tt(i1) = ta(i1) / 100
    34. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5) = ta(i1)
    35. End If
    36. Next i1
    37.
    38. ‘nrow = 5
    39.
    40. ‘OC曲線(2回抜取)
    41. For i1 = 1 To nrow
    42. For j1 = 1 To ncol
    43. For k1 = 0 To ac1(j1) ‘①1回で合格する場合
    44. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) = Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) _
    45. + WorksheetFunction.Combin(n1(j1), k1) * tt(i1) ^ k1 * (1 – tt(i1)) ^ (n1(j1) – k1)
    46. Next k1
    47.
    48. For k2 = ac1(j1) + 1 To re1(j1) – 1 ‘②2回で合格する場合
    49. aa = 0 ‘初期化　aa:2回目の場合の確率の和
    50. For l1 = 0 To ac2(j1) – k2
    51. aa = aa + WorksheetFunction.Combin(n2(j1), l1) * tt(i1) ^ l1 * (1 – tt(i1)) ^ (n2(j1) – l1)
    52. Next l1
    53.
    54. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) = Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) _
    55. + WorksheetFunction.Combin(n1(j1), k2) * tt(i1) ^ k2 * (1 – tt(i1)) ^ (n1(j1) – k2) * aa
    56. Next k2
    57.
    58. Next j1
    59. Next i1
    60.
    61. End Sub

    グラフの結果例を挙げます。

    2回抜取方式

    ➀2回抜取検査OC曲線を描こう(ポアソン分布)

    ポアソン分布のOC曲線をExcelで描く

    下図のように,Excelファイル(.xlsm)を用意し、
    ①シート”二項”に
    ②データ間隔[%]と③(n1,ac1,re1,n2,ac2,re2)の値を入れてください。
    ④VBAで④のように自動計算します。

    2回抜取検査

    ロット合格率L(p)は、
    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ ac1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}
    Excelではx=pとして計算します。

    2回抜取検査のロット合格率L(p)の式の導出は関連記事にあります。

    2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける
    抜取検査を2回する場合の確率の計算やOC曲線は描けますか？抜取検査を1回から2回に分けるメリットは何かわかりますか？本記事では、2回抜取検査におけるロット合格率の求め方、OC曲線の描き方、2回に検査を分けるメリットを解説します。多回抜取検査について知りたい方は必見です。

    VBAプログラム例

    1. Sub oc2kai_2()
    2.
    3. Dim n1(1 To 1000) As Long, ac1(1 To 1000) As Long, re1(1 To 1000) As Long
    4. Dim n2(1 To 1000) As Long, ac2(1 To 1000) As Long, re2(1 To 1000) As Long
    5. Dim SH As String, ncol As Long, ab As Double, nrow As Long
    6. Dim tt(1 To 1000) As Double, ta(1 To 1000) As Double
    7.
    8. SH = “ポアソン”
    9. ncol = Worksheets(SH).Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column – 5
    10.
    11. ab = Worksheets(SH).Cells(2, 1)
    12.
    13. nrow = Int(100 / ab) + 1
    14. ‘初期化0
    15. Range(Worksheets(SH).Cells(11, 3), Worksheets(SH).Cells(10 + nrow, 5)).ClearContents
    16. Range(Worksheets(SH).Cells(10, 6), Worksheets(SH).Cells(10 + nrow, 6 + ncol)).ClearContents
    17.
    18. Worksheets(SH).Cells(11, 5) = 0 ‘x=0を代入
    19.
    20. For i1 = 1 To ncol　’n1,ac1,re1,n2,ac2,re2を代入
    21. Worksheets(SH).Cells(10, 5 + i1) = “y” & i1
    22. n1(i1) = Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1)
    23. ac1(i1) = Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1)
    24. re1(i1) = Worksheets(SH).Cells(3, 5 + i1)
    25. n2(i1) = Worksheets(SH).Cells(4, 5 + i1)
    26. ac2(i1) = Worksheets(SH).Cells(5, 5 + i1)
    27. re2(i1) = Worksheets(SH).Cells(6, 5 + i1)
    28. Next i1
    29.
    30. For i1 = 1 To nrow
    31. If i1 > 1 Then
    32. ta(i1) = ta(i1 – 1) + ab
    33. tt(i1) = ta(i1) / 100
    34. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5) = ta(i1)
    35. End If
    36. Next i1
    37.
    38. Dim ramda1 As Double, ramda2 As Double, fact1 As Double, fact2 As Double
    39. ‘OC曲線(2回抜取)
    40. For i1 = 1 To nrow
    41. For j1 = 1 To ncol
    42. ‘λ=Nx/100で導出
    43. ramda1 = _
    44. Worksheets(SH).Cells(1, 5 + j1) * Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5) / 100
    45. ramda2 = _
    46. Worksheets(SH).Cells(4, 5 + j1) * Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5) / 100
    47.
    48. fact1 = 1: fact2 = 1
    49.
    50. For k1 = 0 To ac1(j1) ‘①1回で合格する場合
    51. If k1 > 0 Then
    52. fact1 = fact1 * k1 ‘階乗！を計算
    53. End If
    54.
    55. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) = _
    56. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) + Exp(-ramda1) * ramda1 ^ k1 / fact1
    57. Next k1
    58.
    59. For k2 = ac1(j1) + 1 To re1(j1) – 1 ‘②2回で合格する場合
    60. fact1 = fact1 * k2
    61.
    62. aa = 0 ‘初期化　aa:2回目の場合の確率の和
    63. For m1 = 0 To ac2(j1) – k2
    64. If m1 > 0 Then
    65. fact2 = fact2 * m1 ‘階乗！を計算
    66. End If
    67.
    68. aa = aa + Exp(-ramda2) * ramda2 ^ m1 / fact2
    69. Next m1
    70.
    71. Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) = Worksheets(SH).Cells(i1 + 10, 5 + j1) _
    72. + (Exp(-ramda1) * ramda1 ^ k1 / fact1) * aa
    73.
    74. Next k2
    75.
    76. Next j1
    77. Next i1
    78.
    79. End Sub

    グラフの結果例を挙げます。

    2回抜取方式

    まとめ

    2回抜取検査のOC曲線をプログラムで描けるよう解説しました。実際描いてみてください。

    • ➀2回抜取検査OC曲線を描こう(二項分布)
    • ②2回抜取検査OC曲線を描こう(ポアソン分布)

  • 2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける

    2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける

    「抜取検査を2回する場合のOC曲線が描けない」、「2回抜取方式の場合のロット合格率L(p)の計算がわからない」など困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線を作る

    2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線を作る

    • ①2回抜取方式のロット合格率の計算
    • ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出
    • ③2回抜取方式のOC曲線
    • ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較
    • ⑤⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある
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    QC検定®1級合格したい方、抜取検査の本質・理論をしっかり学びたい方におススメです。
    今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

    ①2回抜取方式のロット合格率の計算

    具体例を計算してから、公式導出します。

    例題：不良率p=1%の試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？ポアソン分布で計算せよ。
    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個

    合格基準を詳しくみます！

    (A)1回目の抜取検査で、不良数が1個(ac1個)以内なら、1回の抜取検査で合格し終了!

    (B)1回目の抜取検査で、不良数が2個(ac1+1個以上、re1-1個以下)なら、2回目の検査を実施。
    2回目の検査で、不良数がトータル4個以下なら検査は合格、5個以上なら不合格で終了!

    (C) (A)(B)以外はすべて不合格

    検査合格条件を表にまとめます。

    1回目 2回目
    0個 検査不要
    1個 検査不要
    2個 0個
    1個
    2個

    まとめると、
    ●1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
    ●1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
    となります。

    ここから

    ロット合格率L(p)を計算します。

    「1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
    1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
    となります。」
    を式で書けばOKです。

    ポアソン分布の式を代入が難しいので、丁寧に解説します。

    L(p=0.02)= \(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
    + \(\sum_{r=2}^{2}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

    × \(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}
    =0.98514

    ここで、
    λ1=n1×p=50×0.01=0.5
    λ2=n2×p=50×0.01=0.5

    数式が難しいですが、１つずつ見ましょう。

    \(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)は,1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格の場合です。

    \(\sum_{r=2}^{2}\)\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)は、1回目の不良数が2個の場合で、
    \(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)は、2回目の不良数が0～2個の場合です。
    1回目と2回目と連続で検査するので確率の積となります。

    ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出

    上の例題にある数字を文字に変えます。

    例題：不良率pの試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？
    1回目試料数n1個、合格判定ac1個、不合格判定re1個
    2回目試料数n2個、合格判定ac2個、不合格判定re2個

    上の例題を解く数式は、

    L(p=0.02)= \(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
    + \(\sum_{r=2}^{2}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

    × \(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

    数字を文字に変えます。

    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ ac1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

    この式の難しいところは、
    ①\(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\)と②\(\sum_{s=0}^{ac2-r}\)ですね。

    ①2回目の検査が必要な場合は、1回目で出る不良数がac1+1個以上、re1-1個ですね。
    ②すでに1回目でr個(ac1+1≦r≦re1-1)不良を出しているので、
    2回目で出してもいい不良数は ac2-r個になります。

    ③2回抜取方式のOC曲線

    2回抜取方式のOC曲線の式は、

    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ ac1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
    を代入してOC曲線を描くと下図のようになります。

    2回抜取方式

    1回抜取方式のOC曲線と似た曲線になります。

    ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較

    (A) 50個を2回抜取検査する場合
    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
    (B)100個を1回抜取検査する場合
    試料数n=100,合格判定c=4個
    (合格判定不良個数は同じとする)
    のOC曲線を比較しましょう。

    OC曲線は関連記事のプログラムで自動作成できます。

    OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう
    抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えます。OC曲線をすぐ描けるようプログラムを用意しました。二項分布、ポアソン分布両方のOC曲線を実際に描いて感触を確かめましょう。

    2回抜取方式

    1回抜取検査も2回抜取検査もほぼ同じOC曲線になりました。
    これが、複数回に分けて抜取検査するメリットにつながります。

    ⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある

    2回抜取検査のうち、ほとんどが１回の検査で終了する

    下図の黒線と青線は、
    黒線：2回の抜取検査で合格するすべての場合を合算
    青線：2回の抜取検査のうち、１回で合格する場合だけを合算
    で区別しています。

    2回抜取方式

    青線と黒線の差が小さいことがわかります。

    つまり、2回抜取検査と言いながら、多くの場合はn=50個の１回抜取検査で終了するのです。
    1回抜取検査n=100個より少ない個数で抜取検査が終えることができます。

    複数の抜取検査は平均検査量が減らせる

    ●2回抜取検査のうち、合格するすべての場合の確率p1
    ●１回で終わる場合の確率をp2(p2 > p1)とします。

    検査量を計算

    2回抜取検査の検査量の期待値を計算します。
    ●2回抜取検査の検査量の期待値=
    1回で終わる場合の検査量の期待値＋2回で終わる場合の検査量の期待値
    です。

    つまり、検査量の期待値Ｉは
    I=p2/p1× n1 + (p1-p2)/p1 × (n1+n2)
    です。

    実際は、n1=50,n1+n2=100, p2/p1=0.8, (p1-p2)/p1=0.2くらいなので、
    I= 0.8×50+ 0.2×100 = 60
    となり、2回抜取検査の計100個より少ない60個くらいの検査で済むことがわかります。

    つまり、検査量が減らせる効果があります。
    でも、その逆に検査を複数回するのが面倒ではあります。

    不良率と検査量の関係

    2回抜取検査(n1=50,n2=50)と１回抜取検査(n=100)における検査量を比較しましょう。

    平均検査量

    2回抜取検査はある不良率pでピークを持ちますが、1回抜取検査より検査量が少ないことが分かります。

    多回に検査を分けると、1,2回目の検査で検査の合否がほとんど決まるから、検査量の期待値が少ないわけです。

    まとめ

    抜取検査を2回する場合のポアソン分布を使った、ロット合格率L(p)の計算、OC曲線の描き方、1回抜取検査と2回抜取検査の比較をして、2回抜取検査の方が検査量が減らせるメリットがあることを解説しました。

    • ①2回抜取方式のロット合格率の計算
    • ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出
    • ③2回抜取方式のOC曲線
    • ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較
    • ⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある

  • 2回抜取方式(二項分布)のOC曲線が描ける

    2回抜取方式(二項分布)のOC曲線が描ける

    「抜取検査を2回する場合のOC曲線が描けない」、「2回抜取方式の場合のロット合格率L(p)の計算がわからない」など困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    2回抜取方式(二項分布)のOC曲線を作る

    2回抜取方式(二項分布)のOC曲線を作る

    • ①2回抜取方式のロット合格率の計算
    • ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出
    • ③2回抜取方式のOC曲線
    • ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較
    • ⑤⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある
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    本物の「抜取検査」問題集を販売します！

    QC検定®1級合格したい方、抜取検査の本質・理論をしっかり学びたい方におススメです。
    今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！ 内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

    ①2回抜取方式のロット合格率の計算

    具体例を計算してから、公式導出します。

    例題：不良率p=1%の試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？
    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個

    合格基準を詳しくみます！

    (A)1回目の抜取検査で、不良数が1個(ac1個)以内なら、1回の抜取検査で合格し終了!

    (B)1回目の抜取検査で、不良数が2個(ac1+1個以上、re1-1個以下)なら、2回目の検査を実施。
    2回目の検査で、不良数がトータル4個以下なら検査は合格、5個以上なら不合格で終了!

    (C) (A)(B)以外はすべて不合格

    検査合格条件を表にまとめます。

    1回目 2回目
    0個 検査不要
    1個 検査不要
    2個 0個
    1個
    2個

    まとめると、
    ●1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
    ●1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
    となります。

    ロット合格率L(p)を計算します。

    「1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
    1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
    となります。」
    を式で書けばOKです。

    L(p=0.01)= \(\sum_{r=0}^{1} {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)
    + \(\sum_{r=2}^{2}\){\( {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)

    × \(\sum_{s=0}^{2} {}_{50} C_s (0.01)^s (1-0.01)^{50-s}\)}
    =0.98514

    数式が難しいですが、１つずつ見ましょう。

    \(\sum_{r=0}^{1} {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)は,1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格の場合です。

    \(\sum_{r=2}^{2}\)\( {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)は、1回目の不良数が2個の場合で、
    \(\sum_{s=0}^{2} {}_{50} C_s (0.01)^s (1-0.01)^{50-s}\)は、2回目の不良数が0～2個の場合です。
    1回目と2回目と連続で検査するので確率の積となります。

    ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出

    上の例題にある数字を文字に変えます。

    例題：不良率pの試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？
    1回目試料数n1個、合格判定ac1個、不合格判定re1個
    2回目試料数n2個、合格判定ac2個、不合格判定re2個

    上の例題を解く数式は、

    L(p=0.01)= \(\sum_{r=0}^{1} {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)
    + \(\sum_{r=2}^{2}\){\( {}_{50} C_r (0.01)^r (1-0.01)^{50-r}\)

    × \(\sum_{s=0}^{2} {}_{50} C_s (0.01)^s (1-0.01)^{50-s}\)}

    数字を文字に変えます。

    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ac1} {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} {}_{n2} C_s p^s (1-p)^{n2-s}\)}

    この式の難しいところは、
    ①\(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\)と②\(\sum_{s=0}^{ac2-r}\)ですね。

    ①2回目の検査が必要な場合は、1回目で出る不良数がac1+1個以上、re1-1個ですね。
    ②すでに1回目でr個(ac1+1≦r≦re1-1)不良を出しているので、
    2回目で出してもいい不良数は ac2-r個になります。

    ③2回抜取方式のOC曲線

    2回抜取方式のOC曲線の式は、

    L(p)= \(\sum_{r=0}^{ac1} {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)
    + \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( {}_{n1} C_r p^r (1-p)^{n1-r}\)

    × \(\sum_{s=0}^{ac2-r} {}_{n2} C_s p^s (1-p)^{n2-s}\)}

    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
    を代入してOC曲線を描くと下図のようになります。

    2回抜取方式

    1回抜取方式のOC曲線と似た曲線になります。

    ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較

    (A) 50個を2回抜取検査する場合
    1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
    2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
    (B)100個を1回抜取検査する場合
    試料数n=100,合格判定c=4個
    (合格判定不良個数は同じとする)
    のOC曲線を比較しましょう。

    OC曲線は関連記事のプログラムで自動作成できます。

    OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう
    抜取検査はすべて、OC曲線をベースに考えます。OC曲線をすぐ描けるようプログラムを用意しました。二項分布、ポアソン分布両方のOC曲線を実際に描いて感触を確かめましょう。

    2回抜取方式

    1回抜取検査も2回抜取検査もほぼ同じOC曲線になりました。
    これが、複数回に分けて抜取検査するメリットにつながります。

    ⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある

    2回抜取検査のうち、ほとんどが１回の検査で終了する

    下図の黒線と赤線は、
    黒線：2回の抜取検査で合格するすべての場合を合算
    赤線：2回の抜取検査のうち、１回で合格する場合だけを合算
    で区別しています。

    2回抜取方式

    赤線と黒線の差が小さいことがわかります。

    つまり、2回抜取検査と言いながら、多くの場合はn=50個の１回抜取検査で終了するのです。
    1回抜取検査n=100個より少ない個数で抜取検査が終えることができます。

    複数の抜取検査は平均検査量が減らせる

    ●2回抜取検査のうち、合格するすべての場合の確率p1
    ●１回で終わる場合の確率をp2(p2 > p1)とします。

    検査量を計算

    2回抜取検査の検査量の期待値を計算します。
    ●2回抜取検査の検査量の期待値=
    1回で終わる場合の検査量の期待値＋2回で終わる場合の検査量の期待値
    です。

    つまり、検査量の期待値Ｉは
    I=p2/p1× n1 + (p1-p2)/p1 × (n1+n2)
    です。

    実際は、n1=50,n1+n2=100, p2/p1=0.8, (p1-p2)/p1=0.2くらいなので、
    I= 0.8×50+ 0.2×100 = 60
    となり、2回抜取検査の計100個より少ない60個くらいの検査で済むことがわかります。

    つまり、検査量が減らせる効果があります。
    でも、その逆に検査を複数回するのが面倒ではあります。

    不良率と検査量の関係

    2回抜取検査(n1=50,n2=50)と１回抜取検査(n=100)における検査量を比較しましょう。

    2回抜取方式

    2回抜取検査はある不良率pでピークを持ちますが、1回抜取検査より検査量が少ないことが分かります。

    多回に検査を分けると、1,2回目の検査で検査の合否がほとんど決まるから、検査量の期待値が少ないわけです。

    まとめ

    抜取検査を2回する場合の二項分布を使った、ロット合格率L(p)の計算、OC曲線の描き方、1回抜取検査と2回抜取検査の比較をして、2回抜取検査の方が検査量が減らせるメリットがあることを解説しました。

    • ①2回抜取方式のロット合格率の計算
    • ②2回抜取方式のロット合格率の公式導出
    • ③2回抜取方式のOC曲線
    • ④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較
    • ⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある

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