「計量値逐次抜取検査(JISZ9010)がよくわからない」、「標準偏差σが既知の場合の合格判定線の求め方がわからない」など困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
計量逐次抜取検査は
①標準偏差σが既知で、母平均値μが未知の場合
②標準偏差σが未知で、母平均値μが既知の場合
(関連記事：)
の2種類を考えます。
計量値逐次抜取検査(JISZ9010)の理論がわかる(標準偏差σが既知)
- ①逐次抜取検査は合格判定線で判断
- ②合格判定線の導出方法がわかる
- ③上限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
- ④下限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
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【0】計量抜取検査がわかる関連記事
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【1】計数逐次抜取検査がわかる関連記事
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①逐次抜取検査は合格判定線で判断
● X ≤ sn-h0 :合格(検査終了)
● sn-h0 < X < sn+h1 :検査続行
上の3つの不等式を作ることが本記事の目標となります。
②合格判定線の導出方法がわかる
確率を定義
計量値は、ある正規分布に従っていると仮定します。
確率変数xは、母平均μは未知、母標準偏差σは既知とする正規分布に従っており、その確率密度関数を定義します。
\(f(x)\)=\(\frac{1}{σ\sqrt{2π}} exp(-\frac{1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2)\)
次に、ロットから大きさn個を抜き取ったときの確率密度関数を定義します。
●母平均値が\(μ_0\)の場合
\(p_{0n}\)=\(f(x_1)f(x_2)…f(x_n)\)
=\((\frac{1}{σ\sqrt{2π}})^n exp(-\frac{1}{2σ^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_0)^2)\)
●母平均値が\(μ_1\)の場合
\(p_{1n}\)=\(f(x_1)f(x_2)…f(x_n)\)
=\((\frac{1}{σ\sqrt{2π}})^n exp(-\frac{1}{2σ^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_1)^2)\)
確率密度関数の積を定義して、計算するところが、無理矢理な感じがしますが、合格判定線を導出に必要なためです。
合格判定式
OC曲線を見ながら、合否判定条件式を作ります。
合格判定条件式
● \(\frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) ≤ \(\frac{β}{1-α}\)：合格
● \(\frac{β}{1-α}\) < \(\frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) < \(\frac{1-β}{α}\) ：検査続行
ここで、
\(\frac{p_{1n}}{p_{0n}}\)=\(\frac{(\frac{1}{σ\sqrt{2π}})^n exp(-\frac{1}{2σ^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_1)^2)}{ (\frac{1}{σ\sqrt{2π}})^n exp(-\frac{1}{2σ^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_0)^2)}\)
変形すると、
\(\frac{p_{1n}}{p_{0n}}\)=\(exp(-\frac{1}{2σ^2}(\sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_1)^2- \sum_{i=1}^{n}(x_i-μ_0)^2))\)
log(底はe(自然対数))を取ります。
\(log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\)=\(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)
先の、判定条件式もlogをとって整理します。
合格判定条件式
● \(log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) ≤ \(log \frac{β}{1-α}\)：合格
● \(log \frac{β}{1-α}\) < \( log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) < \( log\frac{1-β}{α}\) ：検査続行
③上限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
合格判定条件式
● \(log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) ≤ \(log \frac{β}{1-α}\)：合格
● \(log \frac{β}{1-α}\) < \( log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\) < \( log\frac{1-β}{α}\) ：検査続行
\(log \frac{p_{1n}}{p_{0n}}\)=\(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)
を代入します。
● \(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)≥ \( log\frac{1-β}{α}\)：不合格
● \(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)≤ \(log \frac{β}{1-α}\)：合格
● \(log \frac{β}{1-α}\) < \(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)< \( log\frac{1-β}{α}\) ：検査続行
上限規格値が与えられている場合とは
ここで、上限規格値が与えられている場合とは、
\(μ_1-μ_0 >0\)
ということです。
変数を別の変数に置き換えます。
● a=\(log \frac{1-β}{α}\)
● b=\(log \frac{1-α}{β}\)、-b=\(log \frac{β}{1-α}\)
● X=\(\sum_{i=1}^{n} x_i\)
● \(h_0\)=\(\frac{bσ^2}{μ_1-μ_0}\)
● \(h_1\)=\(\frac{aσ^2}{μ_1-μ_0}\)
● s=\(\frac{μ_1+μ_0}{2}\)
合格判定式に代入します。
● X- sn ≥ \(h_1\)：不合格
● X – sn ≤ -\(h_0\)：合格
● \(\)-h_0 > X-sn > h1：検査続行
とすっきりした式でまとめることができます。
まとめ
●●入力変数一覧
| a | =\(log \frac{1-β}{α}\) | X | =\(\sum_{i=1}^{n} x_i \) |
| b | =\(log \frac{1-α}{β}\) | h0 | =\(\frac{bσ^2}{μ_1-μ_0}\) |
| -b | =\(log \frac{β}{1-α}\) | h1 | =\(\frac{aσ^2}{μ_1-μ_0}\) |
| – | – | s | =\(\frac{μ_1+μ_0}{2}\) |
●●合格判定式
● X- sn ≥ \(h_1\)：不合格
● X – sn ≤ -\(h_0\)：合格
● \(\)-h_0 < X-sn < h1：検査続行
④下限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
合格判定条件式
★ \(\frac{μ_0-μ_1}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)≤ -\(log \frac{β}{1-α}\)：不合格
★ -\( log\frac{1-β}{α}\) < \(\frac{μ_1-μ_0}{σ^2}(\sum_{i=1}^{n} x_i – \frac{μ_1+μ_0}{2}n)\)< -\(log \frac{β}{1-α}\)：検査続行
上限が与えられている場合から正負符号を入れ換える必要があります。●と★で区別しています。
下限規格値が与えられている場合とは
ここで、下限規格値が与えられている場合とは、
\(μ_1-μ_0 <0\)
ということです。
下限規格値と上限規格値では、正負の符号の違いによって、
合格判定式の数式が少し異なります。
変数を別の変数に置き換えます。
● a=\(log \frac{1-β}{α}\)
● b=\(log \frac{1-α}{β}\)、-b=\(log \frac{β}{1-α}\)
● X=\(\sum_{i=1}^{n} x_i\)
★ \(h_0\)=\(\frac{bσ^2}{μ_0-μ_1}\)
★ \(h_1\)=\(\frac{aσ^2}{μ_0-μ_1}\)
● s=\(\frac{μ_1+μ_0}{2}\)
●は上限も下限も同じ式ですが、★の\(h_0\),\(h_1\)の分母が上限規格値と正負が逆です。
合格判定式に代入します。
★ X- sn ≤ -\(h_1\)：合格
★ X – sn ≥ \(h_0\)：不合格
★ \(\)-h_1 > X-sn > \(h_0\)：検査続行
とすっきりした式でまとめることができます。
まとめ
入力変数一覧
| a | =\(log \frac{1-β}{α}\) | X | =\(\sum_{i=1}^{n} x_i \) |
| b | =\(log \frac{1-α}{β}\) | h0 | =\(\frac{bσ^2}{μ_0-μ_1}\) |
| -b | =\(log \frac{β}{1-α}\) | h1 | =\(\frac{aσ^2}{μ_0-μ_1}\) |
| – | – | s | =\(\frac{μ_1+μ_0}{2}\) |
合格判定式
★ X- sn ≤ -\(h_1\)：合格
★ X – sn ≥ \(h_0\)：不合格
★ \(\)-h_1 < X-sn < \(h_0\)：検査続行
合格判定式を使った実際の例は関連記事で解説します。
まとめ
計量値逐次抜取検査(JISZ9010)の理論がわかる(標準偏差σが既知)について、合格判定線の導出方法について解説しました。
- ①逐次抜取検査は合格判定線で判断
- ②合格判定線の導出方法がわかる
- ③上限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
- ④下限規格値が与えられている場合の合格判定線の導出方法がわかる
