カテゴリー: 基本統計量

「χ2乗分布とt分布とF分布の式は複雑でわからない」、「χ2乗分布とt分布とF分布の関係がわからない」、「解き方は暗記したけど本質がわからない」など、分布の特性や利用目的を理解しないまま、検定や推定、分散分析していませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

分布関数を理解するポイント

• ➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ
• 分布関数は導出イメージが理解できる
• ③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

さっそく見ていきましょう。

➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ

教科書あるある

教科書は、母平均の検定に使う正規分布とt分布を先に、分散の検定に使うχ2乗分布とF分布を後に紹介します。
確かに、この順番でもOKですが、
本記事はt分布よりχ2乗分布を先に解説します。

本記事

分布関数は導出イメージが理解できる

それぞれの分布関数の使い方は個別の記事で紹介しますが、全体像を本記事で理解してください。

・正規分布
・χ2乗分布
・t分布
・F分布

χ2乗分布は分散の検定のために作られた関数

χ2乗分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりませんよね。簡単にわかるよう解説します。

統計量の最重要な確認事項

平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
と、平均を扱う分布は2種類あります。

次にばらつき(分散)用の分布も必要になりますね。

χ2乗分布は分散の検定のために作られた関数で
正規分布から出発します。

平均\(\bar{x}\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う変数\(x_i\)の分散を考えます。
まず、変数\(x_i\)を標準化します。標準化についてはここを見てください。
\( \frac{x_i-\bar{x}}{σ}\)
そして、この2乗和が平方和であり、分散を考えるχ2乗分布関数の基本形になります。

χ2乗分布関数

(χ2乗分布関数)
\( f(x)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\)\(Γ(\frac{k}{2}) \)\(x^{\frac{k}{2}-1}\)\(e^{\frac{x}{2}} \) (A)
(正規分布関数)
\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(-\frac{x^2}{2}) \)(B)
と超難解な式です。ですが、
(A)=Σ(B)^2で計算できる
の理解で十分です。あとの難解な計算や式は、数学者にお願いしましょう。

実務で統計学を早く理解するポイント

χ2乗分布関数

χ2乗分布関数は、ざっくり書くと
\( Z=\sum_{i} (\frac{x_i-\bar{x}}{σ})^2\)
ですね。よく見ると、
\(\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2\)
は平方和Sですよね。
つまり、
$$ χ^2 = \frac{S}{σ^2} $$
の関係があります。よく教科書にありますが、本記事を読めば、暗記する必要はありません。

χ2乗分布のさらなる特徴については、χ2乗分布を読んでください。

t分布は正規分布の一部を取り出した分布

t分布の定義を見ましょう。

正しいですが、全然意味がわからないですね。簡単にわかるよう解説します。

本記事で先に、χ2乗分布関数を説明した理由は、
t分布の導出にχ2乗分布関数が必要だからです。

平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
ですね。

正規分布は、理想・全体、無限のイメージですが、
ｔ分布は、現実・一部・有限のイメージがあります。

ｔ分布のイメージ

正規分布はσを、ｔ分布はσではなく自由度nを使う理由

t分布 X = 正規分布 Z / √χ2乗分布Y
をよく見ると、
正規分布 Z のσ/√χ2乗分布(σ^2/n)
→　σ/√(σ^2/n)=nとざっくり計算できますね。
σ→ｎに変わっていますよね。これが、
正規分布はσを、ｔ分布はσではなく自由度nを使う
わかりやすい理由です。

数学的な証明ではないため、厳密さは欠けますが、
慣れないうちはこの程度の説明で十分です。
私がわかりやすい説明を考え抜いた結果、この説明にたどり着きました。

t分布のさらなる特徴については、t分布を読んでください。

F分布は分散比の検定のために作られた関数

F分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりにくいですね。簡単にわかるよう解説します。

F分布の目的

分散比だから、χ2乗分布関数の比になるわけですから、
F分布関数＝　χ2乗分布関数1/ χ2乗分布関数2
となりますよね。
χ2乗分布関数1　と　χ2乗分布関数2は自由度が異なるため、
F分布は両方の自由度が必要となるのも理解できますね。

F分布はこれだけわかれば十分です。

F分布のさらなる特徴については、F分布を読んでください。

③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

4つの分布関数の関係をざっくり書くと下の図のようになります。まずはこれだけわかれば十分実務に活かせます。

それぞれの関係と、利用目的が理解しやすいですね。活用できる良いイメージ図です。

なお、厳密に書くと下図になります。でも、わかりにくいですね。

まとめ

正規分布、χ2乗分布、t分布、F分布の順で、実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀χ2乗分布→t分布→F分布の順で学ぶ
• 分布関数は導出イメージが理解できる
• ③正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布の関係

基本統計量

「ポアソン分布の式がわからない」、 「ポアソン分布を使い方がイメージできない」などとポアソン分布は、二項分布や正規分布よりわかりくいですよね。

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

ポアソン分布を理解するポイント

• ➀ポアソン分布の式の覚え方
• ②ポアソン分布のわかりやすい導出
• ③ポアソン分布の活用例

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

★統計学で最初に悩む関門！　平方和が簡単にマスターできるページ
【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】

確率分布関数の作り方や確率・期待値を積分で計算する理由が簡単にわかるページ
【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法

★品質管理・統計に頻出な分布関数をわかりやすく解説したページ
【簡単】F分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】t分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご覧下さい

➀ポアソン分布の式の覚え方

ポアソン分布の関数

$$ f(x)= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!} $$

見た瞬間、「何じゃこりゃ？」ですね。
\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)とややこしい項ばかりですね。
式見てもグラフのイメージがつきません。
どうやってこの式ができたのか？イメージつきません
あなただけではありません。みんなイメージできません。

ポアソン分布の関数の覚え方

この式は何回使っても忘れます。忘れにくい方法があります

• (A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める
• (B)変数が変わったときに要注意
• (C)覚え方

(A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める

\( e^{-λ}\)→\(λ^x \)→\( x!\)としましょう。入れ替わると私も式がわからなくなります。

(B)変数が変わったときに要注意

本記事では、λ、xとしています。教科書によってはλ→m,x→kに変えていることがあります。要注意です。

(C)覚え方

下図のように、λ,xの変数を一箇所に集めれば、間違いなく公式暗記できます。

②ポアソン分布のわかりやすい導出

ポアソン分布の導出は、基本わかりにくいです。
2つ導出方法があります。概要を解説します。詳細はここを参照ください。

(A)はいろいろな教科書やwebサイトでも紹介されています。
メリットは、計算過程がわかりやすいことです。
デメリットは、二項分布の極限がポアソン分布となり、分布の極限って何？と疑問に残ることです。

●二項分布からポアソン分布を導出します。
二項分布
P(X=k)=\( {}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
ここで、p=\(\frac{λ}{n}\)を代入します。
=\( {}_nC_k(\frac{λ}{n})^k(1-\frac{λ}{n})^{n-k}\)
=\( \frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} (\frac{λ}{n})^k (1-\frac{λ}{n})^n (1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
=\(\frac{λ^k}{k!}\)\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{n･n…n}\)\((1-\frac{λ}{n})^{\frac{n}{λ}}\)\((1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
n→∞に持っていくと
→ \(\frac{λ^k}{k!}･1･e^{-λ}\)=\(e^{-λ}\frac{λ^k}{k!}\)
となり、ポアソン分布型に変形できました。
でも、難しいですね。よく二項分布の極限値がポアソン分布だと気がつきますよね。

一方、(B)はレアです。
メリットは、モデルから方程式を立てて導出するので納得感がある。
デメリットは、計算過程が難しいことです。

本記事では(B)のレア版を解説します。詳細解説を見る前に概要を理解しましょう。何をやっているのかを先に理解してください。

ポアソン分布の導出

時刻0から時刻tまでに事象がn回起こる確率をPn(t)とします。
時刻ｔから微小時間Δに事象が1回起こる確率λΔとおきます。
時刻0から時刻t+Δまでに事象がn回起こる確率をPn(t+Δ)は、➀②の和になります。
➀時刻tまで事象がn-1回で、時刻t以降1回発生する確率 Pn-1(t)(λΔ)
②時刻tまで事象がn回で、時刻t以降0回発生する確率Pn(t)(1-λΔ)
Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
と微分方程式が立てられます

式の各項を説明しましたが、一読では「何を言っているのかわからない」と思います。数回読むと慣れてきます。この方程式がポアソン分布のモデル式です。

Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
を解けばPn(t)の関数形が得られます。

変形すると
(Pn(t+Δ)-Pn(t))/Δ=λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
Δ→0にすると微分になりますから
\( \frac{d}{dt} Pn(t)\)= λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
これを満たすPn(t)は
Pn(t)= \(e^{-λt}\frac{{λt}^n}{n!}\)
となり、ポアソン分布の関数になります。

(A)の二項分布の極限よりは、(B)のモデル式から導出する方が納得感はあります。ポアソン分布は難しいため、わかりやすく解説しても、この難しさです。

③ポアソン分布の活用例

具体例を見てみましょう。なお、期待値、分散の導出も重要ですが、詳細解説で説明するとして、ここでは、ポアソン分布を具体的な値を使って慣れる練習をしましょう。

二項分布とポアソン分布の比較

二項分布とポアソン分布は別物ですが、
割合の場合は二項分布、
個数の場合はポアソン分布、
を扱うだけで、上の問いはどちらの分布でも計算ができます。

●二項分布の場合
\( P_x={}_nC_x p^r (1-p)^{n-x}\)
=\(_{10}C_x (\frac{1}{20})^x (1-\frac{1}{20})^{10-x}\)

●ポアソン分布の場合
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-\frac{1}{20}}\)\(\frac{(\frac{1}{20})^x}{x!}\)

エクセルで計算した結果と、両者の結果を比較します。xが小さいとほぼ値は等しいですが、徐々に値がずれていくのがわかります。

ポアソン分布の正規分布近似

不良個数と来たら、ポアソン分布の公式を書きましょう。
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
λが必要になります。
λは不良数×抜取数÷全数とします。
λ：➀1②2③4④5⑤10となります。グラフは次のようになります。

ポアソン分布は、λが高くなるにつれて正規分布に近似できます。
二項分布もポアソン分布も最初から正規分布で計算してもそれほど結果は変わらないということになりますが、試験では各々の分布に関する問題が出ますので勉強しましょう。実務は正規分布で良いでしょうね。

まとめ

二項分布は確率分布の一種と見ずに、高校数学の確率の延長にあるものです。二項分布は、正規分布に近づく不思議な性質があります。また、抜取検査のOC曲線のベースにもなります。高校数学で書ける易しい分布であると理解できます。

• ➀ポアソン分布の式の覚え方
• ②ポアソン分布のわかりやすい導出
• ③ポアソン分布の活用例

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

★統計学で最初に悩む関門！　平方和が簡単にマスターできるページ
【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】

確率分布関数の作り方や確率・期待値を積分で計算する理由が簡単にわかるページ
【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法

★品質管理・統計に頻出な分布関数をわかりやすく解説したページ
【簡単】F分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】t分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】

基本統計量

「正規分布、二項分布、ポアソン分布の公式を覚えるのが大変」、「二項分布って何？」、「正規分布がなぜ出てくるの？」、「OC曲線にも二項分布が出てくるけど何で？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

二項分布を理解するポイント

• ➀高校数学の確率を復習
• ②二項分布の期待値・分散は暗記
• ③二項分布の正規分布化を実例で体験
• ④OC曲線に二項分布が必須

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、つまずきやすいQC検定®2級挑戦者に難解な確率密度関数をわかりやすく解説しています。

理解を深めるための関連記事を紹介

基本統計量をマスターするために必要な関連記事を紹介します。ご確認ください。
【1】分散、平方和、確率変数に慣れる
●【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法
●【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
●確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

【2】正規分布、二項分布、ポアソン分布に慣れる
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
●【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】
●【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布
●【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる

さっそく見ていきましょう。

➀高校数学の確率を復習

統計学や品質管理を勉強しているあなたは、高校数学をすでに勉強しているはずです。確率の良問を見ながら、二項分布に入っていきましょう。

(1)は組み合わせの確率問題ですね。
600回のうち、n回1(確率1/6)が出て、600-n回はそれ以外(確率5/6)が出ます。
どのn回に1が出るかは組み合わせで求めましたよね。式でまとめます。
Pr=\( _nC_r p^r (1-p)^{n-r} \)
を使いますね。わからない場合は高校数学確率の章に戻って復習しましょう。

n=600,p=\(\frac{1}{6}\)を代入すればよいです。
よって、
Pr=\( {}_{600}C_r (\frac{1}{6})^r (\frac{5}{6})^{600-r} \)

(2)は解いてみてください。詳細は解説集に載せています。ご覧下さい。答えはr=100のときです。
確率\(\frac{1}{6}\)で600回振るから100回になるのも納得できます。

(1)の式を見ると、二項分布の式そのものですね。
高校数学を学んでいれば二項分布の式は書けるはずです。大学の難しい数学ではありませんね。

②二項分布の期待値・分散は暗記

高校数学で期待値と分散は証明できるのですが、意外と難しいです。
しかし、計数値の検定・推定（母不適合品率がある場合の検定・推定）や
計数値管理図(pn管理図、p管理図)に二項分布が使われます。
検定や管理図を使いこなせるレベル（資格でいうとQC検定®2級合格レベル）までは
期待値と分散は公式暗記でよいです。

なお、期待値E[X]=np、分散V[X]=np(1-p)の証明はここに記載しています。

➀の例題で、サイコロ１個をn=600回、確率p=\(\frac{1}{6}\)ですか、np=100が期待値となります。

③二項分布の正規分布化を実例で体験

実際にやってみましょう。

サイコロが1個2個の場合

●サイコロが1個の場合

回数を6で割ると確率Pになりますね。

●サイコロが2個の場合

回数を36で割ると確率Pになりますね。

サイコロ1個,2個の場合についてグラフを描くと、次のとおりです。二項分布とはいえ、直線で角々していますね。

サイコロが3個以上の場合

同様にサイコロの数を増やしていきます。その結果、滑らかな曲線になっていき、正規分布に近い形になっていますね。サイコロの数の目の出方は一見、正規分布とは関係がありませんが、データが増えるにつれて正規分布近似できるようになります。これが科学・社会データも同じことが言えます。不思議ですね。

ここで大事なのは、二項分布に従うデータも数が増えると正規分布に近づくことを実例で理解することです。教科書暗記せず、体感することが大切です。なお、サイコロの場合、たったn=3で正規分布に従う形になります。
最初から二項分布を使わずに正規分布で考えても良いかもしれませんね。

二項分布の理解を深める演習問題を解きましょう

理解度のアップと、QC検定®２級の合格と一石二鳥です。
●基本統計量の演習問題【QC検定®2級対策】
●【必読】基本統計量をマスターする【QC検定®2級対策】

④OC曲線に二項分布が必須

抜取検査で必須なOC曲線(Operating Characteristic curve)に二項分布の式が必須です。
OC曲線は丸暗記する人が多いので、式で理解しましょう。解説します。

OC曲線の目的

OC曲線は合格率L(p)と不良率pの関係を見るわけですから、縦軸はL(p)、横軸はpですね。
次にL(p)の式を作りましょう。

式で書くと
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r(1-p)^{n-r} \)
と書けます。

OC曲線は、不良率から消費者危険、生産者危険、(n,c)によるグラフの関係性を見ます。これは抜取検査の記事で詳細に解説します。
大事なのは、OC曲線は二項分布の式で作ることです。グラフの性質を丸暗記せず、式で理解しましょう。式で理解した方が、応用が効くからです。

なお、いろいろな(n,c)の場合のOC曲線を見ましょう。ここまでグラフ化した図は本記事以外にありません。エクセルとVBAを使ってグラフにしました。貴重なデータですよ。

まとめ

二項分布は確率分布の一種と見ずに、高校数学の確率の延長にあるものです。二項分布は、正規分布に近づく不思議な性質があります。また、抜取検査のOC曲線のベースにもなります。高校数学で書ける易しい分布であると理解できます。

• ➀高校数学の確率を復習
• ②二項分布の期待値・分散は暗記
• ③二項分布の正規分布化を実例で体験
• ④OC曲線に二項分布が必須

理解を深めるための関連記事を紹介

基本統計量をマスターするために必要な関連記事を紹介します。ご確認ください。
【1】分散、平方和、確率変数に慣れる
●【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法
●【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
●確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

【2】正規分布、二項分布、ポアソン分布に慣れる
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
●【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】
●【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布
●【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる

基本統計量

コインやサイコロの期待値は簡単ですよね。でも、確率変数や期待値の加法性を使って分散・標準偏差を計算するあたりから急に難しくなり、理解しないまま公式暗記して試験を乗り切ろうとしていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

期待値の公式アレルギーが無くなるポイント

• ➀コイン・サイコロの期待値が解ければOK
• ②期待値の計算式を一般化する過程に慣れる
• ③期待値E[X]と分散V[X]の関係式がわかればOK

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もあります。ご確認ください。

確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

●You tube動画ご覧ください。

➀コイン・サイコロの期待値が解ければOK

いきなり、

• E[X]=\(\int x_ip_i dx\)
• E[aX+b]=aE[X]+b
• V[X]=E[\(X^2\)]-E\([X]^2\)

に入らずに、中学・高校数学の出た期待値問題から始めましょう。上の式から入ると、数学アレルギー反応が出ますよね！。算数の簡単な問題で使った式を一般化すると徐々に上の難解な式がすぐわかります。

期待値の計算方法は、確率×出る目の合計ですよね。
(1)期待値E=\(\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\)=\(\frac{21}{6}\)=3.5
(2)出る目と確率を整理しましょう。

期待値E=\(\frac{2×1+3×2+・・・+12×1}{12}\)
=7
また、１個の目の期待値の倍としてもよいですね。

②期待値の計算式を一般化する過程に慣れる

期待値の計算方法を一般化する

統計の難解な数式に早く慣れる方法を提案します。数学の得意・不得意関係なく、数式の意味を読み取るには結構時間がかかります。よく使う方法が２つあります。

難しい数式の読み方

先の、サイコロ１との出る目の期待値の計算は中高生でもできます。算出式をよく見ましょう。
E=1×\(\frac{1}{6}\)+2×\(\frac{1}{6}\)+・・・+6×\(\frac{1}{6}\)
=\(\frac{21}{6}\)=3.5
ですね。数字1から6は｢出る目｣の値で、\(\frac{1}{6}\)は確率ですね。

出る目を\(x_i\)、出る目\(x_i\)の確率を\(p_i\)、和をΣで書き直します。

ここで確率\(p_i\)を確率密度関数f(x)に変えて定義することもあります。その場合、2つ定義を変えます。

期待値Eは
E=\(\int xf(x) dx\)
となります。∫も関数も出てきましたが、基本は
E=\(\sum_{i=1}^{n} x_i p_i\)
です。見た目は違いますが、サイコロの出る目の期待値を求める式と同じです。

期待値の加法性を理解する

期待値の加法性

加法性の証明を教科書やwebサイトでは数式を使って導出しますが、｢何をやっているのか？｣「具体的なイメージがつかない」ですよね。

具体的な例で理解しましょう。期待値の基本はサイコロの出た目の計算ですね。

➀は(\(1×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6×\frac{1}{6}\))=\(\frac{21}{6}\)=3.5
を3倍しますから、3.5×3=10.5です。

②は(\(1×\frac{1}{4}\)+・・・+\(4×\frac{1}{4}\))=\(\frac{10}{4}\)=2.5
を2倍しますから、2.5×2=5です。

さらに5を足すので、期待値は10.5+5+5=21.5です

一方、期待値の加法性を使うと、
E=E[aX+bY+c]
に、a=3,b=2,c=5,E[X]=3.5,E[Y]=2.5を代入します。
E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c=3×3.5+2×2.5+5=21.5
と結果が一致します。

期待値の加法性の公式を使ってもよいし、サイコロの出る目の式のまま解いてもよいのです。
公式の方が一般性があるので説得力があります。しかし、慣れないうちはサイコロの出る目の計算で期待値を理解しましょう。慣れたら一般化の式を理解していきましょう。

期待値の加法性がわかるポイント

期待値E[X]のXにいろいろ値を入れて慣れる

期待値の加法性に少し慣れたら、次の計算をしてみましょう。

➀は加法性で出たE[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+cを使えばよいです。でも、E[\(X^2\)]はどうしましょうか？

基本に戻りましょう。サイコロの出る目の期待値の計算でOKです。サイコロの例で計算しましょう。

➀は(\(1×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6×\frac{1}{6}\))=\(\frac{21}{6}\)=3.5ですね。
②は機械的にそのまま2乗を式に入れます。

E[\(X^2\)]=(\(1^2×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6^2)×\frac{1}{6}\)
=\(\frac{(1+4+9+16+25+36)}{6}\)
=\(\frac{91}{6}\)ですね。

\(x^2\)の期待値とはどういう意味か？が気になりますが、あまり気にしないで代入してください。

いい加減な意見ですが、私は長年E[\(X^2\)]の意味を考えましたが機械的に代入するものでよいと結論に至ったからです。

ですから、E[\(X^3\)]を求めようとすると、
E[\(X^3\)]=(\(1^3×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6^3×\frac{1}{6}\))となります。

出る目Xを変数にして、いろいろな変数を代入することに慣れてください。ここが分散の導出に必要です。期待値Eはサイコロの出る目の計算であることは変わりませんが、E[X]に変数Xをいろいろ代入するように慣れていきましょう。

③期待値E[X]と分散V[X]の関係式がわかればOK

分散の定義を理解する

分散の定義

上の式が理解するための3つのポイントを解説します。

分散の定義で理解したポイント

(A)E\((X-E[X])^2\)の意味

分散の定義は、各データと平均との差を2乗した和を個数で割る値ですね。式で書くと、
\(V=\frac{(x_i-μ)^2}{n}\)
になります。

ここで、
(あ)\(x_i\)をX
(い)μをE[X]に変え、
(う)全体の\(\frac{1}{n}\)は平均Eとすると、
\(V=\frac{(x_i-μ)^2}{n}\)
=\(\frac{(X-E[X])^2}{n}\)
=E[\((X-E[X])^2\)]
に変えることができます。

(あ)(い)は文字を変えるだけで理解しやすいです。(う)は理解しづらいので解説します。

個数nで割るは、全体を平均値とすると同じですね。なので、全体に期待値E[]をつけることになります。

(B)\(E[X^2]-E[X]^2\)になる理由

次で解説します。

分散の式を展開してE[X]に慣れる

E[X]に慣れるために、教科書やwebサイトのように途中経過を省かずに計算します。

V[X]
=E[\((X-E[X])^2\)]
=E[\(X^2-2XE[X]+E[X]^2\)]
ここは、\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)です。
=E[\(X^2\)]-E[2XE[X]]+E[\(E[X]^2\)]

各項をばらばらにしました。
さて、ここでE[X]は平均値μで、変数ではなく定数ですよね。
=E[\(X^2\)]-E[2Xμ]+E[\(μ^2\)]
=E[\(X^2\)]-2μE[X]+\(μ^2\)
平均値μは定数なので、E[]の外に出せます。

さらに、定数μ=E[X]に戻します。ここの変形が強引ですけど。
=E[\(X^2\)]-2 E[X]E[X]+\( E[X]^2\)
= E[\(X^2\)]-\( E[X]^2\)
よって、
V[X]= \(E[X^2]-E[X]^2\)

分散の導出過程をよく見て、期待値E[X]、E[\(X^2\)]アレルギーを無くしていきましょう。ここがクリアーすれば、回帰分析、分散分析、検定などの理解が早くなります。

まとめ

期待値は、確率×出る目の合計です。これを一般化すると期待値の加法性や分散の公式まで導出ができました。他に期待値を使った複雑な式を見たら、アレルギー反応する前にこの記事に戻りましょう。期待値は確率×出る目の合計から始まります。

• ➀コイン・サイコロの期待値が解ければOK
• ②期待値の計算式を一般化する過程に慣れる
• ③期待値E[X]と分散V[X]の関係式がわかればOK

基本統計量

｢正規分布の標準化する理由がわからない｣、｢平均μ、分散\(σ^2\)の一般的な正規分布の確率の計算ができない｣、「試験で解ける気がしない」など困っていませんか？。

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

正規分布の応用問題を解けるためのポイント

• ➀正規分布の標準化をする理由がわかる
• ②正規分布の解法は１つで十分
• ③正規分布の応用問題が解ける

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご確認ください。

➀正規分布の標準化をする理由がわかる

正規分布の標準化とは

正規分布の標準化とは、平均0、分散\(1^2\)に直すことです。数式では、平均μ(≠0)、分散\(σ^2≠1^2\)な正規分布を次の式で標準化します。

$$ Z=\frac{\bar{x}-μ}{σ} $$

　標準化した場合のグラフの変化イメージを見ましょう。平均10,分散\(5^2\) (以下N(10,\(5^2\))と書きます)の正規分布を標準化した場合の図です。正規分布は平均、分散によって尖り具合が違いのがわかります。

正規分布の標準化は正規分布表が1つで済むから

正規分布の標準化する理由は、正規分布表が1つで済むからです。わかっているなら簡単ですが、そうでない場合は、理由をわからずに標準化の式を使っていることになり、注意が必要です。

世の中には、いろいろな平均・分散から成る正規分布がたくさんあります。
【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかるにあるように、正規分布は積分が困難な関数なので、正規分布表を作っていましたね。

あらゆる平均、分散に対して正規分布表を作ると大変になります。だから、平均0、分散\(1^2\)に直します。そうすれば、平均0、分散\(1^2\)の正規分布表１枚で済みますよね。

②正規分布の解法は１つで十分

標準化する理由を理解した次は、いろいろな応用問題に振り回されずに済む必勝方法を解説します。

数学が得意で正規分布に慣れた私でも、出題された瞬間、手が止まります。でも安心！必勝方法に持ち込めば解けます！ その方法は次の3つです。簡単な問いでも難しい問いでも必ず3つの方法で解いていきます。

• (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
• (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
• (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる

次に、資格試験に頻出な応用問題を例に必勝解法で攻略します

③正規分布の応用問題が解ける

3題挙げます。

これならできそう

ちょっと応用

かなり応用、手ごわい

重要なのは、どんな問いが出ても次の3つの方法で攻略すれば解けます!

• (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
• (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
• (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる

• (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く

正規分布のなめらかなグラフを描きます。

• (B)求められる確率の区間を斜線で塗る

正規分布の①P(X＜15)、②P(X≦3)、③P(12≦X≦14)、④P(5≦X≦11)区間を斜線で塗りましょう。

なめらかなグラフを描きます。

• (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる

Z=\(\frac{μ-\bar{x}}{σ}\)=\(\frac{μ-10}{5}\)を代入します。結果は上図のKpになります。
ここまで、機械的に絵を描けば、どの面積を出せば良いかがはっきりしますね。面積は正規分布表から値を求めます。

➀はKp=1以上の面積ですから正規分布表Kp=1のpが答えです。よって、p=0.1587
②は左右対称性で考えれば、Kp=1.4以上の面積ですから正規分布表Kp=1.4のpが答えです。よって、p=0.0808
③はKp=0.4以上の領域から、0.8以上の領域を引けばよいですね。よってp=0.3446-0.2119=0.1327
④はKp=-1から0までの領域と、0から0.2までの領域に分けます。
Kp=-1から0までの領域は、左半分確率0.5からKp=-1以下の領域を引けばよいですね。
Kp=0から0.2までの領域は右半分確率0.5からKp=0.2以上の領域を引けばよいですね。
よって答えは　(0.5-0.1587)+(0.5-0.4207)=0.4206

正規分布表はこの4パターンが図から計算できれば完璧です！

• (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く

正規分布のなめらかなグラフを描きます。

• (B)求められる確率の区間を斜線で塗る

正規分布の①P(X>180)、②P(160≦X≦175)区間を斜線で塗りましょう。

なめらかなグラフを描きます。

• (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる

Z=\(\frac{μ-\bar{x}}{σ}\)=\(\frac{μ-170}{6}\)を代入します。結果は上図のKpになります。
ここまで、機械的に絵を描けば、どの面積を出せば良いかがはっきりしますね。面積は正規分布表から値を求めます。

➀はKp=1.66以上の面積ですから正規分布表Kp=1.66のpが答えです。よって、p=4.85%
②は160cm(Kp=-1.66)から170cmまでの確率と170cmから175cm(Kp=0.83)までの確率を求めたらよいですね。
Kp=-1.66から0までの領域は、左半分確率0.5からKp=-1.66以下の領域を引けばよいですね。
Kp=0から0.83までの領域は右半分確率0.5からKp=0.83以上の領域を引けばよいですね。
よって答えは　(0.5-0.0485)+(0.5-0.2033)=0.7198
1000人あたりでは719人とわかりますね。

これも同様にして解けます。平均μと標準偏差σを求める必要があります。別途問題集で解説します。

まとめ

本記事では、一般的な正規分布を標準化する理由を解説し、一般の正規分布における任意の区間の確率を１つの方法で解ける解法を紹介しました。

• ➀正規分布の標準化をする理由がわかる
• ②正規分布の解法は１つで十分
• ③正規分布の応用問題が解ける

基本統計量

｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？難解な公式を暗記だけして済ませていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

正規分布を理解するポイント

• ➀正規分布がなぜよく使われるかがわかる
• ②正規分布はどんな確率密度関数かがわかる
• ③正規分布表の使い方が理解できる

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、つまずきやすいQC検定®2級挑戦者に難解な確率密度関数をわかりやすく解説しています。

正規分布の理解を深めるための関連記事を紹介します。眺めて、慣れて、手で計算して習得しましょう。
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
●【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる
●【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法
●【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
●【簡単】高校数学で十分できる二項分布【初心者向け】
●基本統計量の演習問題【QC検定®2級対策】
●確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご確認ください。

➀正規分布がなぜよく使われるかがわかる

世の中のデータや分布をグラフにまとめると、

• ・中心がピーク
• ・中心の前後で対称性をもつ
• ・なめらかな曲線になる

のような分布が綺麗とされています。

身長、体重、試験点数などを分布にとると、綺麗な分布になりますよね。
数学的に証明されていませんが、多くのデータが不思議と正規分布にのります。

経験的に、社会現象、生物などのデータをとってきた結果、綺麗な分布な正規分布に従うことがおおいため、正規分布が確率密度関数の中心的存在となっています。
だから、教科書で最初に習う関数なのです。

「正規」に意味はない

正規分布の「正規」とは何か？　理想的？　中心的？　など気になりますが、
「正規」に意味はありません。正規分布を英語にすると「normal distribution」です。
正規分布とは、標準的「normal」な確率密度関数です。

②正規分布はどんな確率密度関数かがわかる

確率密度関数は難しいイメージがありますが、y=ax+bやy=\(x^2\)などの簡単な関数でも良いです。

ただし、【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法で解説したように、区間[-∞,∞]で定積分∫f(x)dxが有限値を取り、なめらかである必要があります。

よって、指数関数などの難しい式になります。

正規分布関数の難しい式を見る前に、正規分布関数の特徴をおさえましょう。

正規分布関数の特徴

• ・特徴1：平均0、分散\(1^2\)な関数
• ・特徴2：y軸に対称でなめらか
• ・特徴3：不定積分がないため積分計算が困難

正規分布の平均と分散(特徴1)

特徴１については平均がμ、分散\(σ^2\)と一般型にできますが、本記事では簡単のため平均0、分散\(1^2\)で解説します。なお、平均（期待値E）と分散Vは次の式で計算できます。
期待値E,分散Vを積分から算出する過程も慣れてください。

$$ E= \int xf(x) dx $$
$$ V=\int x^2f(x) dx -E^2 $$

y軸に対称でなめらか(特徴2)

【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法で解説したように、y軸対称で平均0、分散\(1^2\)な関数は正規分布以外にもあります。

$$ f(x)=\frac{1}{4} e^{-|x|} $$

です。期待値E=0,分散V=1になります。しかし、\(e^{-x}\)型は尖っていて、なめらかではないため、あまり使いません。正規分布の関数より簡単な式なのに、残念！

なめらかな形状が必要な理由は、高い山をイメージすればわかります。例えば富士山の山頂は尖って要らずなめらかですよね。頂上ほど大気などによって削られてなめらかになります。多くのデータも中心付近でなめらかになります。

不定積分がないため積分計算が困難(特徴3)

正規分布の関数の最大に弱点が、不定積分が求められないことです。つまり、
\(\int e^{-x^2}\)=??
なのです。

大学数学を駆使すれば定積分
\( \int_{-∞}^∞ f(x)dx\)
は計算できます。

不定積分がなければ、求めたい区間の積分値が計算できません。

積分値が計算できないため正規分布表がある

正規分布表の使い方を理解する前に、区間の定積分が計算できないから表があることを理解しましょう。

なお、なめらかさを取らずに、正規分布関数を
\( f(x)=\frac{1}{4} e^{-|x|} \)
にすれば、区間の定積分が簡単に計算できます。この場合、正規分布表は不要ですね。

近似値で確率を求めるイメージ

近似値として積分値を求めるイメージを紹介します。

赤線部dSの面積を求めます。曲線とはいえ、微小な領域を小さくすれば、面積dSはほぼ台形として近似して良いです。
図では例として、x=0.14と0.15の区間の面積dSとして台形の面積を求めます。
実際はx=0.14と0.15と差0.01よりもっと細かくして微小面積dSを求めていきます。

数値計算やシミュレーションでは積分できないものは細かく細分化して台形の面積としてかき集めることをやります。

③正規分布表の使い方が理解できる

正規分布表の使い方

• 1.確率は面積(積分)から求める
• 2.正規分布表の距離Kpと面積pとの関係をイメージできる
• 3.自力で面積が算出できないから正規分布表があることを理解する

1.確率は面積(積分)から求める

確率は確率密度関数から面積(積分)で求めることがイメージできない方は、

【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法を読んでください。

確率密度関数は、変数xの区間[a,b]に発生する確率を算出したり、全体の分布がわかる便利な関数です。
また、確率密度関数の全区間の積分値は全確率１になります。

面積(積分)の計算が楽になるように、確率密度関数を簡単な式にしたいのですが、変な式ばかりなのが現実です。これが苦手意識につながります。苦手な人はイメージだけ持ってください。計算は世の中の数学が好きな人にお願いしましょう。

2.正規分布表の距離Kpと面積pとの関係をイメージできる

正規分布表はKpとpから値を読み取ります。ただの数表と思わず、面積で考えるイメージを持ってください。

正規分布表は下の図の青部の面積とそのxの位置を数値化したものです

まず縦にxに相当するKpがあります。正規分布は正負対称のグラフなので、正(x≧0)のみ表があれば十分です。例えば、Kp=1.96の時は確率P=0.05ですが、Kp=-1.96の時も同じ確率P=0.05です。

次に確率Pを見ます。確率PはKpが０の時は図3の左図のように1の半分の0.5と最大になりますが、Kpが大きくなるにつれて確率Pは小さくなります。表で見ると確率Pは上が大で下に行くにつれて確率Pは小になります。正規分布のグラフをイメージしましょう。

最後に表の横の流れを見ます。表の横は、Kpの0.01の桁とそれに対応する確率Pの値が書いており、横の流れは微調整程度と理解してください。本来はKpの値ですから縦に並べるべきですが、表が縦長になるため、0.01桁は横に流しているわけです。

よく使う正規分布表の値

・Kp=0.00の時は確率P=0.5ですね。
・片側検定でよく使うP=0.05のときのKp=1.645。
・両側検定でよく使うP=0.025(=0.05/2)のときのKp=1.96
表の見方を暗記するのではなく、関数のグラフをよく見て理解しましょう。

3.自力で面積が算出できないから正規分布表があることを理解する

正規分布表の見方がわかれば、おしまいではなく、慣れたころにも再度ここに戻ってきてください。
なぜ正規分布表があるのか？説明できますか？　それは積分計算が大変だからです。
正規分布表の使い方という手段だけでなく、正規分布表が必要な意味や目的も理解しましょう。

まとめ

本記事では、正規分布がよく活用される背景や、分布の特徴、正規分布表の存在意義や使い方を解説しました。計算だけでなくグラフ、面積、確率を図でイメージすることが重要です。

• ➀正規分布がなぜよく使われる関数なのかがわかる
• ②正規分布はどんな確率密度関数かがわかる
• ③正規分布表の使い方が理解できる

正規分布の理解を深めるための関連記事を紹介します。眺めて、慣れて、手で計算して習得しましょう。
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
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基本統計量

｢なぜ、標本分散と不偏分散の2種類あるのか？｣、｢なぜ、不偏分散はn-1で割るのか？｣がわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【簡単】不偏分散はn-1で割る理由がすぐわかる

• ➀母集団の推定のために標本から標本分散を算出
• ②標本分散の期待値は母分散と一致しない
• ③母分散と一致する不偏分散を導出

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、分散や検定・推定でつまずきやすい社内のQC検定®2級挑戦者にわかりやすく説明しています。

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さっそく見ていきましょう。

➀母集団の推定のために標本から標本分散を算出

母集団と標本データの違い

母集団と標本データの違いを説明します。母集団とはデータ全体であり、標本とは母集団から一部を取り出したものですね。

具体例も紹介します。

母集団は20代の日本人全員のデータを集めるのはムリですね。全員見つけるのは大変ですし、常に人数は増減します。だから、現実に評価可能な範囲の人数を②標本として調べますよね。

また、標本データに興味はなく、標本から母集団の様子を推定したいはずです。
なので、標本から母集団を推定するデータ解析が必要になります。それは平均と分散なわけです。

標本から取り出せる平均は「標本平均」、分散は「標本分散」と呼んでいます。

手元にある標本の平均と分散から母集団を推定したい

2つのニーズがあります。

値を定義します。

では、標本と母集団の平均と分散の関係を調べましょう。

②標本分散の期待値は母分散と一致しない

平均と分散についてそれぞれ標本と母集団との関係式を見てみましょう。

標本平均の期待値は母平均と一致する

E[\(\bar{x}\)]
=E[\(\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n\)]
=\(\frac{1}{n}\)(E[\(x_1\)]+ E[\(x_2\)]+…+ E[\(x_n\)])
=\(\frac{1}{n}\)(μ+μ+…+μ)
= \(\frac{1}{n}\)nμ
=μ

となり、標本平均の期待値は母平均と一致します。

なお、E[\(x_i\)]=μを使っています。
各サンプルの平均の推定値である母平均はすべてμになるはずと期待しているからです。