QCプラネッツ 品質のプロフェッショナルを育成するサイト

ミーンランク法がよくわかる

信頼性工学

「ミーンランク法がよくわからない」、と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

ミーンランク法がよくわかる
  • ①確率Fは順序統計量から求める
  • ➁ミーンランク法がわかる
  • ➂ミーンランク法を解く
  • ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの?
確率紙を学ぶには、順序統計量を理解しておく必要があります。

①確率Fは順序統計量から求める

何で、小さい順にデータを並べるの?

正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね!

何で、データを大きさ順に並び替える必要があるか説明できますか?

順序統計量の性質を活用するため

答えは

データを大きさ順に並び替える理由は、順序統計量の性質を活用するため

ところが、

教科書などは、確率分布がメインで、
「確率紙はデータを大きさ順に並び替えます(順序統計量という)」
くらいの一言で、
「\(F=\frac{i-0.3}{n+0.4}\)を使う」
といきなり式が出て来ますよね!
何じゃこりゃ!
順序統計量って何?
でも試験には出題されないから、無視してワイブル確率紙を勉強しよう!となりがち

ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。

順序統計量を復習しながら確率紙を理解しましょう。

順序統計量の復習

順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
順序統計量が説明できますか?本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

式を理解する重要なポイント

データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で? とツッコんでください! 順序統計量だな!と読みましょう!)

\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、

メジアンランク法

\(F_i\)が\(F\)~\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

式が難解なので、イメージを解説すると、

順序統計量

の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
順序統計量が説明できますか?本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
の式が、メジアンランク法やミーンランク法の出発点です!
順序統計量はムズイからパスしたい!
試験やテストなら無視でもいいけど、
実務で活用するなら順序統計量の学びは必須です。
QC(品質管理)の数理は結構、順序統計量が出て来ます。

➁ミーンランク法がわかる

ミーンランク法とは

「ミーン」とは、平均値なので、平均値について計算します。

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)の積分値が対象とする確率(P=0.5など)を満たすための、変数\(F,n,i\)を求めること
積分区間を、0から1とする方法が「ミーンランク法」で
なお、0からメジアンとする方法が「メジアンランク法」です。

【重要】ミーンランク法の注意点

メジアンランク法と比較すると2点注意が必要です。

メジアンランク法は関連記事で解説しています。まず確認しましょう。

メジアンランク法がよくわかる
メジアンランク法は説明できますか? 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

一様分布のメジアンランク法がよくわかる
メジアンランク法で求める確率は計算できますか?本記事では、一様分布と順序統計量を使って、自力でメジアンランク法の確率を計算します。メジアンランク法の理解を高めたい方は必読です。

●メジアンランク法
P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
●ミーンランク法
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)

違いがわかりますか?

メジアンランク法とミーンランク法の違い

  1. 積分区間が違う(0-1か、0-x(xは1以下)
  2. 積分式の\(F\)を1つ多いのがミーンランク法

積分区間が異なるから、メジアンランク法とミーンランク法の2つがあるので、理解しやすいのですが、

P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。
何で?

この理由を解説します。

ミーンランク法はメジアンランク法よりFが1つ多くして積分する理由

理由は2つあります。

  1. 平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるから
  2. メジアンランク法と同じ\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)として計算すると1になって、関数として使えないから

平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるからという理由が、一番強い理由と考えています。

➂ミーンランク法を解く

手計算できる!

メジアンランク法は手計算がしんどい
ミーンランク法は手計算できる!

メジアンランク法のようにプログラムは不要です。

ミーンランク法を解く!

●ミーンランク法
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)

ここで超重要なことを伝えます。

\(g(F)\)によらず計算結果は1つ
つまり、確率分布に関係なく、確率は1つに決まる!
確率分布に関係なく、確率は1つに決まる手法から、データと確率の関係を作り、
支配させたい確率分布にモデル化するのが
確率紙を使う本質!

ここで、「なるほど!」と来ない人は、ワイブル確率紙などの確率紙を使う意味を理解していないということ!

本質を理解していないと、それはわかっていないのと同じ!

では、解きます。必要な数学は、ベータ関数です。

ベータ関数の関連記事で、復習しましょう。

ベータ関数がよくわかる
ベータ関数は自力で解けますか?本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

ミーンランク法を解く!

P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F・F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)

ここで、

●ベータ関数
\(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)


\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i+1\)、\(q=n+1-i\)
を代入すればOKとわかりますね。

よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i)!(n-i)!}{(n+1)!} \)
=\(\frac{i}{n+1}\)
となります。

確率分布に関係なく、確率は
P=\(\frac{i}{n+1}\)
をミーンランク法から解いてOKとわかりますね。

メジアンランク法と同じ式でミーンランク法解くと積分値が1になる

先の、

P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。

と、ありましたね。

積分する関数をメジアンランク法と同じするとどうなるか?計算しましょう。

解く!

P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

ここで、

●ベータ関数
\(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)


\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i\)、\(q=n-i\)
を代入すればOKとわかりますね。

よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i-1)!(n-i)!}{(n)!} \)
=1
となります。

積分した結果が、数字になると、使い道ないですね。。。
だから、ミーンランク法はP= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)なのでしょう。

余談したが、比較すると理解が深まりますね!

➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの?

●メジアンランク法:P=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
●ミーンランク法:P=\(\frac{i}{n+1}\)

とよく似た式ですね。

結論は、

  1. 個数iが少ないときは、両者の値に差が出る。実測値に近い方をとる
  2. 変数n,iを大きくすると両者の値に差はない。どちらでもOK

となりますね。

手法、公式を使った後は、その結果が妥当かどうかは必ず確認しましょう。

まとめ

「ミーンランク法がよくわかる」を解説しました。

  • ①確率Fは順序統計量から求める
  • ➁ミーンランク法がわかる
  • ➂ミーンランク法を解く
  • ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの?


Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119

    Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 122
error: Content is protected !!