信頼性(指数分布)における逐次抜取検査がよくわかる
「信頼性(指数分布)における逐次抜取検査がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①指数分布の逐次抜取検査がわかる
- ➁品質管理の逐次抜取検査を復習
- ➂逐次抜取検査の判定条件式を導出
①指数分布の逐次抜取検査がわかる
ポアソン分布型を使うのが前提
指数関数で表現する信頼性工学において、抜取検査はポアソン分布型を使います。その理由は関連記事で解説していますので、導出過程をご確認ください。
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信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる 信頼性でも抜取検査することがありますが、なぜポアソン分布型を使うのか説明できますか？本記事では指数分布で信頼性を定義したものをポアソン分布の抜取検査を使ってよい理由を、数式で導出します。導出過程があるのはQCプラネッツだけです。必読です！ |
OC曲線を作る
抜取検査はOC曲線が基本ですが、信頼性工学で応用するには、以下のように式を使います。
・\(L\)はロット合格率
・\(T\)は総試験時間で、\(T=nt\)
(サンプル数\(n\)と１サンプルの試験時間\(t\))
OC曲線を描くと
抜取検査を復習したい場合は、関連記事でご確認ください。最も詳しく、網羅性の高いQCプラネッツの抜取検査記事です。
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究める！抜取検査 抜取検査は使い方だけ理解して終わっていませんか？実務で活用するには、抜取検査の理論の習得が必須です。本記事では、抜取検査全体の理論をわかりやすく解説します。品質にかかわる技術者は必読です。 |
➁品質管理の逐次抜取検査を復習
関連記事で確認！
品質管理の逐次抜取検査をまず復習して、理解しましょう。逐次抜取検査は何をやるのかを理解するのが先です。
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【まとめ】逐次抜取検査がわかる 逐次抜取検査がマスターできる必見のページです。逐次抜取検査と何か？合格判定線がなぜ必要なのか？ 計数値（二項分布、ポアソン分布）、計量値（標準偏差既知と未知）の4種類について解説します。さらに、逐次抜取検査の注意点も解説しています。 |
逐次抜取検査で理解すべきポイント
関連記事にあるように、逐次抜取検査で理解すべきポイントは、
合格判定線、不合格判定線を下図に描きます。
青線は、不良個数が検査で増加しても、合格判定領域に入ったため、合格と判断できます。一方、赤線は、不合格領域に入ったため、不合格と判断できます。
合格、不合格の領域線が直線であるため、検査続行、検査終了の判断がしやすいですね。
指数分布の場合も合格判定線を作ります！
➂逐次抜取検査の判定条件式を導出
指数分布関数を用意
逐次抜取検査を指数分布関数で扱うとき、次の式で考えます。
\(P_n\)=\(e^{-\frac{t}{T} \frac{(\frac{t}{T})^n}{n!}}\)
ポアソン分布の式ですが、あえて\(t\)⇒\(\frac{t}{T}\)に変形しています。ここがポイントになります！
2つの時刻を定義する
ここで、2つの時刻を定義します。
●\(T_1\)：合格判定寿命 ⇒確率\(P_n (T_1)\)
●\(T_2\)：許容平均寿命 ⇒確率\(P_n (T_2)\)
確率比\(Pr\)を定義する
次に確率比\(Pr\)を定義します。
少し式を代入して変形しておきます。
●\(Pr\)=\(\frac{P_n (T_2)}{P_n (T_1)}\)
=\((\frac{T_1}{T_2})^n \frac{e^{-\frac{t}{T_2}}}{ e^{-\frac{t}{T_1}}}\)
=\((\frac{T_1}{T_2})^n\)\(e^{-(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t}\)
合格判定条件を式で表現
OC曲線から逐次抜取検査の合否判定条件を作ります。
OC曲線にある、α、βと2つの定義した時刻との関係を入れます。
\(\frac{β}{1-α}\) < \(Pr\) < \(\frac{1-β}{α}\)
逐次抜取検査の合否判定条件をまとめる
計算していきましょう。
●\(\frac{β}{1-α}\) < \(Pr\) < \(\frac{1-β}{α}\)
\(\frac{β}{1-α}\) < \((\frac{T_1}{T_2})^n\)\(e^{-(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t}\)
\(log \frac{β}{1-α}\) < \(nlog(\frac{T_1}{T_2})-(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\) < \(log \frac{1-β}{α}\)
●ここで、値の大小関係を確認します。
★ \(T_1\) > \(T_2\)
★ \(1-α\) > \(β\)
★ \(1-β\) > \(α\)
(\(α\)=0.05、\(β\))=0.1 を代入するとよくわかりますね。)
●(左辺)と(中辺)から、故障数\(n\)についてまとめます。
\(log \frac{β}{1-α}\) < \(nlog(\frac{T_1}{T_2})-(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\)
\( nlog(\frac{T_1}{T_2}) \) > \((\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\)+\(log(\frac{β}{1-α})\)
\( nlog(\frac{T_1}{T_2}) \) > \((\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\)-\(log (\frac{1-α}{β})\)
よって、
\(n\) > \(\frac{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}{ log(\frac{T_1}{T_2})}\)-\(\frac{log(\frac{1-α}{β})}{ log(\frac{ T_1}{ T_2})}\)
●同様に(中辺)と(右辺)から、故障数\(n\)についてまとめます。
\(nlog(\frac{T_1}{T_2})-(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\) < \(log \frac{1-β}{α}\)
\( nlog(\frac{T_1}{T_2} \) < \((\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})t\) + \(log(\frac{1-β}{α})\)
\(n\) < \(\frac{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}{ log(\frac{T_1}{T_2})}t\)+\(\frac{log(\frac{1-β}{α})}{ log(\frac{ T_1}{ T_2})}\)
以上、結果をまとめると
●\(n\) < \(\frac{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}{ log(\frac{T_1}{T_2})}t\)+\(\frac{log(\frac{1-β}{α})}{ log(\frac{ T_1}{ T_2})}\)
随分、ややこしい式になりました！
なので、別の変数に置き換えて、見やすくしましょう。
●傾き\(s\)=\(\frac{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}{ log(\frac{T_1}{T_2})}\)
●y切片\(h_0\)=\(\frac{log(\frac{1-α}{β})}{ log(\frac{ T_1}{ T_2})}\)
●y切片\(h_1\)=\(\frac{log(\frac{1-β}{α})}{ log(\frac{ T_1}{ T_2})}\)
ややこしい式ですが、大事なのは、どれも正の値である点です。
●\(n\) < \( s t\)+\( h_1\)
こう書くと、２つの直線の間の領域ってことが良くわかますね。
図にすると、よくわかりますね。
●ある時間で、合格判定線内に入ると検査は合格
●ある時間で、不合格判定線外に出ると検査は不合格
が視覚的にわかる！
まとめ
「信頼性(指数分布)における逐次抜取検査がよくわかる」を解説しました。
- ①指数分布の逐次抜取検査がわかる
- ➁品質管理の逐次抜取検査を復習
- ➂逐次抜取検査の判定条件式を導出
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