品質工学、変動の期待値が導出できる
「品質工学_変動の期待値が導出できない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①静特性の変動の期待値を導出
- ➁動特性の変動の期待値を導出
【QC検定®１級合格】ロバスト設計問題集を販売します！
 |
【QC検定®合格】「品質工学」問題集を販売します！ 単なる公式の代入ではなく、平方和の分解や実験計画法を駆使して品質工学の本質が学べる良問をそろえました。是非、学習しましょう。 |
データの構造式： \(y_i\)=\(\bar{y}\)+\((y_i-\bar{y})\)の場合、
・全変動E[\(S\)]=\(n(m^2 +σ^2)\)
・平均変動E[\(S_m\)]=\(nm^2 +σ^2\)
・誤差変動E[\(S_e\)]=\((n-1)σ^2\)
データの構造式： \(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\)の場合、
・比例変動E[\(S_β\)]=\(rβ^2 +σ^2\)
・誤差変動E[\(S_e\)]=\((n-1)σ^2\)
ただし、\(r\)=\(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
①静特性の変動の期待値を導出
データの構造式を定義
データの構造式を次のように定義します。静特性で最もシンプルなパターンです。
\(y_i\)=\(\bar{y}\)+\((y_i-\bar{y})\)
全変動\(S\)の期待値を導出
ここで、データ値\(y_i\)の期待値と分散を定義します。
●E[\(y_i\)]=\(m\)
●V[\(y_i\)]=\(σ^2\)
これは、単にデータの平均が\(m\)で分散\(σ^2\)にばらついているという意味ですね。
E[\(y_i^2\)]を導出
厄介な式ですが、分散の公式
V(X)=E(X2)-E(X)2
から求めます。
よって、
\(σ^2\)= E(\(y_i^2\))-\(m^2\)
E(\(y_i^2\))=\(σ^2+m^2\)
となります。後で使います。
次に、全変動\(S\)は定義式から
\(S\)=\(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\)より
E(\(S\))=E(\(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\))
=\(\sum_{i=1}^{n} (σ^2+m^2)\)
=\(n(σ^2+m^2)\)
と導出できます。よって、
E(\(S\))=\(n(σ^2+m^2)\)
となります。
平均変動\(S_m\)の期待値を導出
E(\((\sum_{i=1}^{n} y_i)^2)\)
を導出
分散の公式から
V(\(\sum_{i=1}^{n}y_i\))=E(\((\sum_{i=1}^{n} y_i)^2\))-[E(\(\sum_{i=1}^{n}y_i\))]2
となり、
V(\(\sum_{i=1}^{n}y_i\))=\(nσ^2\)
[E(\(\sum_{i=1}^{n}y_i\))]2=\((nm)^2\)
が成り立つので、
E((\(\sum_{i=1}^{n} y_i)^2\))=\(nσ^2\)+\((nm)^2\)
となります。これを後で使います。
次に、平均変動\(S_m\)は定義式から
\( S_m \)=\(\sum_{i=1}^{n} (\frac{y_i}{n})^2\)より
E(\(S_m \))=E(\(\sum_{i=1}^{n} (\frac{y_i}{n})^2\))
=E(\(n・(\frac{(\sum_{i=1}^{n} y_i)^2}{n^2})\))
=E(\(\frac{(\sum_{i=1}^{n} y_i)^2}{n}\))
となり、
E(\((\sum_{i=1}^{n} y_i)^2\))=\(nσ^2\)+\((nm)^2\)を代入すると
\( S_m \)=\(\frac{ nσ^2+(nm)^2}{n}\)
=\(nm^2+σ^2\)
誤差変動\(S_e\)の期待値を導出
単純に
\(S_e\)=\(S\)-\(S_m\)から
E(\(S_e\))=E(\(S\))-E(\(S_m\))
=\(n(σ^2+m^2)\)-(\(nm^2+σ^2\))
=\((n-1)σ^2\)
となります。確かに、自由度が\(n-1\)なので、
E(\(V_e\))=\((n-1)/(n-1)σ^2\)=\(σ^2\)
ですね。
以上をまとめると、
データの構造式： \(y_i\)=\(\bar{y}\)+\((y_i-\bar{y})\)の場合、
・全変動E[\(S\)]=\(n(m^2 +σ^2)\)
・平均変動E[\(S_m\)]=\(nm^2 +σ^2\)
・誤差変動E[\(S_e\)]=\((n-1)σ^2\)
が、導出できましたね。
次に動特性についても導出していきます。
➁動特性の変動の期待値を導出
ここから
データの構造式を定義
データの構造式を次のように定義します。静特性で最もシンプルなパターンです。
\(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\)
ここで、\(\hat{y_i}\)=\(βx_i\)
なお、傾き\(β\)は
\(β\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i y_i }{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 }\)で回帰直線の傾きと同じでしたね。関連記事で解説しています。
 |
品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1) 品質工学の動特性は、回帰分析と同じです。使う文字やデータの構造式の式が違いますが、同じです。データの構造式、２乗和の分解、分散分析と丁寧に導出すれば、動特性と回帰分析が同じであることがわかります。その１を解説します。 |
 |
品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その2) 品質工学の動特性は、回帰分析と同じです。使う文字やデータの構造式の式が違いますが、同じです。データの構造式、２乗和の分解、分散分析と丁寧に導出すれば、動特性と回帰分析が同じであることがわかります。その2を解説します。 |
比例項の分散\(V(β)\)を導出
ここで、\(x_i\)は定数、\(y_i\)を変数と見ると、
\(V(β)\)=\(V(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i y_i }{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 })\)
=\(V(\frac{x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n }{x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2 })\)
=\(V(\frac{x_1}{x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2 } y_1+\frac{x_2}{x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2 } y_2+…+\frac{x_n}{x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2 } y_n+)\)
=\(\frac{x_1^2}{(x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2)^2 }σ^2\)+\(\frac{x_2^2}{(x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2)^2 }σ^2\)+…+\(\frac{x_n^2}{(x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2)^2 }σ^2\)
=\(\frac{ x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2}{(x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2)^2 }σ^2\)
=\(\frac{ 1}{x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2}σ^2\)
=\(\frac{σ^2}{r}\)
ここで、\(r\)=\( x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2\)とします。
まとめると、
\(V(β)\)= \(\frac{σ^2}{r}\)
\(r\)=\( x_1^2 + x_2^2+…+x_n^2\)
次に、E(\(β^2\))を分散の公式から計算します。
\(V(β)\)= E(\(β^2\))- E(\(β\))2
から
●E(\(β^2\))=\(\frac{σ^2}{r}\)+\(β^2\)
比例変動\(S_β\)の期待値を導出
次に、比例変動\(S_β\)を計算すると、
\(S_β\)=\(\sum_{i=1}^{n}\hat{y_i^2}\)
=\(\sum_{i=1}^{n} (βx_i)^2\)
=\(β^2 (x_1^2+x_2^2+…+x_n^2)\)
=\(β^2 r\)
まとめると、
●\(S_β\)=\(β^2 r\)
E(\(β^2\))=\(\frac{σ^2}{r}\)+\(β^2\)
から
比例変動\(S_β\)の期待値は
E(\(S_β\))=E(\(β^2 r\))
= E(\((\frac{σ^2}{r}+β^2)r\))
=\((\frac{σ^2}{r}+β^2)r\)
=\(σ^2+rβ^2\)
となります。
誤差変動\(S_e\)の期待値を導出
これは単純に、自由度\(n-1\)に分散\(V_e=σ^2\)を掛け算すればいいので、
E(\(S_e\))=\((n-1)σ^2\)
となります。
以上まとめると、
データの構造式： \(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\)の場合、
・比例変動E[\(S_β\)]=\(rβ^2 +σ^2\)
・誤差変動E[\(S_e\)]=\((n-1)σ^2\)
ただし、\(r\)=\(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\)=\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)
が、導出できましたね。
まとめ
「品質工学、変動の期待値が導出できる」を解説しました。
- ①静特性の変動の期待値を導出
- ➁動特性の変動の期待値を導出
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119