品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その2)
「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)
- ➁品質工学、動特性の残念な性質(その1)
- ➂動特性のデータの構造式を作る(その２)
- ➃動特性の変動(２乗和)を計算(その２)
- ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その２)
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品質工学の動特性＝回帰分析
なのに、わざわざ違うものとして扱っている
品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている！
品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ！ 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。
動特性の導入解説は2記事あります。関連記事（その１）を先にご確認ください。本記事は（その１）の続きです。
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品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1) 品質工学の動特性は、回帰分析と同じです。使う文字やデータの構造式の式が違いますが、同じです。データの構造式、２乗和の分解、分散分析と丁寧に導出すれば、動特性と回帰分析が同じであることがわかります。その１を解説します。 |
➂動特性のデータの構造式を作る(その２)
回帰分析のデータの構造式
単回帰分析のデータの構造式は、
\((y_i – \bar{y})\)=\((\hat{y_i} – \bar{y})\)+\((y_i – \hat{y_i})\)
ですね。\(\hat{y_i}\)が回帰直線上に乗る点でしたね。
動特性のデータの構造式
はっきり言って、動特性は回帰分析なので、データの構造式は同じでもいいのですが、習慣的にちょっと変えます。
\(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i – \hat{y_i})\)
と、回帰分析のデータの構造式から\(\bar{y}\)を除去した形にしています。
別に単回帰分析と同じデータの構造式でもOKですよ。
➃動特性の変動(２乗和)を計算(その２)
回帰分析の２乗和の分解
単回帰分析のデータの構造式
\((y_i – \bar{y})\)=\((\hat{y_i} – \bar{y})\)+\((y_i – \hat{y_i})\)
の２乗和が分解できます。つまり、
\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)=\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
(\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})(y_i – \hat{y_i})\)=0だから
\(z^2\)=\(x^2\)+\(y^2\)の形ができるわけです！)
なお、
\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)=\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
の導出のヒント関連記事で解説していますので、ご確認ください。
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平方和の分解と分散分析ができる(重回帰分析) 重回帰分析の分散分析をする際にデータの構造式を使って平方和の分解が自力で計算できますか？本記事では公式暗記に頼りがちな重回帰分析の分散分析の解析までの流れを途中経過を一切端折らず丁寧に解説します。多変量解析を学ぶ人は必読です。 |
回帰分析の２乗和の分解の証明
実際解いてみますね。
\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)=\(\sum_{i=1}^{n}((\hat{y_i} – \bar{y})\)+\((y_i – \hat{y_i}))^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n}((\hat{y_i} – \bar{y})^2\)
+2\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} – \bar{y})(y_i – \hat{y_i})\)
+\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \hat{y_i})^2)\)
第２項の
\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} – \bar{y})(y_i – \hat{y_i})\)=0
を証明します。
\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} – \bar{y})(y_i – \hat{y_i})\)
=\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} – \bar{y})((y_i-\bar{y}) –(\hat{y_i}-\bar{y}))\)
=(式1)
ここで、\(\hat{y_i}\),\(\bar{y}\)は回帰直線上なので、
●\(\hat{y_i}\)=\(a+bx_i\)
●\(\bar{y}\)=\(a+b \bar{x}\)
が成り立つので、第2項(式1)に代入します。
(式1)
=\(\sum_{i=1}^{n}( (a+bx_i) – (a+b \bar{x}))((y_i-\bar{y}) –((a+bx_i) -(a+b \bar{x}))\)
=\(b\sum_{i=1}^{n}( x_i – \bar{x})((y_i-\bar{y}) –b(x_i – \bar{x}))\)
=\(b\sum_{i=1}^{n}( x_i – \bar{x})((y_i-\bar{y})\)-\(b^2\sum_{i=1}^{n}( x_i – \bar{x})^2\)
=\(bS_{xy}-b^2 S_{xx}\)
=(式2)
また、回帰直線の傾き\(b\)は
\(b\)=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
より、(式2)へ代入すると
(式2)
=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}} S_{xy}\)- \(\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2} S_{xx}\)
=\(\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}\)-\(\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} \)
=0
となり、第2項は確かに0になります。
よって、
\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)=\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
動特性の２乗和の分解
回帰分析の２乗和の分解の導出過程を使って、同様に動特性の場合も解きます。
\(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)=\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
から展開すると、
(左辺)= \(\sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2\)
= \(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\) -2\(\sum_{i=1}^{n}y_i \bar{y}\)+\(\sum_{i=1}^{n} \bar{y}^2\)
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_i} – \bar{y})^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \hat{y_i}^2\) -2\(\sum_{i=1}^{n} \hat{y_i} \bar{y}\)+\(\sum_{i=1}^{n} \bar{y}^2\)+\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
ここで、
●\(\sum_{i=1}^{n}y_i \bar{y}\)=\(\sum_{i=1}^{n} \hat{y_i} \bar{y}\)
●(両辺)に同じ\(\sum_{i=1}^{n} \bar{y}^2\)
があるので、(両辺)から取り除くと、
●(左辺)= \(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\)
●(右辺)=\(\sum_{i=1}^{n} \hat{y_i}^2\) +\(\sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2\)
が成り立ちます。各項を\(S\)を使って表現すると
\(S\)=\(S_β\)+\(S_e\)
と書けます。
平均\(\bar{y}\)の項を抜いただけで
品質工学の動特性＝回帰分析
です！
➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その２)
よく動特性を取り扱うときにいろいろな変数が定義されます。
- 変数\(x\)を\(M\)に変える
- 有効除数\(r\)=\(M_1^2+…+M_k^2\)
- 線形式\(L\)=\(y_1 M_1+…+y_k M_k\)
- 傾き\(β\)=\(\frac{L}{r}\)
実は、
- 変数\(x\)を\(M\)に変えなくていいし
- 有効除数\(r\)=\(M_1^2+…+M_k^2\)
は\(S_{xx}\)と同じ - 線形式\(L\)=\(y_1 M_1+…+y_k M_k\)
は\(S_{xy}\)と同じ - 傾き\(β\)=\(\frac{L}{r}\)
\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)だから当然！
なので、あえて
有効除数、線形式とか品質工学オリジナルの変数は使わなくていいです。回帰分析と同じだし、データの構造式や２乗和の分解をしてきましたが、回帰分析と同じであることをわかりますよね。
結局、
| ー | 品質工学 の動特性 |
回帰分析 | 違い |
| 回帰式 | \(y=βx\) | \(y=βM\) | \(x\)⇒\(M\) |
| β | \(\frac{M_1 y_1+…+M_k y_k}{M_1^2 + …+M_k^2}\) | \(\frac{x_1 y_1+…+x_k y_k}{x_1^2 + …+x_k^2}\) | \(x\)⇒\(M\) |
| データの構造式 | \(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\) | \(y_i-\bar{y}\)=\((\hat{y_i}-\bar{y})\)+\((y_i-\hat{y_i})\) | \(\bar{y}\)項の有無 |
| \(S_{xx}\) | \(r\)= \(M_1^2 + …+M_k^2\) |
\(S_{xx}\)= \(x_1^2 + …+x_k^2\) |
文字が違うだけ |
| \(S_{xy}\) | \(L\)= \(M_1 y_1+…+M_k y_k\) |
\(S_{xy}\)= \(x_1 y_1+…+x_k y_k\) |
文字が違うだけ |
上表に見ると、文字が違うだけで、中身が一緒であることがはっきりしますね。
品質工学の動特性＝回帰分析
です！
品質工学の動特性を学ぶ際は、回帰分析も同時に比較しながら学びましょう。同じ解法を２回学ぶ必要はないことが分かります。
まとめ
「品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その2)」を解説しました。
- ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)
- ➁品質工学、動特性の残念な性質(その1)
- ➂動特性のデータの構造式を作る(その２)
- ➃動特性の変動(２乗和)を計算(その２)
- ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その２)
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119