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品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)

ロバストパラメータ設計

「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)

おさえておきたいポイント

  • ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ
  • ➁品質工学、動特性の残念な性質
  • ➂動特性のデータの構造式を作る(その2)
  • ➃動特性の変動(2乗和)を計算(その2)
  • ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その2)
品質工学
ロバストパラメータ設計
タグチメソッド
手法に溺れるな!
数式と理論で理解しよう!

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない!
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本記事の結論
品質工学の動特性=回帰分析
なのに、わざわざ違うものとして扱っている

品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている!

品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ! 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。

①品質工学の動特性は回帰分析と同じ

はっきりいって、品質工学の動特性は回帰分析と同じ

品質工学の動特性では独自の変数を使いますが、
回帰分析と全く同じです。

品質工学
の動特性
回帰分析 違い
回帰式 \(y=βx\) \(y=βM\) \(x\)⇒\(M\)
β \(\frac{M_1 y_1+…+M_k y_k}{M_1^2 + …+M_k^2}\) \(\frac{x_1 y_1+…+x_k y_k}{x_1^2 + …+x_k^2}\) \(x\)⇒\(M\)
データの構造式 \(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\) \(y_i-\bar{y}\)=\((\hat{y_i}-\bar{y})\)+\((y_i-\hat{y_i})\) \(\bar{y}\)項の有無
\(S_{xx}\) \(r\)=
\(M_1^2 + …+M_k^2\)
\(S_{xx}\)=
\(x_1^2 + …+x_k^2\)
文字が違うだけ
\(S_{xy}\) \(L\)=
\(M_1 y_1+…+M_k y_k\)
\(S_{xy}\)=
\(x_1 y_1+…+x_k y_k\)
文字が違うだけ

上表に見ると、文字が違うだけで、中身が一緒であることがはっきりしますね。

本記事の結論
品質工学の動特性=回帰分析
です!

➁品質工学、動特性の残念な性質

目標値との差分を品質工学で考えるが、目標値は自由に設定できない

では、なぜ、品質工学の動特性は回帰分析に過ぎないのか?を解説します。

「品質工学とは何か?」に戻ると、

●品質工学は、目標値との差分を見る
●実験計画法・回帰分析は平均値との差分を見る

でした。

なので、目標値を今あるデータから大きく離れた、
「大きな目標値」にすればいい!
と思いますが、

回帰条件以外、
2乗和の分解がうまくできない
(中間積和の項が0にならない)

品質特性の動特性

下図のように青線が現状で、赤線を目標として、
データの構造式を立てて2乗和の分解を確かめます。

●データの構造式
\(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\(( y_i-\hat{y_i})\)
として、
●2乗和
\(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\)=\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i}+( y_i-\hat{y_i})^2\)
=\(\sum _{i=1}^{n}(\hat{y_i}^2\)
+2\(\hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)
+\(( y_i-\hat{y_i})^2)\)
となりますが、

\(\sum _{i=1}^{n} \hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)≠0
なため、
\(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\)=\(\sum _{i=1}^{n}(\hat{y_i}^2\)+\(( y_i-\hat{y_i})^2)\)
とならないため、分散分析がうまくできません。

ただし、回帰条件の場合だけは、
\(\sum _{i=1}^{n} \hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)=0
となります。

なので、

本記事の結論
品質工学の動特性=回帰分析
です!

実例で検証

データを2つ用意します。

  1. 自由に目標値を設定した場合
  2. 回帰直線に乗る場合

図で描くと、次の違いがあります。

品質工学の動特性

実際に2乗和を計算してみましょう。

①自由に目標値を設定した場合

x \(y_i\) \(\hat{y_i}\) \(y_i^2\) \(\hat{y_i}^2\) 2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\) \((y_i-\hat{y_i})^2\)
1 2 4 4 16 -16 4
2 3 5 9 25 -20 4
3 5 12 25 144 -168 49
4 4 16.5 16 272 -413 156
5 7 20 49 400 -520 169
6 9 26 81 676 -884 289
7 10 28 100 784 -1008 324
8 11 33.5 121 1122 -1508 506
9 13 36 169 1296 -1656 529
10 15 45 225 2025 -2700 900
合計 79 226 799 6761 -8892 2931

確かに、
2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)の和が-8892と0ではないですね。
これが2乗和の分解から分散分析できない理由になります。

ただし、中間積和項\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)が0でない場合もうまく活用できないかどうかは研究する価値がありますし、QCプラネッツはここを掘り下げてみたいですね。

➁回帰直線に乗る場合

x \(y_i\) \(\hat{y_i}\) \(y_i^2\) \(\hat{y_i}^2\) 2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\) \((y_i-\hat{y_i})^2\)
1 2 1.44 4 2.06 1.62 0.32
2 3 2.87 9 8.25 0.73 0.02
3 5 4.31 25 18.57 5.95 0.48
4 4 5.75 16 33.01 -20.06 3.05
5 7 7.18 49 51.58 -2.61 0.03
6 9 8.62 81 74.27 6.58 0.15
7 10 10.05 100 101.09 -1.1 0
8 11 11.49 121 132.04 -11.28 0.24
9 13 12.93 169 167.11 1.88 0.01
10 15 14.36 225 206.31 18.28 0.4
合計 79 79 799 794.31 0 4.69

確かに、
2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)の和が0ですね。
これが2乗和の分解から分散分析できる理由になります。

結局、

本記事の結論
品質工学の動特性=回帰分析
です!

目標値との差分を見たいなら静特性にもちこむ

どうしても、実測データなどの手持ちデータからかけ離れた所を目標値として考える場合は、静特性に持ち込むしかないようです。

変数\(x_i\)の値を1,2,3,と水準に変えて静特性で分析しましょう。

動特性のデータの構造式・2乗和の計算などの重要公式は(その2)で解説します。

まとめ

「品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)」を解説しました。

  • ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ
  • ➁品質工学、動特性の残念な性質
  • ➂動特性のデータの構造式を作る(その2)
  • ➃動特性の変動(2乗和)を計算(その2)
  • ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その2)


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