2023/04/28 (更新日: 2023/12/13)

品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)

ロバストパラメータ設計

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ
• ➁品質工学、動特性の残念な性質
• ➂動特性のデータの構造式を作る(その２)
• ➃動特性の変動(２乗和)を計算(その２)
• ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その２)

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
⇒ＱＣプラネッツが解決！

品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている！

品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ！ 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。

①品質工学の動特性は回帰分析と同じ

はっきりいって、品質工学の動特性は回帰分析と同じ

品質工学の動特性では独自の変数を使いますが、
回帰分析と全く同じです。

ー	品質工学 の動特性	回帰分析	違い
回帰式	\(y=βx\)	\(y=βM\)	\(x\)⇒\(M\)
β	\(\frac{M_1 y_1+…+M_k y_k}{M_1^2 + …+M_k^2}\)	\(\frac{x_1 y_1+…+x_k y_k}{x_1^2 + …+x_k^2}\)	\(x\)⇒\(M\)
データの構造式	\(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\((y_i-\hat{y_i})\)	\(y_i-\bar{y}\)=\((\hat{y_i}-\bar{y})\)+\((y_i-\hat{y_i})\)	\(\bar{y}\)項の有無
\(S_{xx}\)	\(r\)= \(M_1^2 + …+M_k^2\)	\(S_{xx}\)= \(x_1^2 + …+x_k^2\)	文字が違うだけ
\(S_{xy}\)	\(L\)= \(M_1 y_1+…+M_k y_k\)	\(S_{xy}\)= \(x_1 y_1+…+x_k y_k\)	文字が違うだけ

上表に見ると、文字が違うだけで、中身が一緒であることがはっきりしますね。

➁品質工学、動特性の残念な性質

目標値との差分を品質工学で考えるが、目標値は自由に設定できない

では、なぜ、品質工学の動特性は回帰分析に過ぎないのか？を解説します。

「品質工学とは何か？」に戻ると、

でした。

なので、目標値を今あるデータから大きく離れた、
「大きな目標値」にすればいい！
と思いますが、

下図のように青線が現状で、赤線を目標として、
データの構造式を立てて２乗和の分解を確かめます。

●データの構造式
\(y_i\)=\(\hat{y_i}\)+\(( y_i-\hat{y_i})\)
として、
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\)=\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i}+( y_i-\hat{y_i})^2\)
=\(\sum _{i=1}^{n}(\hat{y_i}^2\)
+2\(\hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)
+\(( y_i-\hat{y_i})^2)\)
となりますが、

\(\sum _{i=1}^{n} \hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)≠0
なため、
\(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\)=\(\sum _{i=1}^{n}(\hat{y_i}^2\)+\(( y_i-\hat{y_i})^2)\)
とならないため、分散分析がうまくできません。

ただし、回帰条件の場合だけは、
\(\sum _{i=1}^{n} \hat{y_i}( y_i-\hat{y_i})\)=0
となります。

なので、

実例で検証

データを２つ用意します。

1. 自由に目標値を設定した場合
2. 回帰直線に乗る場合

図で描くと、次の違いがあります。

実際に２乗和を計算してみましょう。

①自由に目標値を設定した場合

x	\(y_i\)	\(\hat{y_i}\)	\(y_i^2\)	\(\hat{y_i}^2\)	2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)	\((y_i-\hat{y_i})^2\)
1	2	4	4	16	-16	4
2	3	5	9	25	-20	4
3	5	12	25	144	-168	49
4	4	16.5	16	272	-413	156
5	7	20	49	400	-520	169
6	9	26	81	676	-884	289
7	10	28	100	784	-1008	324
8	11	33.5	121	1122	-1508	506
9	13	36	169	1296	-1656	529
10	15	45	225	2025	-2700	900
合計	79	226	799	6761	-8892	2931

確かに、
2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)の和が-8892と0ではないですね。
これが２乗和の分解から分散分析できない理由になります。

ただし、中間積和項\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)が0でない場合もうまく活用できないかどうかは研究する価値がありますし、QCプラネッツはここを掘り下げてみたいですね。

➁回帰直線に乗る場合

x	\(y_i\)	\(\hat{y_i}\)	\(y_i^2\)	\(\hat{y_i}^2\)	2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)	\((y_i-\hat{y_i})^2\)
1	2	1.44	4	2.06	1.62	0.32
2	3	2.87	9	8.25	0.73	0.02
3	5	4.31	25	18.57	5.95	0.48
4	4	5.75	16	33.01	-20.06	3.05
5	7	7.18	49	51.58	-2.61	0.03
6	9	8.62	81	74.27	6.58	0.15
7	10	10.05	100	101.09	-1.1	0
8	11	11.49	121	132.04	-11.28	0.24
9	13	12.93	169	167.11	1.88	0.01
10	15	14.36	225	206.31	18.28	0.4
合計	79	79	799	794.31	0	4.69

確かに、
2\(\hat{y_i}(y_i-\hat{y_i})\)の和が0ですね。
これが２乗和の分解から分散分析できる理由になります。

結局、

目標値との差分を見たいなら静特性にもちこむ

どうしても、実測データなどの手持ちデータからかけ離れた所を目標値として考える場合は、静特性に持ち込むしかないようです。

変数\(x_i\)の値を1,2,3,と水準に変えて静特性で分析しましょう。

動特性のデータの構造式・２乗和の計算などの重要公式は（その２）で解説します。

まとめ

「品質工学の動特性は回帰分析と同じ(その1)」を解説しました。

• ①品質工学の動特性は回帰分析と同じ
• ➁品質工学、動特性の残念な性質
• ➂動特性のデータの構造式を作る(その２)
• ➃動特性の変動(２乗和)を計算(その２)
• ➄動特性の重要公式は単回帰分析と同じ(その２)

ロバストパラメータ設計

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