月: 2022年8月

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

「➃実例を使って理解する！」の例題を挙げます。さっと解けるかどうか確認ください。簡単な関数で練習しましょう。

さっと解けますか？自信がなければ、この記事を読み進めてください。

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

確かに、満点の回答なのですが、

何度も見ても理解できない理由を挙げると

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

以下の例を以前、ブログ記事で挙げていましたが、PDFにまとめています。

【QCプラネッツ「1変数の確率変数の変換がよくわかる」プレミアム勉強テキスト】リンク

4つ関連記事がありますが、解き方はすべて１つでOKです。ご安心ください。

では、本当に解けるかどうかを例題で確認しましょう！

解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

完全に同じ解き方でイケます！

では、実際に解いてみましょう。

★1. \(y=x\)の式を\(x=y\)の式に直す

【例題1】では、

(1) \(Y=3X+2\) では、
\(X=\frac{Y-2}{3}\)
に変形します。

(2) \(Y=X^2\)では、
\(X=±\sqrt{y}\)
に変形します。

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
そのままの
\(X=Y^2\)
でOKです。

(4) \(logY=X\)では、
そのままの
\(X= logY \)
でOKです。

★2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y\)の式をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、

(1) \(Y=3X+2\) では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(\frac{y-2}{3})=\frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2)\)

(2) \(Y=X^2\)では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(±\sqrt{y})=\frac{3}{4}(1-(±\sqrt{y})^2)\)

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(y^2)=\frac{3}{4}(1-(y^2)^2)\)

(4) \(logY=X\)では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-(logy)^2)\)

４問とも同じ1つの解法でOKです、

★3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する

xの範囲からｙの範囲に変えます。

★4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

(1) \(Y=3X+2\) では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-1}^{5} \frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{-1}^{5} \frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2) \frac{1}{3} dy\)
=\(\displaystyle \int_{-1}^{5} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{1}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2)\)
できましたね！

(2) \(Y=X^2\)では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{3}{4}(1-(±\sqrt{y})^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)\frac{dx}{dy+}-\frac{3}{4}(1-y)\frac{dx}{dy-})dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)(\frac{1}{2\sqrt{y}})-\frac{3}{4}(1-y) (-\frac{1}{2\sqrt{y}}))dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)(\frac{1}{\sqrt{y}})dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{4}(1-y)\frac{1}{\sqrt{y}}\)
できましたね！

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{5} \frac{3}{4}(1-(y^2)^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{3}{4}(1-y^4) 2y dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{2}(1-y^4) y \)
できましたね！

(4) \(logY=X\)では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{1e}^{e} \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{1/e}^{e} \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{1}{y} dy\)
=\(\displaystyle \int_{1/e}^{e} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{1}{y} \)
できましたね！

一連の解法を見ていただきました。これで解けます！

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

など、畳み込み積分で苦しむので、畳み込み積分をわかりやすく解説しました！

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

畳み込み積分に関するサイトや教科書を読んでも、QCプラネッツ自身も理解がいまいちでした。苦心して学んだ末、簡単にマスターできるものをブログで解説します！

畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

こんな悩みがありませんか？

これは、QCプラネッツ自身のリアルな悩みでした。あなたもどうでしょうか？

３つあります。

関連記事で、視覚的に理解できるように解説していますので、ご確認ください。高２数学の「領域」がわかればOKです。

教科書や他のサイトでは、

なので、QCプラネッツはよく使う確率分布関数を使って畳み込み積分やってみました！

以下の分布関数を例に、総当たりで畳み込み積分を実施しました。

これだけあれば、十分でしょう！

解析した関数どうしの総当たり表です。

実は、

実際は以下の結果です。
・畳み込み積分できた組み合わせは「●」、
・一部の条件だけ畳み込み積分できた組み合わせは「△」、
・できなかった組み合わせは「×」
で表記します。積分はできるものとできないものがあるので、仕方がありません。

つまり、

まとめて紹介します。ここに確認ください。10記事があり、5つはブログで、残り5つはPDfテキストにまとめています。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

畳み込み積分がよくわかる(指数分布と指数分布) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに指数分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。。

畳み込み積分がよくわかる(正規分布どうし、再生性) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに正規分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どうし、再生性) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらにポアソン分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに正規分布と一様分布どうしの畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

【QCプラネッツ畳み込み積分プレミアム勉強プリント】リンク

–

畳み込み積分は１つの解法で、さまざまな分布関数を代入できるのですが、積分ができる・できない場合があります。教科書では、積分ができる場合のみ解説していますが、事例が少ないため理解が十分できない問題があります。

QCプラネッツでは積分ができない場合も記事で解説しています。

いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「【まとめ】畳み込み積分がよくわかる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

‎

畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

正規分布（簡単のため、平均μ=0、標準偏差σ=1）と一様分布の畳み込み積分を考えます。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

★ Z1=X+Y の場合

\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。

★ Z2=X-Y の場合

\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。

あとで解説しますが、

そのため、2通り解析します。

★畳み込み積分

★Z1=X+Y の場合

一旦積分区間を[-∞、∞]で記述します。あとで、場合分けします。

\( h1(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=(式1)

★ Z2=X-Y の場合

一旦積分区間を[-∞、∞]で記述します。あとで、場合分けします。

\( h2(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x-z)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=(式1)
と同じ式になります。

Z1,Z2は同じ結果なので、以後、(式1)を
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
で、見ていきます。

(式１)は
\(x-z=t\)として、dx=dtとなります。代入すると、

(式１)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
=(式2)
となります。

ここで、ガウス積分を考えると、

積分区間が[-∞、∞]の場合のみ、(式2)の複雑な∫の部分が定量化できますが、
積分区間が有限の場合は、(式2)の複雑な∫の部分が式のまま残ります。

ここが、場合分けが必要になる部分です。

２つの場合がありました。

(式2)を計算すると
(式2)= \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
=\(a\)

となり、一様分布と正規分布を畳み込み積分すると、一様分布が出て来る結果となります。畳み込み積分した感じがでませんね。

一様分布は基本、「ある区間だけ一定の値で、それ以外の区間は0」です。

でもこれが、積分できない理由でもあります。

具体的には、下図の①➁➂の①➁で場合分けします。

★①の場合

●①は(x,y)=(T,0)より上(つまりT ≤ z)なので、上図のように、x=0～Tの区間で積分
(式2)= \(\displaystyle \int_{-z}^{T-z} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
(ここで、t=x-zと変換しているので、0～Tではなく、 -z～T-zに注意！)

この式はこれ以上変形できません。

★➁の場合

●➁は(x,y)=(0,0)以上①以下(つまり0 ≤ z ≤T)なので、図のように、x=0～zの区間で積分
(式2)= \(\displaystyle \int_{-z}^{0} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
(ここで、t=x-zと変換しているので、0～zではなく、 -z～0に注意！)

この式はこれ以上変形できません。

計算結果によらず、いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布)」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

‎

畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

ポアソン分布どうしの畳み込み積分を解析します。ポアソン分布は１つ注意する特徴があります。

ポアソン分布の式
\(f(x=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!}\)
のkの値が整数なため、連続関数ではありません。

連続関数ではないので積分∫ができません。当たり前だけど、意外と忘れがちです。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

積分∫ができないので、和∑で計算します。

\((k)+(n-k)=n\)の関係が成り立っています。

和区間はk=0～nで、畳み込み積分(和の計算)をします。

難しそうに見えますが、高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

★畳み込み積分

\( h(n)= \sum_{k=0}^{n} f(k) g(n-k) \)
=\(\sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!} ・e^{-μ} \frac{μ^{n-k}}{(n-k)!} \)
=\( e^{-(λ+μ)} \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)
=(式1)

ここで、(式1)の\(\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)は二項定理より
\(\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)=\((λ+μ)^n\)
これを(式1)に代入すると

(式1)
=\( e^{-(λ+μ)} \frac{(λ+μ)^n}{n!} \)
となり、 これもよく見るとポアソン分布の式でしかも、λ+μを変数とした場合です。

これが、再生性があるという意味ですね。

X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。ただし途中までしか計算ができません。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

積分∫ができないので、和∑で計算します。

\((k)-(k-n)=n\)の関係が成り立っています。

和区間はk=0～nで、畳み込み積分(和の計算)をします。

難しそうに見えますが、高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

★ 畳み込み積分

\( h(n)= \sum_{k=0}^{n} f(k) g(k-n) \)
=\(\sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!} ・e^{-μ} \frac{μ^{ k-n }}{( k-n)!} \)
=\( e^{-(λ+μ)} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(k-n)!} λ^k μ^{k-n} \)
=(式1)

ここで、(式1)の\(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(k-n)!} λ^k μ^{k-n} \)が
計算（式変形）がこれ以上できません。

いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「畳み込み積分がよくわかる(畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どおし、再生性))」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

‎

畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

正規分布どうしの畳み込み積分を解析します。これがいわゆる「再生性」を確認する計算になります。計算を簡単にするため平均μ=0、標準偏差σ=1の正規分布で計算します。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。

積分区間は全領域[-∞,∞]で、畳み込み積分をします。

難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

★畳み込み積分

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=\(\frac{1}{2π}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(2(x-\frac{z}{2})^2+\frac{z^2}{2})} dx \)
=\(\frac{1}{2π} e^{-\frac{1}{2}・\frac{z^2}{2}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2(x-\frac{z}{2})^2} dx \) ⇒(式1)

ここで、
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2(x-\frac{z}{2})^2} dx \)
において、
\(t=x-\frac{z}{2}\)とおくと、\(dt=dx\)なので、代入すると、
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2t^2} dt \)

この式は、ガウス積分となって
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2t^2} dt \)=\(\sqrt{π}\)

(式1)は
=\(\frac{1}{2\sqrt{π}} e^{-\frac{1}{2}・\frac{z^2}{2}} \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}・\sqrt{2}} e^{-\frac{(z-0)^2}{2(\sqrt{2})^2}} \)⇒(式2)

平均μ、標準偏差σの正規分布の式は
\(\frac{1}{\sqrt{2π}・σ} e^{-\frac{(z-μ)^2}{2σ^2}} \)
ですから、（式２）は
μ=0,σ=\(\sqrt{1+1}\)=\(\sqrt{2}\)
を代入したものとなります。

これは、正規分布の再生性という性質ですね。

★正規分布の再生性

証明は正規分布の式を変形していくので、煩雑ですが淡泊です。本記事では割愛します。

正規分布どうしの畳み込み積分もできましたね！

X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。でも端折らずに解説します。統計学は途中経過を端折ると読者が困ってしまいますから。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。

積分区間は全領域[-∞,∞]で、畳み込み積分をします。

難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
となり、実は、

なので、ここから先は、➁で解析した結果と同じになります。

いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「畳み込み積分がよくわかる(畳み込み積分がよくわかる(正規分布どおし、再生性))」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

‎

畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。

畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

指数分布通しの場合、＋の畳み込みをn回繰返すと、ガンマ分布の式が導出できます！　難しい式ですが、畳み込み積分を丁寧に解けば、できます！　ガンマ分布を自分のものにしましょう。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。

領域を図示します。

その領域内で　z=x+yを考えます。

すると、下図のように2パターン積分区間が変わります。

という2つの場合分けをして、畳み込み積分をします。

難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

★① 0 ≤ zのとき

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{z} λ e^{-λx}・λ e^{-λ(z-x)} dx \)
=\( λ^2 e^{-λz} \left[ x \right]_0^z\)
=\( λ^2 z e^{-λz} \)

★➁ z ≤ 0のとき

積分領域外なので、h(z)=0

できましたね！

先ほどの\(f(x)\),\(g(y)\)を\(f_1(x)\),\(f_2(x)\)とすると、
\(f(x)\)=\(f_1(x)\)= \(f_2(x)\)= \(λ e^{-λx}\)
\(f_1*f_2(x)\)=\( λ^2 z e^{-λz} \)
ですね。

では、\(f_1*f_2*f_3(x)\)はどうなりますか？
\(f_1*f_2*f_3(x)\)= \((f_1*f_2)*(f_3)(x)\)
として、

\(f_1*f_2*f_3(x)\)= \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(f_1*f_2(x))(f_3(z-x))dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{z} λ^2 x e^{-λx}・λ e^{-λ(z-x)} dx \)
=\(λ^3 e^{-λz} \displaystyle \int_{0}^{z} x dx \)
=\( \frac{1}{2}λ^3 e^{-λz} \left[ x \right]_0^z\)
=\( \frac{1}{2}λ^3 z^2 e^{-λz} \)

一般化すると、
\(f_1*f_2*…*f_n(x)\)=\( \frac{(n-1)!}{λ^n x^{n-1}}e^{-λx} \)
と表現でき、これがガンマ分布の式になります。

証明は漸化式でも、数学的帰納法でもどちらでもＯＫです。高校数学の流れで十分解けますね。

X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。でも端折らずに解説します。統計学は途中経過を端折ると読者が困ってしまいますから。

難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。

\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。

領域を図示します。

その領域内で　z=x-yを考えます。

すると、下図のように1パターン積分区間が変わります。

●①図のように、x=0～∞の区間で積分

畳み込み積分をします。

難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x-z)dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} λ e^{-λx}・λ e^{-λ(x-z)} dx \)
=\( λ^2 e^{λz} \left[ \frac{-1}{2λ} e^{-2λx} \right]_0^{\infty}\)
=\( \frac{λ}{2} e^{λz} \)

できましたね！

いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「畳み込み積分がよくわかる(一様分布と指数分布)」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

答えられますか？

なので、まず定義でつまづきます。さらに、言葉の定義と計算式の定義とリンクしないので、思考停止状態になります。

自分で分布関数を作ったり、信頼性工学などに出て来るガンマ分布のように、
いくつかの分布関数を足し合わせていくプロセスが必要になります。

実際の式はこれですね。

ここで、わかりにくいのが、

\((t)+(x-t)=x\)の関係性を抽象的に説明すると、理解できないので、身の回りの事例を紹介します！

２つ紹介します！　意外な２つです！

さて、問題です。次の式を展開して各係数を求めましょう。高１レベルです。

\((a_3 x^3+ a_2 x^2+ a_1 x^1+ a_0)(b_2 x^2+ b_1 x^1+ b_0)\)

普通に展開すればOKなので、係数表を作ります。

普通に展開しただけですが、係数のNoを見ると、すべての合計が指数の値に一致しており、
\(a_t b_{x-t}\)の関係になっていますね。

このイメージで畳み込み積分に入りましょう。

さて、高１レベルの問題です。

確率の計算をすればOKですよね。１つ目のサイコロの出る目をX,２つ目のサイコロの出る目をYとしすると求めたい確率の式はどうなりますか？

P(Z=X+Y) = P(X)×P(Y)　ですよね！　これは簡単！　で、式を書き直すと

P(Z) = P(X)×P(Z-X)　で、確率は和を求めるので、
∑P(Z) = ∑P(X)×P(Z-X)
とすると、

では、畳み込み積分やっていきますね。

確率分布は、

などたくさんありますが、ここでは、一番基本的な「一様分布どうしの畳み込み積分」を解説します。ここが分かったら、確率分布関数をいろいろ変えていけば応用できます。

先のサイコロの出る目について、
離散系
と
連続系
の両方を計算して結果を比較してみましょう。

★離散系の場合

★連続系の場合

一方、連続系の一様分布の場合は、例題の文章を変えます。

目の和Zは2～12まで出ますよね。それぞれの確率を計算すればOKです。下表にまとめます。

グラフで見ると、直線が尖った感じになります。

例題の文章を再掲します。

慌てないで！！　絶対解ける解法があります。ご安心ください

連続関数で畳み込み積分する場合はすべて上の３つの流れで解いていきます。

定義どおり書きます。

領域を図示します。

その領域内で　z=x+yを考えます。

すると、下図のように4パターン積分区間が変わります。

●①は(x,y)=(6,6)より上(つまり12 ≤ z)で、積分領域外なので、h(z)=0
●➁は(x,y)=(0,6)以上①以下(つまり6 ≤ z ≤12)なので、図のように、x=z-6～6区間で積分
●➂は(x,y)=(0,0)以上①以下(つまり0 ≤ z ≤6)なので、図のように、x=0～z区間で積分
●➃は(x,y)=(0,0)以下(つまりz ≤ 0)で、積分領域外なので、h(z)=0

という４つの場合分けをして、畳み込み積分をします。

難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。

★①12 ≤zのとき

積分領域外なので、h(z)=0

★➁6 ≤ z ≤12のとき

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{z-6 }^{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}dx \)
=\(\frac{1}{36} \left[ x \right]_{z-6}^6\)
=\(\frac{1}{36}(12-z)\)

★➂0 ≤ z ≤6のとき

\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{z} \frac{1}{6} \frac{1}{6}dx \)
=\(\frac{1}{36} \left[ x \right]_0^z\)
=\(\frac{1}{36} z\)

★④z ≤0のとき

積分領域外なので、h(z)=0

まとめると下図になります。

➂の離散系と結果を比較しましょう。

雰囲気はよく似ていますよね。離散系と連続系との比較をすると理解度が高まります！

いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし)」を解説しました。