サタースウェイトの等価自由度の計算ができる【重要】
「サタースウェイトの等価自由度の計算が難解でわからない、解けない」、「どんな場合にサタースウェイトの等価自由度の式を使うのかがわからない」など、困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
サタースウェイトの等価自由度の計算
- ①サタースウェイトの等価自由度の計算が必要な乱塊法と分割法
- ②乱塊法(4因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
- ③乱塊法＋分割法(3因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。サタースウェイトの等価自由度の計算過程を解説しますので必読です。
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①サタースウェイトの等価自由度の計算が必要な乱塊法と分割法
μ±\(t(φ^*,α)\sqrt{Var}\)
の自由度\(φ^*\)をサタースウェイトの等価自由度として計算する。
乱塊法の反復因子の平均を含む交互作用の推定区間
を求めるときに、
母平均の分散Vが複数の残差分散Veの和になる。
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サタースウェイトの等価自由度の導出方法
サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】
次に、具体事例2例を解説します。
●データの構造式
xijkl=μ+γk+αi+βj+δl
+(αβ)ij+(αδ)il+(βδ)jl
+(αβδ)ijl+eijkl
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乱塊法(4因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
●データの構造式
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il
+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl
+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
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②乱塊法(4因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
●データの構造式
xijkl=μ+γk+αi+βj+δl
+(αβ)ij+(αδ)il+(βδ)jl
+(αβδ)ijl+eijkl
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乱塊法(4因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
分散分析表
| φ | E[V] | |
| R | c-1 | \(σe^2\)+abd\(σ_C^2\) |
| A | a-1 | \(σe^2\)+bcd\(σ_A^2\) |
| ・・・ | ・・・ | ・・・ |
| e | (abd-1)(c-1) | \(σe^2\) |
| T | abcd-1 | – |
分散分析の表から、分散の推定値を求めます。
VR=\(\widehat{σ_e^2}\)+abd\(\widehat{σ_R^2}\)
Ve=\(\widehat{σ_e^2}\)
よって、
\(\widehat{σ_R^2}\)= \(\frac{1}{abd}\)( VR-Ve)
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve
主効果、交互作用の等価自由度
- (i)主効果Ai
- (ii)交互作用A×D
- (iii)交互作用A×B×D
(i)主効果Aiのサタースウェイトの等価自由度
主効果の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i‥･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{i‥･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i))\)
=V[μ+\(\bar{r}+α_i+\bar{e_{i‥･}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{i‥･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{bcd}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_R-V_e)\)+\(\frac{1}{bcd}V_e\)
=\(\frac{1}{abcd}V_R\)+\(\frac{a-1}{abcd}V_e\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VR
φ1=c-1
C2=\(\frac{a-1}{abcd}\)
V2=Ve
φ2=(abd-1)(c-1)
(ii)交互作用A×Dのサタースウェイトの等価自由度
交互作用の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i D_l)=\bar{x_{i‥l}}\)=\(\widehat{μ+α_i+δ_l+(αδ)_{il}}\)
=\(μ+\bar{r}+α_i+δ_l+(αδ)_{il}+\bar{e_{i‥l}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i D_l))\)
=V[μ+\(\bar{r}+α_i+δ_l+(αδ)_{il}+\bar{e_{i‥l}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{i‥l}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{bc}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_R-V_e)\)+\(\frac{1}{bc}V_e\)
=\(\frac{1}{abcd}V_R\)+\(\frac{ad-1}{abcd}V_e\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VR
φ1=c-1
C2=\(\frac{ad-1}{abcd}\)
V2=Ve
φ2=(abd-1)(c-1)
(iii)交互作用A×B×Dのサタースウェイトの等価自由度の計算事例
交互作用の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j D_l)=\bar{x_{ij･l}}\)
=(\(\widehat{μ+α_i+β_j+δ_l+(αβ)_{ij}+(αδ)_{il}+(βδ)_{jl}+(αβδ)_{ijl}}\))
=\(μ+\bar{r}+α_i+β_j+δ_l+(αβ)_{ij}+(αδ)_{il}+(βδ)_{jl}+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij･l}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j D_l))\)
=V[μ+\(\bar{r}+α_i+β_j+δ_l+(αβ)_{ij}+(αδ)_{il}+(βδ)_{jl}+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij･l}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{ij･l}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{c}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_R-V_e)\)+\(\frac{1}{c}V_e\)
=\(\frac{1}{abcd}V_R\)+\(\frac{abd-1}{abcd}V_e\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VR
φ1=c-1
C2=\(\frac{abd-1}{abcd}\)
V2=Ve
φ2=(abd-1)(c-1)
③乱塊法＋分割法(3因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
●データの構造式
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
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分散分析表
| φ | E[V] | |
| D | d-1 | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2+abcσ_D^2\) |
| ・・・ | ・・・ | ・・・ |
| e(1) | (a-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2+bcσ_{e(1)}^2\) |
| ・・・ | ・・・ | ・・・ |
| e(2) | a(b-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2+cσ_{e(2)}^2\) |
| ・・・ | ・・・ | ・・・ |
| e3 | ab(c-1)(d-1) | \(σ_{e(3)}^2\) |
| T | abcd-1 | – |
分散分析の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}=\frac{1}{bc}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}=\frac{1}{c}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)
\(\widehat{σ_{e(3)}^2}\)=Ve(3)
\(\widehat{σ_D^2}=\frac{1}{abc}(V_D-V_{e(1)})\)
主効果、交互作用の等価自由度
- (i)主効果Ai
- (ii) 主効果Bj
- (iii)交互作用A×B×C
(i)主効果Aiのサタースウェイトの等価自由度
主効果の点推定と区間推定
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
点推定： \(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i‥･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{δ}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(3)i･･･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i))\)
=V[μ+\(\bar{δ}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(3)i･･･}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(1)i･}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)i･･}}\)]+V[\(\bar{e_{(3)i･･･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_D^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{bd}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{bcd}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_D-V_{e(1)})\)+\(\frac{1}{bcd}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)+\(\frac{1}{bcd}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)+ \(\frac{1}{bcd}V_{e(3)} \)
=\(\frac{1}{abcd}V_D\)+\(\frac{a-1}{abcd}V_{e(1)}\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VD
φ1=d-1
C2=\(\frac{a-1}{abcd}\)
V2=Ve(1)
φ2=(a-1)(d-1)
(ii)主効果Bjのサタースウェイトの等価自由度
主効果の点推定と区間推定
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
点推定： \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{･j‥}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{δ}+\bar{e_(1)‥}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}}+\bar{e_{(3)･j･･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(B_j))\)
=V[μ+\(\bar{δ}+\bar{e_(1)‥}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}}+\bar{e_{(3)･j･･}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_{(1)‥}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)･j･}}\)]+V[\(\bar{e_{(3)･j･･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_D^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{acd}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_D-V_{e(1)})\)+\(\frac{1}{abcd}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)+\(\frac{1}{acd}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)+ \(\frac{1}{acd}V_{e(3)}\)
=\(\frac{1}{abcd}V_D\)+\(\frac{b-1}{abcd}V_{e(2)}\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VD
φ1=d-1
C2=\(\frac{b-1}{abcd}\)
V2=Ve(2)
φ2=a(b-1)(d-1)
(iii)交互作用A×B×Cのサタースウェイトの等価自由度
交互作用の点推定と区間推定
xijkl=μ+δl+αi+ e(1)il+βj+(αβ)ij+ e(2)ijl+γk+(αγ) ik+(βγ)jk+(αβγ)ijk+ e(3)ijkl
点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)=\bar{x_{ijk･}}\)
=(\(\widehat{μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+γ_k+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}+(αβγ)_{ijk}}\))
=\(μ+\bar{δ}+α_i +\bar{e_(1)i･}\)
\(+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{(2)ij･}}\)
\(+γ_k +(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{(3)ijk･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i B_j C_k))\)
=V[\(μ+\bar{δ}+α_i +\bar{e_(1)i･}\)
\(+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{(2)ij･}}\)
\(+γ_k +(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{(3)ijk･}}\)]
=V[\(\bar{δ}\)]+V[\(\bar{e_(1)i･}\)]+V[\(\bar{e_{(2)ij･}}\)]+V[\(\bar{e_{(3)ijk･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_D^2}}{d}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{ad}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(3)}^2}}{acd}\)
=\(\frac{1}{abcd}(V_D-V_{e(1)})\)+\(\frac{1}{bcd}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)+\(\frac{1}{cd}(V_{e(2)}-V_{e(3)})\)+ \(\frac{1}{d}V_{e(3)} \)
=\(\frac{1}{abcd}V_D\)+\(\frac{a-1}{abcd}V_{e(1)}\)+ \(\frac{b-1}{bcd}V_{e(2)}\)+ \(\frac{c-1}{cd}V_{e(3)}\)
サタースウェイトの等価自由度：\(φ^*\)
\(φ^*\)=\(\frac{(C_1 V_1+C_2 V_2+C_3 V_3+ C_4 V_4)^2}{\frac{(C_1 V_1)^2}{φ_1}+\frac{(C_2 V_2)^2}{φ_2}+\frac{(C_3 V_3)^2}{φ_3}+\frac{(C_4 V_4)^2}{φ_4}}\)
C1=\(\frac{1}{abcd}\)
V1=VD
φ1=d-1
C2=\(\frac{a-1}{abcd}\)
V2=Ve(1)
φ2=(a-1)(d-1)
C3=\(\frac{b-1}{bcd}\)
V3=Ve(2)
φ3=a(b-1)(d-1)
C4=\(\frac{c-1}{cd}\)
V4=Ve(3)
φ4=ab(c-1)(d-1)
同様に主効果C、交互作用B×Cも解いてみてください。
●データの構造式
xijk=μ+γk+αi+e(1)ik+βj+(αβ) ij+ e(2)ijk
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にて、次の効果の区間推定を求める場合の等価自由度を計算せよ。
(1)主効果B
(2)交互作用A×B
まとめ
サタースウェイトの等価自由度を詳細に解説しました。
- ①サタースウェイトの等価自由度の計算が必要な乱塊法と分割法
- ②乱塊法(4因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
- ③乱塊法＋分割法(3因子)のサタースウェイトの等価自由度の計算事例
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119