2021/08/08 (更新日: 2023/12/07)

分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「分割法って何なの？」、「分割法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、分割法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

分割法の分散分析や期待値の導出

• ➀分割法とは何かがわかる
• ②分割法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる
• ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

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➀分割法とは何かがわかる

教科書の定義は重要ではない

よくわかりませんよね。でも、心配は不要です。

データの構造式から分割法を理解する

1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
2. 一部の項を変形すれば分割法になる

②分割法のデータの構造式が書ける

データの構造式

1段分割が2因子、2段分割が1因子から構成する3因子の分割法を考えます。

三元配置実験のデータの構造式

x_ijk=μ+α_i+β_j+γ_k+(αβ) _ij+(αγ) _ik+(βγ) _jk+e_ijk

(αγ) _ik=e_(1)ik
(βγ) _jk+e_ijk= e_(2)ijk
に変形すると、分割法(2因子+1因子の2段分割)のデータの構造式ができます。

分割法のデータの構造式

x_ijk=μ+γ_k+α_i+e_(1)ik+β_j+(αβ) _ij+ e_(2)ijk

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：α、β、αβ
変量因子：r、e₍₁₎、e₍₂₎

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

平均値の式の代表例

データの構造式

x_ijk=μ+γ_k+α_i+e_(1)ik+β_j+(αβ) _ij+ e_(2)ijk

\(\bar{x_{i‥}}=μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}}\)
\(\bar{x_{･j･}}=μ+\bar{r}+β_j+\bar{e_{(2)･j･ }}\)
\(\bar{x_{‥k}}=μ+r_k+\bar{e_{(1)･k}}+\bar{e_{(2)･･k}}\)
\(\bar{x_{ij･}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i･}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij･}}\)
\(\bar{x_{i･k}}\)=μ+\(r_k\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)ik}}\)+\(\bar{e_{(2)i･k}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③分割法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A、S_A×B、S_e(2)を例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×B}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_{e(2)}\)=\( \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i･k}}+\bar{x_{i‥}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④分割法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i‥}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i )^2\)]+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i‥}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(bc(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(bσ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2\))

主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。

E[\(V_A\)]=\(bcσ_A^2\) +\((bσ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2\))

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{A×B}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

=cE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}((αβ)_{ij}+(\bar{e_{(2)ij･}}-\bar{e_{(2)i‥}}-\bar{e_{(2)･j･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項：
cE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(((αβ)_{ij})^2]\)
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B}^2\)

第2項：
\(cE[\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}]\)
\((\bar{e_{(2)ij･}}-\bar{e_{(2)i‥}}-\bar{e_{(2)･j･}}+\bar{\bar{e}})^2]\)
=\((a-1)(b-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×B}\)]
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B}^2\)+\((a-1)(b-1)σ_e^2\)

交互作用A×Bの自由度は(a-1)(b-1)より、分散の期待値E[V_A×B]が求まります。

E[\(V_{A×B}\)]=\(cσ_{A×B}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{A×B}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_{e(2)}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((x_{ijk}-\bar{x_{i･k}}-\bar{x_{ij･}}+\bar{x_{i･･}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((e_{(2)ijk}-\bar{e_{(2)i･k}}-\bar{e_{(2)ij･}}+\bar{e_{(2)i･･}})^2\)]

E[\(S_{e2}\)]=\(a(b-1)(c-1)σ_e^2\)

(全計算過程は解説集にあります)

残差e₍₂₎の自由度はa(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V e₍₂₎]が求まります。

E[\(e_{(2)}\)]=\(σ_e^2\)

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。

1. データの構造式を書く
2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

⑥分割法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
2. 誤差eの自由度φ_eである。
3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、R,e₍₁₎とe₍₂₎の分散の推定値E[V]を導出します。

上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_R^2}=\frac{1}{ab}(V_R-V_{e(1)})\)
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}=\frac{1}{b}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)=V_e(2)

主効果の点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i・・}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{r}+α_i +\bar{e_{(1)i・}}+\bar{e_{(2)i・・}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i))\)
=V[μ+\(\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i‥}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{(1)i・}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)i・・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{c}+\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{c}+\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{bc}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i B_j)=\bar{x_{ij・}}\)=\(\widehat{μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}}\)
=\(μ+ \bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i・}}+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{(2)ij・}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j))\)
=V[μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{(1)i･}}\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij･}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{(1)i・}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)ij・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_R^2}}{c}+\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{c}+\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{c}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦分割法の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

まとめ

分割法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

• ➀分割法とは何かがわかる
• ②分割法のデータの構造式が書ける
• ③平方和の分解の式が書ける
• ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
• ⑤分散分析ができる
• ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
• ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

実験計画法

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