投稿者: QCプラネッツ

「待機系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①待機系の種類
• ➁温予備系とは
• ➂温予備系の平均寿命の計算

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①待機系の種類

待機系ではさらに３つに分類できます。信頼性工学の専門書レベルですが、比較すると理解が深まるので解説します。

1. 熱予備
2. 温予備
3. 冷予備

3つの違いを表にします。

名前に、温度が関係する文字があるのは、対応する系の設備や施設と関連があるからです。

イメージは、

実は、下の待機系の記事は、冷予備系を前提に書いています。本記事はもう少し詳細に解説します。

また、信頼度\(R_s(t)\)の式も若干異なります。それぞれ解説記事があります。
●冷予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
●温予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)
●熱予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+αR_2(t)(1-R_1(t))\)

➁温予備系とは

温予備系とは

比較として冷予備系についての記事をリンクします。ご確認ください。

待機系の冷予備系の信頼性・故障率がわかる 待機系の冷予備系信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

温予備系の信頼度\(R_s(t)\)

信頼度\(R_s(t)\)は、
●温予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)
(0 ≤ \(α\) ≤ 1)
(1 ≤ \(k\) )
ですが、式の意味を解説すると、

その分、計算は煩雑になりますが、いい計算練習にはなります。

実例として、\(α\) =1、\(R_1(t)\)=\(e^{-λ_1 t}\)、\(R_2(t)\)=\(e^{-λ_2 t}\)として、\(R_s(t)\)を求めましょう。

まず、計算が大変そうな\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)を計算すると、
\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{t} λ_1 e^{-λ_1 t} e^{λ_2 (t-(1-\frac{1}{k})τ)} dτ\)
=\(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2(1-\frac{1}{k})} (1- e^{-(λ_1 – λ_2(1-\frac{1}{k}))t})\)

よって、\(R_s(t)\)は
\(R_s(t)\)= \(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2(1-\frac{1}{k})} (1- e^{-(λ_1 – λ_2(1-\frac{1}{k}))t})\)

以降、\(λ\)=\(λ_1\)=\(λ_2\)について計算すると、
\(R_s(t)\)= \(\frac{λe^{-λt}}{λ – λ(1-\frac{1}{k})} (1- e^{-(λ– λ(1-\frac{1}{k}))t})\)
=\(e^{-λt} (1+k(1-e^{-\frac{λ}{k}t}))\)
とシンプルになります。

温予備系の信頼度\(R_s(t)\)と並列系の信頼度\(R_p(t)\)の比較

並列系の信頼度\(R_p(t)\)の導出

関連記事にありますので、ご確認ください。

並列系の信頼性・故障率がよくわかる 並列系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

\(R_p(t)\)=\(R_1+R_2-R_1 R_2\)より
\(R_p(t)\)=\(e^{-λ_1 t}\)+\(e^{-λ_1 t}\)-\(e^{-λ_1 t}\)\(e^{-λ_1 t}\)
=\(2e^{-λt}\)+\(e^{-2λt}\)

温予備系の信頼度\(R_s(t)\)と並列系の信頼度\(R_p(t)\)の比較

\(R_s(t)\)- \(R_p(t)\)
=\(e^{-λt} (1+k(1-e^{-\frac{λ}{k}t})\)-(\(2e^{-λt}\)+\(e^{-2λt}\))
=\( e^{-λt}(k(1- e^{-\frac{λ}{k}t})-(1- e^{-λt}))\)

ここで指数関数を２次項までテーラー展開した結果を代入すると、
=\( e^{-λt}(k(1-1+\frac{λ}{k}-\frac{λ^2}{2k^2}t^2)-(1-1+λt-\frac{λ^2}{2}t^2)\)
=\( e^{-λt} \frac{λ^2 t^2}{2}(1-\frac{1}{k})\) > 0
(1 ≤ \(k\) )

より、確かに、

温予備系の確率密度関数\(f_s(t)\)

次に確率密度関数\(f_s(t)\)を計算します。導出方法が２つあります。

1. 信頼度\(R_s(t)\)の微分から
2. 1系、２系の確率密度関数の関係式から

２つ目の「1系、２系の確率密度関数の関係式から」は大変なので、
信頼度\(R_s(t)\)の微分から計算しましょう。

信頼度\(R_s(t)\)の微分から導出

\(f_s(t)\)=\(-\displaystyle \frac{dR_s(t)}{dt} \)
=\(λ(k+1)e^{-λt}(1-e^{-\frac{λ}{k}t})\)

少し複雑な微分ですが、良い計算練習にはなります。

➂温予備系の平均寿命の計算

平均寿命μの導出

μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f_s(t) dt\)
で計算できます。複雑な式をがんばって部分積分しましょう。

μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f_s(t) dt\)
=\(λ(k+1) \displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λt} (1-e^{-\frac{λ}{k}t})dt \)

部分積分すると、
\(\displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λt} dt \)
=\( \left[ -\frac{1}{λ}t e^{-λt}-\frac{1}{λ^2} e^{-λt} \right]_0^∞ \)

\(\displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λ(1+\frac{1}{k})t} dt \)
=\( \left[ -\frac{1}{λ(1+\frac{1}{k})}t e^{-λ(1+\frac{1}{k})t}+\frac{1}{λ^2 (1+\frac{1}{k})^2} e^{-λ(1+\frac{1}{k})t} \right]_0^∞ \)

部分積分の結果を代入すると
μ=\(λ(k+1)( \left[ -\frac{1}{λ}t e^{-λt}-\frac{1}{λ^2} e^{-λt} \right]_0^∞ \)- \( \left[ -\frac{1}{λ(1+\frac{1}{k})}t e^{-λ(1+\frac{1}{k})t}+\frac{1}{λ^2 (1+\frac{1}{k})^2} e^{-λ(1+\frac{1}{k})t} \right]_0^∞ )\)
=\(λ(k+1) (\frac{1}{λ^2}-\frac{k^2}{λ^2 (k+1)^2})\)
=\(\frac{2k+1}{λ(k+1)}\)
=\(\frac{1}{λ}(1+\frac{k}{1+k})\)

まとめると、
平均寿命μ=\(\frac{1}{λ}(1+\frac{k}{1+k})\)

冷予備系と温予備系の平均寿命μの比較

●冷予備系の平均寿命\(μ_1\)=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)
=μ=\(\frac{2}{λ}\)
●温予備系の平均寿命\(μ_2\)=\(\frac{1}{λ}(1+\frac{k}{1+k})\)

平均寿命を比較すると、
\(μ_1\)-\(μ_2\)
=\(\frac{2}{λ}\)-\(\frac{1}{λ}(1+\frac{k}{1+k})\)
=\(\frac{1}{λ(k+1)}\) > 0

より、確かに、

温予備系と熱予備系を見て、待機系の３つの違いを比較して理解しましょう。

まとめ

「待機系の温予備系の信頼性・故障率がわかる」を解説しました。

• ①待機系の種類
• ➁温予備系とは
• ➂温予備系の平均寿命の計算

信頼性工学

「待機系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①待機系の種類
• ➁冷予備系とは
• ➂冷予備系の平均寿命の計算

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①待機系の種類

待機系ではさらに３つに分類できます。信頼性工学の専門書レベルですが、比較すると理解が深まるので解説します。

1. 熱予備
2. 温予備
3. 冷予備

3つの違いを表にします。

名前に、温度が関係する文字があるのは、対応する系の設備や施設と関連があるからです。

イメージは、

実は、下の待機系の記事は、冷予備系を前提に書いています。本記事はもう少し詳細に解説します。

また、信頼度\(R_s(t)\)の式も若干異なります。それぞれ解説記事があります。
●冷予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
●温予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)
●熱予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+αR_2(t)(1-R_1(t))\)

➁冷予備系とは

冷予備系とは

実は、下の待機系の記事は、冷予備系を前提に書いています。本記事はもう少し詳細に解説します。

待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

冷予備系の信頼度\(R_s(t)\)

信頼度\(R_s(t)\)は、
\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
(0 ≤ \(α\) ≤ 1)
ですが、式の意味を解説すると、

２系は１系の影響を受けて稼働する・しないを決めるので、並列系のように単純な信頼度の積ではなく、畳み込み積分で計算します。

実例として、\(R_1(t)\)=\(e^{-λ_1 t}\)、\(R_2(t)\)=\(e^{-λ_2 t}\)として、\(R_s(t)\)を求めましょう。

まず、計算が大変そうな\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)を計算すると、
\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{t} λ_1 e^{-λ_1 t} e^{λ_2 (t-τ)} dτ\)
=\(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)

よって、\(R_s(t)\)は
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)+α\(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)

ここで、α=0の場合、（切り替わりが失敗した場合）
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)=\(R_1(t)\)
と1系の信頼度だけで、
\(R_s(t)\)が最小の場合となります。

以降、α=１（切り替わりが確実に成功する場合）について計算すると、
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)+ \(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)
=\(\frac{1}{λ_1 – λ_2} (-λ_2 e^{-λ_1 t} +λ_1 e^{-λ_2 t})\)
となります。

冷予備系の確率密度関数\(f_s(t)\)

次に確率密度関数\(f_s(t)\)を計算します。導出方法が２つあります。

1. 信頼度\(R_s(t)\)の微分から
2. 1系、２系の確率密度関数の関係式から

２つ目の「1系、２系の確率密度関数の関係式から」は関連記事で導出済です。ご覧ください。

待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

信頼度\(R_s(t)\)の微分から導出

\(f_s(t)\)=\(-\displaystyle \frac{dR_s(t)}{dt} \)
=-\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} e^{-λ_1 t}\) + \(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} e^{-λ_2 t}\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} (e^{-λ_2 t} – e^{-λ_1 t})\)
となり、関連記事からの導出結果と一致します。

➂冷予備系の平均寿命の計算

関連記事で解説済ですが、待機系と並列系の違いがよくわかるので重要です。

２つ目の「1系、２系の確率密度関数の関係式から」は関連記事で導出済です。ご覧ください。

待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

平均寿命μの導出

μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f_s(t) dt\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} \displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λ_2 t} (1-e^{-(λ_1-λ_2)t})dt \)

部分積分すると、
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2}\)
=\(( \left[ -\frac{1}{λ_2^2} e^{-λ_2 t}-\frac{1}{λ_2} t e^{-λ_2 t} \right]_0^∞ \)
+\( \left[ -\frac{1}{λ_1^2} e^{-λ_1 t}-\frac{1}{λ_1} t e^{-λ_1 t} \right]_0^∞ )\)

=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} (\frac{1}{λ_2^2 -λ_1^2 }) \)
=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)

まとめると、
平均寿命μ=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)

冷予備系(待機系)と並列系の比較

次は、温予備系と熱予備系を見て、待機系の３つの違いを比較して理解しましょう。

まとめ

「待機系の冷予備系の信頼性・故障率がわかる」を解説しました。

• ①待機系の種類
• ➁冷予備系とは
• ➂冷予備系の平均寿命の計算

信頼性工学

「待機系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①要素の種類
• ➁待機系は並列系と比較するとよくわかる
• ➂待機系の平均寿命の計算
• ➃待機系はさらに種類がある
• ➄絶対解いて欲しい演習問題

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①要素の種類

信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。

要素の種類

1. 直列系
2. 並列系
3. 待機系
4. 多数決系

よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。

➁待機系は並列系と比較するとよくわかる

並列系を復習する

これは簡単ですよね。下図のように要素を並列に並べた系のことです。

待機系とは

基本は、並列系と同じ、機能を複数並列に並べるのですが、決定的に違う点があります。

つまり、
ブロック1も2も別々に動作していいのが並列系で、
あるブロック１が壊れたら直ちに並列する他のブロック2に切り替えるのが待機系です。

並列系と待機系は数式で書くと全く違うものになる

並列系と待機系はイメージ図はほとんど同じですが、計算方法が全く違います。

➂待機系の平均寿命の計算

信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)

畳み込み積分で確率密度関数\(f_s (t)\)を求めます。

畳み込み積分については、関連記事で復習しましょう。

【まとめ】畳み込み積分がよくわかる 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、 さらに一様分布、指数分布、正規分布、ポアソン分布、χ2乗分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。

平均寿命の計算の例題

２個のブロックが待機系にあり、それぞれのブロックの故障率が指数分布に従うとします。
●\(f_1(t)\)=\(λ_1 e^{-λ_1 t}\)
●\(f_2(t)\)=\(λ_2 e^{-λ_2 t}\)

ここで、例題です。

積分すればできます！

平均寿命の計算の解法

\(f_s (t)\)の計算

\(f_s (t)\)= \(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ) f_2(t-τ)dτ \)
=\(λ_1 λ_2 \displaystyle \int_{0}^{t} e^{-λ_1 τ} e^{-λ_2 (t-τ)}dτ\)
=\(λ_1 λ_2 e^{-λ_2 t} \displaystyle \int_{0}^{t} e^{-(λ_1-λ_2 )τ}dτ\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} e^{-λ_2 t} (1-e^{-(λ_1-λ_2)t}) \)

まとめると
\(f_s (t)\)= \(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} e^{-λ_2 t} (1-e^{-(λ_1-λ_2)t}) \)

できましたね！

平均寿命μの計算

μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f_s(t) dt\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} \displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λ_2 t} (1-e^{-(λ_1-λ_2)t})dt \)

部分積分すると、
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2}\)
=\(( \left[ -\frac{1}{λ_2^2} e^{-λ_2 t}-\frac{1}{λ_2} t e^{-λ_2 t} \right]_0^∞ \)
+\( \left[ -\frac{1}{λ_1^2} e^{-λ_1 t}-\frac{1}{λ_1} t e^{-λ_1 t} \right]_0^∞ )\)

=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} (\frac{1}{λ_2^2 -λ_1^2 }) \)
=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)

まとめると、
平均寿命μ=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)

平均寿命を並列系と待機系で比較する

並列系の平均寿命は関連記事で計算しています。確認ください。

並列系の信頼性・故障率がよくわかる 並列系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。

結果を比較すると、下表になります。

面白いですね。

➃待機系はさらに種類がある

1. 熱予備
2. 温予備
3. 冷予備

それぞれの違いについては関連記事で解説していきます。

➄絶対解いて欲しい演習問題

確率密度関数と平均寿命を求める問題で、畳み込み積分、指数関数からガンマ分布が復習できる良問です。

関連記事で解説しています。確認すると解けるはず。

ガンマ分布がよくわかる ガンマ分布が導出できますか？本記事では、直接、関数の式を見るのは危険なガンマ分布を指数分布からわかりやすく導出し、期待値・分散も途中過程を端折らず解説します。信頼性工学で必須なガンマ分布なので、必読な記事です。

まとめ

「待機系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。

• ①要素の種類
• ➁待機系は並列系と比較するとよくわかる
• ➂待機系の平均寿命の計算
• ➃待機系はさらに種類がある
• ➄絶対解いて欲しい演習問題

信頼性工学

「信頼度の推定方法がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方
• ➁寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
• ➂打切りの方法は複数ある
• ➃例題で信頼度の推定方法を理解する

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方

信頼性工学では、データの種類によって、寿命の推定方法が共通な所と異なる所があります。整理してわかりやすく解説します！

データの種類

1. 寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合
2. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
3. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その2)
4. 寿命分布なし、区間分け無、打切り無しの場合
5. 寿命分布なし、区間分け無、打切り有りの場合
6. 別途追加予定

古書を読むと、専門家が提案する難解な式を代入して解く方法が多いのですが、式の意味を理解して解きたいので、考えが合わないものは教科書ではなくＱＣプラネッツの考え方で解説します。

➁寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)

寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合とは

●寿命分布なしとは、

●区間分け有とは、

●打切り無しとは、

実際に、例題で解いてみましょう。あまり、難しく構える必要はありません。

そういう時は、いっぱい例題を見て、比較して理解すればＯＫです。

➂打切りの方法は複数ある

２つ打ち切る方法があります。3つ目以上もあるかもしれません。

1. 区間で打ち切る場合
   ←本記事のテーマ
2. 区間ごとで故障しない場合で打切る場合

区間で打ち切る場合を例に挙げます。

➃例題で信頼度の推定方法を理解する

例題

この例題だけだと、中学生でも解けます！でも、

1. 寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合
2. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
3. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その2)
4. 寿命分布なし、区間分け無、打切り無しの場合
5. 寿命分布なし、区間分け無、打切り有りの場合
6. …

と実際は、いろいろなパターンがあり、違いを理解して、どんな数式を使えばよいかを考えると、一気に大学レベルに上がります。

「寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合」と比較すると一気に難しく感じる！

関連記事に「寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合」の例題がありますが、その表をもってきましょう。

信頼度の推定方法がわかる(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合) いくつかある信頼度の推定方法が計算できますか？ 本記事では中学生レベルでもあり、大学レベルにもなる信頼度の推定方法をわかりやすく解説します。複数パターンがあり、個々のパターンの違いを明確に解説します。信頼性工学で混乱している人は必読です。

上の表で
●寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合
●寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合
で違いがありますよね。

ここが難しいポイントですよね！　解き方を丸暗記せず、理解して進めることが大事です。
⇒本記事で、一番言いたいところです。

解法

まず、信頼度を解く前に、

信頼度を計算する

単純明快で、　
信頼度R=残数/全個数で計算できます。

結果は、こうなります。

注意すべき点がある

それは、

例えば、110.5以上の打ち切りデータは、実際130くらいで故障したなら、区間を140まで延伸した方が、より精度の高い表ができます。これを実践するかどうか？

試験は打ち切らない方が精度の良い結果が出ますが、
実際は時間もお金もかかります。
区間をどこまでとするのが、妥当な区間域をどう決めるか？

実は、

寿命予測はここが難しいと言えます。

まとめ

「信頼度の推定方法がわかる(寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1))」を解説しました。

• ①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方
• ➁寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
• ➂打切りの方法は複数ある
• ➃例題で信頼度の推定方法を理解する

信頼性工学

「信頼度の推定方法がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方
• ➁信頼度の推定方法(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合)
• ➂例題で信頼度の推定方法を理解する

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方

信頼性工学では、データの種類によって、寿命の推定方法が共通な所と異なる所があります。整理してわかりやすく解説します！

データの種類

1. 寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合
2. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
3. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その2)
4. 寿命分布なし、区間分け無、打切り無しの場合
5. 寿命分布なし、区間分け無、打切り有りの場合
6. 別途追加予定

古書を読むと、専門家が提案する難解な式を代入して解く方法が多いのですが、式の意味を理解して解きたいので、考えが合わないものは教科書ではなくＱＣプラネッツの考え方で解説します。

➁信頼度の推定方法(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合)

寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合とは

●寿命分布なしとは、

●区間分け有とは、

●打切り無しとは、

実際に、例題で解いてみましょう。あまり、難しく構える必要はありません。

そういう時は、いっぱい例題を見て、比較して理解すればＯＫです。

➂例題で信頼度の推定方法を理解する

例題

この例題だけだと、中学生でも解けます！でも、

1. 寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合
2. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その1)
3. 寿命分布なし、区間分け有、打切り有りの場合(その2)
4. 寿命分布なし、区間分け無、打切り無しの場合
5. 寿命分布なし、区間分け無、打切り有りの場合
6. …

と実際は、いろいろなパターンがあり、違いを理解して、どんな数式を使えばよいかを考えると、一気に大学レベルに上がります。

解法

まず、信頼度を解く前に、

これに打ち切りが入るとすぐにややこしくなります。まずはシンプルな例題で理解する！
⇒本記事で、一番言いたいところです。

信頼度を計算する

単純明快で、　
信頼度R=残数/全個数で計算できます。

結果は

まとめ

「信頼度の推定方法がわかる(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合)」を解説しました。

• ①【まとめ】データの種類による推定方法の求め方
• ➁信頼度の推定方法(寿命分布なし、区間分け有、打切り無しの場合)
• ➂例題で信頼度の推定方法を理解する

信頼性工学

「並列系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①要素の種類
• ➁並列系の信頼度Rの計算
• ➂並列系の故障率λの計算
• ➃並列系のMTTFの計算

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①要素の種類

信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。

要素の種類

1. 直列系
2. 並列系
3. 待機系
4. 多数決系

よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。

➁並列系の信頼度Rの計算

並列系とは

これは簡単ですよね。下図のように要素を並列に並べた系のことです。

並列系の信頼度Rの計算

並列系の信頼度を求めます。

要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)とすると、全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^n (1-R_i (t))\)
=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^n F_i (t)\)

たとえば、n=2でR=0.9を並列にすると、並列の２個が両方同時に壊れる確率は(1-0.9)の2乗で1%。なので正常確率は1-0.01=0.99とR=0.9より確率が上昇しますね。

ただし、故障率が低下する分、要素・部品数は増加します。

指数分布の場合

並列については、2つ例を挙げて、計算します。

1. n=2,λの値が異なる場合

n=2,λの値が異なる場合

全体の信頼度は、
\(R_s (t)\)=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^2 (1-R_i (t))\)
=\(1-(1-R_1)(1-R_2)\)
=\(R_1 + R_2 -R_1 R_2\)

次に、確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)、MTTFを計算します。

➂並列系の故障率λの計算

信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)の導出

定義どおり、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)

で計算します。

指数分布の場合

n=2,λの値が異なる場合

(R_s (t))=(R_1 + R_2 -R_1 R_2)より、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
=\(f_1 (t)+f_2 (t)- R_1 (t) f_2 (t) – R_2 (t) f_2 (t)\)
=\((1-R_1 (t)f_2 (t)+ (1-R_2 (t)f_1 (t)\)
=\(F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)\)

具体的には、
●\(R_1 (t) =e^{-λ_1 t}\)
●\(R_2 (t) =e^{-λ_2 t}\)
を代入します。

●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)
=\(\frac{ F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)}{R_1 (t) +R_2 (t) – R_1 (t) R_2(t)}\)

➃並列系のMTTFの計算

故障率の逆数である平均寿命μ(MTTF)を計算しますが、

1. MTTFの定義式から積分して計算

で計算します。

MTTFの定義式から積分して計算

n=2,λの値が異なる場合

●\(f_s (t)\)=\(F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)\)
●\(R_1 (t) =e^{-λ_1 t}\)
●\(R_2 (t) =e^{-λ_2 t}\)
をつかいます。

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t (λ_2 (1-e^{-λ_1 t}) e^{-λ_2 t} +λ_1 (1-e^{-λ_2 t}) e^{-λ_1 t} )dt\)

=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t((λ_2 e^{-λ_2 t}+λ_1 e^{-λ_1 t})+(λ_1 +λ_2)e^{-(λ_1 +λ_2}t) dt\)

=\(\left[-te^{λ_2 t} +\frac{1}{λ_2}e^{-λ_2 t}\right]_{0}^{∞}\)+\(\left[-te^{λ_1 t} +\frac{1}{λ_1}e^{-λ_1 t} \right]_{0}^{∞}\)

=\(\left[ te^{-(λ_1 + λ_2)t} \right]_{0}^{∞}\)-\(\frac{1}{λ_1 +λ_2} \left[ e^{-(λ_1 + λ_2)t} \right]_{0}^{∞}\)

=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}-\frac{1}{λ_1 +λ_2}\)

結果のまとめ

まとめ

「並列系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。

• ①要素の種類
• ➁並列系の信頼度Rの計算
• ➂並列系の故障率λの計算
• ➃並列系のMTTFの計算

信頼性工学

「直列系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①要素の種類
• ➁直列系の信頼度Rの計算
• ➂直列系の故障率λの計算
• ➃直列系のMTTFの計算

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

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①要素の種類

信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。

要素の種類

1. 直列系
2. 並列系
3. 待機系
4. 多数決系

よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。

➁直列系の信頼度Rの計算

直列系とは

これは簡単ですよね。下図のように要素を直列に並べた系のことです。

直列系の信頼度Rの計算

直列系の信頼度は、各要素の信頼度の積になります。
並べ方はシンプルですが、1以下の信頼度をどんどん掛けていくと
系全体の信頼度は低下してしまいます。

要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)とすると、全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n R_i (t)\)

指数分布の場合

例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、

系全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{-λt}\)
=\(( e^{-λt})^n\)
となります。

あと、確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s (t)\)、MTTFを計算します。

➂直列系の故障率λの計算

信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)の導出

定義どおり、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)

指数分布の場合

例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、

\(f_i (t)\)と\(λ_i (t)\)はそれぞれ、

●\(f_i (t)\)=\(-\frac{dR_i (t)}{dt}\)=\(λ e^{-λt}\)
●\(λ_i (t)\)=\(\frac{f_i (t)}{R_i (t)}\)=\(\frac{1}{λ}\)
となります。

次に、系全体では、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)=\(nλ e^{-λt}\)
●\(λ_s (t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)=\(\frac{1}{nλ}\)
となります。

➃直列系のMTTFの計算

故障率の逆数である平均寿命μ(MTTF)を計算しますが、

1. MTTFは\(1/λ\)
2. MTTFの定義式から積分して計算

の2通り解析方法があります。それぞれ解説します。

MTTFは\(1/λ\)

単純に、
μ(=MTTF) = \(\frac{1}{λ_s (t)}\)より
指数関数の場合は、
μ(=MTTF) =\(\frac{1}{nλ}\)
と、個々の要素\(μ_i\)=\(\frac{1}{λ}\)の\(1/n\)倍になります。

それだけ、寿命が短くなり故障率が上がることがわかります。

MTTFの定義式から積分して計算

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)を使って計算します。

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t (e^{-λt})^n dt\)
=\(\left[ nλ(-\frac{1}{nλ} t(e^{-λt})^n -\frac{1}{(nλ)^2 (e^{-λt})^n}) \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{nλ}\)

と、積分しても同じ μ(=MTTF)= \(\frac{1}{nλ}\)となります。

結果のまとめ

まとめ

「直列系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。

• ①要素の種類
• ➁直列系の信頼度Rの計算
• ➂直列系の故障率λの計算
• ➃直列系のMTTFの計算

信頼性工学

「イベントの発生回数の場合はポアソン分布で、発生間隔は指数分布と使い分けるが、この意味や理由が理解できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
• ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

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①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容

信頼性工学で理解が必須！

統計学では、指数分布とポアソン分布は別物として扱っていても問題はありません。
ポアソン分布は正規分布に近似できるし、指数分布と正規分布は遠い関係なので、
指数分布とポアソン分布の関係を求める問いも少ないです。

なので、信頼性工学をマスターするには、
指数分布とポアソン分布の関係を数式で理解する必要があります。

指数分布とポアソン分布の関係が必要な場面

信頼性工学ではよく、以下の点で指数分布とポアソン分布の関係が必要です。

1. 指数分布に従う故障率をもつ試験の総時間Tと故障回数はポアソン分布に従う
2. 指数分布に従う故障率をもつ製品の抜取検査はポアソン分布で考える
   (JIS5003C-1974)

故障率を信頼性工学と指数分布で求めて、その製品を検査する場合、OC曲線に描くためにポアソン分布を使います。

よくある指数分布とポアソン分布の関係の説明

次のような表面的な説明が多いですね。説明者もわかっていないのではないかと疑問に思います。

なので、導出過程を見ましょう。

意外と、どこにも書いていないし、みんな当たり前に指数分布とポアソン分布の関係を書いているが、ちゃんと数式から導出して理解しよう！

➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

確率密度関数を定義

まず、ポアソン分布の確率密度関数を定義します。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) (式1)
ここで\(x\)は故障回数であり、自然数を取ることがポイントです。

ポアソン分布が不安な場合は関連記事で解説していますので、ご覧ください。

【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布 ポアソン分布の式がわからない・覚えられない、どんな場合に活用するかわからない、と苦手意識はありませんか？本記事では、ポアソン分布の関数の導出、正規分布近似、活用方法をわかりやすく解説します。ポアソン分布が全く理解できない方は必見です。

次に指数分布の確率密度関数を定義します。
●\(g(t)\)=\(e^{-λt}\) (式2)

ポアソン分布から指数分布を導出

指数分布の意味をよく考えると、

この意味をポアソン分布の確率密度関数を使って式をいじります。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) で\(λ\)⇒\(λT\)に変えて、
指数分布はまだ、故障していない、つまり、\(x=0\)を代入します。

●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)は
●\(f(x)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^x}{x!}\)として、
●\(f(x=0)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^0}{0!}\)
=\(e^{-λT}\)
≡\(g(T)\)
という関係式ができます。

よく、Ｔはある寿命試験の総試験時間として、故障回数を調べるときに使います。

シンプルですが、これでポアソン分布と指数分布の関係が数式から理解できました。

まとめ

「【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる」を解説しました。

• ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
• ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

信頼性工学

「寿命分布が正規分布の場合の点推定と区間推定がうまく計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①分布関数
• ➁尤度関数(ゆうど）を作る
• ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
• ➃点推定の導出
• ➄区間推定の導出

①分布関数

3つの分布関数を解説！

今回は、指数分布を取り上げますが、ＱＣプラネッツでは以下の3つの分布関数についても解説します。

1. 指数分布
2. ワイブル分布
3. 正規分布

そして、３つの分布関数に対して、共通の解法で解説していきます。

１回目の指数分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

2回目のワイブル分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

今回は正規分布

正規分布関数の確率密度関数を定義します。

正規分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

➁尤度関数(ゆうど）を作る

尤度関数とは？

Wikipedia から引用すると、

尤度関数とはある前提条件に従って結果が出る場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、変数とした関数。

尤度関数って何？

簡単に言うと、

とにかくやってみましょう。
いい加減に定義した関数が、良い加減な条件を作るので不思議です。

➂最尤推定量(さいゆう)を導出

正規分布の尤度関数を定義

こんな関数を尤度関数として定義します。理由はテキトーで、指数なので掛け算とlogを使いこなしたいから

とにかく尤度関数をテキトーに設定して、微分=0となる条件式を作ります。

尤度関数はとにかく「微分して０」を作る

\( L(σ,μ)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n (\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(t_i-μ)^2}{2σ^2}) \)
=\((\frac{1}{\sqrt{2π}σ})^n\)\(exp(-\frac{1}{2σ^2} \sum_{i=1}^{n} (t_i-μ)^2)\)

ここで、両辺をlogをとって、両辺を\(σ、μ\)それぞれで微分して、
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(σ,μ))}{\partial σ} \)=0
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(σ,μ))}{\partial μ} \)=0
の式を作ります。

最尤推定量は何が出るの？

とりあえず、尤度関数を微分して0になる条件式を作ります。

●(式1)：
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(σ,μ))}{\partial σ} \)
=-\(\frac{n}{σ}\)+\(2σ^3 \sum_{i=1}^{n} \frac{(t_i-μ)^2}{2}\)=0
まとめると
\(σ^2\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n}(t_i-μ)^2}{n}\)

●(式2)：
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(σ,μ))}{\partial μ} \)
=-\(\sum_{i=1}^{n} \frac{(μ-t_i)}{σ^2}\)=0
まとめると
\(nμ\)=\(\sum_{i=1}^{n} t_i\)
\(μ\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i }{n}\)

➃点推定の導出

尤度関数を微分して0になる条件式から、
●(式1)：\(σ^2\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n}(t_i-μ)^2}{n}\)
●(式2)：\(μ\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i }{n}\)
が出ました。

これって、

それっぽい尤度関数を勝手に定義して、強制的に微分=0すると、平均と分散が出るので不思議ですね。

よって、点推定は

➄区間推定の導出

区間推定は正規分布表から計算できる

指数分布やワイブル分布は、とにかくχ２乗分布に直して区間推定しましたが、
正規分布は正規分布表から区間を推定すればOKです。

例題で確認すれば簡単にわかる！

信頼性工学とはいえ、ただの正規分布の問題と思えば、難しい例題ではありません。

一見、難しそうですが、正規分布と信頼性工学を組み合わせた問題で良問です。

例題の解法

(1)の最尤推定値

(1)の最尤推定値は、

計算して、
\(\bar{μ}\)=2000/10=200
\(\bar{σ^2}\)=\(\sqrt{1268/10}\)=11.26
です。

(2)の信頼度

正規分布はZ値を使いますよね。
\(Z=\frac{x-μ}{σ/\sqrt{n}}\)
代入して
\(Z=\frac{220-200}{11.26}\)=1.776

正規分布表からZ=1.776以上となる確率は、Pr=0.0384。

引張強度が強すぎると壊れると考えると、信頼度は、
R=1-0.0384=0.9616
となります。

(3)の信頼度

参考に下図から問を考えます。

正規分布はZ値を使いますよね。(2)と同じです。
\(Z=\frac{x-μ}{σ/\sqrt{n}}\)
代入して
\(Z=\frac{220-200}{15}\)=1.333

正規分布表からZ=1.333以上となる確率は、Pr=0.0918。

引張強度が強すぎると壊れると考えると、信頼度は、
R=1-0.0918=0.9082
となります。

まとめ

「信頼度の点推定と区間推定がわかる(正規分布)」を解説しました。

• ①分布関数
• ➁尤度関数(ゆうど）を作る
• ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
• ➃点推定の導出
• ➄区間推定の導出

信頼性工学

「寿命分布がワイブル分布の場合の点推定と区間推定がうまく計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①分布関数
• ➁尤度関数(ゆうど）を作る
• ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
• ➃点推定の導出
• ➄区間推定の導出

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①分布関数

3つの分布関数を解説！

今回は、指数分布を取り上げますが、ＱＣプラネッツでは以下の3つの分布関数についても解説します。

1. 指数分布
2. ワイブル分布
3. 正規分布

そして、３つの分布関数に対して、共通の解法で解説していきます。

１回目の指数分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

今回はワイブル分布

ワイブル分布関数の確率密度関数を定義します。

ワイブル分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

➁尤度関数(ゆうど）を作る

尤度関数とは？

Wikipedia から引用すると、

尤度関数とはある前提条件に従って結果が出る場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、変数とした関数。

尤度関数って何？

簡単に言うと、

とにかくやってみましょう。
いい加減に定義した関数が、良い加減な条件を作るので不思議です。

➂最尤推定量(さいゆう)を導出

ワイブル分布の尤度関数を定義

こんな関数を尤度関数として定義します。理由はテキトーで、指数なので掛け算とlogを使いこなしたいから

とにかく尤度関数をテキトーに設定して、微分=0となる条件式を作ります。

尤度関数はとにかく「微分して０」を作る

\(L(α,β)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n \frac{α}{β}(\frac{t_i}{β})^{α-1} exp(-(\frac{t_i}{β})^α)\)
=\((\frac{α}{β})^n \frac{(t_1 t_2 …t_n)^{α-1}}{β^{n(α-1)}} exp(-\sum_{i=1}^{n} (\frac{t_i}{β})^α)\)

ここで、両辺をlogをとって、両辺を\(α、β\)それぞれで微分して、
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial α} \)=0
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial β} \)=0
の式を作ります。

最尤推定量は何が出るの？

とりあえず、尤度関数を微分して0になる条件式を作るのですが、

●(式1)：
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial α} \)=\(\frac{n}{α}\)+\(\sum_{i=1}^{n}log t_i\)-\(nlogβ\)-\(log(\frac{1}{β})(\frac{1}{β})^α \sum_{i=1}^{n} t_i-α\)-\(\frac{α}{β^α}\sum_{i=1}^{n} t_i^{α-1}\)=0
複雑すぎて、これ以上計算できませんね。。。

●(式2)：
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial β} \)=-\(\frac{nα}{β}\)+\(\frac{α}{β^{α+1}} \sum_{i=1}^{n} t_i-α\)=0
まとめると、
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)
となります。

困ったのが、(式1)は教科書では、
\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i^α log t_i}{\sum_{i=1}^{n}t_i^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}log t_i\)=0
となるようですが、そうなりませんでした。以後、(式1)はこの式を使います。

計算すると、
●\(α\)を求める(式1)は手計算で求められないので、\(f(t)\)のグラフの形から\(α\)を求めます。
●\(β\)は(式2)から手計算で計算できます。

➃点推定の導出

尤度関数を微分して0になる条件式から、

●(式1)：
\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i^α log t_i}{\sum_{i=1}^{n}t_i^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}log t_i\)=0

●(式2)：
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)

の２式を使います。実際に、故障数を\(r\)、打ち切り数を\(n-r\)、打ち切り時間を\(t_s\)とすると、(式1)、(式2)は以下のように変形します。

●(式1)：
\(\frac{\sum_{i=1}^{r} t_i^α log t_i+(n-r)t_s^α log t_s}{\sum_{i=1}^{r}t_i^α+(n-r)t_s^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{r}log t_i\)=0

●(式2)：
\(β\)=\((\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n} t_i^α+(n-r)t_s^α)^{\frac{1}{α}}\)

ちょっと難しいですね。せっかくワイブル分布を使うけど、点推定で激ムズなので、指数分布で簡単に解くのもアリと思います。

➄区間推定の導出

区間推定にχ2乗分布を使う理由

寿命がワイブル分布に従う場合、区間推定はχ2乗分布を使います。この理由は関連記事で解説しています。

関連記事からは、ワイブル分布から\(t_i\)を\(t_i^α\)に変えるとχ２乗分布に従う点が重要ですね。

χ2乗分布から区間推定

関連記事からは、ワイブル分布から\(t_i\)を\(t_i^α\)に変えるとχ２乗分布に従う点が重要ですね。

なので、\(2Z=\sum_{i=1}^{n} t_i^α\)はχ2乗分布に従います。

ところで、(式2)から、
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)
の\(\sum_{i=1}^{n} t_i^α\)は\(Z\)に相当するので、
\(β\)=\((\frac{1}{n} Z)^{\frac{1}{α}}\)
から
\(Z\)=\(nβ^α\)
となり、
\(2Z\)=\(2nβ^α\)はχ2乗分布に従います。

\(χ^2(2n,1-\frac{a}{2})\) < (\(2n β^α\)) < \(χ^2(2n, \frac{a}{2})\)
となります。

自由度\(n\)と有意水準\(a\)を選択して、χ２を計算すれば、区間に該当する\(α、β\)が計算できます。

まとめ

「信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)」を解説しました。

• ①分布関数
• ➁尤度関数(ゆうど）を作る
• ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
• ➃点推定の導出
• ➄区間推定の導出

信頼性工学