投稿者: QCプラネッツ

「信頼性に関して故障率と指数分布で定義した製品を抜取検査する場合、なぜポアソン分布で検査してよいのかがわからない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①信頼性における抜取検査
• ➁指数分布からポアソン分布への導出を解説

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①信頼性における抜取検査

品質管理と信頼性の抜取検査の違い

信頼性試験は、故障する・しないの試験ですが、一部のサンプルを抜き取って、ロットの合否判定したい場合があります。

ただし、品質管理における抜取検査とは次の３点が異なります。

品質管理の抜取検査と、少し違うところもありますが、信頼性について抜取検査することも可能です。

信頼性の抜取検査のOC曲線を考えてみましょう。

品質管理と信頼性のOC曲線の違い

下図で比較しましょう。

呼び名が変わる！

➁指数分布からポアソン分布への導出を解説

何でポアソン分布型で抜取検査するの？

教科書では、信頼性の場合は元々指数分布で定義されることが多く、抜取検査ではポアソン分布型を使う当たり前のように書いています。

簡単に導出を解説します。

指数分布からポアソン分布への導出を解説

抜取検査は、二項分布をよく使いますよね。ここからスタートします。

●二項分布は
\({}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}\)
ですね。

●次に\(p\)は不良率なので、ここに信頼性における指数分布式を代入します。
仮に、指数分布関数を
\(F(t)=1-e^{-λt}\)
とします。

●二項分布は
\({}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}\)
=\({}_n C_k F(t)^k (1-F(t))^{n-k}\)
=\({}_n C_k (1-e^{-λt})^k (e^{-λt})^{n-k}\)

ですね。

●次に指数関数型をテーラー展開しましょう。
\(e^t\)=1+\(t\)+\(\frac{t^2}{2!}\)+…
ですね。これの１次式まで使いましょう。

\(e^{-λt}\)=1-\(λt\)
\(1- e^{-λt}\)=1-(1-\(λt\))=\(λt\)
から、二項分布の式に代入すると、

●二項分布は
=\({}_n C_k (1-e^{-λt})^k (e^{-λt})^{n-k}\)
=\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (λt)^k (e^{-λt})^{n-k}\)
と変形させます。

ここで、変数\(a\)=\(λt(n-k)\)とおいて、整理すると
\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (λt)^k (e^{-λt})^{n-r}\)
=\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (\frac{a}{n-k})^k (e^{-a}\)
=\(\frac{1}{k!} a^k e^{-a} \frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)
と変形できます。

よく見ると、
=\(\frac{1}{k!} a^k e^{-a} \)はポアソン分布型で、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)は変な定数
となりますね。だいぶポアソン分布型になってきました。

さらに、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)を展開すると、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)
=\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{(n-k)(n-k)…(n-k)}\)×\(\frac{(n-k)(n-k-1)…1}{(n-k)(n-k-1)…1}\)
=\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{(n-k)(n-k)…(n-k)}\)
⇒1 (nが十分大きくなると)

まとめると、

これが、信頼性を抜取検査するときに、ポアソン分布型を使ってもよい理由となります。できましたね！

まとめ

「信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる」を解説しました。

• ①信頼性における抜取検査
• ➁指数分布からポアソン分布への導出を解説

信頼性工学

「MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式の意味や導出過程がわからない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな！
• ➁点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる
• ➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる
• ➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる

公式にもてあそばれないよう、ちゃんと式の導出を解説します！

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①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな！

QC検定®１級必須の公式

本記事で対象とする公式です。

①点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる

1つの式で導出できる

再掲しますが、

と３つ式が書いています。よく教科書では、

でも、この流れだと、

やってみればわかります。やってみてわかったことは、

つまり、

１つずつ詳しくみてきましょう。

(i)打切りデータ無しの場合

打切りデータが無い場合は、下図のように、\(t_1\),\(t_2\),…, \(t_n\)と各故障時間を見ていきます。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

(ii)定時打切りの場合

定時打切りの場合は、下図のように、ある時刻\(t_c\) (故障が\(r\)回と\(r+1\)回の間に到達する時間とします。)で区切ります。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

(iii)定数打ち切りの場合

定数打切りの場合は、下図のように、\(r回\)で故障する時刻\(t_r\) で区切ります。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

点推定の求め方を再掲すると

と３つ式がありますが、１つの考え方で３パタ―ンの式になることが良くわかりますね。

➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる

次に推定区間を求める式を解説します。これ、式の意味がわからないと暗記は正直キツイ。私もQC検定®１級試験時は思い出せなかった！　なので、導出過程を理解しましょう。

推定区間の導出式の表を再掲します。

指数分布、ガンマ分布、χ2乗分布の関係性を理解する

指数関数なのに、区間はχ2乗分布でしかも、2Tなり、自由度2nだったり、定時打切りと定数打切りでは自由度が若干違うなど、訳が分からないですよね！

ほな、解説行きます！

2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる

この理由は、

関連記事で詳しく解説しています。ご確認ください。

信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布) 信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事では指数分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

【必読】寿命計算の信頼区間にχ2乗分布を使う理由がよくわかる 指数分布に従う製品の寿命の信頼区間を計算するのに、何で自由度倍のχ2乗分布を使うか理由がわかりますか？本記事では理由を丁寧に解説します。単なる公式暗記ではなく、理由を理解することが大事です

理解するポイント

下図のように、

1. 指数関数をn回畳み込み積分するとガウス分布になる(数学的帰納法で証明できる)
2. ガンマ分布の変数を変換するとχ2乗分布の確率密度関数と一致する

となります。

ここで、χ2乗分布の確率密度関数
\(f(t,n)\)=\(\frac{1}{2^{n/2} Γ(n/2)} t^{n/2 -1} e^{-t/2}\)
に対して、
\(t=2λx\),\(n=2m\)と変換すると
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2^{m} Γ(m)} (2λx)^{m -1} e^{-λx}\)
=\(\frac{λ^{m-1}}{2Γ(m)} λ^{m-1} e^{-λx}\)
=\(\frac{1}{2λ} g(x)\)
(ここで\(g(x)\)はガンマ分布の確率密度関数)
となります。

ここで、変数\(x\)を総時間\(T\)に、
指数関数の場合の MTBF=\(\frac{1}{λ}\)の関係を代入すると、
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2λ} g(x)\)から
\(f(\frac{2T}{MTBF},2n)\)= \(\frac{1}{2λ} g(T)\)

よって、

➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる

自由度を2n,2(n+1)と異なる理由

この理由は簡単です。

これがわかれば、表を再掲しますが、随分、区間推定しやすくなったはずです。

実務上は自由度2nでもOK

でも、

と疑問に思いませんか？

その答えは、

実務上はＯＫな理由

χ2乗分布の値の表をみると、
\(χ^2(2(n+1),α)\) > \(χ^2(2n,α)\)です。
この逆数を考えたら、大小関係がわかりますね。

でも、試験の時は、求められる公式が使えるかどうかを確かめているので、個別の公式を使ってください。

まとめ

「【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる」を解説しました。

• ①MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式は暗記するな！
• ➁点推定(打切り有り無し両方)の導出がわかる
• ➂推定区間は、2Tを自由度2nのχ2乗分布で割る理由がよくわかる
• ➃定時打切りと定数打切りではχ2乗分布の自由度が異なる理由がわかる

信頼性工学

「多数決系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①多数決系とは
• ➁多数決系は二項定理が必要
• ➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)
• ➃多数決系の平均寿命

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

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①多数決系とは

多数決系とは

多数決系とは

多数決系では、例えば、
●電圧V₀の電源をn個直列につないだ系があり、全体でm V₀以上の電圧があればＯＫとする場合、
●5本のボルトによる継手があり、そのうち2本が破断しても必要な強度が確保できる場合
など、並列系より細かく信頼度を設定したい場合に使うのが多数決系です。

➁多数決系は二項定理が必要

多数決系の信頼度Rの考え方

多数決系の信頼度Rをどうやって定義するかですが、

1. 故障確率がある
2. n個中、mは正常動作
3. n個中、n個は故障

となる確率を計算すればよいので、二項定理が必要です。

つまり、\(n\)個のうち、\(k\)個が故障せず、残りの\(n-k\)個が故障する確率を多数決系全体の信頼度\(R_s\)とすると、

二項定理の式はＱＣで頻出！

この式は、

1. 組み合わせの確率
2. 二項定理
3. 抜取検査(OC曲線)

に出て来ますね。必ずマスターしましょう。

➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)

多数決系の信頼度

先程の定義式から、具体的に計算してみましょう。

\(n=3\),\(k=2\)の場合

\(R_s\)=\(\sum_{i=k}^{n} {}_n C_i R_c^i (1-R_c)^{n-i}\)
=\(\sum_{i=2}^{3} {}_3 C_i R_c^i (1-R_c)^{3-i}\)
=\( {}_3 C_2 R_c^2 (1-R_c)\)+\( {}_3 C_3 R_c^3 \)
=\(3R_c^2 -2R_c^3\)

信頼度の比較(多数決系VS並列系)

多数決系も並列系も、ある意味、冗長系です。
どっちが良いのか？比較したいですよね！

具体的に計算して比較しましょう。

並列系の場合

\(R_s1\)=1-\((1-R)^2\)より、
=\(2R-R^2\)

多数決系\(n=5\)の場合

\(R_s2\)=\(\sum_{i=k}^{5} {}_5 C_i R_c^i (1-R_c)^{5-i}\)より
\(i=1\)から5まで順に代入しましょう。

具体的には、
\(R_s(0)\)=\((1-R)^5\)
\(R_s(1)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)
\(R_s(2)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)
\(R_s(3)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)
\(R_s(4)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)+\(5R^4 (1-R)\)
\(R_s(5)\)=\((1-R)^5\)+\(5R(1-R)^4\)+\(10R^2 (1-R)^3\)+\(10R^3 (1-R)^2\)+\(5R^4 (1-R)\)+\(R^5\)

式が長いのでこのままExcelでグラフ化しましょう。

比較すると、

だから、

なので、多数決系は並列系で表現しにくい場合に使うと考えましょう。

多数決系では、例えば、
●電圧V₀の電源をn個直列につないだ系があり、全体でm V₀以上の電圧があればＯＫとする場合、
●5本のボルトによる継手があり、そのうち2本が破断しても必要な強度が確保できる場合
など、並列系より細かく信頼度を設定したい場合に使うのが多数決系です。

➃多数決系の平均寿命

ついでに、平均寿命μも計算しましょう。

平均寿命の計算例

\(n=3\),\(k=2\)の場合

\(R_s\)=\( 3R^2 -2R^3\)
を使います。

確率密度関数\(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR_s}{dt} \)で、
\(R(t)\)=\(e^{-λt}\)と指数分布としましょう。

\(f(t)\)=\(6R^2 f -6Rf\)

平均寿命μは、
μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f(t) dt\)より

μ=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} t (6R^2 f- 6Rf) dt\)
=\(6λ　\displaystyle \int_{0}^{∞} t(e^{-2λt}-e^{-3λt})\)
=\(\frac{5}{6} \frac{1}{λ}\)

となります。多数決系でも平均寿命は積分で計算できます。

まとめ

「多数決系の信頼性・故障率がわかる」を解説しました。

• ①多数決系とは
• ➁多数決系は二項定理が必要
• ➂信頼度の比較(多数決系VS並列系)
• ➃多数決系の平均寿命

信頼性工学

「並列系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①要素の種類
• ➁並列系の信頼度Rの計算
• ➂並列系の故障率λの計算
• ➃並列系のMTTFの計算

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①要素の種類

信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。

要素の種類

1. 直列系
2. 並列系
3. 待機系
4. 多数決系

よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。

➁並列系の信頼度Rの計算

並列系とは

これは簡単ですよね。下図のように要素を並列に並べた系のことです。

並列系の信頼度Rの計算

並列系の信頼度を求めます。

要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)とすると、全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^n (1-R_i (t))\)
=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^n F_i (t)\)

たとえば、n=2でR=0.9を並列にすると、並列の２個が両方同時に壊れる確率は(1-0.9)の2乗で1%。なので正常確率は1-0.01=0.99とR=0.9より確率が上昇しますね。

ただし、故障率が低下する分、要素・部品数は増加します。

指数分布の場合

並列については、2つ例を挙げて、計算します。

1. n=2,λの値が異なる場合

n=2,λの値が異なる場合

全体の信頼度は、
\(R_s (t)\)=1―\(\displaystyle \prod_{i=1}^2 (1-R_i (t))\)
=\(1-(1-R_1)(1-R_2)\)
=\(R_1 + R_2 -R_1 R_2\)

次に、確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)、MTTFを計算します。

➂並列系の故障率λの計算

信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)の導出

定義どおり、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)

で計算します。

指数分布の場合

n=2,λの値が異なる場合

(R_s (t))=(R_1 + R_2 -R_1 R_2)より、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
=\(f_1 (t)+f_2 (t)- R_1 (t) f_2 (t) – R_2 (t) f_2 (t)\)
=\((1-R_1 (t)f_2 (t)+ (1-R_2 (t)f_1 (t)\)
=\(F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)\)

具体的には、
●\(R_1 (t) =e^{-λ_1 t}\)
●\(R_2 (t) =e^{-λ_2 t}\)
を代入します。

●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)
=\(\frac{ F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)}{R_1 (t) +R_2 (t) – R_1 (t) R_2(t)}\)

➃並列系のMTTFの計算

故障率の逆数である平均寿命μ(MTTF)を計算しますが、

1. MTTFの定義式から積分して計算

で計算します。

MTTFの定義式から積分して計算

n=2,λの値が異なる場合

●\(f_s (t)\)=\(F_1 (t) f_2(t) + F_2 (t) f_1 (t)\)
●\(R_1 (t) =e^{-λ_1 t}\)
●\(R_2 (t) =e^{-λ_2 t}\)
をつかいます。

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t (λ_2 (1-e^{-λ_1 t}) e^{-λ_2 t} +λ_1 (1-e^{-λ_2 t}) e^{-λ_1 t} )dt\)

=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t((λ_2 e^{-λ_2 t}+λ_1 e^{-λ_1 t})+(λ_1 +λ_2)e^{-(λ_1 +λ_2}t) dt\)

=\(\left[-te^{λ_2 t} +\frac{1}{λ_2}e^{-λ_2 t}\right]_{0}^{∞}\)+\(\left[-te^{λ_1 t} +\frac{1}{λ_1}e^{-λ_1 t} \right]_{0}^{∞}\)

=\(\left[ te^{-(λ_1 + λ_2)t} \right]_{0}^{∞}\)-\(\frac{1}{λ_1 +λ_2} \left[ e^{-(λ_1 + λ_2)t} \right]_{0}^{∞}\)

=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}-\frac{1}{λ_1 +λ_2}\)

結果のまとめ

まとめ

「並列系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。

• ①要素の種類
• ➁並列系の信頼度Rの計算
• ➂並列系の故障率λの計算
• ➃並列系のMTTFの計算

信頼性工学

「直列系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①要素の種類
• ➁直列系の信頼度Rの計算
• ➂直列系の故障率λの計算
• ➃直列系のMTTFの計算

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

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①要素の種類

信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。

要素の種類

1. 直列系
2. 並列系
3. 待機系
4. 多数決系

よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。

➁直列系の信頼度Rの計算

直列系とは

これは簡単ですよね。下図のように要素を直列に並べた系のことです。

直列系の信頼度Rの計算

直列系の信頼度は、各要素の信頼度の積になります。
並べ方はシンプルですが、1以下の信頼度をどんどん掛けていくと
系全体の信頼度は低下してしまいます。

要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)とすると、全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n R_i (t)\)

指数分布の場合

例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、

系全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{-λt}\)
=\(( e^{-λt})^n\)
となります。

あと、確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s (t)\)、MTTFを計算します。

➂直列系の故障率λの計算

信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)の導出

定義どおり、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)

指数分布の場合

例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、

\(f_i (t)\)と\(λ_i (t)\)はそれぞれ、

●\(f_i (t)\)=\(-\frac{dR_i (t)}{dt}\)=\(λ e^{-λt}\)
●\(λ_i (t)\)=\(\frac{f_i (t)}{R_i (t)}\)=\(\frac{1}{λ}\)
となります。

次に、系全体では、

●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)=\(nλ e^{-λt}\)
●\(λ_s (t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)=\(\frac{1}{nλ}\)
となります。

➃直列系のMTTFの計算

故障率の逆数である平均寿命μ(MTTF)を計算しますが、

1. MTTFは\(1/λ\)
2. MTTFの定義式から積分して計算

の2通り解析方法があります。それぞれ解説します。

MTTFは\(1/λ\)

単純に、
μ(=MTTF) = \(\frac{1}{λ_s (t)}\)より
指数関数の場合は、
μ(=MTTF) =\(\frac{1}{nλ}\)
と、個々の要素\(μ_i\)=\(\frac{1}{λ}\)の\(1/n\)倍になります。

それだけ、寿命が短くなり故障率が上がることがわかります。

MTTFの定義式から積分して計算

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)を使って計算します。

μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t (e^{-λt})^n dt\)
=\(\left[ nλ(-\frac{1}{nλ} t(e^{-λt})^n -\frac{1}{(nλ)^2 (e^{-λt})^n}) \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{nλ}\)

と、積分しても同じ μ(=MTTF)= \(\frac{1}{nλ}\)となります。

結果のまとめ

まとめ

「直列系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。

• ①要素の種類
• ➁直列系の信頼度Rの計算
• ➂直列系の故障率λの計算
• ➃直列系のMTTFの計算

信頼性工学

「イベントの発生回数の場合はポアソン分布で、発生間隔は指数分布と使い分けるが、この意味や理由が理解できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
• ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

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①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容

信頼性工学で理解が必須！

統計学では、指数分布とポアソン分布は別物として扱っていても問題はありません。
ポアソン分布は正規分布に近似できるし、指数分布と正規分布は遠い関係なので、
指数分布とポアソン分布の関係を求める問いも少ないです。

なので、信頼性工学をマスターするには、
指数分布とポアソン分布の関係を数式で理解する必要があります。

指数分布とポアソン分布の関係が必要な場面

信頼性工学ではよく、以下の点で指数分布とポアソン分布の関係が必要です。

1. 指数分布に従う故障率をもつ試験の総時間Tと故障回数はポアソン分布に従う
2. 指数分布に従う故障率をもつ製品の抜取検査はポアソン分布で考える
   (JIS5003C-1974)

故障率を信頼性工学と指数分布で求めて、その製品を検査する場合、OC曲線に描くためにポアソン分布を使います。

よくある指数分布とポアソン分布の関係の説明

次のような表面的な説明が多いですね。説明者もわかっていないのではないかと疑問に思います。

なので、導出過程を見ましょう。

意外と、どこにも書いていないし、みんな当たり前に指数分布とポアソン分布の関係を書いているが、ちゃんと数式から導出して理解しよう！

➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

確率密度関数を定義

まず、ポアソン分布の確率密度関数を定義します。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) (式1)
ここで\(x\)は故障回数であり、自然数を取ることがポイントです。

ポアソン分布が不安な場合は関連記事で解説していますので、ご覧ください。

【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布 ポアソン分布の式がわからない・覚えられない、どんな場合に活用するかわからない、と苦手意識はありませんか？本記事では、ポアソン分布の関数の導出、正規分布近似、活用方法をわかりやすく解説します。ポアソン分布が全く理解できない方は必見です。

次に指数分布の確率密度関数を定義します。
●\(g(t)\)=\(e^{-λt}\) (式2)

ポアソン分布から指数分布を導出

指数分布の意味をよく考えると、

この意味をポアソン分布の確率密度関数を使って式をいじります。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) で\(λ\)⇒\(λT\)に変えて、
指数分布はまだ、故障していない、つまり、\(x=0\)を代入します。

●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)は
●\(f(x)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^x}{x!}\)として、
●\(f(x=0)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^0}{0!}\)
=\(e^{-λT}\)
≡\(g(T)\)
という関係式ができます。

よく、Ｔはある寿命試験の総試験時間として、故障回数を調べるときに使います。

シンプルですが、これでポアソン分布と指数分布の関係が数式から理解できました。

まとめ

「【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる」を解説しました。

• ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
• ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる

信頼性工学