【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる

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(A)(B)は、
関連記事「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。
(C)(D)は本記事です。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

この4つの流れで、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法、多水準法などすべてのパターンに適応できます。

4つの流れを理解して、速く計算したくなったら、田口の式や伊奈の式に代入でしましょう。

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
とします。因子A,Bと繰り返しの自由度はそれぞれa,b,cとします。

最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値の有効反復数を求めます。
ここで、\((αβ)_{ij}\)を無視した場合を紹介します。
その方が導出過程が理解しやすいからです。

★ (B)母平均の式を作る(関連記事)

\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}})\)+\((\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=(\(μ+α_i+\bar{e_{i‥}}\))
+(\(μ+β_j+\bar{e_{･j･}}\))
-(\(μ+\bar{\bar{e}}\))
=(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[\(μ(A_i B_j)\)]
=V[(\(μ+α_i+β_j+\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
=V[(\(\bar{e_{i‥}}+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}}\))]
= \((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})σ_e^2\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}σ_e^2\)

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。
以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

★田口の式、伊奈の式

★二元配置実験の場合を田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(a-1)+(b-1))}{abc}\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★二元配置実験の場合を伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
\(\frac{1}{n_e}\)=\((\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{abc})\)
=\(\frac{a+b-1}{abc}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

田口の式、伊奈の式は便利です。でも、

に注意しましょう。

また、

ならば

次に、複雑にした応用事例を解説します。

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。もう一度、書いておきます。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

慣れると、変量因子や残差項のみを書きましょう。
主効果や交互作用の項は書いても、分散を導出する時は0になるので、
最初から書かなくてもOKです。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab‥}}+\bar{x_{cd‥}}+\bar{x_{f･‥}}-2\bar{\bar{x}}\)
=\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)

直交表L16は添字4種類ですが、a,b,c,d,fの5種類を割当てています。
4種類から割り当てた種類を引いた分を・で表記します。

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(ABCDF)]
=V[\(\bar{e_{ab‥}}+\bar{e_{cd‥}}+\bar{x_{e･‥}}-2\bar{\bar{e}}\)]
= \((\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-2\frac{1}{16})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{2}σ_e^2\)

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\)
=\(\frac{1+φ_A+φ_B+φ_C+φ_D +φ_F+φ_AB +φ_CD}{16}\)
=\(\frac{1+1+1+1+1+1+1+1}{16}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

★ 伊奈の式で導出

\(\frac{1}{n_e}\)=点推定量の式で、各合計にかかっている係数の和
V[μ(ABCDF)]=V[μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)]
=8×\(\frac{1}{16}σ_e^2\)
\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{2}\)
となり、データの構造式から導出した結果と一致します。

同じデータの構造式は、
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
にあります。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

乱塊法と分割法のセットとなる、応用事例です。難しそうですが、

★(A)データの構造式を用意する(関連記事)

★(B)母平均の式を作る(関連記事)

μ(A_iB_j)
=\(μ+α_i+β_j\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)

★ (C)母平均の式に含まれる項を再度データの構造式に戻す

μ(A_iB_j)
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+\bar{e_{(1)i･}}+\bar{e_{(2)i･･}})\)
+\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+β_j+\bar{e_{(2)･j･}})\)
-\((μ+\bar{r}+\bar{\bar{e_{(1)}}}+\bar{ e_{(2)}})\)
=\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)

★ (D)戻したデータの構造式の分散を求める

V[μ(A_iB_j)]
=V[\((μ+\bar{r}+α_i+β_j+\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
= V[\((\bar{r} +\bar{e_{(1)i･}})\)
+\((\bar{e_{(2)i･･}}+\bar{e_{(2)･j･}}-\bar{ e_{(2)}})\)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

ここで、分散分析表を作ります。必要なのは、効果、自由度、分散の期待値E[V]です。
さっと作れますか？　

関連記事
「分割法(2因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」
を確認しましょう。

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P27-30で確認ください。

★分散分析表

分散分析表から分散の推定値を導出します。

から、次を導出します。
●\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)= V_e(2)
●\(\widehat{σ_{e(1)}^2}\)=\(\frac{1}{b}\)( V_e(1)– V_e(2))
●\(\widehat{σ_R^2}\)=\(\frac{1}{ab}\)( V_R– V_e(1))

まとめると
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{c}\widehat{σ_R^2}+\frac{1}{c}\widehat{σ_{e(1)}^2}+(\frac{a+b-1}{abc})\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)

分割法の有効反復数の導出は、慣れるまでは大変かもしれません。
なので、田口の式、伊奈の式から導出しましょう。

追加で(E)も取り上げます！

★ 田口の式で導出

乱塊法＋分割法になると変量因子Rや残差eの種類が増えるため、田口の式を拡張する必要があります。
これも結構、ややこしい話ですけど。

反復因子Rを無視しないので、
V[μ(A_iB_j)]
=\(\frac{1}{全実験回数}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和)}{全実験回数}\) V_e(2)

=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=a-1)}{全実験回数}\) V_e(1)
+\(\frac{1+(無視しない要因の自由度の和=b-1)}{全実験回数}\) V_e(2)
=\(\frac{1}{abc}\) V_R+\(\frac{a-1}{abc}\) V_e(1)+\(\frac{b-1}{abc}\) V_e(2)
と一致します。

★ 伊奈の式で導出

分割法になると、データの構造式からの有効反復数の導出が大変です。
なので、田口の式や伊奈の式に頼りたいですが、公式も乱塊法や分割法によって
式を変形する必要があります。

分割法の有効反復数はデータの構造式から導出しても、
公式暗記しても難しいです。
ですから、導出過程をよく見て、本質を理解してください。

以上、「【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる」を解説しました。