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信頼性工学の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

信頼性工学の演習問題【QC検定®2級対策】

問1.MTTF,MTBF,MTTR(その1)
問2. MTTF,MTBF,MTTR(その2)
問3. 指数分布による信頼度の計算
問4. 故障モード(バスタブ曲線)
問5. システムの信頼度(直列、並列)

内容が簡単なので、持ち時間は短いです。

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

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●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

問1. MTTF,MTBF,MTTR(その1)

問1 . 以下の用語に適する説明文を選べ。持ち時間2分
用語: (A) MTTF (B) MTBF (C) MTTR
(1) 電球100個が1個平均あたりに壊れるまでの時間
(2) 電気スタンドを1000日使っているが、過去に4回壊れて修理した。故障中は1日不使用だった。
(3) 故障した部品を取り換えるのにかかる時間

回答欄

問	(1)	(2)	(3)
回答

★解説(クリックで開きます)

MTTF⇒非修理系(一度壊れると修理不能)
MTBT,MTTR⇒修理系(都度修理しながら使うもの)

★後ろの2文字で区別する

MTTF⇒Mean Time to Failure
MTBT⇒Mean Time between Failures
MTTR⇒Mean Time to Repair

非修理系は、使い捨て品などのメンテナンスしない量産品など
修理系は、設備などメンテナンスするもの

(1)の電球は一度壊れたら終わりですね(修理できる人はいますが)。
⇒MTTF

(2)の電気スタンドは都度、直しているので修理系です。
⇒MTBF

故障した部品を取り換えるのは修理系です。
⇒MTTR

まとめると

問	(1)	(2)	(3)
回答	MTTF	MTBF	MTTR

問2. MTTF,MTBF,MTTR(その2)

問2.以下の( )を埋めよ。持ち時間5分
① 電球が200時間,150時間,250時間で故障した場合,平均動作時間(1)をといい,その時間は(2)時間である。
② ある設備を10000時間稼働している。過去に4回故障のため1回ずつ修理を設けた。平均稼働時間を(3)といい、その時間は(4)時間である。故障率λは(5)である。平均修理期間を(6)といい、その期間は(7)である。また、アベイラビリティは(8)である。

回答欄

(1)		(2)		(3)		(4)
(5)		(6)		(7)		(8)

★解説(クリックで開きます)

(1) 非修理系なのでMTTF
(2) (200+150+250)/3=200時間
(3) MTBF
(4) (10000-1×)/4=2499時間
(5)λ=1/2499=0.0004
(6)MTTR
(7)1時間
(8)1-λ=0.999

まとめると、

(1)	MTTF	(2)	200	(3)	MTBF	(4)	2499
(5)	0.0004	(6)	MTTR	(7)	1	(8)	0.9996

問3. 指数分布による信頼度の計算

問3. あるシステムのMTBFは2000時間である。故障率λを使って信頼度R(t)を R(t)=exp(-λt)とする。1000時間における信頼度はいくらか。持ち時間3分

回答欄

回答：

★解説(クリックで開きます)

λ=1/2000に従う指数分布でt=1000を代入します。
exp(-1/2000×1000)=0.607

まとめると、

0.607

問4. 故障モード(バスタブ曲線)

問4.故障モードは以下の３つに区分される。アからカのうち２つずつ選べ。持ち時間3分
(1) 初期段階にみられ、時間経過とともに故障率が低下。
(2) 一定の確率で故障が発生。
(3) 寿命に伴う故障率の増加。
ア.偶発故障イ.摩耗故障ウ.初期故障
エ.CFR型オ.IFR型カ.DFR型

回答欄

(1)

(2)

(3)

★解説(クリックで開きます)

バスタブ曲線と合わせて確認したいところですね。
初期故障⇒偶発故障⇒摩耗故障の順に
Decrease(減少)⇒Constant(一定)⇒Increase(増加)
となります。

まとめると、

(1)

ウ、カ

(2)

ア、エ

(3)

イ、オ

問5. システムの信頼度(直列、並列)

問5.信頼度が0.9の要素が１つある。この要素を組み合わせた以下のシステムの信頼度を計算せよ。持ち時間3分
(1) 要素を直列に2つつないだ場合。
(2) 要素を並列に１つつないだ場合。
(3) (2)の要素と直列に１つつないだ場合

回答欄

(1)

(2)

(3)

★解説(クリックで開きます)

直列は信頼度の積、並列は1-(1-信頼度)×(1-信頼度)です。

(1) 0.9×0.9=0.81
(2) 1-(1-0.9)(1-0.9)=0.99
(3) 0.99×0.9=0.891

まとめると、

(1)

0.81

(2)

0.99

(3)

0.891

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1.MTTF,MTBF,MTTR(その1)
問2. MTTF,MTBF,MTTR(その2)
問3. 指数分布による信頼度の計算
問4. 故障モード(バスタブ曲線)
問5. システムの信頼度(直列、並列)

2021年10月28日

実験計画法(二元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

実験計画法(二元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】

問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題

問1,2は関連記事にあります。

実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。

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問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題

問3 . 品質特性yに影響を与える因子Ａ(3水準),因子B(4水準)用意して1回ずつ計測した結果が下表である。持ち時間8分
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子Ａ,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

<データ>

N0	B1	B2	B3	B4	計
A1	4	7	6	3	20
A2	5	8	5	5	23
A3	6	9	7	7	29
計	15	24	18	15	72

回答欄

(1)
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A
	B
	e				–	–
	T			–	–	–
	有意性		–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1				–	–
	A2				–	–
	A3				–	–
	B1				–	–
	B2				–	–
	B3				–	–
	B4				–	–
(4)	最適条件	点推定	有効繰返し数	下限値	上限値	–
(4)						–

★解説(クリックで開きます)

(1)データの構造式
y_ij=μ+α_i+β_j+ε_ij

(2)
①2乗表を作成します。

–	B1	B2	B3	B4	計
A1	16	49	36	9	110
A2	25	64	25	25	139
A3	36	81	49	49	215
計	77	194	110	83	464

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{12}x_i)^2}{n}\)=72²/12=432
S_T=\(\sum_{i=1}^{12} x_i^2\)-CT=464-432=32

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(20²/4+23²/4+29²/4)-432=442.5-432=10.5

S_B=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(15²/3+24²/3+18²/3+15²/3)-432=450-432=18

S_e= S_T– S_A– S_B=32-10.5-18=3.5

●自由度φ
φ_T=12-1=11
φ_A=3-1=2
φ_B=4-1=3

φ_e=φ_T-φ_A-φ_B=6

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=10.5/2=5.25
V_B= S_B/φ_B=18/3=6
V_e=S_e/φ_e=3.5/6=0.583

●F値
F_A= V_A/ V_e=5.25/0.583=9
F_B= V_B/ V_e=6/0.583=10.286
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,6,0.05)=5.14
F_B0=F(φ_B,φ_e,α=F(3,6,0.05)=4.76

有意性の判定
F_A=9 &gt: F_A0=5.14
より因子Aの有意性は有り。
F_B=10.286 &gt: F_A0=4.76
より因子Bの有意性は有り。

(3)
●点推定
A1: 20/4=5
A2: 23/4=5.75
A3: 29/4=7.25
B1: 15/3=5
B2: 24/3=8
B3: 18/3=6
B4: 15/3=5

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5±0.934
■A₂: 5.75±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5.75±0.934
■A₃: 7.25±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=7.25±0.934
■B₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
■B₂: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=8±1.079
■B₃:6±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=6±1.079
■B₄: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079

(4)
最適条件：　A₃B₂
点推定： 9.25(=29/4+24/3-72/12)
有効繰返し数： 2 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\))
信頼区間　9.25±t(6,0.05) ×\(\sqrt{0.583/2}\)=9.25±1.321

まとめると、

(1)	y_ij=μ+α_i+β_j+ε_ij
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A	10.5	2	5.25	9	5.14
	B	18	3	6	10.286	4.76
	e	3.5	6	0.583	–	–
	T	46	11	–	–	–
	有意性	A:有り,B:有り	–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1	5	4.066	5.934	–	–
	A2	5.75	4.816	6.684	–	–
	A3	7.25	6.316	8.184	–	–
	B1	5	3.921	6.079	–	–
	B2	8	6.921	9.079	–	–
	B3	6	4.921	7.079	–	–
	B4	5	3.921	6.079	–	–
(4)	最適条件	点推定	有効繰返し数	下限値	上限値	–
(4)	A3B2	9.25	2	7.929	10.571	–

問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題

問4. 品質特性yに影響を与える因子Ａ(4水準),因子B(3水準)用意して2回ずつ計測した結果が下表である。持ち時間10分
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子A,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

<データ>

–	B1	B2	B3	計
A1	1 3 5	1 4 4	4 6 8	36
A2	2 5 8	4 6 8	6 8 7	54
A3	3 5 7	6 7 8	8 9 7	60
A4	4 6 8	7 8 9	9 10 5	66
計	57	72	87	216

回答欄

(1)
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A
	B
	A×B
	e					–
	T			–	–	–
有意性		–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1				–	–
	A2				–	–
	A3				–	–
	A4				–	–
	B1				–	–
	B2				–	–
	B3				–	–
(4)	最適条件	点推定	有効繰返し数	下限値	上限値	–
(4)						–

★解説(クリックで開きます)

(1)データの構造式
y_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+ε_ijk

(2)
①2乗表を作成します。

–	B1	B2	B3	計
A1	1 9 25	1 16 16	16 36 64	184
A2	4 25 64	16 36 64	36 64 49	358
A3	9 25 49	36 49 64	64 81 49	426
A4	16 36 64	49 64 81	81 100 25	516
計	327	492	665	1484

AiBjの2乗和も計算します。

–	B1	B2	B3	計
A1	81	81	324	486
A2	225	324	441	990
A3	225	441	576	1242
A4	324	576	576	1476
計	855	1422	1917	4194

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
＊修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{36}x_i)^2}{n}\)=216²/36=1296
＊S_T=\(\sum_{i=1}^{36} x_i^2\)-CT=1484-1296=188

＊S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(36²/9+54²/9+60²/9+66²/9)-1296=56

＊S_B=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(57²/12+72²/12+87²/12)-1296=37.5

＊S_AB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=4194/3-1296=102
＊S_A×B= S_AB– S_A– S_B
=8.5
＊S_e= S_T– S_A– S_B– S_A×B
=188-56-37.5-8.5=86

●自由度φ
φ_T=36-1=35
φ_A=4-1=3
φ_B=3-1=2
φ_A×B=(4-1)(3-1)=6
φ_e=φ_T-φ_A-φ_B-φ_A×B
=24

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=56/3=18.67
V_B= S_B/φ_B=37.5/2=18.75
V_A×B= S_A×B/φ_A×B=8.5/6=1.42
V_e=S_e/φ_e=86/24=3.58

●F値
F_A= V_A/ V_e=18.67/3.58=5.21
F_B= V_B/ V_e=18.75/3.58=5.23
F_A×B= V_A×B/ V_e=1.42/3.58=0.39

F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(3,24,0.05)=3.01
F_B0=F(φ_B,φ_e,α=F(2,24,0.05)=3.4
F_A×B0=F(φ_A×B,φ_e,α=F(6,24,0.05)=2.37

有意性の判定
F_A=5.21 &gt: F_A0=3.01
より因子Aの有意性は有り。
F_B=5.23 &gt: F_A0=3.4
より因子Bの有意性は有り。< br >
F_A×B=0.39 &lt: F_A×B0=2.37
より交互作用A×Bの有意性は無い。

(3)
●点推定
A1: 36/9=4
A2: 54/9=6
A3: 60/9=6.67
A4: 66/9=7.33
B1: 57/12=4.75
B2: 72/12=6
B3: 87/12=7.25

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A₁: 4±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=4±1.302
■A₂: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6±1.302
■A₃: 6.67±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6.67±1.302
■A₄: 7.33±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=7.33±1.302
■B₁: 4.75±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=4.75±1.127
■B₂: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=6±1.127
■B₃:7.25±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=7.25±1.127

(4)
最適条件：　A₄B₃
点推定： 8(=(9+10+5)/3)
有効繰返し数： 3 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{3}\))
信頼区間　8±t(24,0.05) ×\(\sqrt{3.58/3}\)=8±2.254

まとめると、

(1)	y_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+ε_ijk
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A	56	3	18.67	5.21	3.01
	B	37.5	2	18.75	5.23	3.4
	A×B	8.5	6	1.42	0.395	2.37
	e	86	24	3.58	0.39	–
	T	188	35	–	–	–
有意性	A:有,B:有,A×B:無	–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1	4	2.698	5.302	–	–
	A2	6	4.698	7.302	–	–
	A3	6.67	5.368	7.972	–	–
	A4	7.33	6.028	8.632	–	–
	B1	4.75	3.623	5.877	–	–
	B2	6	4.873	7.127	–	–
	B3	7.25	6.123	8.377	–	–
(4)	最適条件	点推定	有効繰返し数	下限値	上限値	–
(4)	A₄B₃	8	3	5.746	10.254	–

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
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問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題

問1,2は関連記事にあります。

実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。

2021年10月28日

実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】

問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題
問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題
問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題(その2)
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題(その2)

★問3,4は関連記事にあります。

実験計画法(二元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

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●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題

問1 品質特性yに影響を与える因子Ａ(3水準)用意して4回繰り返し、下表に結果をまとめた。持ち時間8分
(1) データの構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子Aの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最も特性値の大きい水準はどれか。

データ

–	A1	A2	A3	計
1	4	9	5	18
2	5	7	7	19
3	6	8	6	20
計	15	24	18	57

回答欄

(1)
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A
	e				–	–
	T			–	–	–
	有意性		–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1				–	–
	A2				–	–
	A3				–	–
(4)

★解説(クリックで開きます)

実験計画法をマスターするには、2段階必要です。
①まず、公式暗記して慣れること
②慣れたら、意味を考えること

QC検定®2級、1級合格には①だけでOKです。
でも②の意味も考えてほしいので、QCプラネッツでは
実験計画法が１つの解法ですべて解けるように解説しています。

(1)データの構造式が実験計画法の根幹です。
ただし、QC検定®2級合格には、式の暗記だけでOKです。
y_ij=μ+α_i+ε_ij

(2)
①２乗表を作成します。

	A1	A2	A3	計
1	16	81	25	122
2	25	49	49	123
3	36	64	36	136
計	77	194	110	381

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{9}x_i)^2}{n}\)=57²/9=361
S_T=\(\sum_{i=1}^{9} x_i^2\)-CT=381-361=20

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(15²/3+24²/3+18²/3)-361=375-361=14

S_e= S_T– S_A=20-14=6

●自由度φ
φ_T=9-1=8
φ_A=3-1=2
φ_e=φ_T-φ_A=6

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=14/2=7
V_e=S_e/φ_e=6/6=1

●F値
F_A= V_A/ V_e=7
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,6,0.05)=5.14

●有意性の判定
F_A=7 &gt: F_A0=5.14
より因子Aの有意性がある。

(3)
●点推定
A1: (4+5+6)/3=5
A2: (9+7+8)/3=8
A3: (5+7+6)/3=6

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n_{Ai}}}\)
■A₁: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=5±1.413
■A₂: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=8±1.413
■A₃: 6±t(6,0.05)×\(\sqrt{1/3}\)=6±1.413

(4)最も特性値の大きい水準はA₄

まとめると、

(1)	y_ij=μ+α_i+ε_ij
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A	14	2	7	7	5.14
	e	6	6	1	–	–
	T	20	8	–	–	–
	有意性	有り	–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1	5	3.587	6.413	–	–
	A2	8	6.587	9.413	–	–
	A3	6	4.587	7.413	–	–
(4)	A₄

問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題

問2 品質特性yに影響を与える因子A(3水準)用意して5回繰り返したが、一部データが欠損した。下表に結果をまとめた。持ち時間8分
(1) データの構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子Aの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最も特性値の大きい水準はどれか。

データ

No	A1	A2	A3	計
1	4	5	3	12
2	6	6	4	16
3	5	7	5	17
4	7	8	×	15
5	8	10	×	18
計	30	36	12	78

回答欄

(1)
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A
	B
	e				–	–
	T			–	–	–
	有意性		–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1				–	–
	A2				–	–
	A3				–	–
	B1				–	–
	B2				–	–
	B3				–	–
	B4				–	–
(4)	最適条件	点推定	有効繰返し数	下限値	上限値	–
(4)						–

★解説(クリックで開きます)

(1)データの構造式
y_ij=μ+α_i+ε_ij

(2)
①2乗表を作成します。

No	A1	A2	A3	計
1	16	25	9	50
2	36	36	16	88
3	25	49	25	99
4	49	64	×	113
5	64	100	×	164
計	190	274	50	514

②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{13}x_i)^2}{n}\)=78²/13=468
S_T=\(\sum_{i=1}^{13} x_i^2\)-CT=514-468=46

S_A=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(30²/5+36²/5+12²/3)-468=487.2-468=19.2

S_e= S_T– S_A=46-19.2=26.8

●自由度φ
φ_T=13-1=12
φ_A=3-1=2
φ_e=φ_T-φ_A=10

●不偏分散V
V_A= S_A/φ_A=19.2/2=9.6
V_e=S_e/φ_e=26.8/10=2.68

●F値
F_A= V_A/ V_e=9.6/2.68=3.58
F_A0=F(φ_A,φ_e,α=F(2,10,0.05)=4.1

●有意性の判定
F_A=3.58 &lt: F_A0=4.1
より因子Aの有意性は無い。

(3)
●点推定
A1: 30/5=6
A2: 36/5=7.2
A3: 12/3=4

●95%の信頼区間：
点推定±t(φ_e,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n_{Ai}}}\)
■A₁: 6±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/5}\)=6±1.631
■A₂: 7.2±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/5}\)=7.2±1.631
■A₃: 4±t(10,0.05)×\(\sqrt{2.68/3}\)=4±2.228

(4)最も特性値の大きい水準はA₂

まとめると、

(1)	y_ij=μ+α_i+ε_ij
(2)	効果	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	A	19.2	2	9.6	3.58	4.1
	e	26.8	10	2.68	–	–
	T	46	12	–	–	–
	有意性	無し	–	–	–	–
(3)	–	点推定	下限値	上限値	–	–
	A1	6	4.369	7.631	–	–
	A2	7.2	5.569	8.831	–	–
	A3	4	1.895	6.105	–	–
(4)	A₂

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題
問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題
問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題(その2)
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題(その2)

★問3,4は関連記事にあります。

実験計画法(二元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。

2021年10月28日

管理図の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

管理図の演習問題【QC検定®2級対策】

問1. 管理図の種類を答える演習問題1
問2. 管理図の種類を答える演習問題2
問3. Xbar-R管理図の演習問題
問4. pn管理図の演習問題
問5. 異常パターンの演習問題

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なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

★ QC模試受験しよう！

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品質技量の実力を試したい！ QC検定®合格対策に活用したい！オリジナル試験問題を提供します！

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★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

QC検定®3級、QC検定®2級受験の方、QC検定®１級受験挑戦する方への問題集(80問)です。
数学が苦手で品質管理の数理で苦戦していたら是非勉強しましょう！

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●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

●You tube動画でも解説しています。ご覧ください。

問1. 管理図の種類を答える演習問題1

問1 以下を工程管理する際に適切な管理図を答えよ。持ち時間　5分
(1) 非常に高価な原価である部品を毎日製造している。日々の部品の特性値を確認したいが、1日1部品のみ計測で検査コストを安く済ませたい場合。
(2) 大きさの異なるパネル板1m2あたりの傷の数を管理したい場合。
(3) 1日1000個製造する部品から出る不適合品数を日ごとに管理したい場合。
(4) 2種類の織物(4m2,6m2)を製造しているラインで、1m2あたりに発生するシミの数を管理したい場合。
(5) DVD-ROMを生産している。毎日生産枚数が異なる。日ごとの不良率を管理したい場合。
(6) 1箱10瓶入った液体の重要を管理している。毎日100箱納品しているが、重量の異常値がないかどうかを管理したい場合。

回答欄

(1)		(2)		(3)
(4)		(5)		(6)

★解説(クリックで開きます)

★計数値or計量値の判断
計数値なら、平均、データの判断
計量値なら、率・割合、個数の判断
で管理図を区別します。

<回答>

(1)	X-Rs管理図	(2)	c管理図	(3)	pn管理図
(4)	u管理図	(5)	p管理図	(6)	Xbar-Rs管理図

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問2. 管理図の種類を答える演習問題2

問2 . 管理図が従う分布について、空枠を埋めよ。持ち時間　5分

回答欄

データ	管理図	項目	分布
計量値	X-R管理図	―
計数値	pn管理図
	p管理図
	c管理図
	u管理図

★解説(クリックで開きます)

管理図の種類は項目と分布もまとめて覚えると良いです。

データ	管理図	項目	分布
計量値	X-R管理図	―	正規分布
計数値	pn管理図	不良個数	二項分布
	p管理図	不良率	二項分布
	c管理図	欠点数	ポアソン分布
	u管理図	単位当たりの欠点数	ポアソン分布

問3. Xbar-R管理図の演習問題

問3 . ある工程で4個を1群として全部で10群ある。これをX ̅-R管理図でチェックしたい。持ち時間５分
(1) 各群の平均X ̅と範囲Rを求めよ。
(2) X ̅管理図のLCL,UCLを計算せよ。ただし管理図係数一覧表を用いよ。
(3) R管理図のLCL,UCLを計算せよ。ただし管理図係数一覧表を用いよ。
(4) 管理図を描くと以下になった。管理状態を評価せよ。

<データ>

No.	X1	X2	X3	X4	平均Xbar	範囲R
1	30.3	32.3	34.4	25.7	30.7	8.7
2	31	36	33.5	36	34.1	5
3	27.5	34.5	35	26.7	30.9	8.3
4	23	26	23	26	24.5	3
5	28	28	29.2	28	28.3	1.2
6	30	30	26.5	31	29.4	4.5
7	35.2	24.8	32.9	27.3	30.1	10.4
8	30	30	26.3	29	28.8	3.7
9	33	26.8	33.5	27.5	30.2	6.7
10	30.6	30	33.2	31.8	31.4	3.2
―	―	―	―	平均	29.8	5.5

管理図係数一覧表

n	A2	D4	D3
2	1.88	3.267	–
3	1.023	2.574	–
4	0.729	2.282	–
5	0.577	2.114	–
6	0.483	2.004	–
7	0.419	1.924	0.076

回答欄

(1)	\(\bar{\bar{x}}\)	\(\bar{R}\)
(2)	LCL	UCL
(3)	LCL	UCL
(4)

★解説(クリックで開きます)

頻出問題です。確実に点数化しましょう。

(1) \(\bar{\bar{x}}\)=29.8
\(\bar{R}\)=5.5

(2)LCL=29.8+0.729×5.5=33.83
UCL=29.8-0.729×.5=25.85

(3)LCL=2.282×5.5=12.483
UCLは無し

(4)Xbar管理図で管理限界値を超えた異常値がある。

まとめると、

(1)	\(\bar{\bar{x}}\)	29.8	\(\bar{R}\)	5.5
(2)	LCL	33.83	UCL	25.85
(3)	LCL	12.483	UCL	無し
(4)	Xbar管理図で管理限界値を超えた異常値がある。

問4. pn管理図の演習問題

問4 . ある工程で発生する不適合品数をまとめると以下になった。pn管理図で管理したい。n=100とする。持ち時間　５分
(1) pn管理図のLCL,UCLを計算せよ。
(2) 管理図を描け
(3) 管理図から管理状態を評価せよ。

Day	pn	p%
1	20	20
2	9	9
3	8	8
4	8	8
5	9	9
6	9	9
7	9	9
8	8	8
9	2	2
10	8	8
平均	9	9

回答欄

(1)	LCL=
(1)	UCL=
(2)
(3)

★解説(クリックで開きます)

pn管理図も頻出問題です。

(1)LCL: pn-3\(\sqrt{pn(1-p)}\)=9-3\(\sqrt{9(1-0.09)}\)=0.415
UCL: pn+3\(\sqrt{pn(1-p)}\)=9-3\(\sqrt{9(1-0.09)}\)=17.585

(2)管理図

管理図

(3)上方管理限界値以上の異常値と、中心に寄りすぎる傾向がある。

まとめると

(1)	LCL=0.415
(1)	UCL=17.585
(2)	解説参照
(3)	上方管理限界値以上の異常値と、中心に寄りすぎる傾向がある。

問5. 異常パターンの演習問題

問5 . 異常パターンを列挙せよ。持ち時間5分

回答欄

(1)

(2)

(3)

(4)

★解説(クリックで開きます)

暗記より、異常の定義を理解しましょう。
●限界線を越えるもの
●偏った分布になるもの
など

(1)管理限界線を越えるものがある。

(2)連が現れる。

(3)連続して上昇傾向または下降傾向がみられる。

(4)交互に上下する点が現れる。

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1. 管理図の種類を答える演習問題1
問2. 管理図の種類を答える演習問題2
問3. Xbar-R管理図の演習問題
問4. pn管理図の演習問題
問5. 異常パターンの演習問題

2021年10月26日

OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう

「OC曲線を作り方がわからない」、「二項分布、ポアソン分布のOC曲線が描けない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

OC曲線(二項分布、ポアソン分布)を描こう

抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える

抜取検査の理論はすべてOC曲線で考えるため、OC曲線がすぐ描ける環境が必須です。

本記事ではExcel VBAを使ってOC曲線を描き、抜取検査の理論を追究できる準備をします。

➀OC曲線を描こう
②OC曲線の特徴

●You tube動画でも解説しています。

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本物の「抜取検査」問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方、抜取検査の本質・理論をしっかり学びたい方におススメです。

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

➀OC曲線を描こう

二項分布のOC曲線をExcelで描く

下図のように,Excelファイル(.xlsm)を用意し、
①シート”二項”に
②データ間隔[%]と③(n,c)の値を入れてください。
④VBAで④のように自動計算します。

ロット合格率L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
Excelではx=pとして計算します。

VBAプログラム例

1. Sub oc1()
2.
3. Dim nn(1 To 100) As Variant, cc(1 To 10000) As Variant
4. Dim tt(1 To 10000) As Double, ta(1 To 10000) As Double
5. Dim SH As String, ab As Double
6. Dim ncol As Long, nrow As Long
7.
8. SH = “二項” ‘計算シート
9. ncol = Worksheets(SH).Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column – 5
10. ‘最大列数
11.
12. ab = Worksheets(SH).Cells(2, 1) ‘間隔%から計算行数を計算
13.
14. nrow = Int(100 / ab) + 1 ‘間隔%から計算行数を計算
15.
16. ‘初期化
17. Range(Worksheets(SH).Cells(3, 6), Worksheets(SH).Cells(10000, 100)).ClearContents
18. Range(Worksheets(SH).Cells(6, 5), Worksheets(SH).Cells(10000, 100)).ClearContents
19.
20. Worksheets(SH).Cells(6, 5) = 0.001 ‘x=0の近い数を代入
21.
22. For i1 = 1 To ncol
23. Worksheets(SH).Cells(5, 5 + i1) = _
24. ( & Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1) & “,” & Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1) & “)”
25. nn(i1) = Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1) ‘N
26. cc(i1) = Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1) ‘c
27. Next i1
28.
29. For i1 = 1 To nrow ‘計算行数を算出
30. If i1 > 1 Then
31. ta(i1) = ta(i1 – 1) + ab
32. tt(i1) = ta(i1) / 100
33. Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5) = ta(i1)
34. End If
35. Next i1
36.
37. For i1 = 1 To nrow
38. For j1 = 1 To ncol
39. For k1 = 0 To cc(j1)
40. Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5 + j1) = Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5 + j1) + _
41. WorksheetFunction.Combin(nn(j1), k1) * tt(i1) ^ k1 * (1 – tt(i1)) ^ (nn(j1) – k1)
42. ‘二項分布の式からOC曲線を作る
43. Next k1
44. Next j1
45. Next i1
46.
47. End Sub

ポアソン分布のOC曲線をExcelで描く

下図のように,Excelファイル(.xlsm)を用意し、
①シート”二項”に
②データ間隔[%]と③(n,c)の値を入れてください。
④VBAで④のように自動計算します。

ロット合格率L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)
Excelではx=pとして計算します。ポアソン分布はnpを代入する点に注意します。

VBAプログラム例

1. Sub oc2()
2.
3. Dim nn(1 To 100) As Variant, cc(1 To 10000) As Variant
4. Dim tt(1 To 10000) As Double, ta(1 To 10000) As Double
5. Dim SH As String, ab As Double
6. Dim ncol As Long, nrow As Long
7.
8. SH = “ポアソン”
9. ncol = Worksheets(SH).Cells(1, Columns.Count).End(xlToLeft).Column – 5
10. ‘最大列数
11.
12. ab = Worksheets(SH).Cells(2, 1) ‘間隔%から計算行数を計算
13.
14. nrow = Int(100 / ab) + 1 ‘間隔%から計算行数を計算
15.
16. ‘初期化
17. Range(Worksheets(SH).Cells(3, 6), Worksheets(SH).Cells(10000, 100)).ClearContents
18. Range(Worksheets(SH).Cells(6, 5), Worksheets(SH).Cells(10000, 100)).ClearContents
19.
20. Worksheets(SH).Cells(6, 5) = 0 ‘x=0を代入
21.
22. For i1 = 1 To ncol
23. Worksheets(SH).Cells(5, 5 + i1) = _
24. ( & Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1) & “,” & Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1) & “)”
25. nn(i1) = Worksheets(SH).Cells(1, 5 + i1) ‘N
26. cc(i1) = Worksheets(SH).Cells(2, 5 + i1) ‘c
27. Next i1
28.
29. For i1 = 1 To nrow ‘計算行数を算出
30. If i1 > 1 Then
31. ta(i1) = ta(i1 – 1) + ab
32. tt(i1) = ta(i1) / 100
33. Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5) = ta(i1)
34. End If
35. Next i1
36.
37. Dim ramda As Double, fact As Double
38.
39. For i1 = 1 To nrow
40. For j1 = 1 To ncol
41. ‘λ=Nx/100で導出
42. ramda = _
43. Worksheets(SH).Cells(1, 5 + j1) * Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5) / 100
44. fact = 1
45. For k1 = 0 To cc(j1)
46. If k1 > 1 Then
47. fact = fact * k1 ‘階乗!を計算
48. End If
49. Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5 + j1) = _
50. Worksheets(SH).Cells(i1 + 5, 5 + j1) + Exp(-ramda) * ramda ^ k1 / fact
51. ‘ポアソン分布からOC曲線を導出
52. Next k1
53. Next j1
54. Next i1
55.
56. End Sub

OC曲線の特徴を理解する

次の変数を変えたらOC曲線はどう変化しますか？

(1)cを変える
(2)nを変える

グラフを描いて理解する

上記のExcelシートで解析しましょう。,

二項分布で次の値を入れます。
(n,c)=(100,10),(100,30),(300,30)

いろいろな値で試してください。

数式で理解する

グラフの変化を見て、なぜそうなるのか？を考えます。

(1)cを変える
(2)nを変える

●二項分布
L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布
L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)

(1)cを変えるは、\(\sum_{r=0}^{c}\)のcを変えるで、
Cが増えると加算が増えます。L(p)は増加します。

ここから、

(2)nを変えるは、\((1-p)^{n-r}\)のnを変えるで、
nが増えると\((1-p)^{n-r}\)と\(exp(-np) (np)^r\)は下がります。L(p)は低下します。

数式でもL(P)の変化が追えるようになりましょう。

ＱＣ検定®でも重要なポイントです。

抜取検査の演習問題【ＱＣ検定®2級対策】
ＱＣ検定®2級で必ず出題される抜取検査の演習問題とその解法を解説します。サンプリング、OC曲線、調整型抜取表の見方を5以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。ＱＣ検定®級合格したい方は必見です。さっと解けるか？チェックしてください。

●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

まとめ

OC曲線を自分で作りましょう。抜取検査の理論をマスターするために必要です。

➀OC曲線を描こう
②OC曲線の特徴

抜取検査

2021年10月25日

抜取検査の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

抜取検査の演習問題【QC検定®2級対策】

問1. サンプリングの演習問題
問2. OC曲線の演習問題
問3. 調整型抜取検査の演習問題

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

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QC検定®3級、QC検定®2級受験の方、QC検定®１級受験挑戦する方への問題集(80問)です。
数学が苦手で品質管理の数理で苦戦していたら是非勉強しましょう！

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①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

●You tube動画もごらんください

「QC検定®2級合格に必要な抜取検査を速く解けるようになれます！」

問1. サンプリングの演習問題

問1 .1箱に100瓶入ったジュース瓶が、200箱納入した。ジュースの糖分濃度を検査するために以下のサンプリングを行った。それぞれに該当するサンプリング方法を答えよ。　　持ち時間5分
(1) 全100×200瓶から100瓶を選び、検査した。
(2) 200箱全部を対象とし、各箱から2瓶を選び検査した。
(3) 200箱から2箱を対象とし、その中の全瓶を検査対象とした。
(4) 200箱から20箱を選び各箱から10瓶ずつ計200本を検査対象とした。

回答欄

(1)
(2)
(3)
(4)

★解説(クリックで開きます)

サンプリングの問題は暗記のみです。
QC検定®2級：サンプリングの種類だけ出題
QC検定®１級：サンプリングの種類による分散値の計算も出題

サンプリングの種類も分散値も覚えにくいですが、頑張りましょう。

こう来たら、これ！と覚えましょう。

(1)	単純ランダムサンプリング
(2)	層別サンプリング
(3)	集落サンプリング
(4)	2段サンプリング

問2. OC曲線の演習問題

問1 . Ｎ個の検査ロットからn個のサンプルを抜き出し、不適合品数xを調べる。基準c個に対し、x <cなら合格、そうでないなら不合格とする。下図に(n,c)=(100,1)のＯＣ曲線を示す。持ち時間5分

OC曲線

(1) 上図の縦軸と横軸はそれぞれ何を示すか。
(2) 以下の値が変化したらOC曲線はどう変化するか？
①Nとnは一定で、cを増やした場合。
②Nとcは一定で、nを増やした場合。
③Nをどんどん大きくした場合
(3) 第１種の誤りα=0.05とする場合の不良率と、第２種の誤りβ=0.1となる場合の不良率を求めよ。

回答欄

(1)	縦軸
(1)	横軸
(2)	①
	②
	③
(3)	α
(3)	β

★解説(クリックで開きます)

(1)OC曲線に慣れていない場合は、軸は覚えましょう。
(1)縦軸：ロット合格率L(p)
(2)横軸：不良率p(%)

(2)数式を使って解説します。二項分布でOC曲線を描きます。
ロット合格率L(p)は次の式で表現できます。
L(p)=\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)_{n-r}\)

①cを増やします。 \( \sum_{r=0}^{c}\)の加算回数が増えるので、L(p)は増加します。
よってグラフは右上に寄ります。

②nを増やします。L(p)の式の中の\((1-p)_{n-r}\)のnが増えると、
\((1-p)_{n-r}\)の値は小さくなります。
よってグラフは左下に寄ります。

③これは知っておいてください。N=nとして、nをどんどん大きくすると
L(p)の曲線は全数検査のように折れ線みたいになります。

①②③を図でまとめます。
OC曲線の変化は暗記してもOKですが、数式からわかることも重要です。

OC曲線

問3. 調整型抜取検査の演習問題

問3 . JIS Z 9015-1の検査に関する次の文章の各( )に入る適切なものを埋めよ。持ち時間５分
①通常検査水準Ⅱ、AQL =1.0のとき、N=2000のロットのなみ検査の一回抜取方式を求めよ。
サンプルサイズ=(1), n=(2), Ac=(3), Re=(4)
②①の条件で、N=200のときのなみ検査の一回抜取方式を求めよ。
サンプルサイズ=(5), n=(6), Ac=(7), Re=(8)
③通常検査水準Ⅱ、AQL=1.0のとき、N=2000のロットのきつい検査の一回抜取方式を求めよ。
サンプルサイズ=(9), n=(10), Ac=(11), Re=(12)
④通常検査水準Ⅱ、AQL=1.0とするとき、N=2000のロットのなみ検査の二回抜取方式は以下であった。
　n1=80, Ac1=1, Re1=3
　n2=80, Ac2=4, Re2=5
まずロットから(13)のサンプルを抜き取って検査する。サンプル中に不適合品が
　0個のときは、(14)と判定する。 1個のときは、(15)と判定する。　2個のときは、(16)と判定する。
　3個のときは、(17)と判定する。 4個のときは、(18)と判定する。
　検査続行となり、第２サンプルを取った場合、第２サンプルのなかに不適合品が、
　0個のときは、(19)と判定する。 1個のときは、(20)と判定する。　2個のときは、(21)と判定する。
　3個のときは、(22)と判定する。 4個のときは、(23)と判定する。
持ち時間5分

回答欄

(1)	(2)	(3)	(4)
(5)	(6)	(7)	(8)
(9)	(10)	(11)	(12)
(13)	(14)	(15)	(16)
(17)	(18)	(19)	(20)
(21)	(22)	(23)	(24)

★解説(クリックで開きます)

調整型抜取表(JISZ9015-1)の主抜取表を見ながら確認しましょう。
単純に表を読むだけのもの、
表の矢印↑↓の見方、
2回抜き取りの場合、
検査水準S-1～S-4,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲの区別、
を再確認してください。

回答

(1)	K	(2)	125	(3)	3	(4)	4
(5)	G	(6)	50	(7)	1	(8)	2
(9)	K	(10)	125	(11)	2	(12)	3
(13)	80	(14)	合格	(15)	合格	(16)	検査続行
(17)	不合格	(18)	不合格	(19)	合格	(20)	合格
(21)	合格	(22)	不合格	(23)	不合格	–	–

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1. サンプリングの演習問題
問2. OC曲線の演習問題
問3. 調整型抜取検査の演習問題

2021年10月25日

OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布をマスターする

「OC曲線を作る確率分布がわからない」、「超幾何分布、二項分布、ポアソン分布の違いがわからない」など確率分布への苦手意識がありませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布をマスターする

抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える

超幾何分布、二項分布、ポアソン分布は数式が全く違うが、値はほぼ同じです。二項分布、ポアソン分布を使って、不良率と不良数についてのOC曲線が描けます。

ポアソン分布を使ったOC曲線はあまり試験等に出ませんが、QCプラネッツではどんどん紹介します。

➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる
②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く
③OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布

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本物の「抜取検査」問題集を販売します！

QC検定®1級合格したい方、抜取検査の本質・理論をしっかり学びたい方におススメです。

今回、【QC検定®合格】「抜取検査」問題集を販売します！内容は、①二項分布・ポアソン分布、OC曲線、➁多回抜取検査、➂選別型抜取検査、➃計量抜取検査、⑤逐次抜取検査、⑥調整型抜取検査、⑦抜取検査まとめ　の７章全４７題を演習できる問題集です。しっかり勉強しましょう。

➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる

超幾何分布と二項分布を理解する

高校数学の確率がわかればOK！

二項分布と似ていますが、次の点で区別します。

二項分布：母集団のデータ数Nが無限、計算式がシンプル
超幾何分布：母集団のデータ数Nが有限、計算式が複雑

超幾何分布は、二項分布より手間がかかり、面倒ですが、母集団のデータ数を考慮したい場合使います。

超幾何分布と二項分布

確率の問題を使って超幾何分布と二項分布を比較します。

母集団データ数N、不良率p(%)、抜き取り数n、抜き取ったn個から不良がr個ある確率を求めよ。

超幾何分布：　\(\frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)

二項分布： \( _n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)

全体N個、不良総数はNp個なので、n個を抜き取る場合、
●良品は、全体(N-Np)個から(n-r)個抜き取られ、
●不良品は、全体Np個からr個抜き取られます。
これを確率の式に入れればOKです。高校数学のレベルです。

超幾何分布はN,p,n,rの変数で確率を表現しましたが、
二項分布はp,n,rです。Nはありません。
Nが十分大きい場合、超幾何分布と二項分布は同じとみなせます。

ポアソン分布と二項分布を理解する

ポアソン分布は式が難解すぎる

ポアソン分布は二項分布と似ていますが、次の点で区別します。

二項分布：不良率のような確率で表現したい場合
ポアソン分布：不良個数のような個数や数で表現したい場合

ポアソン分布は難しいので、関連記事にわかりやすく解説しています。

●ポアソン分布の式の覚え方
●ポアソン分布の式の導出
●ポアソン分布と二項分布の関係

【簡単】わかりやすくできるポアソン分布【初心者向け】
ポアソン分布の式がわからない・覚えられない、どんな場合に活用するかわからない、と苦手意識はありませんか？本記事では、ポアソン分布の関数の導出、正規分布近似、活用方法をわかりやすく解説します。ポアソン分布が全く理解できない方は必見です。

本記事では、二項分布とポアソン分布はnが大だと同じになるので、OC曲線が両方の分布で描けることを解説します。

②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く

OC曲線を描く準備をします。１つ確率の問題を出します。

母集団データ数100(個)、不良率10(%)、抜き取り数10(個)、抜き取った10(個)から不良が2個以下である確率を求めよ。

式を作ります。
●超幾何分布：\(\sum_{r=0}^{2} \frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)=
\(\sum_{r=0}^{2} \frac{ {}_{10} C_{r}\ {}_{90} C_{10-r}}{ {}_{100} C_{10}}\)
●二項分布：\(\sum_{r=0}^{2} {}_{10} C_r 0.1^r 0.9^{10-r}\)
●ポアソン分布：\(\sum_{r=0}^{2} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)=\(\sum_{r=0}^{2} exp(-1) \frac{(1)^r}{r!}\)

ポアソン分布の式にnp=10×10%=1となるtがところが難しいですね。

計算すると、
●超幾何分布: 0.9399
●二項分布：0.9281
●ポアソン分布 0.9197
とほぼ等しい結果になります。

数値が等しくなるので、OC曲線を作ることができます。

OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布

先の例題は不良率p=10%の１点についてだけ計算しました。pとロット合格確率L(p)の関係を調べましょう。

一般化して式を作ります。
●超幾何分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} \frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)
●二項分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} {}_{n} C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)

OC曲線を描きます。

OC曲線

抜取個数、許容不良数が同じの場合は、超幾何分布、二項分布、ポアソン分布
からできるOC曲線はほぼ同一です。

多くの教科書は、代表して二項分布から作るOC曲線を取り上げますが、
QCプラネッツは二項分布、ポアソン分布から作るOC曲線を取り上げます。

二項分布：不良率のような確率で表現したい場合
ポアソン分布：不良個数のような個数や数で表現したい場合

不良率、不良個数が検査合否規準に重要なパラメータであるからです。

超幾何分布は名前も、数式も難しいですが、二項分布にほぼ近似してよいでしょう。OC曲線からも明らかです。

まとめ

OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布について解説しました。OC曲線を構成する式の導出、式の意味を理解することが重要です。

➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる
②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く
③OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布

抜取検査

2021年10月24日

回帰分析と相関分析の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

回帰分析と相関分析の演習問題【QC検定®2級対策】

問1. 回帰分析と相関分析の演習問題

本記事だけ読めば合格できます。
なお、QC検定®2級合格対策本や参考書は１冊までにしてください。
たくさん本を持っている人ほど、合格しません。
合格する方法が重要で、対策本や参考書にはその方法が書いていません。
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★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

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★品質管理(ＱＣ)を究める数理問題集(初級・中級向け)

QC検定®3級、QC検定®2級受験の方、QC検定®１級受験挑戦する方への問題集(80問)です。
数学が苦手で品質管理の数理で苦戦していたら是非勉強しましょう！

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品質管理(ＱＣ)を究めるを数理問題集 (初級・中級向け) 3000円

●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

シンプルな問題ですが、重要な公式やパターンを網羅しています。制限時間内にさっと解けるかどうか何度も見てチェックしましょう。

–

回帰分析・相関分析は確実に点数を稼ぎたいので、何度も確認しましょう。

●You tube動画でも確認ください。

関連記事もしっかり確認しましょう。

★回帰分析と相関係数をマスターする

回帰分析と相関係数をマスターする
回帰分析と相関係数。重要なポイントと回帰分析の導出を解説!

★無相関の検定がわかる

無相関の検定がわかる
無相関の検定とは何か?相関係数があるのになぜ相関の有無を調べるのか？無相関の検定統計量の導出とは？を解説！

★【必読】回帰分析と相関係数は確実に点数化すべし【QC検定®2級対策】

【必読】回帰分析と相関係数は確実に点数化すべし【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される回帰分析と相関係数の解法を解説します。QC検定®2級合格したい方は必見！

問1. 回帰分析と相関分析の演習問題

問1 ある特性xとxの影響を受けるyについて10組のデータを取得した。
(1) 平方和S_xx, S_xy, S_yyを求めよ。
(2) 分散分析表を作成し、回帰の有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) xとyの関係について、回帰式と寄与率Rと相関係数rを求めよ。
(4) x=10におけるyの予測値を求めよ。
(5) 無相関の検定にて、相関係数rが0であるかどうか、有意水準5%で検定したい。
① 無相関の検定について、検定統計量(t分布)の式を書け。
② ①を計算し、棄却限界値を求め、有意水準5%で検定せよ。
持ち時間10分

–	x	y	x2	xy	y2
1	1.2	5.2	1.44	6.24	27.04
2	2.3	4.7	5.29	10.81	22.09
3	3.2	6.3	10.24	20.16	39.69
4	4.2	7	17.64	29.4	49
5	5.6	6.8	31.36	38.08	46.24
6	6	5.4	36	32.4	29.16
7	7.3	6.1	53.29	44.53	37.21
8	8.2	8.2	67.24	67.24	67.24
9	9.6	7.8	92.16	74.88	60.84
10	10.4	8.9	108.16	92.56	79.21
計	58	66.4	422.82	416.3	457.2
平均	5.8	6.64	―	―	―

回答欄

(1)	S_xx		ー	ー	ー	ー
	S_xy		ー	ー	ー	ー
	S_yy		ー	ー	ー	ー
(2)	ー	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	回帰R
	残差e				ー	ー
	合計T			ー	ー	ー
	検定結果		ー	ー	ー	ー
(3)	回帰式		ー	ー	ー	ー
	寄与率R		ー	ー	ー	ー
	相関係数r		ー	ー	ー	ー
(4)	予測値		ー	ー	ー	ー
(5)	①	検定統計量		ー	ー	ー
	②	値		ー	ー	ー
		棄却限界値		ー	ー	ー
		検定結果		ー	ー	ー

★解説(クリックで開きます)

(1)平方和を計算します。
●S_xx=\(\sum_{i=1}^{10} x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{10}x_i)^2}{10}\)
=422.82-58²/10=86.42
●S_xy=\(\sum_{i=1}^{10} x_i y_i-\frac{\sum_{i=1}^{10}x_i \sum_{i=1}^{10}y_i }{10}\)
=416.3-58×66.4/10=31.18
●S_yy=\(\sum_{i=1}^{10} y_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{10}y_i)^2}{10}\)
=457.2-66.4²/10=16.82

(2)回帰、残差、合計の平方和を計算します。
●回帰:S_R=S_xy²/S_xx=31.18²/86.42=11.25
●合計:S_T=S_yy=16.82
●残差:S_e= S_T– S_R=5.57

F値を計算します。
●F=V_R/V_e= (S_R/ φ_R)/ (S_e/ φ_e)=16.14
●F₀=F(φ_R, φ_e,α)=F(1,8,0.05)=5.32

検定結果は 16.14> 5.32より、回帰は有意性あり。

(3)回帰式を求めます。
●傾きβ₁=S_xy/S_xx=31.18/86.42=0.361
●切片β₀=\(\bar{y}-β_1\bar{x}\)=6.64-0.361×5.8=4.55
●寄与率R=S_xy²/(S_xxS_yy)
=31.18²/(86.42×16.82)=0.669
●相関係数r=\(\sqrt{R}\)=0.818

(4)予測値を求めます。
y=0.361×10+4.55=8.16

(5)無相関の検定もよく出題されます。
① \(t=\frac{|r|\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\)
② ●t値：\(t=\frac{|0.818|\sqrt{10-2}}{\sqrt{1-0.818^2}}\)=4.024
●棄却限界値：t(n-2,α)=t(8,0.05)=2.31
●検定結果： 4.024>2.31より帰無仮説は棄却され、r=0ではないといえる。

すらすら解けるように何度も演習しましょう。

まとめると、

(1)	S_xx	86.42	ー	ー	ー	ー
	S_xy	31.18	ー	ー	ー	ー
	S_yy	16.82	ー	ー	ー	ー
(2)	ー	平方和S	自由度φ	不偏分散V	分散比F	F0
	回帰R	11.25	1	11.25	16.14	5.32
	残差e	5.57	8	0.7	ー	ー
	合計T	16.82	9	ー	ー	ー
	検定結果	回帰は有意性あり	ー	ー	ー	ー
(3)	回帰式	y=0.361x+4.55	ー	ー	ー	ー
	寄与率R	0.669	ー	ー	ー	ー
	相関係数r	0.818	ー	ー	ー	ー
(4)	予測値	8.16	ー	ー	ー	ー
(5)	①	検定統計量	\(t=\frac{\|r\|\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\)	ー	ー	ー
	②	値	4.024	ー	ー	ー
		棄却限界値	2.31	ー	ー	ー
		検定結果	r=0でないといえる	ー	ー	ー

回帰分析と相関係数のワンセット演習問題を解説しました。

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1. 回帰分析と相関分析の演習問題

2021年10月24日

計数値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

計数値データの検定と推定の演習問題

問1.二項分布の検定と推定(１つの母不適合品率)
問2.二項分布の検定と推定(2つの母不適合品率)
問3.ポアソン分布の検定と推定(１つの母不適合数)
問4.ポアソン分布の検定と推定(2つの母不適合数)
問5.分割表に関する検定

計量値データの検定と推定もありますが、関連記事で演習してください。

計量値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】
QC検定®2級で必ず出題される計量値に関する検定と推定の演習問題とその解法を解説します。5分以内に解けるための流れとテクニックを解説！

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品質管理・統計の初心者にとって分厚い本はキツイです。

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●商標使用について、
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ

シンプルな問題ですが、重要な公式やパターンを網羅しています。制限時間内にさっと解けるかどうか何度も見てチェックしましょう。

●You tube動画もあります。ご確認ください。

問1.二項分布の検定と推定(１つの母不適合品率)

問1 　A社の部品の不良率は2%であるが、本当かどうか確かめるために、ランダムに部品100個を選び検査したら、不良品が4個出た。ランダムに抽出した部品の不良率が2％であるかどうか、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

二項分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: p=p₀
●対立仮説H₁: p≠p₀

(2)●検定統計量　Z=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)
●値 Z=\(\frac{0.04-0.02}{/\sqrt{0.02(1-0.02)/100}}\)=1.429

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(1.429<1.645) (5)信頼区間は　\(p_0±Z(\frac{α}{2})\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\)より
0.04±1.96\(\sqrt{0.04(1-0.04)/100}\)=0.002,0.784

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: p=p₀
(1)	対立仮説	H₁: p≠p₀
(2)	検定統計量の式	Z=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)
(2)	値	Z=\(\frac{0.04-0.02}{/\sqrt{0.02(1-0.02)/100}}\)=1.429
(3)	棄却域	1.645
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）
(5)	信頼区間	0.002～0.784

問2.二項分布の検定と推定(2つの母不適合品率)

問2 ある部品をA社、B社の2社からそれぞれ納入しているが、不良率に差があるかを確認したい。A社の部品を100個、B社の部品を150個ランダムに抽出し動作検査したら、不良品がA社は5個、B社は12個だった。両社の不良品の違いがあるかを、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

(1)●帰無仮説H₀: p_A=p_B
●対立仮説H₁: p_A≠p_B

(2)●検定統計量　z=\(\frac{p_B-p_A}{ \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
●値 z=\(\frac{0.08-0.05}{\sqrt{0.068(1-0.068)(\frac{1}{100}+\frac{1}{150}}}\)=0.923

(3)両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(0.923<1.645) (5)信頼区間は　z=\(\frac{p_B-p_A}{ \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)より
0.068±1.96×\(\sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{100}+\frac{0.08(1-0.08)}{150}}\)=0.0071,0.1289

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: p_A=p_B
(1)	対立仮説	H₁: p_A≠p_B
(2)	検定統計量の式	z=\(\frac{p_B-p_A}{ \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
(2)	値	0.923
(3)	棄却域	1.645
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）
(5)	信頼区間	0.0071～0.1289

問3.ポアソン分布の検定と推定(１つの母不適合数)

問3. A社はじゅうたんを作っている。じゅうたんにシミがある程度あると出荷できないため検査する。1mあたりのシミが4個以下なら合格とする。今回製造工程を変更したため、100m分を検査対象としシミの数を数えたら800個あった。製造工程変更によるシミの数が増加したかを、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

ポアソン分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: λ=λ₀
●対立仮説H₁: λ > λ₀

(2)●検定統計量　z=\(\frac{λ-λ_0}{ \sqrt{λ_0/n}}\)
●値 z=\(\frac{8-4}{\sqrt{4/1}}\)=2

(3)長くなったかどうかなので、片側検定です。
棄却域 1.96(正規分布:α=0.025

(4)有意である。（差がある）
(2>1.96)

(5)信頼区間は　λ±Z(\(\frac{α}{2}\sqrt{λ/n}\)
=8±1.96×\(\sqrt{\frac{800}{100}}\)=2.46,13.54

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: λ=λ₀
(1)	対立仮説	H₁: λ > λ₀
(2)	検定統計量の式	z=\(\frac{λ-λ_0}{ \sqrt{λ_0/n}}\)
(2)	値	2
(3)	棄却域	1.96
(4)	検定結果	有意である。（差がある）
(5)	信頼区間	2.46～13.54

問4. ポアソン分布の検定と推定(2つの母不適合数)

問4 商社Ｘ社はＡ社、Ｂ社2社からじゅうたんを購入している。両社の品質の差を確認するために検査したら、Ａ社のじゅうたんは100mにしみが600個、Ｂ社の絨毯は150mにしみが1200個あった。両社のじゅうたんの単位あたりのシミの数に違いがあるかどうかを、有意水準5%で検定し、推定区間を求めたい。
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

ポアソン分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: λ_A=λ_B
●対立仮説H₁: λ_A > λ_B

(2)●検定統計量　z=\(\frac{λ_A-λ_B}{ \sqrt{λ(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
●値 z=\(\frac{\frac{600}{100}-\frac{1200}{150}}{ \sqrt{\frac{600+1200}{100+150}(\frac{1}{100}+\frac{1}{150})}}\)=-5.77

(3)両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布:α=0.025)

(4)有意である。（差がある）
(|-5.77|>1.645)

(5)信頼区間は　(λ_A-λ_B)±Z(\(\frac{α}{2})\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}\)
=(6-8)±1.96×\(\sqrt{\frac{600/100}{100}+\frac{1200/150}{150}}\)=-1.34,-2.67

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: λ_A=λ_B
(1)	対立仮説	H₁: λ_A > λ_B
(2)	検定統計量の式	z=\(\frac{λ_A-λ_B}{ \sqrt{λ(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
(2)	値	-5.77
(3)	棄却域	1.645
(4)	検定結果	有意である。（差がある）
(5)	信頼区間	-2.67～-1.34

問5. 分割表に関する検定

問5 A社では製品工程を改善して新製品を造った。無作為に600人を集めて、320人には新しい石鹸を、280人には従来の石鹸を使ってもらった。自然にできた傷から2次的感染が起こるかを記録したら下表になった。新石鹸と従来石鹸との間に予防効果に違いがあるかどうか、有意水準5%で検定したい。

–	感染あり	感染なし	計
新石鹸	20	300	320
従来石鹸	40	240	280
計	60	540	600

(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果

★解説(クリックで開きます)

適合度の検定なので、χ２乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: P_A= P_B
●対立仮説H₁: P_A≠P_B

期待度数表を作成します。

期待度数	感染あり	感染なし	計
新石鹸	32(=320×60/600)	288(=320×540/600)	320
従来石鹸	28(=280×60/600)	252(=280×540/600)	280
計	60	540	600

(2)●検定統計量　χ²=\(\sum_{i}^{m} \sum_{j}^{n}\)\(\frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\)
●値 χ²=\(\frac{(300-288)^2}{288}\)+\(\frac{(240-252)^2}{252}\)+\(\frac{(20-32)^2}{32}\)+\(\frac{(40-28)^2}{28}\)=10.714

(3)棄却域　χ²=χ²(1,0.05)=3.84
自由度φ=(m-1)(n-1)=(2-1)(2-1)=1

(4)有意である。（差がある）
(10.714>3.84)

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: P_A= P_B
(1)	対立仮説	H₁: P_A≠P_B
(2)	検定統計量の式	χ²=\(\sum_{i}^{m} \sum_{j}^{n}\)\(\frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\)
(2)	値	χ²=10.714
(3)	棄却域	χ²=χ²(1,0.05)=3.84
(4)	検定結果	有意である。（差がある）

解法を確実におさえて、5分以内に全問正解しましょう。スピードは練習量で上がります。頭でわかっているから大丈夫な人は試験では時間内に解けません。確実に解けるように何度も繰り返して練習です。

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1.二項分布の検定と推定(１つの母不適合品率)
問2.二項分布の検定と推定(2つの母不適合品率)
問3.ポアソン分布の検定と推定(１つの母不適合数)
問4.ポアソン分布の検定と推定(2つの母不適合数)
問5.分割表に関する検定

2021年10月23日

計量値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】

★ 本記事のテーマ

計量値データの検定と推定の演習問題

問1.平均値に関する検定と推定(σ²既知)
問2.平均値に関する検定と推定(σ²未知、両側検定)
問3.平均値に関する検定と推定(σ²未知、片側検定)
問4.分散に関する検定と推定
問5.分散比に関する検定と推定

本記事だけ読めば合格できます。
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品質技量の実力を試したい！ QC検定®合格対策に活用したい！オリジナル試験問題を提供します！

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QC検定® 2級合格対策講座を販売します。合格だけでなく、各単元の本質も理解でき、QC検定® 1級合格も狙える５９題をぜひ活用ください。

★【必勝メモ】と【必勝ドリル】のご紹介

試験合格に必要最小限エッセンスをまとめた「必勝メモ」と
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シンプルな問題ですが、重要な公式やパターンを網羅しています。制限時間内にさっと解けるかどうか何度も見てチェックしましょう。

●You tube動画もあります。ご確認ください。

問1.平均値に関する検定と推定(σ²既知)

問1 ある部品Aの長さは正規分布N(7,0.4²2)に従っている。平均値をμ₀とする。検査にサンプルとして16個を選び測定したら平均値μが7.2cmだった。サンプル１６個は部品Aと同じとしてよいか、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

正規分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ≠μ₀

(2)●検定統計量　Z=\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)
●値 Z=\(\frac{7.2-7.0}{0.4/\sqrt{16}}\)=2.0

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 1.645(正規分布表：α=0.05)

(4)有意である。（差がある）
(2.00>1.645)

(5)信頼区間は　μ±\(Z(\frac{α}{2})\frac{σ}{\sqrt{n}}\)より
7.2±1.96×0.4/4=7.004,7.396

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: μ=μ₀
(1)	対立仮説	H₁: μ≠μ₀
(2)	検定統計量の式	Z=\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)
(2)	値	Z=\(\frac{7.2-7.0}{0.4/\sqrt{16}}\)=2.0
(3)	棄却域	1.645
(4)	検定結果	有意である。（差がある）
(5)	信頼区間	7.004～7.396

問2.平均値に関する検定と推定(σ²未知、両側検定)

問2 ある部品Aの長さの平均値は7.5cmである。品質検査にサンプルとして10個をランダムに選び測定したら、次の結果になった。サンプル１0個は部品Aと同じとしてよいか、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
7.1, 7.9, 8.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.8, 7.4
(平均は7.53,平方和0.921 ←計算練習しておきましょう。)
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

t分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ≠μ₀

(2)●検定統計量　t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
●値 t=\(\frac{7.53-7.5}{\sqrt{0.102/10}}\)=0.297
V=S/(n-1)=0.921/(10-1)=0.102

(3)値が変わったかどうかなので、両側検定です。
棄却域 2.262(両側検定 t分布に注意してα=0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(0.297<2.262)
t値が負の場合もあるので、絶対値で比較します。

(5)信頼区間は　μ±(t(φ,α)\(\sqrt{V/n}\)より
7.53±t(9,0.05)×\(\sqrt{0.102/10}\)=7.301,7.759

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: μ=μ₀
(1)	対立仮説	H₁: μ≠μ₀
(2)	検定統計量の式	t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
(2)	値	t=\(\frac{7.53-7.5}{\sqrt{0.102/10}}\)=0.297
(3)	棄却域	2.262
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）
(5)	信頼区間	7.301～7.759

問3.平均値に関する検定と推定(σ²未知、片側検定)

問3 ある部品Aの長さの平均値は7.5cmである。品質検査にサンプルとして10個をランダムに選び測定したら、次の結果になった。サンプル１0個は部品Aより長くなったみてよいか、有意水準5%で検定と推定範囲を求めたい。
7.1, 8.1, 8.4, 6.9, 7.3, 7.0, 7.9, 7.6, 7.8, 7.4
(平均は7.55,不偏分散V=0.247←計算練習しておきましょう。)
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

t分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: μ=μ₀
●対立仮説H₁: μ > μ₀

(2)●検定統計量　t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
●値 t=\(\frac{7.55-7.5}{\sqrt{0.0.247/10}}\)=0.318

(3)長くなったかどうかなので、片側検定です。
棄却域 1.833(片側検定 t分布に注意してα=0.10(t分布表のややこしい点に注意！)

(4)有意でない。（差がない）
(0.318<1.833)
t値が負の場合もあるので、絶対値で比較します。

(5)信頼区間は　μ±(t(φ,α)\(\sqrt{V/n}\)より
7.55±t(9,0.10)×\(\sqrt{0.247/10}\)=7.262,7.838

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: μ=μ₀
(1)	対立仮説	H₁: μ > μ₀
(2)	検定統計量の式	t=\(\frac{μ-μ_0}{ \sqrt{V/n}}\)
(2)	値	t=\(\frac{7.55-7.5}{\sqrt{0.0.247/10}}\)=0.318
(3)	棄却域	1.833
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）
(5)	信頼区間	7.262～7.838

問4.分散に関する検定と推定

問4 ある部品の長さの母標準偏差は0.3cmである。製造工程を変えたあとに10個の部品をランダムに選び検査したら、以下の結果になった。抽出した10個の部品から、製造工程変更により分散が変化したとみてよいか、有意水準5%で検定し、分散の推定区間を求めたい。
7.1, 7.9, 8.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.8, 7.4
平方和S=0.921←計算練習しておきましょう。)
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
(5) 95%の信頼区間を求めよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果
(5)	信頼区間

★解説(クリックで開きます)

χ2乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: σ=σ₀
●対立仮説H₁: σ≠σ₀

(2)●検定統計量　\(χ2=\frac{S}{σ^2}\)
●値 \(χ^2=\frac{0.921}{0.3^2}\)=10.233

(3)両側検定です。
棄却域 16.9=χ²(9,0.05)

(4)有意でない。（差がない）
(10.233<16.9)

(5)信頼区間は
上限　σ^2=\(\frac{S}{χ^2(9,0.975}\)=\(\frac{0.921}{2.70}\)=0.341
下限　σ^2=\(\frac{S}{χ^2(9,0.025}\)=\(\frac{0.921}{19}\)=0.048
より 0.048～0.341

よって、

(1)	帰無仮説	H₀: σ=σ₀
(1)	対立仮説	H₁: σ≠σ₀
(2)	検定統計量の式	\(χ2=\frac{S}{σ^2}\)
(2)	値	\(χ^2=\frac{0.921}{0.3^2}\)=10.233
(3)	棄却域	棄却域 16.9=χ²(9,0.05)
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）
(5)	信頼区間	0.048～0.341

問5.分散比に関する検定と推定

問5 ある部品を2社(A社、B社)からそれぞれ購買している。この2社による部品の特性値の分散に違いがないかどうかを検定したい。各社からの部品の特性値を測定したら次の結果になった。分散に違いがないかどうかを、有意水準5%で検定したい。
A社： 5,8,9,11,13,6,4,14,10,7 (不偏分散V_A=11.122)
B社：6,2,5,8,7,6,13,6,11 (不偏分散V_B=10.611)
(1) 帰無仮説H₀、対立仮説H₁を立てよ。
(2) 検定統計量を定義し、計算せよ。
(3) 棄却域はいくらか。
(4) 検定結果を答えよ。
持ち時間５分

(1)	帰無仮説
(1)	対立仮説
(2)	検定統計量の式
(2)	値
(3)	棄却域
(4)	検定結果

★解説(クリックで開きます)

F乗分布を使います。

(1)●帰無仮説H₀: V_A= V_B
●対立仮説H₁: V_A≠V_B

(2)●検定統計量　\(F=\frac{V_A}{V_B}\) > 1
●値 \(F=\frac{11.122}{10.611}\)=1.048

(3)棄却域F(φ_A,φ_B,α)=F(9,8,0.05)=3.388

(4)有意でない。（差がない）
(1.048<3.388) よって、

(1)	帰無仮説	H₀: V_A= V_B
(1)	対立仮説	H₁: V_A≠V_B
(2)	検定統計量の式	\(F=\frac{V_A}{V_B}\) (> 1)
(2)	値	\(F=\frac{11.122}{10.611}\)=1.048
(3)	棄却域	棄却域F(φ_A,φ_B,α)=F(9,8,0.05)=3.388
(4)	検定結果	有意でない。（差がない）

計量値に関する検定と推定の頻出問題をまとめました。

まとめ

QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。

問1.平均値に関する検定と推定(σ²既知)
問2.平均値に関する検定と推定(σ²未知、両側検定)
問3.平均値に関する検定と推定1(σ²未知、片側検定)
問4.分散に関する検定と推定
問5.分散比に関する検定と推定

2021年10月22日

–	B1	B2	B3	B4	計
A1	16	49	36	9	110
A2	25	64	25	25	139
A3	36	81	49	49	215
計	77	194	110	83	464

No	A1	A2	A3	計
1	16	25	9	50
2	36	36	16	88
3	25	49	25	99
4	49	64	×	113
5	64	100	×	164
計	190	274	50	514

–	B1	B2	B3	B4	計
A1	16	49	36	9	110
A2	25	64	25	25	139
A3	36	81	49	49	215
計	77	194	110	83	464

No	A1	A2	A3	計
1	16	25	9	50
2	36	36	16	88
3	25	49	25	99
4	49	64	×	113
5	64	100	×	164
計	190	274	50	514

投稿者: QCプラネッツ

問1. MTTF,MTBF,MTTR(その1)

問2. MTTF,MTBF,MTTR(その2)

問3. 指数分布による信頼度の計算

問4. 故障モード(バスタブ曲線)

問5. システムの信頼度(直列、並列)

まとめ

問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題

問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題

まとめ

問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題

問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題

まとめ

問1. 管理図の種類を答える演習問題1

問2. 管理図の種類を答える演習問題2

問3. Xbar-R管理図の演習問題

問4. pn管理図の演習問題

問5. 異常パターンの演習問題

まとめ

➀OC曲線を描こう

二項分布のOC曲線をExcelで描く

ポアソン分布のOC曲線をExcelで描く

OC曲線の特徴を理解する

グラフを描いて理解する

数式で理解する

まとめ

問1. サンプリングの演習問題

問2. OC曲線の演習問題

問3. 調整型抜取検査の演習問題

まとめ

➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる

超幾何分布と二項分布を理解する

ポアソン分布と二項分布を理解する

②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く

OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布

まとめ

問1. 回帰分析と相関分析の演習問題

まとめ

問1.二項分布の検定と推定(１つの母不適合品率)

問2.二項分布の検定と推定(2つの母不適合品率)

問3.ポアソン分布の検定と推定(１つの母不適合数)

問4. ポアソン分布の検定と推定(2つの母不適合数)

問5. 分割表に関する検定

まとめ

問1.平均値に関する検定と推定(σ2既知)

問2.平均値に関する検定と推定(σ2未知、両側検定)

問3.平均値に関する検定と推定(σ2未知、片側検定)

問4.分散に関する検定と推定

問5.分散比に関する検定と推定

まとめ

問1.平均値に関する検定と推定(σ²既知)

問2.平均値に関する検定と推定(σ²未知、両側検定)

問3.平均値に関する検定と推定(σ²未知、片側検定)

–	B1	B2	B3	B4	計
A1	16	49	36	9	110
A2	25	64	25	25	139
A3	36	81	49	49	215
計	77	194	110	83	464

No	A1	A2	A3	計
1	16	25	9	50
2	36	36	16	88
3	25	49	25	99
4	49	64	×	113
5	64	100	×	164
計	190	274	50	514