カテゴリー: 管理図

\(χ^2\)=\(\frac{S(平方和)}{σ^2}\)
=\(\frac{v^2(不偏標準偏差)(n-1)}{σ^2}\)
から、vとσがつながります。

なお、標準偏差sの場合は、
\(χ^2\)=\(\frac{S(平方和)}{σ^2}\)
=\(\frac{s^2(標準偏差)(n)}{σ^2}\)
から、sとσがつながります。

χ2乗分布の確率分布関数を出しましょう。これが複雑ですが、そういう式と思ってください。簡単に説明すると、正規分布(\(e^{-x^2}\))の2乗和した関数がχ2乗分布ですね。

正規分布、χ2乗分布、t分布、F分布の関係も復習しましょう。関連記事で確認ください。

【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】 「本記事では、正規分布、χ2乗分布、t分布とF分布について、わかりやすく理解すべきポイントを解説します。

χ2乗分布は2変数用意します。自由度nと変数xですね。

●\(χ^2(x)\)=\(\frac{1}{2^{n/2}Γ(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\)
Γ(z)=\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{^t}dt\)

そういう関数だという理解でOKですし、変数c4の導出には、χ2乗分布の確率分布関数の一部を使って式変形するだけなので、慌てずに読み進めてください。

本記事は、①の「乗っかる」だけで行けます！

s管理図の管理限界の期待値E(s)は、
E(s)=c4σ
と書けます。このc4を導出してみましょう。

x=\(\frac{S(平方和)}{σ^2}\)
=\(\frac{v^2(不偏標準偏差)(n-1)}{σ^2}\)
とすると、
xは自由度(n-1)のχ2乗分布に従います。

よって、
v(不偏標準偏差)=\(\sqrt{\frac{x}{n-1}}σ\)
と書けます。
(ちなみに、s(標準偏差)= \(\sqrt{\frac{x}{n}}σ\)
とも書けます。)

また、準備として、自由度(n-1)のχ2乗分布の確率分布関数の式を用意します。
\(χ_{n-1}^2(x)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\)

期待値E[v]は定義では、
●E[v]= \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} vf(v) dv \)
＊f(v)にχ2乗分布を代入
＊積分区間:χ2乗分布は2乗だけに負はないため、[0,∞]で積分です。

★期待値と分散の公式

よって、E[v]は
●E[v]= \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} vf(v) dv\)
=E[\(\sqrt{\frac{x}{n-1}}σ\)]
= \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{x}{n-1}}σ \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\)

ちなみに、標準偏差sについて立式すると　n-1⇒nに代わります。

●E[s]= \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} sf(s) ds\)
=E[\(\sqrt{\frac{x}{n}}σ\)]
= \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{x}{n}}σ \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\)
標準偏差sと不偏標準偏差vで区別します。ややこしいですが。

●E[v] =\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{x}{n-1}}σ \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\) (式1)
の定数項を積分の外に出しましょう。

(式1)= \(\sqrt{\frac{1}{n-1}}σ\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\) (式2)

次にxをまとめます。

(式2)= \(\sqrt{\frac{1}{n-1}}σ\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\) (式3)

ここでよく積分の中を見ると、複雑な式ですが、元のχ2乗分布の式に似ていることがわかります。つまり、すべて計算せずに、χ2乗分布の関数をそのまま使えばよいのです。

(式3)= \(\sqrt{\frac{1}{n-1}}σ \frac{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\) (式4)

(式4)のように、分母分子に同じ \(2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})\)を入れます。
分母にある、\(2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})\)と\(2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})\)を入れ替えます。

(式4)= \(\sqrt{\frac{1}{n-1}}σ \frac{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}{2^{\frac{n-1}{2}}Γ(\frac{n-1}{2})}\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\) (式5)

(式5)の
●\(\frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}}}\)=\(\sqrt{2}\)
●\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} dx\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} χ_n^2(x) dx\)
=1
となります。よって、

(式5)= \(\sqrt{\frac{2}{n-1}} \frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)σ (式6)

まとめると、

ちなみに、標準偏差sについて解くと、

χ2乗分布の式が複雑ですが、ゆっくり導出を読めば、難しくないことがわかりますね。数式の見た目でビビらないことも重要です。

より期待値E[v]がわかりました。D[v]も導出しましょう。

期待値と分散の公式をもう一度確認しましょう。複雑な式でも公式通り代入しているだけです。

★期待値と分散の公式

D[v]の式を作ります。

D[v]は、
D[s]= E[\(v^2\)]-\(E[v]^2\)
です。

★ 期待値E[\(v^2\)]の導出

さて、E[\(v^2\)]はどうしましょうか？

vはそもそも不偏標準偏差の期待値は母分散σとみてよいでしょう。
よって,
E[\(v^2\)]=\(σ^2\)

ちなみに、標準偏差sの場合のE[\(s^2\)]は、
もともと
\(χ^2\)=\(\frac{S(平方和}{σ^2}\)
から
\(χ^2\)=\(\frac{s(標準偏差)^2 n}{σ^2}\)=\(\frac{v(不偏標準偏差)^2 (n-1)}{σ^2}\)
の関係が成り立つので、
\(s^2\)=\(\frac{n-1}{n} v^2\)
となります。

なお、E[\(v^2\)]=\(σ^2\)より、
E[\(s^2\)]=\(\frac{n-1}{n} \) E[\(v^2\)]=\(\frac{n-1}{n} σ^2\)
となります。

★ まとめると

不偏標準偏差vの場合は、
D[v]= E[\(v^2\)]-\(E[v]^2\)
=\(σ^2-c_4^2 σ^2\)
=\((1-c_4 ^2 )σ^2\)
(\(c_4\)=\(\sqrt{\frac{2}{n-1}} \frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(\frac{n-1}{2})}\))

標準偏差sの場合は、
D[v]= E[\(v^2\)]-\(E[v]^2\)
=\(\frac{n-1}{n}σ^2-c_4^2 σ^2\)
=\((\frac{n-1}{n}-c_4 ^2 )σ^2\)
(\(c_4\)=\(\sqrt{\frac{2}{n}} \frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)

s管理図における管理限界の導出を解説しました。

標準偏差sと不偏標準偏差vによって、式が若干異なります。
なお、JISZ9020では不偏標準偏差vの場合の値が管理限界の係数表に載っています。

教科書やwebサイトによっては、標準偏差sと不偏標準偏差vの両方が書いていますので、両方解説しました。

★c4

★E

★D

s管理図の管理限界線の係数の導出を解説しました。