カテゴリー: 管理図

「管理図で平均値Xbarの差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①平均値Xbarの差の検定事例
• ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①平均値Xbarの差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

\(\bar{X}\)-R管理図を作成

(i)AB全体の場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256-0.577×3.56=-0.798
◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256+0.577×3.56=3.31

●R管理図について、
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.56=7.53

(ii)Aだけの場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59-0.577×3.6=-1.49
◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59+0.577×3.6=2.66

●R管理図について、
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.6=7.61

(iii)Bだけの場合

●\(\bar{X_B}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26-0.577×3.5=0.24
◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26+0.577×3.5=4.28

●R管理図について、
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
=2.114×3.5=7.40

管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

AとBの違いを検定しましょう。

②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

検定統計量

t分布を使った検定統計量で２つの母平均差の検定をする場合は、
t分布：t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
ですね。おなじみの式です。なお、
tはt分布、自由度φ=\(N_A\)+\(N_B\)-1とします。

検定統計量を計算

各値を算出します。
●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
●自由度：\(\bar{N_A}\)=75
●自由度：\(\bar{N_B}\)=50

これを検定統計量に代入します。
t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
=\(\frac{|0.59-2.26|}{\sqrt{\frac{2.38}{15}+\frac{2.23}{10}}}\)
=7.56

検定結果

●t(φ、α)=t(75+50-1,0.05)=1.98
と比較すると
t=7.56 > 1.98
より、有意差があると言えます。

以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

古書の紹介

1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P287をベースに解説します。

そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

古書の解法を紹介します。
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

正規分布から導出した検定統計量で解く

式は、
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
です。

●各値は
●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
●管理図係数：\(A_2\)=0.577
●範囲の平均：\(\bar{R}\)=\(\frac{k_A \bar{R_A}+k_B \bar{R_B}}{k_A+k_B}\)
=\(\frac{15×3.6+10×3.5}{15+10}\)=3.56
●群の数：\(\bar{k_A}\)=15
●群の数：\(\bar{k_B}\)=10

よって、検定は
●(左辺)=\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=2.26-0.59=1.67
●(右辺)=0.577×3.56×\( \sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}\)=0.839
と
(左辺) > (右辺)が成り立つので、
有意差があると言えます。

t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

証明方法は、次の２つです。

1. t分布を使った検定統計量から出発
2. t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

t分布を使った検定統計量から出発

まず、t分布を使った検定統計量を用意します。

ここで、各値を定義します。
●Aの全自由度：\(\bar{N_A }\)=\(\bar{k_A }\)×\(\bar{n_A }\)
●Bの全自由度：\(\bar{N_B }\)=\(\bar{k_B }\)×\(\bar{n_B }\)
●群Aの数：\(\bar{k_A }\)
●群Bの数：\(\bar{k_B }\)
●群Aの群内自由度：\(\bar{n_A }\)
●群Bの群内自由度：\(\bar{n_B }\)
●分散A：\(\bar{V_A}\)
●分散B：\(\bar{V_B}\)

さらに、\(\bar{n_A }\)=\(\bar{n_B}\)=n、\(\bar{V_A}\)=\(\bar{V_B}\)=Vとすると、
t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
と変形できます。

また、
\(σ_A \)=\(σ_B \)=σとして、不偏分散\(\sqrt{V}\)=\(\frac{\bar{R}}{d_2}\)とできたら、t分布は正規分布に置き換えることができます。

t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

t分布から正規分布の検定統計量の式に変えます。

●t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
⇒
●u=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

ここで、uについては3σで検定するので、u=3を代入します。
●3=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

両辺を整理します。
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\(\frac{3\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

管理図係数\(A_2\)は、
\(A_2\)=\(\frac{3}{d_2 \sqrt{n}}\)より、まとめると、
\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\( A_2 \bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
から、検定統計量が一致することがわかりますね。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

管理図で、平均値Xbarの差を検定する方法を解説しました。

• ①平均値Xbarの差の検定事例
• ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
• ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

管理図

「R管理図で範囲Rの平均の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①範囲Rの平均差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

\(\bar{X}\)-R管理図を作成

(i)AB全体の場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256-0.577×3.56=-0.798
◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256+0.577×3.56=3.31

●R管理図について、
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.56=7.53

(ii)Aだけの場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59-0.577×3.6=-1.49
◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59+0.577×3.6=2.66

●R管理図について、
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.6=7.61

(iii)Bだけの場合

●\(\bar{X_B}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26-0.577×3.5=0.24
◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26+0.577×3.5=4.28

●R管理図について、
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
=2.114×3.5=7.40

管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

AとBの違いを検定しましょう。

②２つの母平均差の検定で解く

検定統計量

２つの母平均差の検定をする場合の検定統計量は、
t=\(\frac{\bar{R_B}-\bar{R_A}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
ですね。おなじみの式です。なお、
tはt分布、自由度φ=\(n_1\)+\(n_2\)-1とします。

検定統計量を計算

各値を算出します。
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
●自由度：\(\bar{n_A}\)=15
●自由度：\(\bar{n_B}\)=10

これを検定統計量に代入します。
t=\(\frac{\bar{R_A}-\bar{R_B}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
=\(\frac{3.6-3.5}{\sqrt{\frac{184.187}{15}}+\frac{113.62}{10}}\)
=0.34

検定結果

●t(φ、α)=t(15+10-1,0.05)=2.06
と比較すると
t=0.34 > 2.06
より、有意差が無いと言えます。

以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

古書の紹介

1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P285をベースに解説します。

そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

古書の解法を紹介します。古書の解法

次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表

これも、古書「森口繁一　品質管理(1953) P282」に書いていますが、導出方法はわかりません。なので、今はこの解法を推奨しません。

特殊な表は下表にまとめます。

F検定で解く

古書の解法で解いてみましょう。
次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

●各値は
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●\(\bar{C_A}\)=2.33 (n=5,k=15のcの値)
●\(\bar{C_B}\)=2.34 (n=5,k=10のcの値)
●自由度：\(φ_A\)=54.6 (n=5,k=15のφの値)
●自由度：\(φ_B\)=36.5 (n=5,k=10のφの値)
●分散：\(\bar{V_A}\)=\((\frac{\bar{R_A}}{c_A})^2\)
=\((\frac{3.6}{2.33})^2\)
=2.39
●分散：\(\bar{V_B}\)=\((\frac{\bar{R_B}}{c_B})^2\)
=\((\frac{3.5}{2.34})^2\)
=2.24

よって、F検定は
F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= \(\bar{V_A}\)/\(\bar{V_B}\)
=1.07
なお、F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= F(54.6,36.5,0.05)ですが、
自由度は自然数なので、F検定表から近い値を使います。
それは、F(60,40,0.05)=1.64
を使います。

●F=1.07 > 1.64
より、有意差は無いという結果がでます。

t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

R管理図で、平均差を検定する方法を解説しました。

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

管理図

「管理工程が変化した場合の検出力の影響がわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①管理図の管理限界を正規分布で考える
• ②工程平均がずれた場合の検出力の影響
• ③管理限界が狭まった場合の検出力の影響

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図の管理限界を正規分布で考える

管理図はあまり、確率分布関数との関係がないように思えますが、正規分布で考える習慣をつけましょう。

管理限界は平均±3σでUCL,LCLをそれぞれ定義していますね。

管理限界に入る確率を検出力として、本記事で解説します。

②工程平均がずれた場合の検出力の影響

工程平均のずれと検出力の関係

正規分布と分散は同じであるが、平均がずれた場合、検出力はどう低下するかについて、正規分布を使って調べてみましょう。

工程平均がずれるほど、検出力も低下するのは明らかですが、その変化がOC曲線によく似ています。

検出力の計算

工程平均のずれと、検出力について計算しましょう。

検出力の計算式は、Excelで
検出力=NORM.DIST(3-Δμ,平均=0,標準偏差=1,TRUE)
としました。

ここで、
●「3-Δμ」の「3」は「管理限界3σの3」と工程平均のずれ「Δμ」の差です。
●また、正規分布は平均０、標準偏差1と仮定
●「True」として累積分布関数として計算
と仮定しています。

検出力曲線（OC曲線）

結果をグラフにするとOC曲線のような曲線が描けます。

ここで、横軸のΔμに注目します。値が0～6までしかありません。
●(A)Δμ=0の時は、ずれは無いという意味。
●(B)Δμ=3の時は、3σずれたという意味。
●(C)Δμ=6の時は、6σずれたという意味。
それぞれの場合の位置と検出力の関係を図で示します。

工程平均のずれと検出力の関係が可視化され、すぐ理解できますね。

管理限界が狭まった場合の検出力の影響

変動分散

\(\bar{X}\)管理図の変動分散の式でよく、
\(σ_{\bar{X}}^2\)=\(σ_b^2\)+\(\frac{σ_w^2}{n}\)
とあります。

群内変動\(\frac{σ_w^2}{n}\)がnの値が変化することによる、
検出力の影響を調べてみましょう。

イメージ図を描きます。

工程平均のずれと検出力の関係

正規分布の面積が狭まるので、計算は簡単ですね。

計算結果をまとめます。

検出力の計算式は、Excelで
検出力=2*NORM.DIST(3/√n,平均=0,標準偏差=1,累積分布関数)-1
としました。

ここで、
●「3/√n」の「3」は「管理限界3σの3」で、サンプル数nの平方根で管理限界区間を狭くしています。
●また、正規分布は平均０、標準偏差1と仮定
●「True」として累積分布関数として計算
と仮定しています。

n⇒∞にすると、管理限界幅⇒0なので、検出力1-β⇒0となる検出力曲線が得られます。

検出力曲線（OC曲線）

結果をグラフにするとOC曲線のような曲線が描けます。

n⇒∞にすると、管理限界幅⇒0なので、検出力1-β⇒0となる検出力曲線が得られます。

まとめ

工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できることを解説しました。

• ①管理図の管理限界を正規分布で考える
• ②工程平均がずれた場合の検出力の影響
• ③管理限界が狭まった場合の検出力の影響

管理図

「管理図の異常判定ルールがなぜ8種類決まっているのかがわからない」、「なぜ、一列になって交互に上下する14点があると異常なのかがわからない」などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している
• ②確率論で異常判定してよいか？
• ③異常判定ルールは自分で設計すべし

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している

異常判定ルールの紹介

JISZ9020-2 附属書B 図B-1 突き止められる原因に対する異常判定ルールに、8種類の異常判定ルールがあります。

教科書に必ず載っていますが、他のサイトにもあります。参考にリンクを入れておきます。
管理図の異常判定ルール(グラフ)

正規分布を確認

異常判定の理由を説明する前に、正規分布と各ゾーンの確率を確認しましょう。

まとめると、
●ゾーンAは 68%/2=34%
●ゾーンBは 27%/2=13/5%
●ゾーンCは 4.5%/2=2.25%
となります。

異常判定となる確率を計算

異常判定の判断基準

個別に見てきます。

●①ゾーンAを超えた１つの点
⇒確率Prは0.5%以下に１点あるため、異常と判断します。

●②中心線の片側上ゾーンCの中で
又はそれを超えて、一列になった9点
⇒中心線の片側は上下それぞれあり、それぞれの領域は50%ですから、確率は、
Pr=2×\((\frac{1}{2})^9\)=\(\frac{1}{256}\)=0.39%
と低確率なので異常と判断します。

●③一列になって上下方向に増加又は減少する6点
⇒6点が連続して順番に並ぶ確率と考えて、
Pr=2×\(\frac{1}{6!}\)=0.28%
と低確率なので異常と判断します。

●④一列になって交互に上下する14点
⇒計算式が不明ですが、何かの14乗に2を書けると確率が0.5%以下なのでしょう。
低確率なので異常と判断します。

●⑤中心線の片側上ゾーンAの中で又はそれを超えて、一列になった3つのうちの2つの点
⇒Aゾーンに2点ある確率なので、
Pr=2×\((0.025)^2\) =0.1%
と低確率なので異常と判断します。

●⑥中心線の片側上のゾーンBの中で又はそれを超えて、一列になった５つのうちの4つの点
⇒5点中4点がＢゾーンにあると考えると確率Prは
Pr=2×\({}_5C_4\)×\((0.135)^4\)=0.16%
と低確率なので異常と判断します。

●⑦中心線の上下のゾーンの中で一列になった15点
⇒両方のCゾーンに連続して15点ある確率Prは
Pr=\((0.68)^{15}\)=0.3%
と低確率なので異常と判断します。

●⑧中心線の両側上で一列になった8つの点で、ゾーンCにはない
⇒両方のCゾーンにない点が8つあるので、確率Prは
Pr=\((0.32)^8\)=0.01%
と低確率なので異常と判断します。

よって、どの場合も確率0.5%以下と、稀なケースなので、「稀なケース＝異常」として判定しているようです。場合によっては、点の数を変えても良いでしょう。

②確率論で異常判定してよいか？

と疑問に思うはずです。本来は、
工程に異常となる要因があるから異常と判定するべきで、
確率論ではないと考えるべきです。

確率論ではなく、工程異常要因を探るべき

工程が異常と考えるケースをJISに頼らず自分で考えましょう。次が挙げられます。

1. 基本は管理限界内にあれば異常ではない
2. 例外がいくつかある
3. 例外１：工程に入ってはいけない要因が含まれ、上昇・下降など、途中でばらつき方が明らかに異なるなどが見られる。
4. 例外２：周期的な変動がある

③異常判定ルールは自分で設計すべし

JISの異常判定ルールの是非を評価

確率が低いから異常という理由は、論理性が低いです。明らかに異常な点や、異常な要因が含まれているもの以外は、管理限界内にあれば、基本正常と判断してもよいでしょう。

自分で考えた異常判定ルールを作るべき

JISの異常判定ルール①③以外に自分で考えた異常判定ルールを併せましょう。

⑨「周期的な異常が含まれる」を追加します。下表が、自分で考えた異常判定ルールとなります。

表の「…」は、実際の管理対象の特性をみながら、個別に異常ルールを追加してください。
●顧客要求仕様で異常と判定するもの
●トラブル・故障で是正処置した際に追加したルール
などから判定ルールが追加するはずです。

まとめ

管理図の異常判定ルールを自分で考える重要さを解説しました。

• ①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している
• ②確率論で異常判定してよいか？
• ③異常判定ルールは自分で設計すべし

管理図

「R管理図はなぜ計量値しかないのかがわからない」、「Xbar管理図はR管理図やs管理図を併用するのに、なんで、np管理図、p管理図、c管理図、u管理図は併用しないのかがわからない」と困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的
• ②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？
• ③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要
• ④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的

教科書の分類方法

教科書では、一般的に、データが計量値、計数値のどちらか、計数値の場合は属する確率分布によって区分されます。

当たり前を疑ってみよう！

上の表のオレンジ枠をみると、
計数値データは、平均に関する管理図はあるが、幅(範囲や標準偏差)についての管理図は無いことがわかります。
なぜでしょうか？

②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？

個数や率は群間だけの値になりやすいから

ここで、計量値データを用意します。
●全データ30個用意し、ある計量値データとしましょう。長さ、重さ、時間とか何でもOK。
●１つのグループに6データを用意して、5グループのデータを取る。

表にすると下のような感じです。

ここで、上表の黄色枠で何か、「まとめたデータ」をとるはずですが、何をとりますか？
「平均値」と「標準偏差（または範囲）」が思いつくでしょう。

「平均値」と「範囲」を追加した表を再度書きます。

この表から\(\bar{X}\)管理図とR管理図ができますね。

●\(\bar{X}\)管理図

●R管理図

次に元の計量値データにおいて、平均以上なら「良0」,未満なら「不良1」と判定しましょう。

その結果のデータは次の表に変わります。

計数値データとして変化した表をみると、
縦列の合計値と平均は意味があるけど、
横列の0,1,の値の並びに意味はない
ことがわかります。

実際に計数値データにした場合、欲しいデータは、群番号と、各群の合計値だけですね。

よって、
合計値なら、np管理図、c管理図、
平均値なら、p管理図、u管理図
の１つの管理図だけ作るわけです。

●np管理図

計数値データもでR管理図やs管理図が必要な場合もあります。その例を見ましょう。

③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要

先ほど、計量値データをある基準で0,1分けして、計数値データに変えました。なお、次のような計数値データがあったら、どんな管理図で管理しますか？

Xijの値はすべて不良個数としましょう。群内にも群間にも個別の不良個数が分かっている場合です。
群内データ(横列)、群間(縦列)にデータ分布に意味がありますね。

この場合、どんな管理図を使いますか？

1つは、計量値と同じように、\(\bar{X}\)-R管理図使うか。
もう１つは、計数値データなので、np管理図と管理図を組み合わせたパターンでしょう。

④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い

管理図の分類方法は、計量値データか計数値データかどうか以外にもあることに気づくはずです。本記事では、群内データ分布に意味があるかどうか？でも分類することができます。

例えば下表のような分類もできます。QCプラネッツ独自の分類方法です。

計数値データ、計量値データの区分に関係なく、幅を調べる必要がある場合は、Ｒ管理図やs管理図を使う必要があることが分かります。

皆さんも考えたら、いろいろな管理図の分類方法ができるはずです。

まとめ

管理図の分類方法は教科書以外にもあり、計数値データでもR管理図を使う場面があることを解説しました。

• ①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的
• ②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？
• ③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要
• ④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い

管理図

「X-Rs管理図の作り方がわからない」、「過去のQC検定®1級で出題されて全く解けなかった」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①X-Rs管理図用データで考える
• ②管理限界の係数の導出
• ③範囲Rsの求め方
• ④管理限界の求め方
• ⑤工程管理の確認の仕方

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①X-Rs管理図用データで考える

実際のデータを使いながら、X-Rs管理図を作ってみましょう。

②管理限界の係数の導出

管理限界の係数については、関連記事にまとめていますので、確認ください。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

X管理図はA3,R管理図はD3,D4を使う

X管理図はA3(n=2)

X管理図はおもに、A1,A2,A3の係数があります。

●A=\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)
●\(A_2\)=\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)
●\(A_3\)=\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)

X管理図では、1つのデータしかないので、範囲Rから算出する\(d_2\)ではなく、標準偏差sから算出する\(c_4\)を使います。JISZ9020に準拠します。

また、データは１つしかありませんが、n=2のときのA3の値を使います。その理由は完全にはわかりませんが、1に近い2だからでしょうか？

Rs管理図はD3,D4 (n=2)

Rs管理図では、管理限界を\(\bar{R}\)の定数倍として表現したいため、係数はD3,D4を使います。なお、係数DについてはD1～D4がありますが、比で表現したD3,D4を使います。

●\(D_1\)=\(max(0,d_2-kd_3)\)
●\(D_2\)=\(d_2+kd_3\)
●\(D_3\)=\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
●\(D_4\)=\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)

ただし、D3は負になる場合があるため、0と大きい方を使います。サンプル数nが6以上でD3が正になります。よって、D3は使わないとします。実際はD3=0です。

また、データは１つしかありませんが、n=2のときのD3, D4の値を使います。その理由は完全にはわかりませんが、1に近い2だからでしょうか？

③範囲Rsの求め方

他のＲ管理図と異なる求め方になる点が注意です。

Rsの定義

Rsを計算する。

先ほどのデータで、
Rs=|x(n)-x(n-1)|
から求めてみましょう。

●ここで、Rsの具体的な算出方法を確認します。
Rs(1)=|X(1)-X(0)|=なし(X(0)がないのでRs(1)=0ではなく、「Rs(0)=無し」とします。

Rs(2)=|X(2)-X(1)|=|33.26-31.72|=1.54
…
Rs(19)=|X(20)-X(19)|=|30.07-33.41|=3.34
Rsのデータは19個

③管理限界の求め方

X管理図について

●平均\(\bar{X}\)は32
●LCL,UCLは\(\bar{X}\)±2.659\(\bar{R_s}\)
=32±2.659×0.85
より、
LCL=29.74
UCL=34.26

Rs管理図について

●平均\(\bar{R_s}\)は0.85
●LCLは0(無し)
●UCLは3.267\(\bar{R_s}\)
=3.267×0.85
=2.777

④工程管理の確認の仕方

管理図を図示

X管理図

Rs管理図

工程管理の分析結果

Rs管理図を見ると１点工程異常な点があります。工程異常とするか、第１種の誤りの範囲とするかは関係者で協議する必要があるます。

まとめ

X-Rs管理図の作り方について、解説しました。

• ①X-Rs管理図用データで考える
• ②管理限界の係数の導出
• ③範囲Rsの求め方
• ④管理限界の求め方
• ⑤工程管理の確認の仕方

管理図

「第1種の誤り、第2種の誤りと管理図の関係がわからない」、「工程変化によって管理図から不良確率を求める方法がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①工程が変化した場合に注意する
• ②第1種の誤りと管理図の関係
• ③第2種の誤り＆検出力と管理図の関係
• ④誤りと検出力を計算する演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●You tube動画でも解説しています。ご覧ください。

①工程が変化した場合に注意する

2点注意しましょう。

1. 工程平均がシフトした場合
2. 工程ばらつきが変化(特に増大)した場合

工程変化によって、管理限界を超える不良が増大する点に注意すればOKです。図で理解しましょう。

工程平均がシフトした場合

工程ばらつきが増大した場合

②第1種の誤りと管理図の関係

第1種の誤り(生産者危険)とは?

復習になりますが、検定と推定や抜取検査でも出て来るので、再度確認しましょう。
関連記事でも確認しましょう。
抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える

第1種の誤り(生産者危険)と管理図について

図で説明します。

図のとおり、工程自体は安定で問題ないのですが、わずかな確率でも管理限界外な点をとることがあります。管理図で異常となったからとして、すぐに工程を見直すのではなく、そのデータの確からしさを吟味する必要があります。

なお、管理限界を3σとする正規分布で仮定する場合、第1種の誤りとなる確率は0.26%(Kp=3のとき、p=0.13%)です。

③第2種の誤りと管理図の関係

第2種の誤り(消費者危険)とは?

復習になりますが、検定と推定や抜取検査でも出て来るので、再度確認しましょう。
関連記事でも確認しましょう。
抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える

第2種の誤り(消費者危険)と管理図について

図で説明します。

図のとおり、工程自体は問題なのですが、管理図でチェックして異常でないことがわかります。異常を検知できないリスクとなります。

図の注意点

教科書では、
●管理限界外の領域を検出力1-β
●管理限界内の領域を第2種の誤り（消費者危険)(β)
としています。

しかし、第2種の誤り（消費者危険)(β)や検出力(1－β)は検定と推定、抜取検査などにも出る概念で、それらと整合性を取ると逆になると考えます。

母平均の検定における棄却域をグラフで描くと、
管理限界外：第2種の誤り（消費者危険)(β)
管理限界内：検出力(1－β)
です。

④誤りと検出力を計算する演習問題

以下の問いを例に解いてみましょう。QC検定®１級の頻出問題なので、必読です。

1. 工程平均μが変化した場合の管理限界外となる確率の計算
2. 工程ばらつきσが変化した場合の管理限界外となる確率の計算
3. 工程変化した場合の検出力の計算

例題

例題の解説

●(1)
上下の管理限界線を超える確率を求めます。
平均を中心とした対称性がある分布なので、
上側の確率の2倍でよいです。

上側の確率はKp=3の時の確率です。
正規分布表でKp=3のときは、p=0.13%です。
よって、答えは0.26%です。

●(2)
検定統計量Kp=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)を考えます。
もともと3σで管理限界を設けていますので、
Kp=3,\(\bar{x}\)=UCLまたはLCL,μは平均として、
検定統計量Kp=3=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)が成り立っています。

そこに、工程平均が0.4σ大きくなったので、式を追加します。
検定統計量Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ+0.4σ)}{σ/\sqrt{n}}\)
=\(\frac{\bar{x}-(μ)}{σ/\sqrt{n}}\)-\(\frac{0.4σ}{σ/\sqrt{n}}\)
となり、
Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ)}{σ/\sqrt{n}}\)-0.4\(\sqrt{n}\)
=3-0.4\(\sqrt{6}\)
=2.02となります。
この式はQC検定®1級攻略に必須な式です。

工程が上側にシフトしたので、下側の確率は0として無視します。

Kp=2.02となる確率は正規分布表からP=0.0217(2.1%)⇒第２種の誤り。
検出力は1-β=1-0.0217=0.9783(97.8%)

●(3)
(2)と同様に
検定統計量Kp=3=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)が成り立っています。

そこに、工程ばらつきが1.2倍大きくなったので、式を追加します。
検定統計量Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ)}{1.2σ/\sqrt{n}}\)
=Kp/1.2=3/1.2
=2.5となります。

異常確率は管理限界の上下の両側を求めます。

Kp=2.5となる確率は正規分布表からP=0.0062(0.62%)
確率は2倍してP=0.0124(1.24%))⇒第２種の誤り。
検出力は1-β=1-0.0124=0.99876(99.9%)

まとめ

管理図における第1種の誤りと第2種の誤りについて、解説しました。

• ①工程が変化した場合に注意する
• ②第1種の誤りと管理図の関係
• ③第2種の誤り＆検出力と管理図の関係
• ④誤りと検出力を計算する演習問題

管理図

「\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)の導出がわからない」、「\(σ_\bar{x}^2\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)の導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

本記事の結論

本記事のテーマ

• ①群内変動、群間変動の分散を計算してみる
• ②群内変動、群間変動\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)の証明
• ③群内変動、群間変動\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)を\(σ_\bar{x}^2\)とする。

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①群内変動、群間変動の分散を計算してみる

データを用意

例題

●平方和の計算大丈夫でしょうか？
不安な方は関連記事で確認しましょう。
【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
【まとめ4】実験計画法は平方和の分解が重要である

では、解いていきます。

文字の定義

●\(x_{ij}\):各値
●\(\bar{x_{i・}}\):各群の平均値
●\(\bar{\bar{x}}\)：全平均

あとで証明しますが、
\(x_{ij}\)-\(\bar{\bar{x}}\)=(\(\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{x}}\))+(\(x_{ij}\)-\(\bar{x_{i・}}\))
として、各々の2乗和を取ると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\) (\(\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{x}})^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)(\(x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
が成り立ちます。

●\(x_{ij}\)-\(\bar{\bar{x}}\)
●(\(\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{x}}\))
●(\(x_{ij}\)-\(\bar{x_{i・}}\))
についての平方和を算出します。

それぞれの平方和の計算

●①全体の分散\(σ_x^2\)
平方和S
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\((18-14.7)^2\)+…+\((14-14.7)^2\)
=204.3
★よって、分散\(σ_x^2\)は、
\(σ_x^2\)=S/30=6.81

●②群内変動の分散\(σ_w^2\)
平方和S
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)(\(x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
=\((18-14.8)^2\)+…+\((14-14.8)^2\)
=192.4
★よって、分散\(σ_w^2\)は、
\(σ_w^2\)=S/30=6.41

●③群間変動の分散\(σ_b^2\)
平方和S
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\) (\(\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{X}})^2\)
=\((14.8-14.7)^2\)+…+\((14.8-14.7)^2\)
=11.9
★よって、分散\(σ_b^2\)は、
\(σ_b^2\)=S/30=0.40

●④分散\(σ_\bar{x}^2\)
平方和Sが定義できないですが、公式
\(σ_\bar{x}^2\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)
から計算します。

\(σ_\bar{x}^2\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)
=6.41/5+0.40=1.68

具体例を計算したので、公式を数学的に証明します。

②群内変動、群間変動\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)の証明

ここで慣れてほしい計算を列挙します。

1. データの構造式\(x_{ij}\),\(\bar{x_{i・}}\),\(\bar{\bar{x}}\)に慣れること
2. データの構造式の2乗和をΣを使って展開すること
3. 実験計画法と平方和の分解に慣れること

証明の流れ

1. データの構造式を作る（実験計画法と同じ）
2. 平方和を分解（全体＝部分の合計）の式を作る
3. 2乗和では「互いの積和=0」を狙う
4. 平方和/データ数=分散に直す

データの構造式を作る（実験計画法と同じ）

すでに書きましたが、データ\(x_{ij}\)は群間方向\(i\)と群内方向\(j\)に分かれます。

●\(x_{ij}\):各値
●\(\bar{x_{i・}}\):各群の平均値
●\(\bar{\bar{x}}\)：全平均
と定義して、データの構造式を作ります。

●データの構造式
\(x_{ij}\)-\(\bar{\bar{x}}\)=(\(\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{x}}\))+(\(x_{ij}\)-\(\bar{x_{i・}}\))

平方和を分解（全体＝部分の合計）の式を作る

機械的にデータの構造式の両辺に\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(●-〇)^2\)の形を取ります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\) (\((\bar{x_{i・}}\)-\(\bar{\bar{x}})\)+\((x_{ij}-\bar{x_{i・}}))^2\)

(右辺)を展開します。
(右辺)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
+\(2(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})(x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)
+\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2)\)

2乗和では「互いの積和=0」を狙う

次に、第２項に注目します。

第２項
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})(x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)
実際にΣの中身を書き出してみましょう。これも慣れてください。

●第２項
=[\((x_{11}-\bar{x_{1・}}\))+…+\((x_{1b}-\bar{x_{1・}}\))]\((\bar{x_{1・}}-\bar{\bar{x}})\)
+[\((x_{21}-\bar{x_{2・}}\))+…+\((x_{2b}-\bar{x_{2・}}\))]\((\bar{x_{2・}}-\bar{\bar{x}})\)
…
+[\((x_{a1}-\bar{x_{a・}}\))+…+\((x_{ab}-\bar{x_{a・}}\))]\((\bar{x_{a・}}-\bar{\bar{x}})\)

ここで、[]の長～い式をじっくり見ると、すべての\(i\)について
(\(x_{i1}+ x_{i2}+…+ x_{ib}\))-b(\(\bar{x_{i・}}\))
となります。この式をよーく見ると、
(合計)―(個数)×(平均)
です。これは０になりますね。

よって(右辺)は、
(右辺)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)+\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2)\)
となります。

平方和/データ数=分散に直す

平方和の式を再掲します。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)

両辺をabで割ります

\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)+\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)

●(左辺)はまさに、\(σ_x^2\)ですね。つまり、
\(σ_x^2\)=\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)

●(右辺)の第1項を少し変形します。
実は、Σの中の変数は\(i\)しかありません。つまり、
\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\frac{b}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\frac{1}{a}\)\(\sum_{i=1}^{a}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
と変形できます。これって、
群間変動の分散\(σ_b^2\)となります。わかりますか？じっくり見ましょう。

●(右辺)の第２項を考えます。
単純に、
群内変動の分散\(σ_w^2\)
=\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
としてもいいのですが、各群\(i\)の群内は変数\(j\)で表現できます。

ここで変数\(i\)によらず、群内分散は等しいと仮定すると、
\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
=\(\frac{a}{ab}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
=\(\frac{1}{b}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
=\(σ_w^2\)
と見やすくなります。

③群内変動、群間変動\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)を\(σ_\bar{x}^2\)とする。

\(σ_\bar{x}^2\)は何者か？わからない

もともと数学的には、次の等式が成立して、
\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)+\(\frac{1}{ab}\)\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
から
\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
の関係が成り立ちます。

さて、\(σ_x^2\)ではなく、\(σ_\bar{x}^2\)とした場合、
データの構造式を立てて、平方和の分解から分散公式の導出がうまくできません。

数学を使って、
\(σ_\bar{x}^2\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)
を証明しようとしてもうまくいきません。

数学的には成り立たないので、あえて定義したものととらえる

\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)の和を\(σ_\bar{x}^2\)と定義したものと考える方がよいでしょう。

●先の例題をみると、
●\(σ_w^2\)=6.41
●\(σ_b^2\)=0.40
●\(σ_x^2\)
=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)=6.81
●\(σ_\bar{x}^2\)
=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)
=6.41/5+0.40=1.68

変数xの分散が少ないという意味で、変数\(\bar{x}\)の分散を作っているのです。
ただし、
\(σ_\bar{x}^2\)=\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)
を数学的に証明されていませんので、注意が必要です。
この式を暗記する意味は無いでしょう。

まとめると

私は、数学的に証明された正しい、
●\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
を使うべきと考えます。

まとめ

群内変動、群間変動の分散の導出について、解説しました。

• ①群内変動、群間変動の分散を計算してみる
• ②群内変動、群間変動\(σ_x^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)の証明
• ③群内変動、群間変動\(\frac{σ_w^2}{n}\)+\(σ_b^2\)を\(σ_\bar{x}^2\)とする。

管理図

「工程改善すると管理図がどう変化するかわからない」、「どんな変数を変化させると管理図が変わるかわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

本記事の結論

本記事のテーマ

• ①データの成分分解、分散分析と層別した管理図を作成
• ②成分ごとのばらつき低減と管理図の関係を確認
• ③ばらつき低減すると管理限界が厳しくなりさらに改善へ

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●You tube動画でも解説しているので、確認ください。

①データの成分分解、分散分析と層別した管理図を作成

実験計画法（三元配置実験）のデータを用意

例題

実験計画法（三元配置実験）のデータの構造式と分散分析を導出

さて、問題です。

実験計画法については、関連記事にまとめています。

究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多くの教科書がある中、勉強してもどうしても分からない、苦労している難解な箇所をすべて解説します。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。

データの構造式

さっと、書けるように実験計画法もマスターしてください。

\(x_{ijk}\)=μ+\(α_{i}\)+\(β_{j}\)+\(γ_{k}\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\(x_{ijk}\)+\(ε_{ijk}\)

3因子のデータの構造式では、平均＋主効果＋2因子交互作用+残差(3因子交互作用と交絡)となりますね。

分散分析

分散分析表から、
主効果A,B,C,交互作用A×Bが有意であるとわかりますね。

層別した管理図を作成

では、分散分析したデータを各変数Ａ，Ｂ，Ｃについて層別し、\(\bar{X}\)-R管理図に描いてみましょう。

Aについて

Bについて

Cについて

A,Bは特徴的なパターンはありませんが、Ｃはぎざぎざで、管理限界外の点が見られます。

②成分ごとのばらつき低減と管理図の関係を確認

変数Ｃについて、工程異常があるので、Ｃのばらつきを低減することから始めましょう。

Cのばらつきを低減した場合

データの構造式を見ましょう。
\(x_{ijk}\)=μ+\(α_{i}\)+\(β_{j}\)+\(γ_{k}\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\(ε_{ijk}\)
Ｃに関する項は、\(γ_{k}\),\((αγ)_{ik}\),\(ε_{ijk}\)(≡\((αβγ)_{ijk}\))ですね。

\(γ_{k}\),\((αγ)_{ik}\),\(ε_{ijk}\)(≡\((αβγ)_{ijk}\))の変動を1/4倍にしましょう。つまり、平方和\(S_C\),\(S_{A×C}\),\(S_{B×C}\),\(S_{e}\)を2乗の1/16倍にします。

分散分析の変化

平方和\(S_C\),\(S_{A×C}\),\(S_{B×C}\),\(S_{e}\)が1/16倍になりましたね。

管理図の変化

●Cに関して\(\bar{X}\)-R管理図を描きましょう。確かにばらつきが低減した分、管理限界内に入っていることがわかります。

●\(\bar{X}\)管理図の変化(Cについて)

●R管理図の変化(Cについて)

Cについて、ばらつきを1/4に低減すると、\(\bar{X}\)管理図も、R管理図もばらつきが収まり管理限界内に入ることが分かります。

なお、A,Bについては、それほどの大きな変化はありません。

さらにA,Bのばらつきも低減した場合

残りの効果についてもばらつきを1/4倍に低減しましょう。

分散分析の変化

変化前後で、全高価の平方和が1/16に変化しました。

では、分散分析したデータを各変数Ａ，Ｂ，Ｃについて層別し、\(\bar{X}\)-R管理図に描いてみましょう。

Aについて

●\(\bar{X}\)管理図

●R管理図

Bについて

●\(\bar{X}\)管理図

●R管理図

Cについて

●\(\bar{X}\)管理図

●R管理図

演習問題

是非解いてみてください。本記事の結果と一致すればOKです。

まとめ

管理図と実験計画法を使ってばらつき低減効果を確認する方法を解説しました。

• ①データの成分分解、分散分析と層別した管理図を作成
• ②成分ごとのばらつき低減と管理図の関係を確認
• ③ばらつき低減すると管理限界が厳しくなりさらに改善へ

管理図

「計量値管理図の係数の極限値っていくらか知りたい」と思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①管理図各係数の関係
• ②c4,d2,d3をプログラムで計算
• ③管理図係数の極限値

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご覧ください。

①管理図各係数の関係

詳細は関連記事で解説していますが、一覧表を確認しましょう。

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

JISZ9020-2の表2「管理限界線を計算するための係数」から変数一覧を出します。

上の表を、c4,d2,d3の観点でまとめ直しましょう。下表のような関係になるのがわかります。

ここで、よく見ると、すべての係数は、c4,d2,d3,k=3,nで計算できますことがわかります。

興味本位ですが、係数の特性がわかると管理図も作りやすくなります。

②c4,d2,d3をプログラムで計算

R言語をインストール

Googleで「Ｒ言語　インストール」を検索して、お使いのPCのOSに合う「R」をインストールします。

活用できるものはどんどん活用しましょう！何でもかんでも自分で作る必要はありません。

●関連記事にインストール方法がありますので紹介します。
【R言語インストール(2020年 Windows)】

●インストーラーダウンロードも確認ください。
【R言語インストール(2020年 Windows)】

●お使いのPCによってLinux,macOS,Windoewsを選択ください。

●Windowsの場合は「Subdirectories」のところで「base」を選択してダウンロードします。

d2,d3計算プログラム

R言語がPC上で起動できたら、d2,d3計算プログラムを走らせます。

すでに、プログラムを作っている方がいらっしゃるので、それを使いましょう。個人使用限定でお願いしますね。
【シューハート管理図係数の計算】

d2,d3,A2,D3,D4の解析プログラムを先ほどインストールした「R」に貼り付けてください。

下図の赤枠から入力してください。

nについては、デフォルト1から50となっていますが、50を好きな数字に変えましょう。ただし、nを増やすと当然計算時間は増えます。2000にすると数分かかり、それ以上だと、もっとかかります。

③管理図係数の極限値

c4,d2,d3の極限値

c4はエクセルで、
d2,d3はR言語で解析しました。

結果は下図のとおりです。

\(c_4\)の極限値は1っぽい

●c4を構成するΓ関数ですが、nを増やすとΓも大きくなり、Excelで計算するとn=344以上は、「#NUM!」となってしまいました。

●\(c_4\)=\(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\)\(\frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)ですが、Γ関数の関係式を見ると\(c_4\)は１に収束するようです。

\(\frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)⇒\(\sqrt{\frac{n}{2}}\)になるようですね。Γ関数を復習しましょう。
\(c_4\)⇒\(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\)×\(\sqrt{\frac{n}{2}}\)=\(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}}\)⇒1

\(d_2\),\(d_3\)は収束しない

R言語を使ってn=2000くらいまで計算しても、ある値に収束しません。
\(d_2\),\(d_3\)の極限値は「？」です。

極限値のまとめ

係数c4,d2,d3のnによる変化を見て、極限値を算出しました。

係数値A,B,Dはどうなるのでしょうか？

A,\(A_2\),\(A_3\)

●A=\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)⇒0
●\(A_2\)=\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)⇒?
●\(A_3\)=\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)⇒0
\(A_2\)は、Aと\(A_3\)と同様に0に収束するかもしれません。
Aは\(\bar{X}\)についての値なので、正規分布N(0,1)を考えると0に収束するのかもしれません。

\(B_3\),\(B_4\),\(B_5\),\(B_6\)

●\(B_3\)=\(max(0,1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2})\)⇒1
●\(B_4\)=\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)⇒1
●\(B_5\)=\(max(0,c_4-k\sqrt{1-c_4^2})\)⇒1
●\(B_6\)=\(c_4+k\sqrt{1-c_4^2}\)⇒1
Bは標準偏差sについての値なので、正規分布N(0,1)を考えると1に収束するのかもしれません。

\(D_1\),\(D_2\),\(D_3\),\(D_4\)

●\(D_1\)=\(max(0,d_2-kd_3)\)⇒?
●\(D_2\)=\(d_2+kd_3\)⇒?
●\(D_3\)=\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)⇒?
●\(D_4\)=\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)⇒?
Dは範囲Rについての値です。範囲Rはサンプル数nが極限値になっても、ある一定の値を持ちます。だから、係数Dはどこに収束するかわかりません。

まとめ

計量値管理図の係数の極限値について解説しました。

• ①管理図係数表一覧
• ②管理図係数の公式
• ③管理図係数が負になる場合も計算

管理図