「グリーンウッドの公式導出がわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①カプランマイヤー法を復習する
- ➁グリーンウッドの公式とは
- ➂グリーンウッドの公式導出がわかる
- ➃デルタ法の力を借りる！
- ➄(続)グリーンウッドの公式導出がわかる
相当マニアックですが、折角なので解説します！
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①カプランマイヤー法を復習する
関連記事で復習
まずは、関連記事を読んでください。この記事をベースに本記事は解説しています。
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カプランマイヤー法が理解できる(その1) 信頼性工学で「打切りデータ」を扱う際、カプランマイヤー法を使いますが、カプランマイヤーの式は導出できますか？ 本記事では、公式暗記しがちなカプランマイヤーの式を丁寧に導出します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
カプランマイヤー法
教科書によっては、若干書き方が異なりますが、カプランマイヤー法とは
●\(d_i\)：故障数
●\(n_i\)：全体の個数
ポイントは、
故障数/全体数 の累積掛け算の形であること！
➁グリーンウッドの公式とは
信頼度S(t)の分散が
で表現できる。
➂グリーンウッドの公式導出がわかる
では、やってみましょう。
信頼度\(S(t)\)はカプランマイヤー法では生存関数と言いますね。
S(t)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n (1-\frac{d_i}{n_i})\)
の両辺を対数でとります。
\(log S(t)\) = \(\sum_{i}^{}log(1-\frac{d_i}{n_i})\)
となりますね。
次に両辺について、分散Varをつけてみましょう。
\(Var(log S)\) = \(\sum_{i}^{}Var(log(1-\frac{d_i}{n_i}))\)
ここから計算を進めるために、デルタ法を使います。強引な感じがしますが。
➃デルタ法の力を借りる！
デルタ法とは
●E[X]=\(μ_X\)
●V[X]=\(σ_X^2\)
とする正規分布に従うとして、
\(Y=g(X)\)という変数変換をするときに、\(g(X)\)を\(X\)の周りで１次式までテイラー展開をする方法である。
デルタ法から導出できるもの
\(Y=g(X)\)≒\(g(μ_X)\)+\((X-μ_X)g’(μ_X)\)とテイラー展開できます。
ここに、両辺の分散を取ると
\(V[Y=g(X)]\)≒\(V[g(μ_X)\)+\((X-μ_X)g’(μ_X)]\)
=\(V[g(μ_X)]\)+\( g’(μ_X)^2\)\(V[X]\)+\(V[-μ_X g’(μ_X)]\)
となります。
ここで、
●(第１項)=\(V[g(μ_X)]\)=0 (平均の分散はないので0)
●(第2項)=\(g’(μ_X)^2 V[X]\)= \( g’(μ_X)^2 σ_X^2\)
●(第3項)= \(V[-μ_X g’(μ_X)]\)=0(平均の分散はないので0))
より、式の結果は、
となり、この式をグリーンウッドの公式に活用します。
グリーンウッドの公式に活用する
\(V[Y=g(X)]\) ≒\( g’(μ_X)^2\)\(σ_X^2\)を
\(g(X)=logX\)とすると、
\(V[logX]\) ≒\( g’(μ_X)^2\)\(σ_X^2\)
=\(\frac{1}{(μ_X)^2}\)\(Var(X)\)
となります。
\(X=S\)と直すと
となり、この式をグリーンウッドの公式に活用します。
➄(続)グリーンウッドの公式導出がわかる
式を再掲
式を再掲します。
\(Var(log S)\) = \(\sum_{i}^{}Var(log(1-\frac{d_i}{n_i}))\)
二項分布の分散の力を借りる
\(Var(log(1-\frac{d_i}{n_i}))\)において、\(p_i=\frac{d_i}{n_i}\)とおくと、
二項分布の分散から
\(Var(1-\frac{d_i}{n_i})\)=\(Var(\frac{d_i}{n_i})\)=\(\frac{p_i(1-p_i)}{n_i}\)
となります。
よって、
\(Var(log(1-\frac{d_i}{n_i}))\)=\(\frac{1}{(1-d_i/n_i)^2}\)×\(Var[1-d_i/n_i]\)
=\(1/(1-p_i)^2\)×\(\frac{p_i(1-p_i)}{n_i}\)
=\(\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\)
となります。
式を変形すると
\(Var(log S)\) = \(\sum_{i}^{}Var(log(1-\frac{d_i}{n_i}))\)
= \(\sum_{i}^{} \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\)
であり、
\(V[log S]\) ≒\(1/(S^2) Var[S]\)
より、
\( 1/(S^2) Var[S]\)= \(\sum_{i}^{} \frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}\)
となり、両辺を\(S^2\)をかけると
となります。
まとめ
「（カプランマイヤー法）グリーンウッドの公式導出がわかる」を解説しました。
- ①カプランマイヤー法を復習する
- ➁グリーンウッドの公式とは
- ➂グリーンウッドの公式導出がわかる
- ➃デルタ法の力を借りる！
- ➄(続)グリーンウッドの公式導出がわかる
