カテゴリー: 基本統計量

★ 本記事のテーマ

こういう疑問に答えます。

さっそく見ていきましょう。

教科書は、母平均の検定に使う正規分布とt分布を先に、分散の検定に使うχ2乗分布とF分布を後に紹介します。
確かに、この順番でもOKですが、
本記事はt分布よりχ2乗分布を先に解説します。

それぞれの分布関数の使い方は個別の記事で紹介しますが、全体像を本記事で理解してください。
・正規分布
・χ2乗分布
・t分布
・F分布

χ2乗分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりませんよね。簡単にわかるよう解説します。

●平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
●母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
●母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
と、平均を扱う分布は2種類あります。

次にばらつき(分散)用の分布も必要になりますね。

平均\(\bar{x}\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う変数\(x_i\)の分散を考えます。
まず、変数\(x_i\)を標準化します。標準化についてはここを見てください。
\( \frac{x_i-\bar{x}}{σ}\)
そして、この2乗和が平方和であり、分散を考えるχ2乗分布関数の基本形になります。

(χ2乗分布関数)
\( f(x)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\)\(Γ(\frac{k}{2}) \)\(x^{\frac{k}{2}-1}\)\(e^{\frac{x}{2}} \) (A)
(正規分布関数)
\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(-\frac{x^2}{2}) \)(B)
と超難解な式です。ですが、
(A)=Σ(B)^2で計算できる
の理解で十分です。あとの難解な計算や式は、数学者にお願いしましょう。

χ2乗分布関数は、ざっくり書くと
\( Z=\sum_{i} (\frac{x_i-\bar{x}}{σ})^2\)
ですね。よく見ると、
\(\sum_{i} (x_i-\bar{x})^2\)
は平方和Sですよね。
つまり、
$$ χ^2 = \frac{S}{σ^2} $$
の関係があります。よく教科書にありますが、本記事を読めば、暗記する必要はありません。

χ2乗分布のさらなる特徴については、χ2乗分布を読んでください。

t分布の定義を見ましょう。

正しいですが、全然意味がわからないですね。簡単にわかるよう解説します。

本記事で先に、χ2乗分布関数を説明した理由は、
t分布の導出にχ2乗分布関数が必要だからです。

平均を扱うのが、正規分布、t分布です。
母集合の母分散が既知で理想的な分布な正規分布
母集合の母分散が未知で現実的な分布なt分布
ですね。

正規分布は、理想・全体、無限のイメージですが、
ｔ分布は、現実・一部・有限のイメージがあります。

t分布 X = 正規分布 Z / √χ2乗分布Y
をよく見ると、
正規分布 Z のσ/√χ2乗分布(σ^2/n)
→　σ/√(σ^2/n)=nとざっくり計算できますね。
σ→ｎに変わっていますよね。これが、
正規分布はσを、ｔ分布はσではなく自由度nを使う
わかりやすい理由です。

数学的な証明ではないため、厳密さは欠けますが、
慣れないうちはこの程度の説明で十分です。
私がわかりやすい説明を考え抜いた結果、この説明にたどり着きました。

t分布のさらなる特徴については、t分布を読んでください。

F分布の定義を見ましょう。

正しいですが、わかりにくいですね。簡単にわかるよう解説します。

分散比だから、χ2乗分布関数の比になるわけですから、
F分布関数＝　χ2乗分布関数1/ χ2乗分布関数2
となりますよね。
χ2乗分布関数1　と　χ2乗分布関数2は自由度が異なるため、
F分布は両方の自由度が必要となるのも理解できますね。

F分布はこれだけわかれば十分です。

F分布のさらなる特徴については、F分布を読んでください。

4つの分布関数の関係をざっくり書くと下の図のようになります。まずはこれだけわかれば十分実務に活かせます。

それぞれの関係と、利用目的が理解しやすいですね。活用できる良いイメージ図です。

なお、厳密に書くと下図になります。でも、わかりにくいですね。

正規分布、χ2乗分布、t分布、F分布の順で、実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

★ 本記事のテーマ

本記事を読んでいるあなたは、平方和、確率分布関数など統計学の基礎をマスターしたいはずです。理解度アップのための必須な関連記事がありますので、関連記事も読んでください。

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【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法

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【簡単】F分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】t分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】

さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご覧下さい

$$ f(x)= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!} $$

見た瞬間、「何じゃこりゃ？」ですね。
\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)とややこしい項ばかりですね。
式見てもグラフのイメージがつきません。
どうやってこの式ができたのか？イメージつきません
あなただけではありません。みんなイメージできません。

この式は何回使っても忘れます。忘れにくい方法があります

★ (A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める

\( e^{-λ}\)→\(λ^x \)→\( x!\)としましょう。入れ替わると私も式がわからなくなります。

★(B)変数が変わったときに要注意

本記事では、λ、xとしています。教科書によってはλ→m,x→kに変えていることがあります。要注意です。

★(C)覚え方

下図のように、λ,xの変数を一箇所に集めれば、間違いなく公式暗記できます。

ポアソン分布の導出は、基本わかりにくいです。
2つ導出方法があります。概要を解説します。詳細はここを参照ください。

(A)はいろいろな教科書やwebサイトでも紹介されています。
メリットは、計算過程がわかりやすいことです。
デメリットは、二項分布の極限がポアソン分布となり、分布の極限って何？と疑問に残ることです。

●二項分布からポアソン分布を導出します。
二項分布
P(X=k)=\( {}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
ここで、p=\(\frac{λ}{n}\)を代入します。
=\( {}_nC_k(\frac{λ}{n})^k(1-\frac{λ}{n})^{n-k}\)
=\( \frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} (\frac{λ}{n})^k (1-\frac{λ}{n})^n (1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
=\(\frac{λ^k}{k!}\)\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{n･n…n}\)\((1-\frac{λ}{n})^{\frac{n}{λ}}\)\((1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
n→∞に持っていくと
→ \(\frac{λ^k}{k!}･1･e^{-λ}\)=\(e^{-λ}\frac{λ^k}{k!}\)
となり、ポアソン分布型に変形できました。
でも、難しいですね。よく二項分布の極限値がポアソン分布だと気がつきますよね。

一方、(B)はレアです。
メリットは、モデルから方程式を立てて導出するので納得感がある。
デメリットは、計算過程が難しいことです。

本記事では(B)のレア版を解説します。詳細解説を見る前に概要を理解しましょう。何をやっているのかを先に理解してください。

式の各項を説明しましたが、一読では「何を言っているのかわからない」と思います。数回読むと慣れてきます。この方程式がポアソン分布のモデル式です。

Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
を解けばPn(t)の関数形が得られます。

変形すると
(Pn(t+Δ)-Pn(t))/Δ=λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
Δ→0にすると微分になりますから
\( \frac{d}{dt} Pn(t)\)= λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
これを満たすPn(t)は
Pn(t)= \(e^{-λt}\frac{{λt}^n}{n!}\)
となり、ポアソン分布の関数になります。

(A)の二項分布の極限よりは、(B)のモデル式から導出する方が納得感はあります。ポアソン分布は難しいため、わかりやすく解説しても、この難しさです。

具体例を見てみましょう。なお、期待値、分散の導出も重要ですが、詳細解説で説明するとして、ここでは、ポアソン分布を具体的な値を使って慣れる練習をしましょう。

二項分布とポアソン分布は別物ですが、
割合の場合は二項分布、
個数の場合はポアソン分布、
を扱うだけで、上の問いはどちらの分布でも計算ができます。

●二項分布の場合
\( P_x={}_nC_x p^r (1-p)^{n-x}\)
=\(_{10}C_x (\frac{1}{20})^x (1-\frac{1}{20})^{10-x}\)

●ポアソン分布の場合
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-\frac{1}{20}}\)\(\frac{(\frac{1}{20})^x}{x!}\)

エクセルで計算した結果と、両者の結果を比較します。xが小さいとほぼ値は等しいですが、徐々に値がずれていくのがわかります。

不良個数と来たら、ポアソン分布の公式を書きましょう。
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
λが必要になります。
λは不良数×抜取数÷全数とします。
λ：➀1②2③4④5⑤10となります。グラフは次のようになります。

ポアソン分布は、λが高くなるにつれて正規分布に近似できます。
二項分布もポアソン分布も最初から正規分布で計算してもそれほど結果は変わらないということになりますが、試験では各々の分布に関する問題が出ますので勉強しましょう。実務は正規分布で良いでしょうね。

①②③と解説しました。再度重要なポイントを確認しましょう。

\(e^{-λ} \frac{λ^x}{x!}\)という変な式を実際に変形するなどして、触ってみましょう。習うより慣れよ！です。１つ例題を出します。

どうでしょうか？一見難しそうですが、 式を難しくしている\(\sum_{x=0}^{∞} \frac{λ^x}{x!}\)が意外な値になります。テイラー展開を思い出すと

この式を問題文の式に代入すると
\(\sum_{x=0}^{∞} f(x)\)
=\( e^{-λ} \sum_{x=0}^{∞} \frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-λ} e^λ \)
=1

となりますね。扱いにくい\(\frac{λ^x}{x!}\)が少し身近に感じていただける例題で確認しました。

ポアソン分布の期待値Ｅ、分散Ｖも共にλになります。式が複雑なわりに期待値と分散は分布関数の中で最もシンプルになるので、不思議です。

(1)を解きます。

期待値E[X]≡xf(x)という意識で式を作ります。
E[X]= \(\sum_{k=0}^{∞}\)\(k\) ×\(\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
と式を書いて、変形していきます。

E[X]= \(\sum_{k=0}^{∞} k\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
(k=0の場合、\( 0　\frac{λ^0}{0!} e^{-λ}\)=0より、)
= \(\sum_{k=1}^{∞} k\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
= \( λe^{-λ} \sum_{k=1}^{∞} \frac{λ^{k-1}}{(k-1)!} \)
(\(\frac{λ^{k-1}}{(k-1)!} e^{-λ}\)をセットで考えると)
= \( λe^{-λ} e^{-λ}\)
=λ
となります。

(2)を解きます。ここで、テクニックですが、
E[X²]ではなく、E[X(X-1)]を求めます。

期待値E[X(X-1)]≡x(x-1)f(x)という意識で式を作ります。
E[X(X-1)]= \(\sum_{k=0}^{∞}\)\(k(k-1)\) ×\(\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
と式を書いて、変形していきます。

E[X(X-1)]= \(\sum_{k=0}^{∞} k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
(k=0,1の場合、\( k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)=0より)
= \(\sum_{k=2}^{∞} k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
=\( e^{-λ} λ^2 \sum_{k=2}^{∞} \frac{λ^{k-2}}{(k-2)!} \)
=\( e^{-λ} λ^2 e^λ \)
(\(\frac{λ^{k-2}}{(k-2)!} e^{-λ}\)をセットで考えると)
=\(λ^2\)

ここで、
V[X]=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]²
=\(λ^2\)+\(λ\)-\(λ^2\)
=\(λ\)
となります。

少しずつでいいので、ポアソン分布に慣れましょう。

苦手意識が強い、ポアソン分布についてわかりやすく解説しました。

★ 本記事のテーマ

★記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、つまずきやすいQC検定®2級挑戦者に難解な確率密度関数をわかりやすく解説しています。

★理解を深めるための関連記事を紹介

基本統計量をマスターするために必要な関連記事を紹介します。ご確認ください。
【1】分散、平方和、確率変数に慣れる
●【簡単】確率分布関数がすぐ身につく方法
●【簡単】統計学最初の関門「平方和」がマスターできる【初心者向け】
●確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

【2】正規分布、二項分布、ポアソン分布に慣れる
●【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
●【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】
●【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布
●【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる

さっそく見ていきましょう。

統計学や品質管理を勉強しているあなたは、高校数学をすでに勉強しているはずです。確率の良問を見ながら、二項分布に入っていきましょう。

(1)は組み合わせの確率問題ですね。
600回のうち、n回1(確率1/6)が出て、600-n回はそれ以外(確率5/6)が出ます。
どのn回に1が出るかは組み合わせで求めましたよね。式でまとめます。
Pr=\( _nC_r p^r (1-p)^{n-r} \)
を使いますね。わからない場合は高校数学確率の章に戻って復習しましょう。

n=600,p=\(\frac{1}{6}\)を代入すればよいです。
よって、
Pr=\( {}_{600}C_r (\frac{1}{6})^r (\frac{5}{6})^{600-r} \)

(2)は解いてみてください。詳細は解説集に載せています。ご覧下さい。答えはr=100のときです。
確率\(\frac{1}{6}\)で600回振るから100回になるのも納得できます。

(1)の式を見ると、二項分布の式そのものですね。
高校数学を学んでいれば二項分布の式は書けるはずです。大学の難しい数学ではありませんね。

高校数学で期待値と分散は証明できるのですが、意外と難しいです。
しかし、計数値の検定・推定（母不適合品率がある場合の検定・推定）や
計数値管理図(pn管理図、p管理図)に二項分布が使われます。
検定や管理図を使いこなせるレベル（資格でいうとQC検定®2級合格レベル）までは
期待値と分散は公式暗記でよいです。

なお、期待値E[X]=np、分散V[X]=np(1-p)の証明はここに記載しています。

➀の例題で、サイコロ１個をn=600回、確率p=\(\frac{1}{6}\)ですか、np=100が期待値となります。

実際にやってみましょう。

●サイコロが1個の場合

回数を6で割ると確率Pになりますね。

●サイコロが2個の場合

回数を36で割ると確率Pになりますね。

サイコロ1個,2個の場合についてグラフを描くと、次のとおりです。二項分布とはいえ、直線で角々していますね。

同様にサイコロの数を増やしていきます。その結果、滑らかな曲線になっていき、正規分布に近い形になっていますね。サイコロの数の目の出方は一見、正規分布とは関係がありませんが、データが増えるにつれて正規分布近似できるようになります。これが科学・社会データも同じことが言えます。不思議ですね。

ここで大事なのは、二項分布に従うデータも数が増えると正規分布に近づくことを実例で理解することです。教科書暗記せず、体感することが大切です。なお、サイコロの場合、たったn=3で正規分布に従う形になります。
最初から二項分布を使わずに正規分布で考えても良いかもしれませんね。

理解度のアップと、QC検定®２級の合格と一石二鳥です。
●基本統計量の演習問題【QC検定®2級対策】
●【必読】基本統計量をマスターする【QC検定®2級対策】

抜取検査で必須なOC曲線(Operating Characteristic curve)に二項分布の式が必須です。
OC曲線は丸暗記する人が多いので、式で理解しましょう。解説します。

OC曲線は合格率L(p)と不良率pの関係を見るわけですから、縦軸はL(p)、横軸はpですね。
次にL(p)の式を作りましょう。

式で書くと
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r(1-p)^{n-r} \)
と書けます。

OC曲線は、不良率から消費者危険、生産者危険、(n,c)によるグラフの関係性を見ます。これは抜取検査の記事で詳細に解説します。
大事なのは、OC曲線は二項分布の式で作ることです。グラフの性質を丸暗記せず、式で理解しましょう。式で理解した方が、応用が効くからです。

なお、いろいろな(n,c)の場合のOC曲線を見ましょう。ここまでグラフ化した図は本記事以外にありません。エクセルとVBAを使ってグラフにしました。貴重なデータですよ。

ここから先は、期待値、分散を導出します。もう少し見ていきましょう。

まず、　\((p+q)^n\)を展開すると、
\((p+q)^n\)=\(p^n\)+…+\(q^n\)となりますね。

これをまとめると

今回は、

大丈夫です。構造体として式を理解すればOK。式の構造をいじらずに式変形するのが二項分布の式を扱うポイントです。