カテゴリー: 基本統計量

「確率変数の期待値と分散がいまいち解けない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①確率分布関数と確率の違いを理解する
• ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
• ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
• ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
• ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
• ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

①確率分布関数と確率の違いを理解する

確率分布関数とは

実は、そんなに違いを意識する必要なく、

という感覚でOKです。

確率分布関数の和・積分が確率

確率を求める際、

数列のΣが出て来ます。

積分の∫が出て来ます。

なので、数列・積分・確率の練習をしましょう。

➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題

4問用意しました。

演習問題1

演習問題2

演習問題3

演習問題4

どうでしょうか？　すべて高校数学で解ける問題で、大学入試で出題されても良い良問ばかりです。この４問を使って、確率を数列と積分で解く習慣をつけましょう。

➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1

問題

回答

【解】大学入試で出題された問題です。実際に書き出して、期待値と分散を計算します。

上表をもとに、数列を使って期待値、分散を計算します。

●期待値E(X)は
E(X)=1・\(\frac{2}{10}\)+2・\(\frac{1}{10}\)+3・\(\frac{2}{10}\)+4・\(\frac{1}{10}\)+5・\(\frac{2}{10}\)+7・\(\frac{1}{10}\)+9・\(\frac{1}{10}\)=4

●分散V(X)は
V(X)=\((1-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((2-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((3-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((4-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((5-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((7-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((9-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)=6

数列を使った１問でした。

➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2

問題

回答

サイコロの問題は超有名なので、是非解きましょう。

1つ目のサイコロの目と２つ目のサイコロの目の出方はそれぞれ独立とします。
●E(X)=\(\frac{1}{6}\)(1+2+3+4+5+6)=\(\frac{7}{2}\)
●E(X²)=\(\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\)=\(\frac{91}{6}\)
●E(X)E(Y)=E(X)E(Y)= \(\frac{49}{4}\)
を使って問を解きます

(1)
● E(X+Y)=E(X)+E(Y)= \(\frac{7}{2}\)+\(\frac{7}{2}\)=7
●E((X+Y)²)=E(X²)+2E(X)E(Y)+E(Y²)
= \(\frac{91}{6}\)+2・\(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)+ \(\frac{91}{6}\)= \(\frac{329}{6}\)
●V(X+Y)= E((X+Y) ²)- E(X+Y) ²
=\(\frac{329}{6}\)-49=\(\frac{35}{6}\)

(2)
● E(XY)=E(X)E(Y)= \(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)=\(\frac{49}{4}\)
●E((XY)²)=E(X²)・E(Y²)= \(\frac{91}{6}\)・\(\frac{91}{6}\)= \(\frac{8281}{36}\)
●V(XY)= E((XY)²)- E(XY) ²=\(\frac{8281}{36}\)-\(\frac{2401}{16}\)=\(\frac{11515}{144}\)

機械的に計算しながら、公式や数列の計算に慣れていきましょう。

➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3

問題

回答

【問3】、【問4】は積分の演習問題です。

高校数学ですね。簡単な式で期待値、分散の積分計算に慣れていきましょう。

(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{3}x^3+9x \right]_{-3}^{3}\)=1
全区間の積分、つまり、全確率は合計１です。そりゃ、そうですよね！

(2)
●E[X]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{9}{2}x^2 \right]_{-3}^{3}\)=0
となります。確かにy軸に対象な関数なので、平均は0ですね！確かに！

●E[X²]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} x^2f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x^2(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{5}x^5+3x^3 \right]_{-3}^{3}\)=\(\frac{9}{5}\)
より、
●V[X]= E[X²]―E[X] ²=\(\frac{9}{5}\)

積分慣れていきましょう。
●E[X]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} xf(x)dx \)
●E[X²]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} x^2 f(x)dx \)
を定義どおり、積分すれば確率・期待値・分散は計算できます。

⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

問題

回答

(1)は離散系なので数列∑、(2)は連続系なので積分を使います。同じ問題ですが、連続系と離散系で計算結果が若干変わる点が面白いので、解いてみましょう！

(1)
●期待値E=\(\sum_{i=1}^{n} i \frac{1}{n}\)=\(\frac{1}{n} \frac{1}{2}n(n+1)\)=\(\frac{1}{2}(n+1)\)
●分散V＝\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(i-\frac{n+1}{2})^2 \)=\(\frac{1}{12}(n+1)(n-1)\)

(2)
●期待値E=\( \displaystyle \int_{0}^{n} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x \frac{1}{n})dx \)=\(\frac{n}{2}\)
●分散V＝E(X²)-E(X) ²=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x^2 f(x)dx \)-\((\frac{n}{2})^2\)=\(\frac{n^2}{12}\)

表にすると、離散系と連続系で結果が若干かわります。

以上、数列・積分を使って、確率・期待値・分散が計算できることを確認しました。

まとめ

「【初心者必見！】確率変数の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける！)」を解説しました。

• ①確率分布関数と確率の違いを理解する
• ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
• ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
• ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
• ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
• ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

基本統計量

「正規分布がいまいちよくわからない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)
• ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)
• ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

正規分布に慣れる良問を持ってきましたので、一緒に解きながら慣れていきましょう！

①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)

例題

　理系の高校数学の定期試験問題レベルです。ここは、しっかり解けるようにしましょう。

問(1)の回答

微分します。
●\(f’(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\(f’’(x)\)=\((-1+x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\)

ここで、極値と変曲点を考えます。
●\(f’(x)\)=0のときは、\(x\)=0 で、
●\(f’’(x)\)=0のときは、\(x\)=±1 なので、
増減表ができますね。

増減表をもとに、概形を描くと下図になります。

高校数学では、あまり\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)の式が出ませんが、特に気にせず、普通に微分積分すれば解けます！

➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)

正規分布の式になぜ正規分布表があるのか？

統計学やQCを勉強すると、必ず、正規分布表の読み方などを勉強しますが、
何で、あんな表があるかわかりますか？　この疑問を持つことの方が表の読み方の勉強より大事です！

不定積分が計算できないのに、なぜか定積分は計算できる
変な式です。だから、理解が難しい！

次の例題に行きましょう。

例題

問(1)の回答

テイラー展開は教科書どおりで、\(x=0\)のまわりで、テイラー展開すると
\(f(x)\)=\(f(0)\)+\(\frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1\)+\(\frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2\)+\(\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3\)+\(\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\)+…

どんどん微分しましょう。この微分は良い練習です。是非計算しましょう！
●\( f^{(1)}(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(2)}(x)\)=\((-1+x^2) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(3)}(x)\)=\((-x^3+3x) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(4)}(x)\)=\((x^4-6x^2+3) e^{-\frac{x^2}{2}}\)

より、\(x=0\)を代入して、\(f(x)\)の近似式を計算すると、
●\( f^{(1)}(0)\)=0
●\( f^{(2)}(0)\)=-1
●\( f^{(3)}(0)\)=0
●\( f^{(4)}(0)\)=3
となるので、

近似式の概形と正規分布の概形を描いてみる

近似式は４次関数で高２レベルですね。Excelでグラフを描いてみましょう。

確かに、\(x=0\)付近は２つのグラフは重なっていますね。近似値からでも正規分布の定積分は精度よく求められそうですね。

➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

問(2)を再掲

では、２つの関数の積分を解いてみましょう。

正規分布表から確認

正規分布表から値を読みます。正規分布表の読み方は大丈夫でしょうか？一応解説します。

上表のマーカ部でKp＝1.00の値「0.1587」を見ますが、
これは、\( \displaystyle \int_{1}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)の値なので、
0.5-0.1587=0.3413が、求めたい積分値\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)です。

何を言っているかわからない場合は、正規分布の基礎を復習しましょう。関連記事を紹介します。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。 ｢正規分布の標準化する理由がわからない｣、｢平均μ、分散\(σ^2\)の一般的な正規分布の確率の計算ができない｣など困っていませんか？ 本記事では、標準化する理由と一般的な正規分布の区間確率の導出方法を解説します。正規分布を使った応用問題が解けずに困っている方は必見です。

近似式の定積分

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)を計算します。高２レベルです。

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{103}{120}\)=0.3425
となります。この計算もやってみてください。

積分値の比較

●正規分布の場合は、0.3413
●近似式の場合は、0.3425
とほぼ一致していますね。差は0.4%!

グラフ見れば、x=0～1の区間は2つのグラフのｙの値はほぼ一致していますね。

まとめ

「【初心者必見！】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける！(高校数学で解ける！)」を解説しました。

• ①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)
• ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)
• ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

基本統計量

「F分布を使った検定方法がよくわからない」、「F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係がよくわからない」、「F分布表の注意点がわからない」など、実際に分散比の検定や分散分析を計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

F分布でよく出る3つのパターン

• ➀F分布の導出がわかる
• ②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係
• ③F分布表の注意点

さっそく見ていきましょう。

➀F分布の導出がわかる

F分布の導出の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係

F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布と4つの分布関数の関係を使って確かめてみましょう。

● Z: 正規分布に従う
●X: 自由度nのt分布に従う
●\(Y^2\)/n: 自由度nのχ2乗分布に従う
と定義します。

t分布は
t分布 = 正規分布　/　\( \sqrt{χ2乗分布}\)
ですね。X,Y,Z,nを代入します。
\( X=\frac{Z}{1}\)/\({\sqrt{\frac{Y^2}{n}}}\)

両辺を2乗します。
\( X^2 = \frac{Z^2}{1}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)

　右辺は\(\frac{Z^2}{1}\)と\(\frac{Y^2}{n}\)の比、つまり
自由度1のχ2乗分布\(Z^2\)と、
自由度nのχ2乗分布\(Y^2\)の比ですから、
これが自由度(1,n)のF分布に従うことを意味しています。

\(X^2\)は自由度(1,n)のF分布に従います。

まとめると、
t分布 = 正規分布　/　\(\sqrt{χ2乗分布}\)
を2乗すると
(1,n)F分布 =(自由度1のχ2乗分布)/(自由度nのχ2乗分布)
となることが言えます。

③F分布表の注意点

自由度(m,n)はどちらを先頭にするか？

自由度の順番

例題を見ましょう。

自由度の順番が変わるとF値が逆数になる理由

(1,n)F分布 =(自由度1のχ2乗分布)/(自由度nのχ2乗分布)
を拡張します。つまり、
\( X^2 = \frac{Z^2}{1}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)
を
\( X^2(m,n)= \frac{Z^2}{m}\)/\(\frac{Y^2}{n}\)
とします。両辺を逆数にします。
\( X’^2(n,m)= \frac{1}{ X^2(m,n)}\)=\(\frac{Y^2}{n}\)/\(\frac{Z^2}{m}\)
より、自由度が入れ替わるとF値が逆数に変わりますね。

分散分析して、F値が予定より乖離がある場合は、自由度が入れ替わっている可能性があることがわかります。

直交表を使った実験計画法での注意点

F表を見ましょう。自由度がφ1、φ2ともに1の色枠部を見てください。
色のない値に比べて、色がついた値は高いですよね。
特にφ2の自由度1の場合は3桁です。

直交表の多因子実験で残差の自由度が1の場合は、F値が3桁になるので、ほぼすべての実験が有意でない結果となってしまいます。実際は、F値が高すぎないように、残差の自由度は2または3以上にしています。これも注意点として知っておいてください。

まとめ

F分布について実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀F分布の導出がわかる
• ②F分布とt分布・χ2乗分布・正規分布の関係
• ③F分布表の注意点

基本統計量

「t分布を使った検定方法がわからない」、「正規分布とt分布の違いがよくわからない」、「片側検定、両側検定のときのt分布表の見方がわからない」など、実際に計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

t分布でよく出る3つのパターン

• ➀t分布の導出がわかる
• ②t分布表の使い方
• ③t分布と正規分布の違い

さっそく見ていきましょう。

➀t分布の導出がわかる

t分布の導出の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②t分布表の使い方

t分布の分布関数をざっくり理解する方がわかりやすい

t分布表に載っているグラフの関数

\( f(x)= \frac{Γ(\frac{φ+1}{2})}{\sqrt{φπ}Γ(\frac{φ}{2})}(1+\frac{t^2}{φ})^{-\frac{φ+1}{2}}\)

よくわからない関数ですが、自由度φとtを代入してf(x)を計算します。手計算は大変なので、エクセルを使って計算します。

t分布関数をざっくり書くと、
f(x)= B(φ) \(\frac{1}{(1+t^2)^{C(φ)}}\)
です。
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)に自由度φからなる関数B(φ)、C(φ)がくっついてきます。
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)の区間[-∞,∞]の∫は∞に発散しますが、関数B(φ)、C(φ)がくっついているおかげで有限値になるというイメージです。

また、t分布の関数形は、
関数 \(\frac{1}{1+t^2}\)
なので、y軸に対称になります。
よって、正規分布と似たグラフになるのが特徴です。

エクセルを使う場合は、
tと自由度φを用意して、t分布関数を
「= T.DIST (C6,D3,false)」
として代入します。C6はtのセル、D3は自由度φのセルです。

χ2乗分布表の見方

t分布関数の特徴

片側検定、両側検定の場合のt分布表の見方を図で確認しましょう。

t分布でよく試験で間違えるところなので、注意しましょう。

片側検定の場合

確率P/2=0.05つまり、P=0.1(有意水準)に相当するtを読み取ります。

Φ=10,P=0.1のときは、t分布表からt=1.812とわかります。

両側検定の場合

確率 P/2=0.05/2つまり、P=0.05 (有意水準)に相当するtを読み取ります。

Φ=10,P=0.05のときは、t分布表からt=2.228とわかります。

③t分布と正規分布の違い

t分布と正規分布の違い

試験、資格ではt分布と正規分布は別物として勉強しましょう。
これはt分布、正規分布をそれぞれ理解しているかを確認するためです。
一方、実務上は下図のようにデータ数n=10個程度で、
t分布と正規分布N(0,\(1^2\))は同じグラフですね。

10個以下のデータ数なら、分析としては不十分なので、
もっと多くのデータ数を用いて分析しますよね。
つまり、最初から正規分布と過程しても実務上問題がないと言えます。

t分布の関数の形が少ない自由度で、
正規分布に重なるようになっているのが現状です。
私が思うあるべきt分布とは、データ数が100個くらいでも正規分布とずれているが、データ数が10000個以上になってようやく正規分布に接近してくるイメージです。

まとめ

t分布について実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀t分布の導出がわかる
• ②t分布表の使い方
• ③t分布と正規分布の違い

基本統計量

「\(χ^2\)乗分布を使った検定方法がわからない」、「標準偏差、平方和と\(χ^2\)乗分布関数の関係がわからない」、「片側検定、両側検定のときの\(χ^2\)乗分布表の見方がわからない」など、実際に計算するときにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

\(χ^2\)乗分布でよく出る3つのパターン

• ➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる
• ②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係
• ③\(χ^2\)乗分布表の使い方

さっそく見ていきましょう。

➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる

\(χ^2\)乗分布の導出のポイント

詳細は、【簡単】χ2乗分布とt分布とF分布がすぐわかる【初心者向け】をご覧下さい。まとめると次の3点ですね。

②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係

よく見かけるので、解説します。

\(χ^2\)乗分布と平方和S(大文字)との関係

\( χ^2=\frac{S}{σ^2}\)

\(χ^2\)乗分布と標準偏差s(小文字)との関係

\( χ^2=\frac{s^2}{σ^2}(n-1)\)

これは簡単に導出できます。
(i)平方和Sと分散(不偏分散)Vの関係は
\( V=\frac{S}{n-1}\)
ですね。
(ii)分散Vと標準偏差sの関係は
\( V=s^2\)
ですね。よって、
\(S=V(n-1)=s^2(n-1)\)
になります。

まとめると、
\(χ^2=\frac{S}{σ^2}\)
\(χ^2=\frac{ s^2(n-1)}{σ^2}\)
\(χ^2=\frac{s^2}{σ^2}(n-1)\)
\(χ^2=(\frac{s}{σ})^2(n-1)\)

標準偏差sと母分散σの比とデータ数nから\(χ^2\)を算出する場合、
\(χ^2\)と標準偏差sから母分散\(σ^2\)を推定することがよくあります。

③\(χ^2\)乗分布表の使い方

片側検定、両側検定において、\(χ^2\)乗分布表の見方を確認しましょう。

いろいろな自由度のχ2乗分布

\(χ^2\)乗分布表に載っているグラフの関数

\( f(x)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\)\(Γ(\frac{k}{2}) \)\(x^{\frac{k}{2}-1}\)\(e^{\frac{x}{2}} \)

よくわからない関数ですが、自由度kとx(χ2)を代入してf(x)を計算します。手計算は大変なので、エクセルを使って計算します。

エクセルを使う場合は、
xと自由度φを用意して、\(χ^2\)乗分布関数を
「=CHISQ.DIST(C6,D3,false)」
として代入します。C6はxのセル、D3は自由度φのセルです。

χ2乗分布表の見方

\(χ^2\)乗分布関数の特徴

片側検定、両側検定の場合の\(χ^2\)乗分布表の見方を図で確認しましょう。

片側検定の場合

確率P=0.05(有意水準)に相当する\(χ^2\)を読み取ります。

自由度φ=8の場合P=0.05に相当する\(χ^2\)は15.51になります。

両側検定の場合

母分散の推定区間を求めるために、両側検定をよく使います。

両側検定の場合は、有意水準が0.05のとき、P＝0.025とP=0.975に相当する\(χ^2\)を読み取ります。

ここで注意なのは、P=0.025の\(χ^2\)値方がP=0.975の\(χ^2\)値より大きいことです。

まとめ

\(χ^2\)乗分布について、実務や試験に活かせるようにわかりやすく解説しました。かなりイメージがついて、検定・推定、分散分析の解法に自信がついたでしょう。

• ➀\(χ^2\)乗分布の導出がわかる
• ②よく使う\(χ^2\)乗分布関数と標準偏差sの関係
• ③\(χ^2\)乗分布表の使い方

基本統計量