二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

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二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

★二元配置実験(交互作用有り)のデータの構造式

★因子と水準の違いは説明できますか？

関連記事
「一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】」
を確認しましょう。

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P1-3で確認ください。

★【簡単】因子と水準の違い

二元配置実験(交互作用有り)のデータを用意します。

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

★(i)全体の平均μを求める

μ=合計/個数=480/24=20

★(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める

●\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+4+19+19+5+14+7+1}{8}\)-20=-10
●\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{3+21+15+31+13+9+23+21}{8}\)-20=-3
●\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{24+15+46+54+10+33+34+48}{8}\)-20=13

★(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める

●\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+5+3+13+24+10}{6}\)-20=-9
●\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{4+14+21+9+15+33}{6}\)-20=-4
●\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{19+7+15+23+46+34}{6}\)-20=4
●\(α_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{19+1+31+21+54+48}{6}\)-20=9

★(iii)交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める

\((αβ)_{11}\)～\((αβ)_{34}\)の全12種類を計算します。
●\(αβ_{11}\)=(AB11の平均)―μ―α1―β1=\(\frac{11+5}{2}\)-20-(-10)-(-9)=7
●\(αβ_{12}\)=(AB12の平均)―μ―α1―β2=\(\frac{4+14}{2}\)-20-(-10)-(-4)=3
…
●\(αβ_{14}\)=(AB14の平均)―μ―α1―β4=\(\frac{19+1}{2}\)-20-(-10)-9=-9
…
●\(αβ_{34}\)=(AB34の平均)―μ―α3―β4=\(\frac{54+48}{2}\)-20-13-9=9

ちょっとややこしい計算ですが、
S_A×B=S_AB– S_A– S_B
と連想すれば計算式が理解しやすいですね。

★(iv) 残差\(e_{ijk}\)は残りの値

\(ε_{ijk}\)=\(x_{ijk}\)-μ-\(α_i\)-\(β_j\)-\((αβ)_{ij}\)
例えばi=2,j=3,k=2としましょう。
\(ε_{232}\)=\(x_{232}\)-μ-\(α_2\)-\(β_3\)-\((αβ)_{23}\)
=23-20-(-3)-4-(-2)=4
これをすべてのijkについて計算します。

まとめると次のようにデータが分解できます。

=

+

+

+

+

次に平方和を導出しましょう。

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
を
x_ijk-μ=α_i+β_j+(αβ)_ij+e_ijk
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjΣkをつけます。

\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk})^2\)

右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i (αβ)_{ij}+α_i e_{ijk}+β_j (αβ)_{ij} +β_j e_{ijk} +(αβ)_{ij} e_{ijk})\)

ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。

まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
これが、
S_T= S_A+ S_B+ S_A×B+ S_e
となり、平方和の分解ができるのです。

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ije_ijk
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

表の和をまとめると、
14468=9600+2224+1164+624+856
と一致します。あら、不思議！

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
●S_T14468-9600=4868
●S_A=2224
●S_B=1164
●S_A×B=624
●S_e=856
となります。

● \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i β_j\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i (αβ)_{ij}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i e_{ijk}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j (αβ)_{ij}\)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j e_{ijk} \)=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。

6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
をやってみましょう。

×

=

黄色枠のとおり、合計は0になります。

★【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データの構造式
x_ijk=μ+ α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
から、両辺に和をとります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}x_{ijk}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}μ\)=abcμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i+β_j+(αβ)_ij+ e_ijk
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
● \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)β_j=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)(αβ)_ij=0
●\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\) e_ijk=0
となります。

表でも確認しましょう。

★主効果α

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
を確認します。

★主効果β

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)β_j=0

を確認します。

★交互作用αβ

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)α_i=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)(αβ)_ij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)(αβ)_ij=0
が成り立つことを確認します。

★残差e

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
\(\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)e_ijk=0
が成り立つことを確認します。

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

【データ】

是非、解いてみましょう。

以上、「二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】」を解説しました。