繰返し数が異なる場合は一元配置実験だけである理由がわかる
「繰返し数が異なる場合は一元配置実験だけ学ぶが、なぜ二元配置実験には例がないのか？」、「繰返し数が異なる二元配置実験は何が問題か？」を答えられますか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
本記事の答え
二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解
- ①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)
- ②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由
- ③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。
本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！
データの分解と平方和の分解については、関連記事をご覧下さい。
関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】
関連記事二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】
関連記事二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
●リンクページ
①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)
繰返し数が異なる一元配置実験
繰返し数同じの場合
簡単のため2×2=4つのデータで考えます。
データとデータの構造式に沿ってデータを分解した表を用意します。
<p関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】に詳細な計算過程を解説しています。
| xij | ||
| A1 | 12 | 24 |
| A2 | 36 | 60 |
| = | ||
| μ | 33 | 33 |
| 33 | 33 | |
| + | ||
| αi | -15 | -15 |
| 15 | 15 | |
| + | ||
| εij | -6 | 6 |
| -12 | 12 | |
続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。
| xij | 計 | ||
| A1 | 144 | 576 | 5616 |
| A2 | 1296 | 3600 | |
| = | |||
| μ | 1089 | 1089 | 4356 |
| 1089 | 1089 | ||
| + | |||
| αi | 225 | 225 | 900 |
| 225 | 225 | ||
| + | |||
| εij | 36 | 36 | 360 |
| 144 | 144 | ||
繰返し数が異なる場合
A2の最初の値x21つまり36を削除します。データを分解してみましょう。
| xij | ||
| A1 | 12 | 24 |
| A2 | ✖ | 60 |
| = | ||
| μ | 32 | 32 |
| 32 | 32 | |
| + | ||
| αi | -14 | -14 |
| ✖ | 28 | |
| + | ||
| εij | -6 | 6 |
| ✖ | 0 | |
続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。
| xij | 計 | ||
| A1 | 144 | 576 | 4320 |
| A2 | ✖ | 3600 | |
| = | |||
| μ | 1024 | 1024 | 3072 |
| ✖ | 1024 | ||
| + | |||
| αi | 196 | 196 | 1176 |
| ✖ | 784 | ||
| + | |||
| εij | 36 | 36 | 72 |
| ✖ | 0 | ||
3072+1176+72=4320と平方和の合計が一致します。
なので、繰返し数が異なる一元配置実験がよくテストや試験に出ます。
繰返し数が異なる二元配置実験
繰返し数同じの場合
簡単のため2×2=4つのデータで考えます。
データとデータの構造式に沿ってデータを分解した表を用意します。
<p関連記事二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】と、関連記事二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】に詳細な計算過程を解説しています。
| xij | B1 | B2 |
| A1 | 12 | 24 |
| A2 | 36 | 60 |
| = | ||
| μ | 33 | 33 |
| 33 | 33 | |
| + | ||
| αi | -15 | -15 |
| 15 | 15 | |
| + | ||
| βj | -9 | 9 |
| -9 | 9 | |
| + | ||
| εij | 3 | -3 |
| -3 | 3 | |
続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。
| xij | B1 | B2 | |
| A1 | 144 | 576 | 計 |
| A2 | 1296 | 3600 | 5616 |
| ＝ | |||
| μ | 1089 | 1089 | 4356 |
| 1089 | 1089 | ||
| + | |||
| αi | 225 | 225 | 900 |
| 225 | 225 | ||
| + | |||
| βj | 81 | 81 | 324 |
| 81 | 81 | ||
| + | |||
| εij | 9 | 9 | 36 |
| 9 | 9 | ||
繰返し数が異なる場合
AB21の最初の値x21つまり36を削除します。データを分解してみましょう。
| xij | B1 | B2 |
| A1 | 12 | 24 |
| A2 | ✖ | 60 |
| = | ||
| μ | 32 | 32 |
| ✖ | 32 | |
| + | ||
| αi | -14 | -14 |
| ✖ | 28 | |
| + | ||
| βj | -20 | 10 |
| ✖ | 10 | |
| + | ||
| εij | 14 | -4 |
| ✖ | -10 | |
続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。
| xij | B1 | B2 | |
| A1 | 144 | 576 | 計 |
| A2 | ✖ | 3600 | 4320 |
| ＝ | |||
| μ | 1024 | 1024 | 3072 |
| ✖ | 1024 | ||
| + | |||
| αi | 196 | 196 | 1176 |
| ✖ | 784 | ||
| + | |||
| βj | 400 | 100 | 600 |
| ✖ | 100 | ||
| + | |||
| εij | 196 | 16 | 312 |
| ✖ | 100 | ||
平方和を合計します。
(左辺)=4320
(右辺)=3072+1176+600+312=5160≠4320
と一致しません。つまり、
ST≠SA+ SB+ Se
となり、平方和が分解できません。これでは分散分析に進めることができません。
ST=4320-3072=1248
SA=1176
SB=600
Se=312
SA+SB+Se=2088≠ST
なので、繰返し数が異なる二元配置実験が出てきません。
②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由
2×2の最小データ数ですが、文字式で確認しましょう。
繰返し数が異なる場合は、x21を無視した3データの場合とします。
| xij | ||
| A1 | x11 | x12 |
| A2 | x21 | x22 |
次に、μ、α、εをx11,x12,x21,x22を使って表現します。
結構複雑なので、係数表にまとめます。
| 繰返し数同じ | 繰返し数異なる | ||||||
| x11 | x12 | x21 | x22 | x11 | x12 | x22 | |
| μ | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| α1 | 1/4 | 1/4 | -1/4 | -1/4 | 1/6 | 1/6 | -1/3 |
| α2 | -1/4 | -1/4 | 1/2 | 1/2 | -1/3 | -1/3 | 2/3 |
| ε11 | 1/2 | -1/2 | 0 | 0 | 1/2 | -1/2 | 0 |
| ε12 | -1/2 | 1/2 | 0 | 0 | -1/2 | 1/2 | 0 |
| ε21 | 0 | 0 | 1/2 | -1/2 | ✖ | ✖ | ✖ |
| ε22 | 0 | 0 | -1/2 | 1/2 | 0 | 0 | 0 |
平方和の総和を式で書きます。
繰返し数が同じの場合
(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+ε_{21}^2\))+(\(μ^2+α_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。
繰返し数が異なる場合
(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。
③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由
2×2の最小データ数ですが、文字式で確認しましょう。
繰返し数が異なる場合は、x21を無視した3データの場合とします。
| xij | B1 | B2 |
| A1 | x11 | x12 |
| A2 | x21 | x22 |
次に、μ、α、β、εをx11,x12,x21,x22を使って表現します。
結構複雑なので、係数表にまとめます。
| 繰返し数同じ | 繰返し数異なる | ||||||
| x11 | x12 | x21 | x22 | x11 | x12 | x22 | |
| μ | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| α1 | 1/4 | 1/4 | -1/4 | -1/4 | 1/6 | 1/6 | -1/3 |
| α2 | -1/4 | -1/4 | 0.25 | 0.25 | -1/3 | -1/3 | 2/3 |
| β1 | 1/4 | -1/4 | 1/4 | -1/4 | 2/3 | -1/3 | -1/3 |
| β2 | -1/4 | 1/4 | -1/4 | 1/4 | -1/3 | 1/6 | 1/6 |
| ε11 | 1/4 | -1/4 | -1/4 | 1/4 | -1/6 | -1/6 | 1/3 |
| ε12 | -1/4 | 1/4 | 1/4 | -1/4 | -1/6 | 1/3 | -1/6 |
| ε21 | -1/4 | 1/4 | 1/4 | -1/4 | ✖ | ✖ | ✖ |
| ε22 | 1/4 | -1/4 | -1/4 | 1/4 | 1/3 | -1/6 | -1/6 |
平方和の総和を式で書きます。
繰返し数が同じの場合
(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+β_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+β_2^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+β_1^2+ε_{21}^2\))+(\(μ^2+α_2^2+β_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。
繰返し数が異なる場合
(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+β_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+β_2^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+β_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(\frac{4}{3}x_{11}^2+\frac{5}{6} x_{12}^2+\frac{4}{3} x_{22}^2\)
+\(\frac{1}{6}x_{11} x_{12}-\frac{5}{6} x_{11} x_{22}+\frac{1}{6} x_{12} x_{22}\)
≠(左辺)
となり、一致しません。平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができません。
総平方和が主効果・残差の平方和の和に
(1)一元配置実験では一致するが、
(2)二元配置実験では一致しない
ことを、x11,x12,x21,x22の文字式を使って導出せよ。
(本記事では、途中計算を省きましたが、実際に解いてみてください。
解説集にはあります。
まとめ
返し数が異なる場合は一元配置実験だけあり、二元配置実験には無い理由を詳細に解説しました。
- ①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)
- ②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由
- ③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119