2021/08/31 (更新日: 2023/12/08)

繰返し数が異なる場合は一元配置実験だけである理由がわかる

実験計画法

「繰返し数が異なる場合は一元配置実験だけ学ぶが、なぜ二元配置実験には例がないのか？」、「繰返し数が異なる二元配置実験は何が問題か？」を答えられますか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

本記事の答え

二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解

• ①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)
• ②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由
• ③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。

本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！

データの分解と平方和の分解については、関連記事をご覧下さい。
関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】
関連記事二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】
関連記事二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)

繰返し数が異なる一元配置実験

繰返し数同じの場合

簡単のため2×2=4つのデータで考えます。

データとデータの構造式に沿ってデータを分解した表を用意します。

<p関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】に詳細な計算過程を解説しています。

続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。

繰返し数が異なる場合

A2の最初の値x21つまり36を削除します。データを分解してみましょう。

続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。

3072+1176+72=4320と平方和の合計が一致します。

なので、繰返し数が異なる一元配置実験がよくテストや試験に出ます。

繰返し数が異なる二元配置実験

繰返し数同じの場合

簡単のため2×2=4つのデータで考えます。

データとデータの構造式に沿ってデータを分解した表を用意します。

<p関連記事二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】と、関連記事二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】に詳細な計算過程を解説しています。

続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。

繰返し数が異なる場合

AB21の最初の値x21つまり36を削除します。データを分解してみましょう。

続いて、各データを2乗にします。平方和の分解が出来ることを確認します。

平方和を合計します。
(左辺)=4320
(右辺)=3072+1176+600+312=5160≠4320
と一致しません。つまり、
S_T≠S_A+ S_B+ S_e
となり、平方和が分解できません。これでは分散分析に進めることができません。
S_T=4320-3072=1248
S_A=1176
S_B=600
S_e=312
S_A+S_B+S_e=2088≠S_T

なので、繰返し数が異なる二元配置実験が出てきません。

②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由

2×2の最小データ数ですが、文字式で確認しましょう。
繰返し数が異なる場合は、x21を無視した3データの場合とします。

次に、μ、α、εをx11,x12,x21,x22を使って表現します。
結構複雑なので、係数表にまとめます。

平方和の総和を式で書きます。

繰返し数が同じの場合

(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+ε_{21}^2\))+(\(μ^2+α_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。

繰返し数が異なる場合

(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。

③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由

2×2の最小データ数ですが、文字式で確認しましょう。
繰返し数が異なる場合は、x21を無視した3データの場合とします。

次に、μ、α、β、εをx11,x12,x21,x22を使って表現します。
結構複雑なので、係数表にまとめます。

平方和の総和を式で書きます。

繰返し数が同じの場合

(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+β_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+β_2^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+β_1^2+ε_{21}^2\))+(\(μ^2+α_2^2+β_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{21}^2+ x_{22}^2\)
=(左辺)
となり、一致するので、平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができます。

繰返し数が異なる場合

(左辺)=\(x_{11}^2+ x_{12}^2+ x_{22}^2\)
(右辺)=(\(μ^2+α_1^2+β_1^2+ε_{11}^2\))+(\(μ^2+α_1^2+β_2^2+ε_{12}^2\))
+(\(μ^2+α_2^2+β_2^2+ε_{22}^2\))
=(上の係数表を使って計算すると)
=\(\frac{4}{3}x_{11}^2+\frac{5}{6} x_{12}^2+\frac{4}{3} x_{22}^2\)
+\(\frac{1}{6}x_{11} x_{12}-\frac{5}{6} x_{11} x_{22}+\frac{1}{6} x_{12} x_{22}\)
≠(左辺)
となり、一致しません。平方和の総和を主効果、残差の平方和に分解することができません。

まとめ

返し数が異なる場合は一元配置実験だけあり、二元配置実験には無い理由を詳細に解説しました。

• ①繰返し数が異なる場合(一元配置実験と二元配置実験)
• ②一元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱ってもよい理由
• ③二元配置実験は繰返し数が異なる場合を扱うのはダメな理由

実験計画法

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