直交表L12がわかる

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ロバストパラメータ設計やタグチメソッドでは

直交表を自分で作るとよくわかるのですが、

という感情が出ます。実際に自力で直交表を作ってみてください。関連記事にもご参照ください。

【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】 本記事では、教科書では書いていない実験計画法の直交表の構成やデータの構造式から直交表が作れることをわかりやすく解説します。

さらに頭を悩ませるのが、

まずは、直交表L12を攻略しましょう。

下表が直交表L12です。狙って設計するよりは、1,2全パターンを振ってたまたま出てきた表というイメージが強いです。

ＱＣプラネッツはExcel VBAを使って、実際に直交表を作ったので、L12はたまたまできた副産物的なイメージがあります。

特徴的なのが、

L12について、
●データの構造式
●平方和の分解
●母平均の点推定と区間推定
を解いてみましょう。

本記事は、実験計画法ですが、L12はロバストパラメータ設計によく使うので、ロバストパラメータ設計の章で解説します。

なお、実験計画法については、しっかりまとめた関連記事がありますので、確認ください。70記事もある超大作です。

究める！実験計画法 QCプラネッツが解説する究める実験計画法。多元配置実験、乱塊法、分割法、直交表などなど多くの手法を個別に公式暗記せず、データの構造式をみればすべて導出できる新しい実験計画法を解説します。

L12は交互作用がないので、全列独立した変数で表記します。これがL8,L9,L16の一般的な直交表と違う点ですね。

なので、データの構造式は

もう少し詳細に書くと、

と書けますね。慣れないと難しいかもしれませんが、頑張っていきましょう。

データの構造式を再掲すると、
(\(x_i-\bar{\bar{x}}\))=(\(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}}\))+…+(\(\bar{x_{ji}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+9\bar{\bar{x}}\))
ですね。

これを2乗和すると、各項の平方和とその合計が全体の平方和に一致します。
ただし、式で証明するのは、大変なので、直交表を使って後で証明します。

証明したい式は
\(\sum_{i=1}^{12}( x_i-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表１列目の平方和\(S_1\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表2列目の平方和\(S_2\)に相当)
+…
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{ji}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表10列目の平方和\(S_{10}\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12} ((x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+9\bar{\bar{x}})^2\)
(⇒直交表10列目の平方和\(S_{11}\)に相当)
です。

2水準系の直交表各列の平方和を計算する公式があります。
もちろん自力で導出できます！関連記事で確認ください。

【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】 本記事では、実験計画法の直交表の各列の平方和を導出する方法を詳しく解説します。本記事しか書いていない、直交表の知見を広げたい方は必見です。

公式は、

この式を使って直交表の各列の平方和を計算します。

では、データを用意して、直交表各列の平方和を計算します。その結果は下表のとおりです。実際に計算してみてくださいね。

なお、全体の平方和は
S=\(\sum_{i=1}^{12}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{12}x_i)^2}{12}\)
=210
になりますから、確かに、
\(S_1\)+…+\(S_{11}\)=S=210
が成り立っています。

平方和の分解を確認できたら、ＱＣプラネッツのこだわりである、
分散の期待値と分散分析表を確認しましょう。

1列目の平方和は
\(S_1\)=\(\sum_{i=1}^{12}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)
と書けます。

概略的な式変形になりますが、期待値の平方和を計算すると
E[\(S_1\)]=E[\(\sum_{i=1}^{12}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{12}((\bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}})-\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+ E[\(\sum_{i=1}^{12}(\bar{\bar{x}}^2\))]
=1\(σ_A\)+1\(σ_e\)

分散の期待値は自由度が1なので、
E[\(V_1\)]=1\(σ_A\)+1\(σ_e\)
と計算できます。

直交表の全列も同様に解けるので、分散分析表は以下になります。

次の２つを考えましょう。

まず、データの構造式から母平均を計算します。
関連記事はここです。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値を求める式が導出できます。

●\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\)
=\(μ+(\bar{a_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{a1}}\)⇒(式1)
=68/6=11.33

●\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b_2+c_1\)
=\(μ+\bar{a_1}+ \bar{b_2}+ \bar{c_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{b2}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{c1}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒(式2)
=68/6+68/6+63/6-2×120/12
=13.17

次に区間推定を求めたいので、有効繰返数をデータの構造式から計算します。関連記事はここです。

【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる ？本記事では、データの構造式さえ理解すれば、すべての実験において、母平均の点推定値から有効反復数が導出できますことを解説します。

●\(μ_{A1}\)の場合は
\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\) ⇒((式1)より)
=\(μ+(\bar{a_1}+\bar{e_a})\)
V[\(μ_{A1}\)]=V[\(\bar{e_a}\)]
=\(\frac{1}{6}σ_e^2\)=0.89

●\(μ_{A1B2C1}\)の場合は
\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b2+c1\)
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒((式2)より)
=\(μ+a_1+\bar{e_a}\)+\(μ+b_2+\bar{e_b}\)+\(μ+c_1+\bar{e_c}\)-2\((μ+\bar{\bar{e}})\)
=\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)
V[\(μ_{A1B2C1}\)]=V[\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=V[\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=(\(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-2×\frac{1}{12})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{3}σ_e^2\)=1.77

また、推定区間を求めるt(Φe,α=t(1,0.05)=12.7)より、
●\(μ_{A1B2C1}\)＝13.17(=母平均)±12.7(=t(Φe,α))×0.94(=\(\sqrt{V}\))=-3.72,30.06
となります。

12.7(=t(Φe,α))の値が大きすぎるため、範囲が広すぎですが、求め方を理解することが大事です！

「直交表L12がわかる」を解説しました。