01-08_命題・条件がわかる
「命題・条件・否定などが苦手！」と困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
●図を描く！
●場合分けを丁寧に!
●同じ問題を何度も練習
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
決まったパターンを反復練習すれば偏差値80は超えます！
決まったパターンを反復練習していないから、できないんですよ！って何度も言っても、それでもやってくれないんです！ やったもん勝ちですよ！
①重要問題
問1
「すべての実数\(x\)に対して\(p(x)\)が成り立つ」を「\(\forall x,p(x)\)」
「ある実数\(x\)に対して\(q(x)\)が成り立つ」を「\(\exists x,q(x)\)」
と表すとき、以下の各々が成立するための条件を求めよ。
ただし、定数\(a,b,c\)は実数とし、(1)以外の\(a\)は0でないとする。
(1) \(\forall x,ax^2+bx+c=0\)
(2) \(\exists x,ax^2+bx+c=0\)
(3) \(\forall x,ax^2+bx+c\) > 0
(4) \(\exists x,ax^2+bx+c\) > 0
(5) \(\exists x,bx+c=0\)
問2
(1)任意の実数\(x\)に対して、\(ax^2+8x+a+7\)が15以下となる実数\(a\)の条件を求めよ。
(2)ある実数\(y\)に対して\(y\) > \(2x^2+x\)かつ\(y\) < \(x^2+3x+3\)が成り立つための条件を求めよ。
では解説しましょう。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
- 論理的に考えて解きましょう。
- まず、理解する⇒パターンを暗記してもいい⇒自分で解ける流れで
２次関数をしっかり勉強して、ライバルより圧倒的な差をつけましょう！
問3の解法
(1)の解法
どんな実数\(x\)を代入しても、
\(ax^2+bx+c=0\)が成立するには、
定数\(a\)=\(b\)=\(c\)=0が必要ですね。
こうしておけば、実数\(x\)に何を入れても(右辺)は０ですね。
(2)の解法
ある実数\(x\)で
\(ax^2+bx+c=0\) (\(a\) ≠ 0)
を満たせばよいので、２次方程式の実数解が存在すればＯＫですね。
よって判別式D
D=\(b^2-4ac\) ≥ 0
を満たせばＯＫです。
(3)の解法
どんな実数\(x\)において、
\(ax^2+bx+c\) > 0とするには、
まず定数\(a\)は正が必須ですよね！ 逆に上の凸な放物線では負の領域があるからです！
まず、 \(a\) > 0
これで十分でしょうか？ いいえ！ 頂点のy座標も0以上が必須ですね。
よって判別式Dは
D=\(b^2-4ac\) < 0
も必要ですね。
まとめると、
\(a\) > 0 かつ \(b^2-4ac\) < 0
図描くとはっきりしますね。
(4)の解法
ある実数\(x\)で\(ax^2+bx+c\) > 0が成り立てばよいので、
逆にいうと、
すべての実数\(x\)で\(ax^2+bx+c\) ≤ 0 な条件以外が答えとなりますね！
すべての実数\(x\)で\(ax^2+bx+c\) ≤ 0 な条件は(3)を参照にすると
\(a\) < 0 かつ \(b^2-4ac\) < 0
この逆の条件が答えですから、
●\(a\) > 0または、\(a\) < 0 かつ \(b^2-4ac\) > 0
となります。
図描くとはっきりしますね。
(5)の解法
ある実数(x)で(bx+c=0)が成り立てばよいので、
逆にいうと、(bx+c=0)が成りたたない条件以外を考えましょう。
\(bx+c=0\)が成りたたない条件とは、
直線の傾きが0でx軸と交わらないときですね！
つまり、\(b=0\)かつ\(c\) ≠0 の場合ですね。
図描くとはっきりしますね。
これ以外の条件が答えなので、
\(b\) ≠ 0 または、 \(b=c=0\)が答えとなります。
できましたね！
場合分けに慣れると一気に勝率が上がるし、
場合分けもパターンがあるので、慣れると簡単！
「図を描いて、条件式を作り、場合分けするスキル」は絶対に習得しましょう！ 一気に高校数学が得意になれます！
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値を含む関数
01-07 絶対値を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件
01-09 含意命題と包含関係
01-10 必要条件・十分条件
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-08_命題・条件がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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