カテゴリー: 信頼性工学

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【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、

とインプットされがちです。

例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。

この図よく見ると、

なのに、

よく使う、確率密度関数で良いです。

ガンマ分布とワイブル分布は無理矢理感がありますが、信頼性工学でよく使います。

大事なのは、

例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。

では、個々の分布関数を見ていきます。

よく使われるので、解説します。

モデル図を見ましょう。

確率密度関数\(f(x)\)は密度関数\(F(x)\)の微分ですね。

これ混同しがちなので、きちっと整理しましょう。

信頼度はReliabilityと英語で書くので、信頼度\(R(x)\)と書きます。
不信頼度は失敗のFailureを英語で使って、不信頼度(故障度) \(F(x)\)と書きます。

そして大事な関係式があります。簡単です！

また、

も成り立ちます。よく使いますが、頭が混乱しやすいので整理して理解しましょう。

故障率は図のように傾きを表す確率密度関数(f(x))がキーです。

故障は、故障していないモノの一部から発生し、健在なモノの量に応じて故障度合いが変わるイメージを考えます。すると、次のモデル式（微分方程式）が作れます。

大事なのは、導出過程であるモデル式の立て方です。ここで、確率密度関数の型が決まります。関数の暗記ではなく、導出過程を理解しましょう。

モデル式を解くと、
\(f(x)\)=\( λR(x)\)
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λR(x)\)
\(\frac{\displaystyle dR}{R} \)=\(-λ \displaystyle dx\)
(両辺)を積分すると
\(\displaystyle \int{}^{} \frac{\displaystyle dR}{R}\)=\( \displaystyle \int{}^{} -λ \displaystyle dx \)
\( log R\)=-\(λx\)
よって
\(R(x)\)=\(e^{-λx}\)

\(f(x)\)は
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λe^{-λx}\)
となりますね。

故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。よって、
\(λ(x)\)=\(\frac{f(x)}{R(x)}\)=λ と一定になります。

期待値E[\(x\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} xe^{-λx}-\frac{1}{λ^2} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{1}{λ}\)

★期待値E[\(x^2\)]の計算

期待値E[\(x^2\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} x^2 e^{-λx}-\frac{1}{λ^2} 2x e^{-λx}-\frac{2}{λ^3} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{2}{λ^2}\)

★分散V[\(x\)]の計算

分散V[\(x\)]は
=E[\(x^2\)]- E[\(x\)])²
=\(\frac{2}{λ^2}\)-\(\frac{1}{λ^2}\)
=\(\frac{1}{λ^2}\)

以上、まとめると、

バスタブ曲線との関係を考えましょう。

ここで、λとの関係を見ると

と分けることができます。

以上、「【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)」を解説しました。