カテゴリー: 信頼性工学

「信頼性工学で使う確率密度関数が難しくて、よくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
• ➁確率密度関数が正規分布の場合
• ➂故障率λの計算
• ➃確率密度関数の平均と分散の計算
• ➄故障率曲線との関係

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①確率密度関数を導出するモデルを理解する

故障率は指数分布だけではない

特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、

とインプットされがちです。

故障分布に合わせた確率密度関数を作る

例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。

この図よく見ると、

なのに、

分布の種類

よく使う、確率密度関数で良いです。

1. 一様分布
2. 指数分布
3. 正規分布
4. ガンマ分布
5. ワイブル分布

ガンマ分布とワイブル分布は無理矢理感がありますが、信頼性工学でよく使います。

大事なのは、

例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。

では、個々の分布関数を見ていきます。

➁確率密度関数が正規分布の場合

モデル式から確率密度関数の導出

よく使われるので、解説します。

モデル図を見ましょう。

ストレスストリングスモデル

上図は「ストレスストリングスモデル」といいます。

微分方程式を作らず、正規分布前提で考えていきます。

確率密度関数\(f(x)\)は密度関数\(F(x)\)の微分ですね。

信頼度\(R(x)\)と不信頼度\(F(x)\)の関係

これ混同しがちなので、きちっと整理しましょう。

信頼度はReliabilityと英語で書くので、信頼度\(R(x)\)と書きます。
不信頼度は失敗のFailureを英語で使って、不信頼度(故障度) \(F(x)\)と書きます。

そして大事な関係式があります。簡単です！

また、

も成り立ちます。よく使いますが、頭が混乱しやすいので整理して理解しましょう。

モデル式から確率密度関数の導出

負荷と強度の正規分布の加法したものが確率密度関数になります。

●負荷側：　N(\(μ_S, σ_S^2\))の正規分布
●強度側：　N(\(μ_R, σ_R^2\))の正規分布
を加法すると、
　N(\(μ_R―μ_S, σ_R^2 + σ_S^2\))の正規分布が確率密度関数になる。

よって、

大事なのは、導出過程であるモデル式の立て方です。ここで、確率密度関数の型が決まります。関数の暗記ではなく、導出過程を理解しましょう。

➂故障率λの計算

故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。今回\(f(x))\)が正規分布なので、\(R(x)\)を可視化して確認しましょう。

よって、λは

分母の\(\displaystyle \int_{x}^{∞} f(t) dt \)は積分できないので、正規分布表から値を読み取ります。

➃確率密度関数の平均と分散の計算

期待値E[\(x\)]の計算

期待値E[\(x\)]は
\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} x f(x) dx\)
です。正規分布の期待値と分散は有名なので計算は割愛します。

結果は、
期待値E[\(x\)]=\(μ_R ― μ_S\)

分散の計算

分散V[\(x\)]は
=\(σ_R^2 + σ_S^2\)

です。

以上、まとめると、

信頼性工学というよりは、正規分布の話なので、計算過程は教科書にも書いています。

➄故障率曲線との関係

バスタブ曲線との関係を考えましょう。

ここで、バスタブ曲線のタイプを3つに分けると

1. 減少型 ⇒　初期故障期(DFR)
2. 一定型 ⇒　偶発故障期(CFR)
3. 増加型 ⇒　摩耗故障期(IFR)

と分けることができます。

まとめ

「【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)」を解説しました。

• ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
• ➁確率密度関数が正規分布の場合
• ➂故障率λの計算
• ➃確率密度関数の平均と分散の計算
• ➄故障率曲線との関係

信頼性工学

「信頼性工学で使う確率密度関数が難しくて、よくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
• ➁確率密度関数が指数関数の場合
• ➂故障率λの計算
• ➃確率密度関数の平均と分散の計算
• ➄故障率曲線との関係

本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

①確率密度関数を導出するモデルを理解する

故障率は指数分布だけではない

特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、

とインプットされがちです。

故障分布に合わせた確率密度関数を作る

例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。

この図よく見ると、

なのに、

分布の種類

よく使う、確率密度関数で良いです。

1. 一様分布
2. 指数分布
3. 正規分布
4. ガンマ分布
5. ワイブル分布

ガンマ分布とワイブル分布は無理矢理感がありますが、信頼性工学でよく使います。

大事なのは、

例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。

では、個々の分布関数を見ていきます。

➁確率密度関数が指数関数の場合

モデル式から確率密度関数の導出

よく使われるので、解説します。

モデル図を見ましょう。

確率密度関数\(f(x)\)は密度関数\(F(x)\)の微分ですね。

信頼度\(R(x)\)と不信頼度\(F(x)\)の関係

これ混同しがちなので、きちっと整理しましょう。

信頼度はReliabilityと英語で書くので、信頼度\(R(x)\)と書きます。
不信頼度は失敗のFailureを英語で使って、不信頼度(故障度) \(F(x)\)と書きます。

そして大事な関係式があります。簡単です！

また、

も成り立ちます。よく使いますが、頭が混乱しやすいので整理して理解しましょう。

モデル式から確率密度関数の導出

故障率は図のように傾きを表す確率密度関数(f(x))がキーです。

故障は、故障していないモノの一部から発生し、健在なモノの量に応じて故障度合いが変わるイメージを考えます。すると、次のモデル式（微分方程式）が作れます。

大事なのは、導出過程であるモデル式の立て方です。ここで、確率密度関数の型が決まります。関数の暗記ではなく、導出過程を理解しましょう。

モデル式を解くと、
\(f(x)\)=\( λR(x)\)
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λR(x)\)
\(\frac{\displaystyle dR}{R} \)=\(-λ \displaystyle dx\)
(両辺)を積分すると
\(\displaystyle \int{}^{} \frac{\displaystyle dR}{R}\)=\( \displaystyle \int{}^{} -λ \displaystyle dx \)
\( log R\)=-\(λx\)
よって
\(R(x)\)=\(e^{-λx}\)

\(f(x)\)は
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λe^{-λx}\)
となりますね。

➂故障率λの計算

故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。よって、
\(λ(x)\)=\(\frac{f(x)}{R(x)}\)=λ と一定になります。

➃確率密度関数の平均と分散の計算

期待値E[\(x\)]の計算

期待値E[\(x\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} xe^{-λx}-\frac{1}{λ^2} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{1}{λ}\)

分散の計算

期待値E[\(x^2\)]の計算

期待値E[\(x^2\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} x^2 e^{-λx}-\frac{1}{λ^2} 2x e^{-λx}-\frac{2}{λ^3} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{2}{λ^2}\)

分散V[\(x\)]の計算

分散V[\(x\)]は
=E[\(x^2\)]- E[\(x\)])²
=\(\frac{2}{λ^2}\)-\(\frac{1}{λ^2}\)
=\(\frac{1}{λ^2}\)

以上、まとめると、

➄故障率曲線との関係

バスタブ曲線との関係を考えましょう。

ここで、λとの関係を見ると

1. λ > 0 ⇒　初期故障期(DFR)
2. λ = 0 ⇒　偶発故障期(CFR)
3. λ < 0⇒　摩耗故障期(IFR)

と分けることができます。

まとめ

「【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)」を解説しました。

• ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
• ➁確率密度関数が指数関数の場合
• ➂故障率λの計算
• ➃確率密度関数の平均と分散の計算
• ➄故障率曲線との関係

信頼性工学