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打切りデータがある場合の信頼度の計算がわかる

信頼性工学

「打切りデータがある場合の信頼度の計算がわからない」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

打切りデータがある場合の信頼度の計算がわかる
  • ①カプランマイヤー法で計算する
  • ➁打切り方は4つある
  • ➂信頼度が計算できるプログラムを公開!
  • ➃打切りデータの有無による信頼度の影響

①カプランマイヤー法で計算する

故障試験は、本来は故障するまで待つべきですが、その時間が数カ月と数年になると、故障試験は現実的ではありません。そこで、どこかで打ち切って推測する必要があります。

打切りデータが無い場合の信頼度の計算

最初は、打切りデータが無い場合、どうやって実測から信頼度を計算するか?を考えます。

下のグラフのように、横軸を時間、縦軸を故障率とすると、階段状に上がっていくのが分かります。

経験分布関数

この階段状を表現するのが経験分布関数ですね。

経験分布関数については関連記事で確認ください。

信頼性工学に使う経験分布関数がわかる
経験分布関数は説明できますか?本記事では経験分布関数の基本を解説し、QC(品質管理)の信頼性工学で経験分布関数が必要であることが理解できます。信頼性工学などで何となく公式暗記代入するのではなく、本質を理解しましょう

打切りデータが有る場合の信頼度の計算

実際は、有限な時間内で故障試験をするので、打ち切ります。そのときの信頼度を次の式から求めます。

  1. 中途打切りデータも含めた観測データを、\(t_1\) > \(t_2\) > …> \(t_n\)で並べる。
  2. \(i\)番目のデータ\(t_i\) が故障データか、中途打切りデータによって、変数\(δ_i\)を
    \(δ_i\)=1 (故障データの時)
    \(δ_i\)=0 (中途打切りデータの時)
    とする。
  3. 信頼度\(R(t)\)を以下の式とする
    \(R_n(t)\)= \(\displaystyle \prod_{l=1}^i (\frac{n-l}{n-l+1})^{δ_l}\)

この、\(R_n(t)\)= \(\displaystyle \prod_{l=1}^i (\frac{n-l}{n-l+1})^{δ_l}\)をカプランマイヤー法
と言って、分数の掛け算で簡単に計算できるので、皆が使う公式となっていますね。

カプランマイヤー法の導出

公式は使う前に、導出過程を見て、どういうものなのか? くらいは見ておきましょう。関連記事にありますので、ご確認ください。

カプランマイヤー法が理解できる(その1)
信頼性工学で「打切りデータ」を扱う際、カプランマイヤー法を使いますが、カプランマイヤーの式は導出できますか? 本記事では、公式暗記しがちなカプランマイヤーの式を丁寧に導出します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

カプランマイヤー法が理解できる(その2)
信頼性工学で「打切りデータ」を扱う際、カプランマイヤー法を使いますが、カプランマイヤーの式は導出できますか? 本記事では、公式暗記しがちなカプランマイヤーの式を丁寧に導出します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➁打切り方は4つある

教科書的には、次の4つのパターンがあります。

  1. 完全データ
  2. 定時打切データ
  3. 定数打切データ
  4. ランダム打切データ

打切りデータ

特徴をまとめると、

1. 完全データは、打切りしない場合
2.定時打切データは、ある一定の時間が経過したら打ち切る場合
3.定数打切データは、ある故障数まで行ったら打ち切る場合
4.ランダムは時と場合によって打切りを判断する場合

4つ方法がありますが、実は、

計算方法は同じ1つの方法でOK
時間と個数で打ち切るが、信頼度の計算式に直接関与しないので、1つの式で計算できる!

ならば、プログラム作れば簡単に計算ができる!ので、作ってみました! Excel VBAですが。

➂信頼度が計算できるプログラムを公開!

1つの計算方法で信頼度は計算できる

1つの方法で計算できるので、プログラムでいろいろ計算して理解を深めましょう。

信頼度が計算できるプログラム

\(R_n(t)\)= \(\displaystyle \prod_{l=1}^i (\frac{n-l}{n-l+1})^{δ_l}\)
をそのままプログラムに入れます。入力はn,i,lで、出力はR(t)です。

カプランマイヤー法

1. Sub R_t()
2.Dim num As Long, delta(1 To 100) As Variant
3.num = Cells(1, 4)
4.seki = 1
5.
6.For i1 = 1 To num ‘打切り有=0,打切り無=1
7.delta(i1) = Cells(5 + i1, 4)
8.Next i1
9.
10.For i1 = 1 To num ‘信頼度R(t)の計算
11. For k1 = 1 To i1
12.seki = seki * ((num – k1) / (num – k1 + 1)) ^ delta(k1)
13.Next k1
14.Cells(5 + i1, 5) = seki ‘R(t)の出力
15.seki = 1
16.Next i1
17.
18.End Sub

これを使って、打切りデータが有る場合の信頼度を計算してみましょう。

➃打切りデータの有無による信頼度の影響

例題

次の下図ような、ランダム打切りデータにおける信頼度を計算せよ。

カプランマイヤー法

解法

プログラムでは一瞬で出て、

t i 打切り 信頼度
0 ≤ t &lt 5.5 0 1
5.5 ≤ t < 10.8 1 1 0.8
10.8 ≤ t < 15.4 2 0 0.8
15.4 ≤ t < 18.9 3 1 0.533
18.9 ≤ t < 20.6 4 0 0.533
20.6 ≤ t 5 1 0

と出ますが、計算式も書いておきます。

●0 ≤ t &lt 5.5:R(t)=1
●5.5 ≤ t < 10.8:R(t)=1×\((\frac{4}{5})^1\)=0.8
●10.8 ≤ t < 15.4:R(t)=1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)=0.8
●15.4 ≤ t < 18.9:R(t)=1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)=0.53
●18.9 ≤ t < 20.6:R(t)=1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)=0.53
●20.6 ≤ t:R(t)=1×\((\frac{4}{5})^1\)×\((\frac{3}{4})^0\)×\((\frac{2}{3})^1\)×\((\frac{1}{2})^0\)×\((\frac{0}{1})^1\)=0

分数の長い掛け算で計算できますね。

さらに、

打切り方は4つ方法があるが、
計算方法は同じ1つの方法でOK
時間と個数で打ち切るが、信頼度の計算式に直接関与しないので、1つの式で計算できる!

➃打切りデータの有無による信頼度の影響

打切りデータの有無による信頼度の影響

プログラムを作ると次の疑問が沸いたので、一緒に解いてみましょう。


打切りデータが多い場合と、少ない場合では信頼度R(t)の変化はどう変わるか?
打切りデータが多いとR(t)の精度は低下するんだろうか?

どう思いますか?

例題を使って確かめる

次のような例題を使って、この疑問を調べてみましょう。


サンプルデータn=10がある。以下の4つの場合における信頼度R(t)を計算せよ。表で1は故障データ(打切り無し),0は打ち切りデータ(打切り有り)とする。
i 打切り(1) 打切り(2) 打切り(3) 打切り(4)
1 1 1 0 0
2 1 1 0 0
3 1 1 0 0
4 1 1 0 0
5 1 1 0 0
6 1 0 1 0
7 1 1 0 0
8 1 1 0 0
9 1 0 1 0
10 1 1 0 0

打切り(1)は打ち切り無し場合で、(2)(3)(4)に連れて打ち切りを増やしていきます。

計算結果

プログラムから計算させて、グラフにすると下図になります。

打切りデータ

結果は以下の通りです。

i 打切り(1) 打切り(2) 打切り(3) 打切り(4)
0 1 1 1 1
1 0.9 0.9 1 1
2 0.8 0.8 1 1
3 0.7 0.8 0.875 1
4 0.6 0.686 0.875 1
5 0.5 0.571 0.875 1
6 0.4 0.571 0.7 1
7 0.3 0.429 0.7 1
8 0.2 0.286 0.7 1
9 0.1 0.286 0.35 1
10 0 0 0.35 1

グラフからわかることは、

打切りがあると、信頼度は低下しないが、次故障すると、信頼度は一気に低下する。
打切りが多くなると信頼度は高く、過大評価される傾向がある。
打切りデータが有る場合は信頼度は甘めに出ると考えておく必要がある。

打切りデータを含むと、信頼度の精度は低下することを理解しておきましょう。

まとめ

「打切りデータがある場合の信頼度の計算がわかる」を解説しました。

  • ①カプランマイヤー法で計算する
  • ➁打切り方は4つある
  • ➂信頼度が計算できるプログラムを公開!
  • ➃打切りデータの有無による信頼度の影響


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