02-01_恒等式がよくわかる
「恒等式がよくわからない」、などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域
「数Ⅲの微積」という人は単に力がないだけ。
数学ができる人は、「数Aの数と式」と答える
逆に「数Aの数と式」は基礎は簡単な分、いくらでも難しくできる！難関大学の論証問題はすべて「数Aの数と式」！
基礎をしっかりおさえつつ
難関問題の入り口まで解説します。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
①重要問題
問1
次の式が\(x\)についての恒等式となるように、定数\(a,b,c,d,e)\)の値を定めよ。
(1) \(ax^3-8x^2-29x+b\)=\((x-1)(x-2)(cx+d)\)
(2) \(x^4\)=\(ax(x+1)(x+2)(x+3)\)+\(bx(x+1)(x+2)\)+\(cx(x+1)+dx+e\)
問2
\(P=ax+by+cz\)に対して、次の各々の条件が成り立つための条件を求めよ。
(1) どんな\(x,y,z\)に対しても\(P\)=0となる。
(2)\(x+y+z\)=0を満たすすべての\(x,y,z\)に対して\(P\)=0となる。
(3)\(y=x^2\),\(z=x^3\)を満たすすべての\(x,y,z\)に対して\(P\)=0となる。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
- (左辺)と(右辺)の各項の係数を一致させること
単純な計算です。安心ください。
問1の解法
では、解いてみましょう。
問(1)
(右辺)= \((x-1)(x-2)(cx+d)\)
=\(cx^3+(d-c)x^2+(-d-2c)x-2d\)
が(左辺)と一致するので、各項の係数を一致させます。
●\(a\)=\(c\)
●-8=\(d-c\)
●-29=\(-d-2c\)
●\(b\)=\(-2d\)
よって、
\(a\)=37/3,\(b\)=-26/3,\(c\)=37/3,\(d\)=13/3
問(2)
(右辺)を展開してもいいのですが、
\(x\)、\((x+1)\),\((x+2)\), \((x+3)\)をかけた項がたくさんあるので、\(x\)=0,-1,-2,-3とか代入すると計算が楽に行けます。
●両辺に\(x\)=0を代入すると
0=\(e\)
●両辺に\(x\)=-1を代入すると
1=\(-d+e\)
より、\(d=-1\)
●両辺に\(x\)=-2を代入すると
16=\(2c-2d+e\)
より、\(c=7\)
●両辺に\(x\)=-3を代入すると
81=\(-6b+6c-3d+e\)
より、\(b=-6\)
と芋づる式に値が出て来ました。
一方、\(a\)は\(x^4\)の係数を両辺比較すればOK
1=\(a\)
まとめると、
\(a\)=1,\(b\)=-6,\(c\)=7,\(d\)=-1,\(e\)=0
できましたね！
恒等式はよく出題されるし、得点源ですよね！自信をつけていきましょう。
③全問題の解説は問題集にあります
「第2章 数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第2章 数と式
02-01 恒等式
02-02 因数分解
02-03 整式の剰余
02-04 整数の性質
02-05 方程式の整数解
02-06 背理法
02-07 根号を含む計算
02-08 指数と対数
02-09 常用対数
02-10 式の値
02-11 不等式の証明・相加相乗平均
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是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「02-01_恒等式がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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