02-02_因数分解がわかる
「因数分解がよくわからない」、などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域
「数Ⅲの微積」という人は単に力がないだけ
数学ができる人は、「数Aの数と式」と答える
逆に「数Aの数と式」は基礎は簡単な分、いくらでも難しくできる！難関大学の論証問題はすべて「数Aの数と式」！
基礎をしっかりおさえつつ
難関問題の入り口まで解説します。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
①重要問題
問1
次の数式を因数分解せよ。
(1) \(x^2 (y+z)\)+\(y^2 (z+x)\)+\(z^2 (x+y)\)+ \(3xyz\)
(2) \(a^2 (b+d)\)+\(b^2 (a+c)\)+\(ab(c+d)\)+\(cd(a+b)\)
問2
次の数式を因数分解せよ。
(1) \(x^4\)-\(13x^2\)+36
(2) \(x^4\)+\(2x^2\)+9
(3) \(a(b^3 -c^3)\)+ \(b(c^3 -a^3)\)+ \(c(a^3 -b^3)\)
問3
(1)\(a^3 +b^3\)=\((a+b)^3-3ab(a+b)\)を用いて、\(a^3+b^3+c^3-3abc\)を因数分解せよ。
(2)(1)の結果を利用して、次の式を因数分解せよ。
(i) \(x^3+6ax+8a^3-1\)
(ii) \((b-c)^3\)+ \((c-a)^3\)+ \((a-b)^3\)
問4
(1) \(2x^2\)-\(5xy\)-\(3y^2\)+\(3x\)-\(2y\)+1を因数分解せよ。
(2) \(2x^2\)-\(xy\)-\(3y^2\)+\(ax\)+\(3y\)+6が、\(x,y\)の1次式の積として因数分解できるように、定数\(a\)の値を定め、式を因数分解せよ。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
因数分解でおさえるポイント
中3でも学ぶ因数分解と高１で学ぶ因数分解で違う点が３つあります。特に意識しましょう。
- たすきがけがすぐできること
- ３次式の公式になれること
- 1つの文字について降べきの順に並べること
因数分解は結構、当てずっぽで作ると、いつまでも決まらず、森に迷うことになります。
でも、\((x+…)(x+…)\)を展開すれば、必ず、
\(x^2+ax+b\)の形になるので、まず降べきの順に並び替えてから、たすきがけするよう練習しましょう。
この意識ができてから、迷わなくなりました。迷って数時間もかかっていた中学時代が懐かしい。。。
他の単元でも因数分解する場面が意外と多いので、これだけやれば十分なパターンを用意しました。では解説します！
問2の解法
では、解いてみましょう。
問(1)
\(x^4\)-\(13x^2\)+36
=(\(x^2-4\))(\(x^2-9\))
=(\(x-2\))(\(x+2\))(\(x-3\))(\(x+3\))
そのまま因数分解すればいいですね。中３の問題でも出るレベル。
問(2)
無理矢理感がありますが、こう変形します。
\(x^4\)と9をよくみて、因数分解できる感じに持って行きます。
\(x^4\)+\(2x^2\)+9
=\(x^4\)+\(6x^2\)+9-\(4x^2\)
と変形します。無理矢理感が満載ですが、
\(x^4\)+\(6x^2\)+9-\(4x^2\)
=\((x^2+3)^2\)-\(4x^2\)
=\((x^2+2x+3) (x^2-2x+3)\)
問(3)
これはおさえておきたい、頻出パターンです。しばらくは、結果を暗記してもOKです。
\(a\)について降べきの順に並び替えましょう。
\(a(b^3 -c^3)\)+ \(b(c^3 -a^3)\)+ \(c(a^3 -b^3)\)
=\((c-b)a^3 \)-\(a(c^3-b^3)\)+\((bc^3-b^3 c)\)
\(b,c\)について一旦因数分解して形を整えます。
\((c-b)a^3 \)-\(a(c^3-b^3)\)+\((bc^3-b^3 c)\)
=\((c-b)\)\((a^3-(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c))\)
さて、困った！この次どうする？
後ろの（）を別の文字について降べきの順に並べます。
\(b\)で整理しましょう。
\((c-b)\)\((a^3-(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c))\)
=\((c-b)\)\(((c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a))\)
=\((c-b)\)\((c-a)\)\((b^2+cb-a(c+a))\)
=\((c-b)\)\((c-a)\)\((b-a)\)\((a+b+c)\)
きれいにまとめると、
\(a(b^3 -c^3)\)+ \(b(c^3 -a^3)\)+ \(c(a^3 -b^3)\)
=\((a-b)\)\((b-c)\)\((c-a)\)\((a+b+c)\)
結構難しいですね。因数分解の結果を暗記するのもアリです。
問4の解法
大事なポイントを再掲します。
- たすきがけがすぐできること
- ３次式の公式になれること
- 1つの文字について降べきの順に並べること
では、解いてみましょう。
問(1)
\(x\)について、降べきの順に並び替えます。
\(2x^2\)-\(5xy\)-\(3y^2\)+\(3x\)-\(2y\)+1
=\(2x^2\)+\((3-5y)x\)-\((3y^2+2y-1)\)
=\(2x^2\)+\((3-5y)x\)-\((3y-1)(y+1))\)
さあ、ここからたすきがけです。重要なので、何度も練習しましょう。
\(2x^2\)+\((3-5y)x\)-\((3y-1)(y+1)\)
=\((2x+y+1)\) \((x-3y+1)\)
問(2)
\(x\)について、降べきの順に並び替えます。
重要なので、もう１問練習しましょう！
\(2x^2\)-\(xy\)-\(3y^2\)+\(ax\)+\(3y\)+6
=\(2x^2\)-\((y-a)x\)-\((3y^2-3y-6)\)
=\(2x^2\)-\((y-a)x\)-\(3(y-2)(y+1)\)
\(a\)は無視して一旦因数分解しましょう。
\(2x^2\)-\((y-a)x\)-\(3(y-2)(y+1)\)
=\((2x-3(y-2))\) \((x+(y+1))\)
となりますね。これを展開すれば定数\(a\)が決まります。
\(a\)=2+6=8
因数分解は領域、微積などに常に出ますので、しっかりおさえましょう。大事なポイントは
- たすきがけがすぐできること
- ３次式の公式になれること
- 1つの文字について降べきの順に並べること
③全問題の解説は問題集にあります
「第2章 数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第2章 数と式
02-01 恒等式
02-02 因数分解
02-03 整式の剰余
02-04 整数の性質
02-05 方程式の整数解
02-06 背理法
02-07 根号を含む計算
02-08 指数と対数
02-09 常用対数
02-10 式の値
02-11 不等式の証明・相加相乗平均
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問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「02-02_因数分解がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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