2023/01/03 (更新日: 2023/12/15)

02-03_整式の剰余がわかる

2_数と式

「整式の剰余がよくわからない」、などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①おさえるべき重要問題
• ②解法
• ③全問題の解説は問題集にあります

数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域

• ①重要問題
• ②重要問題を解説
• ③全問題の解説は問題集にあります

①重要問題

問1

問2

②重要問題を解説

整式の剰余でおさえるポイント

ポイントは２つあります。

1. 整式\(f(x)\)はどんな式かわからないけど、余りだけは１つに決まる不思議な問題
2. 余りは割った\(x\)の次数より必ず１つ以上少ない

問2の解法

では、解いてみましょう。

問(1)

まず、整式\(f(x)\)を\((x-1)(x^2-x-2)\)の３次式で割るので、余りは2次式以下です。

商を\(h(x)\)、余り\(R(x)\)=\(ax^2+bx+c\)と置くと、条件式から
●\(f(x)\)=\(h1(x)\) \((x-1)\)+6
●\(f(x)\)=\(h2(x)\) \((x-2)(x+1)\)+\((3x+5)\)
●\(f(x)\)=\(h3(x)\) \((x-1)(x-2)(x+1)\)+ \(ax^2+bx+c\)
となりますね。

ここで、整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、はっきりわかる条件があります。
●\(f(1)\)=6
●\(f(2)\)=3×2+5=11
●\(f(-1)\)=3×(-1)+5=2
と\(h(x)\)×(割った式)が0になる条件をうまく活用します。

\(f(1)\), \(f(2)\), \(f(-1)\)の値がはっきりわかるので、
●\(f(1)\)= \(a×1^2+b×1+c\)=\(a+b+c\)=6
●\(f(2)\)= \(a×2^2+b×2+c\)=\(4a+2b+c\)=11
●\(f(-1)\)= \(a×(-1)^2+b×(-1)+c\)=\(a-b+c\)=2
から\(a,b,c\)が計算できます。

よって、
\(a\)=1、\(b\)=2、\(c\)=3となるので、余り\(R(x)\)は
\(R(x)\)= \(x^2+2x+3\)
と整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、余り\(R(x)\)は１つに決まる不思議な問題ですね。

問(2)

同様に、整式\(f(x)\)を\((x-1)(x^2-x-1)\)の３次式で割るので、余りは2次式以下です。

商を\(h(x)\)、余り\(R(x)\)=\(ax^2+bx+c\)と置くと、条件式から
●\(f(x)\)=\(h1(x)\) \((x-1)\)+2
●\(f(x)\)=\(h2(x)\) \((x^2-x-1)\)+\((x+3)\)
●\(f(x)\)=\(h3(x)\) \((x-1)( x^2-x-1)\)+ \(ax^2+bx+c\)
となりますね。

問(1)より難易度が上がる点は、

ここで、あえて、
\((x^2-x-1)\)=\((x-α)(x-β)\)という\(α,β\)を導入しましょう。解と係数の関係から、
●\(α+β\)=1
●\(αβ\)=-1
を活用します！

ここで、整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、はっきりわかる条件があります。
●\(f(1)\)=2
●\(f(α)\)=\((α+3)\)
●\(f(β)\)=\((β+3)\)
と\(h(x)\)×(割った式)が0になる条件をうまく活用します。

\(f(1)\), \(f(α)\), \(f(β)\)の値がはっきり?わかるので、
●\(f(1)\)= \(a×1^2+b×1+c\)=\(a+b+c\)=2
●\(f(α)\)= \(a×α^2+b×α+c\)=\(aα^2+bα+c\)=α+3
●\(f(α)\)= \(a×β^2+b×β+c\)=\(aβ^2+bβ+c\)=β+3
から\(a,b,c\)が計算できます。

\(f(α)\)+ \(f(β)\)と\(f(α)\)- \(f(β)\)を計算します。
●(+)：\(α+β+6\)=\(a(α^2+β^2)+b(α+β)+2c\)
→\(α^2+β^2\)=\((α+β)^2-2αβ\)=3
→ 7=\(3a+b+2c\)
と変形できます。
●(-)：\(α-β\)=\(a(α^2-β^2)+b(α-β)\)
→ 1=\(a(α+β)+b\) (\(α\)≠\(β\)より)
→1=\(a+b\)と変形できます。

よって、\(a,b,c\)計算する連立方程式は
●\(a+b+c\)=2
●7=\(3a+b+2c\)
●1=\(a+b\)
と簡単になりましたね！

よって、
\(a\)=2、\(b\)=-1、\(c\)=1となるので、余り\(R(x)\)は
\(R(x)\)= \(2x^2-x+1\)
と整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、余り\(R(x)\)は１つに決まる不思議な問題ですね。

問(3)

同様に、整式\(f(x)\)を\((x-1)(x^2-x-1)\)の３次式で割るので、余りは2次式以下です。

商を\(h(x)\)、余り\(R(x)\)=\(ax^2+bx+c\)と置くと、条件式から
●\(f(x)\)=\(h1(x)\) \((x-1)\)+10
●\(f(x)\)=\(h2(x)\) \((x-2)^2)\)+\((5x+3)\)
●\(f(x)\)=\(h3(x)\) \((x-1) (x-2)^2\)+ \(ax^2+bx+c\)
となりますね。

問(1)(2)より難易度が上がる点は、

ここで、高１の人には禁じ手ですが、微分を使って、定数\(a,b,c\)が計算する条件式を１つ増やします。

●\(f(x)\)=\(h2(x)\) \((x-2)^2)\)+\((5x+3)\)の両辺を微分すると
\(f’(x)\)= \(h2’(x)\) \((x-2)^2\)+ \(h2(x)\) \(2(x-2)\)+5
より、
\(f’(2)\)=5
という条件が出て来ます。これを活用しましょう。

●\(f(x)\)=\(h3(x)\) \((x-1) (x-2)^2\)+ \(ax^2+bx+c\)も両辺を微分すると
\(f’(x)\)= \(h3’(x)\) \((x-1) (x-2)^2\)+ \(h3(x)\) \(1 (x-2)^2\)+ \(h3(x)\) \((x-1) 2(x-2)\)+ \(2ax+b\)
から、
\(f’(2)\)= \(2a×2+b\)=\(4a+b\)=5
という条件式が１つできます。

ここで、整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、はっきりわかる条件があります。
●\(f(1)\)=\(a+b+c\)=10
●\(f(2)\)= \(4a+2b+c\)=13
●\(f’(2)\)= \(4a+b\)=5
と\(a,b,c\)計算する連立方程式ができます。

よって、
\(a\)=2、\(b\)=-3、\(c\)=11となるので、余り\(R(x)\)は
\(R(x)\)= \(2x^2-3x+11\)
と整式\(f(x)\)は、何次式かわからないけど、余り\(R(x)\)は１つに決まる不思議な問題ですね。

③全問題の解説は問題集にあります

「第2章　数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。

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是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。

まとめ

「02-03_整式の剰余がわかる」を解説しました。

• ①おさえるべき重要問題
• ②解法
• ③全問題の解説は問題集にあります

高校数学_数と式

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