2021/07/17 (更新日: 2023/12/06)

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】

実験計画法

「実験計画法が何をやっているのかがわからない」、「実験計画法や分散分析の計算が難しい」など、実験計画法が理解できずにいろいろ困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【簡単】実験計画法とは何かがすぐわかる【初心者向け】

最初に理解してほしい実験計画法

➀実験計画法はデータを平均と誤差に分離する
②実験計画法は計画の良し悪しを平方和から評価する
③高校数学だけで実験計画法はできる

実験計画法を勉強始めたばかりで、よくわからないことが多いですね。
初心者の方がつまづきやすいポイントを関連記事にまとめています。

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●You tubeにも解説しています。ご確認ください。（前編）

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さっそく見ていきましょう。

➀実験計画法はデータを平均と誤差に分離する

実験計画法のポイント2つだけ

(A)データを平均と誤差に分離する。
(B)誤差を要因ごとに分解し、誤差の大きさを比較する。

実験計画法は上の(A)(B)の2つだけしかやりません。とてもシンプルです。

事例をあげます。

8個のデータがあります。このデータはどれも2水準な3つの要因A,B,Cと誤差Eから成り立っています。
データ： 17,16,15,14,9,6,3,0
個々のデータの値の違いはどの要因が影響しているかを考えましょう。

実験計画法の基本となる考え方を解説します。上の事例は次の2つに分解します。
(A)データを平均と誤差に分離する。
(B)誤差を要因ごとに分解し、誤差の大きさを比較する。

(A)の平均値は、要因と誤差に影響しない全データがもつ共通の値です。平均値からは要因と誤差の影響の強さは求めることはできません。平均値は先に取り出します。

次に(B)を考えます。
(B)の要素、誤差の組み合わせをすべて書き出しましょう。
三元配置実験で効果をプーリングするなどは考えません。まずは、全部の組み合わせを書き出してください。

・Aだけ
・Bだけ
・Cだけ
・AとBの組み合わせ
・AとCの組み合わせ
・BとCの組み合わせ
・AとBとCの組み合わせ
・Eだけ
機械的に8通りの分けることができますね。

実験計画法はまず、平均と誤差に分離すること

多くの実験計画法の本が、一元配置実験、二元配置実験(繰返し無し&繰返し有り)、多元配置実験、直交表、乱塊法、分割法と進みます。でも個別の手法ごとに理解しても実験計画法が何をやるものかは、理解できません。

そこで、本記事は手法や因子の数に気にせず、実験計画法はまず、平均と誤差に分離することから始まることを解説します。

上の事例では、平均と7つの要因と1つの誤差に分けました。これを式に書いてみましょう。

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}+e_{ijk}\)
と書けます。これは実験計画法でよく見るデータの構造式ですね。平均をμ,A→α,B→β,C→γ,添え字をそれぞれi,j,k(i,j,k=1,2)と付けました。データの構造式はいったん全パターンを書き出しましょう。

なお、データの構造式において各項の値の算出方法は、ここを見てください。各項の値とその値から平方和を導出する過程を紹介します。

\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}+e_{ijk}\)
は平方和を使うと、
\( S_T=S_A+S_B+S_C\)+\(S_{AB}+S_{AC}+S_{BC}\)+\(S_{ABC}+S_e\)
が成り立ち、分散分析ができる流れとなります。

多元配置実験でも平均と誤差全パターンに分解

上は3要因である三元配置実験を例に取り上げました。では四元配置実験、五元配置実験とどんどん要因が増えたらどうしますか？　慌てずに、データの構造式はいったん全パターンを書き出しましょう。

四元配置実験なら、平均μ、誤差15種類になります。五元配置実験なら平均μ、誤差は31種類あります。

②実験計画法は計画の良し悪しを平方和から評価する

実験計画法から何が分かるのか？

●計画の良し悪しがわかるだけ
●重回帰分析のようなデータ分析手法ではない。

実験の計画を評価するだけの実験計画法がなぜ、今も学んでいるのでしょうか？
実験計画法を習得するメリットは何でしょうか？

実験計画法を習得するメリット

●計画の良し悪しがわかれば筋のよい実験・分析ができる
●平方和の計算だけで、良い実験が設計できる。
●AIのような大型計算機は不要で、最小限のデータで考える。

大型計算機で力技に解析する方法と、人間が頭で考えて分析する方法があり、
実験計画法は後者を手助けする手法です。

③高校数学だけで実験計画法はできる

実験計画法は誰でも使えます！

●高校数学でほぼできる
●多項式、二項定理、数列の展開と高2レベルの数学で十分
●難しい数学はF分布の関数だけ。これは数学者に任せたらいい

大学入試に出てもよい内容です。大学以上のカリキュラムになっているから、実験計画法は難しいと思われます。高校数学の微積分の方が難しいです。

実験計画法マスターに必要な数学3問

3問紹介しますが、今は解けなくてもOKです。
必要な高校数学がどれかを眺めるだけで十分です。
関連記事をたくさん眺めると、徐々にこう解けばできる！
感触が体感できます。

問1 次の式を証明せよ。
abc-1=(a-1)+(b-1)+(c-1)+(ab-1)+(ac-1)+(bc-1)+(a-1)(b-1)(c-1)

関連記事に導出方法を詳細に解説しています。
【まとめ3】実験計画法の自由度が簡単に導出できる

問2 三元配置実験において取り出せる誤差の種類は8種類である。一般にn元配置実験において、取り出せる誤差の種類は\(2^n-1\)になる。この理由を説明せよ。

関連記事に導出方法を詳細に解説しています。
【まとめ4】実験計画法は平方和の分解が重要である

問3 一元配置実験のデータの構造式を定義する。
\( (x_{ij}-\bar{\bar{x}})\)=\((\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})\)+\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})\)
このとき、
\(\sum^{a}_{i=1}\sum^{b}_{j=1}(\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}})\)=0を示せ。

関連記事に導出方法を詳細に解説しています。
【まとめ4】実験計画法は平方和の分解が重要である

問1は多項式の展開、問2は二項定理、問3は数列です。

問1は自由度の計算、問2は直交表の配列数、問3は分散分析の期待値導出に必要な高校数学です。

詳細な解説は解説集で確認ください。